Klassisk termodynamik (lukkede systemer) siger, at en stigning i entropi betyder irreversibiliteten af den termodynamiske proces. Derfor, hvis vi betragter universet som et lukket system, vil temperaturerne fra termodynamikkens anden lovs synspunkt gradvist udligne sig i det, og der vil blive etableret fuldstændig ligevægt, hvilket svarer til universets "varmedød". . Entropi vil stige, og samtidig vil graden af kaos stige.
Disse udsagn er ikke i overensstemmelse med hypotesen om universets oprindelse og med hele det videre forløb af den globale evolutionære proces. Konklusionen om væksten af uorden i verden er i modstrid med både den kemiske og biologiske udvikling af systemer og hele processen med selvorganisering af systemer i universet. Men stigningen i entropi, ifølge termodynamikkens anden lov, fremhæver retningen af termodynamiske processer, hvilket betyder tidens endimensionalitet eller den såkaldte "tidspil".
Ikke-klassisk termodynamik studerer den virkelige verden af åbne systemer, manifesteret i den livløse og levende natur, ud fra synergetikkens synspunkt. Dette krævede nye ideer, billedkoncepter såvel som en revision af gamle. Det drejer sig i højere grad om tanker om orden og kaos. I synergetik er kaos det, der adskiller sig fra rækkefølgen af en bestemt struktur. Dette er ikke et fuldstændigt fravær af struktur, men også en struktur, men af en bestemt type (som om en ødelagt struktur). En understruktur forstås som et sæt stabile forbindelser af et objekt (med andre objekter), der sikrer dets integritet. Med andre ord er struktur den relative position og forbindelse af komponenterne i noget, det vil sige en bestemt organisering af objektet. Det er kendetegnet ved stabilitet, klarhed i interne forbindelser og evnen til at modstå eksterne faktorer og ændringer. Struktur er et nøglebegreb i synergetik (selvorganisering). Åbne systemer, som allerede nævnt, udveksler konstant energi og stof med omgivelserne, idet de er i en relativt stabil termodynamisk uligevægt. For et biologisk system (levende organisme) er en stabil dynamisk tilstand karakteriseret ved en minimal produktion af entropi, og en ustabil stationær tilstand er karakteriseret ved en maksimal ikke-levende tilstand. Det er mest sandsynligt, at udviklingen af levende ting sker gennem ustabilitet, selvom den generelt har tendens til en stabil tilstand på mikroskopisk niveau på grund af lagret fri energi. Når man stræber efter en stabil tilstand, "dumper" organismen unødvendig overskydende entropi i miljøet og opretholder derved konstant en termodynamisk tilstand uden ligevægt.
Dissipative strukturer
Dissipativ struktur er et af hovedbegreberne i I. Prigogines teori om strukturer. Systemet som helhed kan være uligevægtigt, men allerede noget ordnet og organiseret på en bestemt måde. I. Prigogine kaldte sådanne systemer dissipative strukturer (fra lat. dissipation– accelerere, sprede fri energi), hvori ordnede tilstande opstår med betydelige afvigelser fra ligevægt. Under dannelsen af disse strukturer øges entropien, og andre termodynamiske funktioner i systemet ændres også. Dette indikerer, at dens generelle kaotiske natur forbliver intakt. Dissipation som en proces med energidissipation spiller en vigtig rolle i dannelsen af strukturer i åbne systemer. I de fleste tilfælde realiseres dissipation i form af omdannelse af overskydende energi til varme. Dannelsen af nye typer strukturer indikerer en overgang fra kaos og uorden til organisation og orden. Disse dissipative dynamiske mikrostrukturer er prototyper af fremtidige tilstande i systemet, såkaldte fraktaler (fra lat. fraktus– fraktioneret, skåret op). De fleste fraktaler ødelægges enten uden at være fuldt dannede (hvis de viser sig at være urentable set ud fra de grundlæggende naturlove), eller forbliver nogle gange som separate arkaiske rester af fortiden (f.eks. folks gamle skikke, gamle skikke ord osv.). Ved bifurkationspunktet (grenpunktet) er der en slags naturlig udvælgelse af fraktale formationer. Den uddannelse, der viser sig at være den mest tilpassede miljømæssige forhold "overlever."
Under gunstige forhold "vokser" en ny struktur (fraktal) og omdannes gradvist til en ny makrostruktur - en attraktor. I dette tilfælde bevæger systemet sig ind i en ny kvalitativ tilstand. I denne nye tilstand fortsætter systemet sin offensive bevægelse indtil det næste bifurkationspunkt, det vil sige indtil den næste ikke-ligevægtsfaseovergang.
Generelt spiller dissipation som en proces med energidissipation, dæmpning af bevægelse og information en meget konstruktiv rolle i dannelsen af nye strukturer i åbne systemer. For et dissipativt system er det umuligt at forudsige en specifik udviklingsvej, da det er vanskeligt at forudsige de oprindelige reelle betingelser for dets tilstand.
Bifurkationsteori
Et åbent ikke-lineært selvorganiserende system er altid udsat for svingninger. Det er i svingninger, at systemet udvikler sig og bevæger sig mod relativt stabile strukturer. Dette lettes af den konstante udveksling af energi og stof mellem systemet og miljøet.
Unormale ændringer i miljøet kan bringe systemet ud af en tilstand af dynamisk ligevægt, og det vil blive uligevægt. For eksempel forårsager en stigende strøm af energi ind i et system fluktuationer og gør det ubalanceret og ureguleret. Organisationen af systemet bliver mere og mere ustabil, systemets egenskaber ændrer sig.
Hvis systemets parametre når bestemte kritiske værdier, går systemet ind i en tilstand af kaos.
Tilstanden af maksimalt kaos i en ikke-ligevægtsproces kaldes bifurkationspunktet. Bifurkationspunkter er ligevægtspunkter for både stabile og ustabile "valgpunkter" for systemets videre udviklingsvej.
Ustabile tilstande er vigtige for synergetik. Fremkomsten af ustabile tilstande skaber en potentiel mulighed for, at systemet kan bevæge sig ind i en ny kvalitativ tilstand. Det vil være kendetegnet ved nye parametre for systemet og en ny funktionsmåde.
I tilstande af vejvalg, det vil sige ved bifurkationspunkter, er tilfældige fluktuationer (oscillationer) af stor betydning. Det afhænger af dem, hvilken af de mange mulige veje systemet vil tage for at forlade tilstanden af ustabilitet. Mange udsving forsvinder, nogle påvirker ikke den videre udvikling af systemet, da de er meget svage. Men under visse tærskelforhold, på grund af tilfældige ydre påvirkninger, kan disse fluktuationer intensiveres og virke i resonans, hvilket skubber systemet til at vælge en bestemt udviklingsvej (en bestemt bane).
Ved bifurkationspunkter danner et selvorganiserende system, stillet over for et valg af udviklingsveje, et væld af dissipative dynamiske mikrostrukturer, som om "embryoner" af fremtidige systemtilstande - fraktaler. Sættet af sådanne tilstande ved bifurkationspunkter, før man vælger en yderligere vej, danner deterministisk eller dynamisk kaos. Men de fleste af disse fremtidige prototyper af systemet - fraktale formationer - dør i konkurrence. Som følge heraf overlever den mikrostruktur, der er mest tilpasset ydre forhold. Hele denne proces er tilfældig og usikker. Den nye makrostruktur, der overlevede konkurrencen fra fraktale formationer, blev kaldt en attraktor (se ovenfor). Som et resultat af dette bevæger systemet sig ind i en ny kvalitativt højere organisatorisk tilstand. Bevægelsesretningen for denne attraktor begynder at adlyde nødvendigheden. Systemet opfører sig nu, som om det var strengt deterministisk.
Således repræsenterer en attraktor et segment af den evolutionære vej fra et bifurkationspunkt til en bestemt afslutning (det kan være et andet bifurkationspunkt). Konventionelle attraktorer er kendetegnet ved stabiliteten af et dynamisk system. Attraktoren tiltrækker som en magnet mange forskellige baner af systemet til sig selv, bestemt af forskellige begyndelsesværdier af parametrene. Her spiller kooperative, fælles processer en meget vigtig rolle, som er baseret på sammenhængende, det vil sige koordineret, samspil mellem alle elementer i den nye stabile struktur.
En attraktor kan sammenlignes med en kegle eller tragt, der med sin brede del vender mod forgreningszonen, altså bifurkationspunktet, og dens smalle del vender mod det endelige resultat, altså en ordnet struktur. Hvis et system falder inden for en bestemt attraktions sfære, så udvikler det sig hen imod det. Evolution når frem til de samme attraktorer på forskellige måder. Som et resultat af dette dannes ordreparametre, det vil sige en stabil dynamisk tilstand. Systemet kan forblive i denne tilstand, indtil det på grund af nogle årsager, såvel som tilfældige udsving, igen når en ustabil position. Disse årsager er forbundet med disharmoni, uoverensstemmelsen mellem den indre tilstand af et åbent system og de ydre forhold i dets miljø. Som et resultat mister systemet sin stabilitet, vender tilbage til en kaotisk tilstand, og det har igen mange nye udviklingsveje. For klarhedens skyld kan bifurkationsprocessen for systemudvikling repræsenteres som et bifurkationstræ (fig. 8.1).
Ved hjælp af et lignende princip kan udviklingen af biologiske arter eller antropogenese repræsenteres i form af et evolutionært træ.
Ved bifurkationspunkter kan selv en lille tilfældig ændring føre til en alvorlig forstyrrelse af systemet. Derfor kan selvorganiserende systemer groft ikke påtvinges bestemte udviklingsveje. Her er det nødvendigt at udforske og finde måder, hvorpå naturen og mennesket kan leve sammen, at forsøge dybt at forstå karakteren af deres fælles evolution, coevolution.
Grundlaget for teorien om bifurkationer blev lagt i begyndelsen af det 20. århundrede. Den franske matematiker A. Poincaré og den russiske matematiker A. Lyapunov. Denne teori blev senere udviklet i skolen af den russiske fysiker A. Andronov. Teorien om bifurkationer er i øjeblikket meget brugt i tværfaglige videnskaber, såvel som i fysik, kemi og biologi.
Ved midten af det tyvende århundrede. ligevægtstermodynamik tog en førende position inden for fysik som den mest udviklede teori, som demonstrerede dens effektivitet til at beskrive objekter af forskellig natur. Denne beskrivelse var imidlertid kun begrænset til ligevægtstilstanden, hvilket betydeligt indsnævrede rækken af mulige anvendelser af en strengt teoretisk systemtilgang. En bred vifte af ikke-ligevægtsfænomener - klima, vejr, sol-terrestriske forbindelser, alle levende objekter og biosfæren, det menneskelige samfund som helhed og meget mere - kunne ikke repræsenteres inden for rammerne af ligevægtstermodynamikken.
Termodynamisk system under ikke-ligevægtsforhold. Informationsmæssig betydning af ekstern påvirkning
Tilbage i første halvdel af det tyvende århundrede. den anti-entropiske rolle af den kontrollerende ydre påvirkning blev vist (fig. 14.1).
Hvis et system i ikke-ligevægtsforhold påvirkes af en energistrøm udefra, så kan den totale ændring i entropi dS Y repræsenteres som summen af to komponenter med forskellige fortegn:
dS У = dS i + dS e, (14.1)
hvor dS i > 0 er ændringen i entropi inden for systemet i overensstemmelse med termodynamikkens anden lov; dS e< 0 - уменьшение энтропии за счет управляющего внешнего воздействия.
Ris. 14.1.
Da bidraget dS e til ligning (14.1) i størrelsesorden, afhængigt af specifikke forhold, kan overstige dS i, vil den samlede ændring i entropi i systemet være negativ, hvilket åbner mulighed for forståelse og strengt teoretisk beskrivelse af mange fænomener af en ikke-ligevægt natur, såsom liv. En uundværlig betingelse for eksistensen af levende ting er kravet dS Y = 0. Følgelig skal alle levende organismer have en mekanisme til fuldstændig og effektiv kompensation af stigende entropi. Den specifikke type mekanismer, der understøtter livet, kan variere, men generelt bør de være anti-entropiske mekanismer. Liv adskiller sig fra ikke-liv ved, at levende ting nødvendigvis indeholder processer med dS e< 0, которые полностью компенсируют естественное возрастание энтропии. Как только они прекращаются, наблюдается прогрессирующая старость и наступает смерть. Такого рода механизмы удобно характеризовать не энтропией, а информацией и рассматривать как упорядочивающие информационные воздействия.
Begrænsninger i anvendelsen af termodynamik som systemteori på sådanne fænomener var imidlertid først og fremmest forbundet med, at det meget produktive apparat af tilstandsfunktioner, udviklet i klassisk termodynamik, kun kunne bruges til at beskrive ligevægtstilstanden. Brugen af tilstandsfunktioner til en konsekvent beskrivelse af ikke-ligevægtsprocesser i et termodynamisk system blev mulig efter introduktionen af begrebet lokal ligevægt i termodynamikken. Inden for rammerne af dette koncept accepteres det i ikke-ligevægtsterodynamikken, at selvom systemets tilstand som helhed er uligevægt, er det altid muligt at identificere separate fysisk små dele, hvor de termodynamiske parametre ændrer sig så ubetydeligt fra punkt til punkt, at disse ændringer kan negligeres. Det er sædvanligt at betragte sådanne kvasi-ligevægtsområder i systemet for at være lokalt ligevægt og at anvende hele ligevægtstermodynamikkens teoretiske apparat på dem.
Ifølge denne tilgang er egenskaberne af et ikke-ligevægtssystem bestemt af lokale termodynamiske funktioner, som i modsætning til globale termodynamiske funktioner er angivet med små bogstaver i stedet for store bogstaver, relaterer til en enhed af masse eller volumen og afhænger af den lokale koordinat og tid f. Lokal entropi s for en enhedsvolumen сs afhænger således af de termodynamiske parametre a i (, φ), og i en irreversibel proces i et adiabatisk system bestemmes hastigheden af dens stigning (entropiproduktion) af formlen
Klassisk termodynamik betragtes som isolerede systemer, der har tendens til en ligevægtstilstand, eller delvist åbne systemer placeret tæt på punktet for termodynamisk ligevægt. Derfor var det ikke muligt at bruge den klassiske termodynamiks begreber til at beskrive selvorganiseringsprocesser. Det var nødvendigt at introducere nye begreber og principper, som tilstrækkeligt ville beskrive de virkelige processer af selvorganisering, der forekommer i naturen.
Den mest grundlæggende af dem er konceptet om et åbent system, der er i stand til at udveksle stof, energi eller information med miljøet. Da der er et forhold mellem stof og energi, kan vi sige, at systemet under sin udvikling producerer entropi, som dog ikke akkumuleres i det, men spredes i miljøet. I stedet kommer frisk energi fra miljøet, og det er netop som et resultat af denne kontinuerlige udveksling, at systemets entropi måske ikke stiger, men forbliver uændret eller endda falder. Det følger heraf, at et åbent system ikke kan være i ligevægt, dets funktion kræver en kontinuerlig tilførsel af energi og stof fra det ydre miljø, hvorved uligevægten i systemet øges. Som et resultat er det tidligere forhold mellem elementerne i systemet (den tidligere struktur) ødelagt. Nye sammenhængende (koordinerede) relationer opstår mellem systemets elementer, som fører til samarbejdsprocesser og kollektiv adfærd af dets elementer.
Materialestrukturer, der er i stand til at sprede energi, kaldes dissipative. Et eksempel er den selvorganisering, der opstår i kemiske reaktioner. Det er forbundet med indtrængen af nye reagenser udefra, det vil sige stoffer, der sikrer fortsættelse af reaktionen og frigivelse af reaktionsprodukter til miljøet. Eksternt manifesteres selvorganisering her i udseendet af koncentriske bølger i et flydende medium eller i en periodisk ændring i opløsningens farve, for eksempel fra blå til rød og tilbage ("kemisk ur"). Disse reaktioner blev først undersøgt af indenlandske videnskabsmænd V. Belousov og A. Zhabotinsky. På deres eksperimentelle grundlag byggede en gruppe belgiske videnskabsmænd ledet af I. Prigogine en teoretisk model kaldet Brusselator (fra navnet på byen Bruxelles). Denne model dannede grundlag for forskning i ny termodynamik, som blev kaldt nonequilibrium eller ikke-lineær. Et karakteristisk træk ved modeller, der beskriver åbne systemer og selvorganiseringsprocesser, er, at de bruger ikke-lineære matematiske ligninger.
Ved at studere processerne for selvorganisering, der forekommer i en laser, kaldte den tyske fysiker Hermann Haken den nye retning for forskning synergetik, som oversat fra oldgræsk betyder fælles, koordineret handling. Synergetics forklarer processen med selvorganisering som følger:
1. Et åbent system skal være tilstrækkelig langt fra punktet for termodynamisk ligevægt. Hvis systemet er ved ligevægtspunktet, så har det maksimal entropi og er derfor ude af stand til nogen organisation. I denne tilstand når hun maksimal desorganisering. Hvis systemet er tæt på ligevægtspunktet, vil det med tiden nærme sig det og i sidste ende komme til en tilstand af fuldstændig desorganisering.
2. Hvis ordensprincippet for lukkede systemer er evolution mod at øge deres entropi, dvs. uorden, så er selvorganiseringens grundlæggende princip fremkomsten og styrkelsen af orden gennem fluktuationer. Sådanne udsving (tilfældige afvigelser af systemet fra en gennemsnitlig position) i begyndelsen af systemets drift undertrykkes og elimineres af det. Men i åbne systemer, på grund af stigende uligevægt, stiger disse afvigelser over tid og fører i sidste ende til "sammenbrud" af den tidligere orden og fremkomsten af en ny orden. Dette princip kaldes normalt princippet om ordensdannelse gennem udsving. Da fluktuationer er tilfældige i naturen, og det er fra dem, at fremkomsten af en ny orden og struktur begynder, er fremkomsten af noget nyt i verden altid forbundet med virkningen af tilfældige faktorer.
4. I modsætning til princippet om negativ feedback, som styringen og bevarelsen af dynamisk ligevægt af systemer er baseret på, er fremkomsten af selvorganisering baseret på princippet om positiv feedback. Ifølge dette princip elimineres ændringer, der opstår i systemet, ikke, men akkumuleres og intensiveres, hvilket resulterer i fremkomsten af en ny orden og struktur.
5. Selvorganiseringsprocesser er ledsaget af en krænkelse af symmetri, karakteristisk for lukkede ligevægtssystemer. Åbne systemer er karakteriseret ved asymmetri.
6. Selvorganisering er kun mulig i systemer, der har et tilstrækkeligt antal interagerende elementer. Ellers vil virkningerne af synergetisk interaktion være utilstrækkelige til fremkomsten af kooperativ (kollektiv, koordineret) adfærd af systemelementer og fremkomsten af en proces med selvorganisering.
Disse er nødvendige, men ikke tilstrækkelige betingelser for fremkomsten af selvorganisering i systemet. Jo højere organisationsniveau et system er, jo højere er det på den evolutionære stigen, jo mere komplekse og talrige er de faktorer, der fører til selvorganisering.
Den nye forståelse af kaos kom til udtryk i den berømte "sommerfugleeffekt", formuleret af Edward Lorenz, en meteorologisk videnskabsmand. Sommerfugleeffekten siger: Bevægelsen af en sommerfugls vinge i Peru gennem en række uforudsigelige og indbyrdes forbundne begivenheder kan øge luftbevægelsen og i sidste ende føre til en orkan i Texas.
Den berømte matematiker Henri Poincaré talte om dette i begyndelsen af det 20. århundrede. Han kom til den konklusion, at en helt ubetydelig mængde, som derfor undslipper vores opmærksomhed, forårsager en væsentlig effekt, som vi ikke engang kunne forudse.
Det ser ud til, at alt taler om tilfældighedernes triumf over forudbestemmelse. Men det, vi kalder "tilfældighed", er en bestemt orden, der optræder som tilfældighed, en orden, hvis love videnskaben endnu ikke kan forklare. Et nyt begreb er dukket op - attraktor, som hjælper med at forstå de processer, der finder sted.
I. Prigogine, nobelprismodtager, skriver i bogen "Time, Chaos, Quantum": "Når vi studerer, hvordan det simple forholder sig til det komplekse, vælger vi som en ledetråd begrebet "attraktor", det vil sige den endelige tilstand eller udviklingsforløb for et dissipativt system ... Begrebet en attraktor er forbundet med en række forskellige dissipative systemer ... Et ideelt pendul (uden friktion) har ingen attraktor og svinger uendeligt. På den anden side stopper bevægelsen af et rigtigt pendul - et dissipativt system, hvis bevægelse inkluderer friktion - gradvist i en tilstand af ligevægt. Denne position er en attraktor... I fravær af friktion eksisterer attraktoren ikke, men selv den svageste friktion ændrer radikalt pendulets bevægelse og introducerer en attraktor.” For større klarhed sætter Prigogine ideen i geometrisk form. Så repræsenterer det sidste punkt i pendulets bevægelse - attraktoren - den endelige tilstand af enhver bane i rummet.
Det er dog ikke alle dissipative systemer, der udvikler sig til et enkelt endepunkt, som det er tilfældet med et rigtigt pendul. Der er systemer, der ikke udvikler sig til en stat, men til et stabilt periodisk regime. I dette tilfælde er attraktoren ikke et punkt, men en linje, der beskriver periodiske ændringer i systemet over tid. Billeder af attraktorer blev konstrueret, som ikke repræsenterer et punkt eller en linje, men en overflade eller volumen. Opdagelsen af såkaldte mærkelige attraktorer var en komplet overraskelse. I modsætning til en linje eller overflade er mærkelige attraktorer ikke karakteriseret ved helhed, men af brøkdimensioner.
Den mest klare klassificering af attraktorer blev givet af den amerikanske videnskabsmand Bill M. Williams, som brugte omkring fyrre år på at undersøge kaotiske markedsprocesser. Hans forskning kombinerede resultaterne af fysik, matematik og psykologi. Han hævder, at alle ydre fænomener er styret af fire kræfter, der udvinder orden fra uorden, kaldet attraktorer:
· Punktattraktor;
· Cyklisk (cirkulær) attraktor;
attraktor Toras;
· Mærkelig attraktor.
En punktattraktor – en attraktor af den første dimension – er den enkleste måde at bringe orden i kaos. Han lever i den første dimension af en linje, som består af et uendeligt antal punkter. Det karakteriseres som en vis aspiration. I menneskelig adfærd skaber Point Attractor således en psykologisk fiksering på ét ønske (eller modvilje), og alt andet udskydes, indtil dette ønske er opfyldt (ødelagt).
En cyklisk attraktor lever i den anden dimension af et plan, som består af et uendeligt antal linjer. Det karakteriserer et marked indesluttet i en korridor, hvor prisen bevæger sig op og ned i et bestemt interval over en vis periode. Denne attraktor er mere kompleks og giver en struktur for mere kompleks adfærd.
Toras-attraktoren er en endnu mere kompleks attraktor. Det begynder en kompleks cirkulation, der gentager sig selv, mens den bevæger sig fremad. Sammenlignet med de to foregående introducerer Toras-attraktoren en større grad af uorden, og dens modeller er mere komplekse. Grafisk ligner den en ring eller bagel, den danner spiralcirkler på en række forskellige planer og vender nogle gange tilbage til sig selv for at fuldføre en fuld rotation. Dens vigtigste funktion er gentagne handlinger.
En mærkelig attraktor fra den fjerde dimension. Hvad det overfladiske øje opfatter som absolut kaos, hvor ingen orden er mærkbar, har en vis orden baseret på Strange Attractor. Det kan kun ses, hvis det observeres fra den fjerde dimension. Det kan tænkes på lige så mange pulserende linjer i tredimensionelt rum, svarende til vibrerende strenge. Firedimensionaliteten af Strange Attractor opnås ved at tilføje pulseringer (vibrationer). Den vigtigste egenskab ved en Strange Attractor er dens følsomhed over for startforhold ("sommerfugleeffekt"). Den mindste afvigelse fra startbetingelserne kan føre til store forskelle i resultatet.
Williams hævder, at når vi er under indflydelse af de første tre attraktorer, bliver vi manipuleret og bliver forudsigelige. Kun i dynamikken i en Strange Attractor kan vi være virkelig frie. En mærkelig attraktor organiserer en vidunderlig verden af spontanitet og frihed.
En ny geometri blev skabt til at beskrive komplekse systemer. I 1975 introducerede Benoit Mandelbrot konceptet fraktal (fra latin - split) for at betegne uregelmæssige, men selv-lignende strukturer. Fremkomsten af fraktal geometri er forbundet med udgivelsen af Mandelbrots bog "Fractal Geometry of Nature" i 1977. Han skrev: "En fraktal er en struktur bestående af dele, der på en eller anden måde ligner helheden."
Fraktal geometri "så" paradokser, der forbløffede mange matematikere i det 20. århundrede. Dette er "kystlinje"-paradokset, "snefnug"-paradokset osv.
Hvad er dette ekstraordinære "snefnug"? Lad os forestille os en ligesidet trekant. Mentalt opdele hver side i tre lige store dele. Lad os fjerne den midterste del på hver side og erstatte den med en ligesidet trekant, hvor længden af siden er en tredjedel af længden af den oprindelige figur. Vi får en sekstakket stjerne. Den er ikke længere dannet af tre segmenter af en vis længde, men af tolv segmenter tre gange kortere end den oprindelige længde. Og den har ikke længere tre, men seks toppe. Lad os gentage denne operation igen og igen, antallet af dele i den dannede kontur vil vokse og vokse. Billedet ser ud som et snefnug. En forbundet linje, sammensat af lige (eller buede) sektioner og kaldet Koch-kurven, har en række funktioner. Først og fremmest er det en kontinuerlig løkke, der aldrig krydser sig selv, da de nye trekanter på hver side er små nok til, at de ikke støder sammen. Hver transformation tilføjer lidt plads inde i kurven, men dens samlede areal forbliver begrænset og er faktisk kun lidt større end arealet af den oprindelige trekant. Og derudover vil kurven aldrig gå ud over den cirkel, der er beskrevet omkring den. En Koch-kurve af uendelig længde er proppet ind i et begrænset rum! Desuden er det allerede noget mere end blot en linje, men alligevel er det ikke et fly.
Så fraktaler er geometriske former med et sæt meget interessante funktioner: fragmentering i dele, der ligner helheden, eller den samme transformation gentaget i faldende skala. De er kendetegnet ved brudthed og selvlighed. Fraktalitet er et mål for uregelmæssighed. For eksempel, jo flere bøjninger og drejninger en flod har, jo større fraktaltal er den. Fraktaler kan være lineære og ikke-lineære. Lineære fraktaler er defineret af lineære funktioner, dvs. første ordens ligninger. De udviser selvlighed i den enkleste form: hver del er en mindre kopi af helheden. Selvligheden af ikke-lineære fraktaler er mere forskelligartet: i dem er en del ikke en nøjagtig, men en deformeret kopi af helheden. Fraktaler beskriver hele den virkelige verden.
Baseret på ideen om dimension kom Mandelbrot til den konklusion, at svaret på spørgsmålet: hvor mange dimensioner har et objekt afhænger af niveauet af opfattelse. For eksempel, hvor mange dimensioner har en kugle af snor? På lang afstand ligner det et punkt med nul dimension. Lad os nærme os bolden og finde ud af, at den er en kugle og har tre dimensioner. På endnu tættere afstand bliver selve strengen synlig, og objektet får én dimension, men snoes på en sådan måde, at det tredimensionelle rum er involveret. Under et mikroskop vil vi opdage, at strengen består af snoede forlængede tredimensionelle objekter, og dem igen af endimensionelle fibre, hvis substans nedbrydes til partikler med nul dimension. Det vil sige, afhængigt af vores opfattelse ændrede dimensionen sig sådan her: nul - tredimensionel - endimensionel - tredimensionel - endimensionel - nul.
Fysiske systemer med fraktal struktur har unikke egenskaber. Fraktaler spreder elektromagnetisk stråling forskelligt, vibrerer og lyder forskelligt, leder elektricitet forskelligt osv.
Paradoksalt nok etablerede opdagelsen af fraktale sæt ikke kun eksistensen af uforudsigelige processer, men lærte også mennesker, hvordan man kontrollerer dem, da ustabiliteten af kaotiske systemer gør dem ekstremt følsomme over for ydre påvirkninger. Samtidig viser systemer med kaos en fantastisk plasticitet. Træet vokser og forgrener sig opad, men ingen kan sige, hvordan dets grene præcist vil bøje. Det er derfor, man siger, at verden er skabt af kaos.
Grundlæggende begreber for emnet:
Selvorganisering er processen med spontan dannelse af en struktur, der er mere kompleks end den oprindelige.
Kaos er en tilstand, hvor tilfældighed og uorden bliver det organiserende princip.
Orden er organiseringen af systemet.
Ligevægtstermodynamikken studerer lukkede systemer, hvor processer foregår i retning af stigende entropi, dvs. dannelsen af lidelse.
Termodynamik uden ligevægt studerer åbne, komplekst organiserede systemer, hvori selvorganisering forekommer.
En attraktor er den endelige tilstand eller finale af udviklingen af et dissipativt system.
Dissipative systemer er systemer, hvis samlede energi falder under bevægelse og omdannes til andre typer bevægelse, for eksempel til varme.
Det termodynamiske ligevægtspunkt er tilstanden med maksimal entropi.
Udsving er tilfældige afvigelser af systemet fra en gennemsnitlig position.
Et åbent system er et system, der udveksler stof, energi eller information med sit miljø.
Den tidligere diskuterede termodynamik beskrev egenskaberne ved ligevægtstilstande. Termodynamisk ligevægt indebærer en tilstand, som et system når over tid under visse ydre forhold. For ligevægtstilstande er begrebet tid ligegyldigt, derfor er tid ikke inkluderet i termodynamikkens tre love og termodynamiske potentialer. Et mere korrekt navn for ligevægtstermodynamik ville være termostat.
Fremkomsten af strømme og gradienter af termodynamiske mængder, overførselsprocesser fører til ikke-ligevægtssystemer, der ændrer deres parametre over tid. Termodynamik af ikke-ligevægtsprocesser er en generel teori om makroskopisk beskrivelse af ikke-ligevægtssystemer. I den matematiske beskrivelse af systemer, hvor der forekommer ikke-ligevægtsprocesser, betragtes systemerne som kontinuerlige medier, og deres tilstandsparametre betragtes som kontinuerte funktioner af koordinater og tid. Systemet er repræsenteret som en samling af elementer. Tilstanden af hvert isoleret element er karakteriseret ved temperatur, tæthed, kemisk potentiale og andre termodynamiske parametre.
Beskrivelsen af ikke-ligevægtssystemer kommer ned til at udarbejde balanceligninger for elementære volumener baseret på lovene om bevarelse af masse, energi og momentum. Til dette system føjes energibalanceligningen, samt de fænomenologiske ligninger for masse, momentum og energistrømme, udtrykt gennem gradienten af termodynamiske parametre.
Bevaringslove inkluderer loven om bevarelse af massen af den kth komponent:
hvor k = 1,2,..., åå, p K v K - volumen element; r k - tæthed, v K- massestrømningshastighed for partikler af den k-te komponent (gennemsnitlig masseoverførselshastighed).
For den samlede tæthed har fredningsloven formen
masse har formen
Hvor jeg= p (u - v) - diffusionsstrøm; - = - + (t’grad) - første pro-
baseret på tid.
Loven om bevarelse af momentum, anvendt på et elementært volumen, giver os mulighed for at opnå de grundlæggende ligninger for hydrodynamik (Navier-Stokes-ligninger):
Hvor v 3- Kartesiske hastighedskomponenter Og;r 1f = p8, f+ p (f- stress tensor; R- tryk; 8 gar - Kronecker symbol; p 1f- tyktflydende stresstensor. Navier-Stokes-ligningerne bruges til at studere strømmen af rigtige væsker og gasser. Disse ligninger er ikke-lineære, og nøjagtige løsninger findes kun for særlige tilfælde.
Loven om bevarelse af energi for elementære volumener repræsenterer termodynamikkens første lov.
Energibalanceligningen har formen
Hvor J k- en note af varme; YjP t , f ,^~- arbejde med indre belastninger; Hj,Flt -
ar åh s k-1
ydre kræfters arbejde. Altså den indre energi ri er ikke bevaret, men kun den samlede energi bevares. Entropibalanceligningen kan skrives som
hvor a er en størrelse, der karakteriserer den lokale entropiproduktion
og defineret som st = X/D,; J t- vandløb; X: - styrke; d/- element øverst - 1 = 1
systemets hed. I vores tilfælde o> 0. Værdier J K F k kan være vektorer (termisk ledningsevne, diffusion), skalarer (total viskositet, hastighed af kemiske reaktioner). Termodynamisk potentiale TdS = dU + pdV - Y^x k dc k for et masseelement langs bane for dets massecenter vil tage formen
hvor alle afledte med hensyn til tid er fuldstændige. Lokal entropiproduktion er forårsaget af irreversible processer af termisk ledningsevne, diffusion og viskositet.
For at beskrive ikke-ligevægtssystemer foreslog I. Prigogine at introducere begrebet lokal termodynamisk ligevægt. Hvis de processer, der forstyrrer ligevægten i et lille volumen, er mindre intense end de processer, der danner ligevægten, så taler vi om lokal ligevægt.
Princippet om lokal ligevægt er et postulat.
Den fænomenologiske ligning beskriver små afvigelser af systemet fra termodynamisk ligevægt. De resulterende strømninger afhænger lineært af termodynamiske kræfter og beskrives ved fænomenologiske ligninger som f.eks.
Hvor Lige- overførselskoefficienter; termodynamisk kraft X k kalder en tråd Jk. For eksempel forårsager en temperaturgradient en strømning af varme (termisk ledningsevne), en koncentrationsgradient forårsager en strømning af stof, en hastighedsgradient forårsager en strømning af momentum, en elektrisk feltgradient forårsager en elektrisk strøm osv.
Ligning (3.36) kaldes også den termodynamiske bevægelsesligning. Hypotesen om et lineært forhold mellem strømninger og termodynamiske kræfter ligger til grund for termodynamikken i irreversible processer.
Termodynamisk kraft kan forårsage en strøm Jik, Hvor jeg ^ Til. For eksempel kan en temperaturgradient forårsage strømmen af stof i flerkomponentsystemer. Sådanne processer kaldes kryds, de er karakteriseret ved koefficienten Ljk på jeg # k. I dette tilfælde har entropiproduktionen formen
I overensstemmelse med Prigogines teorem er værdien af a i en stationær tilstand minimal under givne ydre forhold, der forhindrer opnåelse af ligevægt. I en tilstand af termodynamisk ligevægt a = 0.
De termodynamiske relationer af ikke-ligevægtsprocesser bruges til at forklare talrige ikke-ligevægtsfænomener, for eksempel termodynamisk, galvanomagnetisk, termogalvanomagnetisk. Der skabes teoretiske grundlag for studiet af åbne systemer.
I området for linearitet af irreversible processer er matrixen af fænomenologiske koefficienter symmetrisk:
Dette er Onsagers gensidighedsrelation, eller symmetriforhold. Med andre ord, stigningen i flow Jk, forårsaget af en enhedsforøgelse i kraft X det lig med stigningen i flow J jy forårsaget af en stigning pr kraftenhed X k. Gensidighedsforholdet spillede en stor rolle i udviklingen af termodynamikken i irreversible processer.
Makroskopiske objekters verden kan opdeles i to klasser: isolerede systemer og åbne systemer. I isolerede systemer hersker termodynamikken. Isolerede systemer når før eller siden en tilstand af termodynamisk ligevægt. I en tilstand af termodynamisk ligevægt glemmer systemet sin tidligere historie. Den eksisterer kun under bevarelseslovenes tegn: den samlede energi er lig med en konstant, momentum og masse bevarer deres værdi.
Termodynamik af ligevægtssystemer kender ikke begrebet tid. Det er ifølge termodynamikkens love, at kun ikke-levende systemer eksisterer. Termodynamikkens grundlæggende love blev diskuteret ovenfor.
Lad os bemærke to forhold:
- 1) konklusionerne af klassisk ligevægtstermodynamik om ikke-ligevægtstilstande inkluderer ikke tidsfaktoren;
- 2) den termodynamiske beskrivelse af et ikke-ligevægtssystem er baseret på princippet om lokal ligevægt.
I overensstemmelse med princippet om lokal ligevægt processer, der forstyrrer ligevægt, er mindre intense end processer, der danner ligevægt. I dette tilfælde kan vi med en vis grad af nøjagtighed tale om lokal ligevægt, med andre ord om termodynamisk ligevægt i et uendeligt lille volumen. I termodynamikken af irreversible processer blev der indført tilstandsfunktioner, der afhænger af de samme variabler, som de afhænger af, når systemet er i en tilstand af termodynamisk ligevægt. Termodynamiske funktioner blev imidlertid til funktioner af koordinater og tid. Selvom princippet om lokal ligevægt ikke kan udledes af termodynamikkens love og derfor postuleres, er gyldigheden af denne hypotese begrundet i sammenfaldet mellem teori og eksperiment.
For en bred klasse af irreversible fænomener i en lang række eksperimentelle forhold, blev det fundet, at strømninger (varmestrøm, massestrøm) er lineære funktioner af termodynamiske kræfter (temperaturgradient, koncentrationsgradient osv.), for eksempel Fouriers lov ( i overensstemmelse hermed er loven om varmestrøm proportional med temperaturgradienten) eller Ficks lov (hvorefter diffusionsstrømmen er proportional med koncentrationsgradienten).
Ved hjælp af relation (3.37) er det muligt at forudsige karakteristikaene for den omvendte proces ud fra de kendte karakteristika for én proces. Lad os også huske analysen af ligningerne (3.14)-(3.17).
I termodynamikken af irreversible processer er det generelt accepteret, at hastigheden af entropitilvækst eller, hvad der er det samme, entropiproduktion kan repræsenteres i formen
Det vigtigste faktum i termodynamikken af irreversible processer er faktum selvorganisering i åbne systemer. Selvorganiseringsprocessen er en generel egenskab ved åbne systemer. Hvor paradoksalt det end lyder, er kilden til orden i åbne systemer systemets uligevægt. Dannelsen af selvorganiserende strukturer sker langt fra ligevægt.
Der er mange selvorganiserende systemer kendt i naturen. I dyreverdenen inkluderer eksempler den stribede hud af en zebra, den præcise konstruktion af sekskantede honningkager hos bier, det individuelle og unikke mønster af huden på menneskelige fingre og typerne af snefnug. Der kan eksistere tidsmæssige strukturer, såsom en tidsmæssig sammenhæng mellem mængden af harer og de loser, der lever af dem. Selvom denne proces svinger over tid, er toppene af væksten i antallet af begge populationer strengt korreleret i tid. Dette berømte eksempel kaldes "rovdyr-bytte" i biologi.
Et eksempel kan gives fra den livløse natur - de velkendte Bénard-celler i en væske, som opstår ved en vis temperaturgradient. I dette tilfælde forekommer konvektivstrømme i væsken, som har en karakteristisk struktur i form af sekskantede prismeceller. I det centrale område af prismet stiger væsken op, og nær de lodrette kanter falder den ned (fig. 3.13).
Ris. 3.13.
EN- overblik over strukturen; b- flowdiagram i individuelle celler
I overfladelaget spredes væsken fra midten til kanterne og i bundlaget fra grænserne til midten. Konvektive celler er en meget realiseret struktur, hvor entropi overføres. Dannelsen af Benard-strukturer forklares ved, at der ved lave temperaturgradienter opstår en konvektiv strømning, og væskelagets kapacitet til at overføre varme øges. Udsving i konvektiv bevægelse opstår, som intensiverer og når makroskopiske skalaer. Der opstår en stabil Benard-struktur, hvor den maksimale varmestrømningshastighed er sikret.
I et åbent system opstår en ny molekylær orden, stabiliseret ved udveksling af energi med det ydre miljø. Det er vigtigt at bemærke, at dette ikke overtræder termodynamikkens anden lov. Et stationært ikke-ligevægtssystem med en dissipativ struktur forbruger negativ entropi. Fremkomsten af dissipative strukturer er af tærskelkarakter. En selvorganiseret struktur opstår fra fluktuationer, og selvorganiseringens tærskelnatur er forbundet med overgangen fra en stabil tilstand til en anden.
I åbne systemer dannes dissipative strukturer, som er karakteriseret ved udveksling af stof og energi med det ydre miljø. Et stationært ikke-ligevægtssystem med en dissipativ struktur skal forbruge negativ entropi. I dette tilfælde er loven om stigende entropi ikke overtrådt. Derudover skaber strømme af energi og stof fluktuationer og strukturel orden i åbne systemer. Fremkomsten af dissipative strukturer er af tærskelkarakter. Den nye struktur er resultatet af ustabilitet og opstår som følge af udsving. I det subkritiske regime dør udsving som regel ud. Når tærsklen er overvundet, og det superkritiske regime er nået, intensiveres udsvingene, når det makroskopiske niveau og danner et nyt stabilt regime. Således er tærsklen af selvorganisering forbundet med overgangen af en stabil stationær tilstand til en anden. Selvorganisering i et system er forbundet med dannelsen af en struktur, der er mere kompleks end den oprindelige.
Studiet af generelle mønstre i selvorganiseringsprocesserne i systemer af forskellig karakter udføres af synergetik(fra græsk sinergeticxs- "fælles, koordineret handling") - en retning i videnskaben forbundet med studiet af mønstre for rumlig-temporal orden i forskellige typer systemer, samt brugen af de studerede mønstre inden for forskellige videnskabs- og teknologiområder.
Synergetik i dens udvikling er baseret på en ret bred vifte af fænomener med selvorganisering af systemer. De vigtigste videnskabelige kategorier af synergetik omfatter: dissipativ struktur, skiftende bølge eller løb foran en faseovergang, lokaliseret selvoscillator af pulser, efterklang, autobølger osv. Synergetik er karakteriseret ved brugen af forskningsresultater af nogle objekter i analysen af andre. Synergetik dækker ikke kun fysik, kemi, biologi, men også sociologi, lingvistik og samfundsvidenskab.
Dette koncept har et lidt andet aspekt. Dets grundlægger I. Prigogine bemærkede, at der er opstået en ny retning inden for teoretisk kemi og fysik, som er i begyndelsen af dens udvikling, hvor termodynamiske begreber vil spille en stor rolle. Den nye videnskabs opgave er at bevise, at uligevægt kan være årsagen til orden.
Indtil den seneste tid nøjedes den fysiske videnskab med ligevægtstermodynamik. Emnet for denne disciplin er energiomdannelsesprocesser, der forekommer i lukkede systemer, hvis tilstand er tæt på termodynamisk ligevægt. Men i sådanne systemer er der ikke plads til selvorganisering. Derfor er det nødvendigt at skabe en ny termodynamik, der er i stand til at afspejle diskontinuerlige processer.
For at et system ikke kun kan opretholde, men også skabe orden fra kaos, skal det bestemt være åbent og have en tilstrømning af energi og stof udefra. Det er de systemer, som Prigogine navngav dissipative. Hele verden tilgængelig for vores viden består af netop sådanne systemer, og i denne verden findes evolution, mangfoldighed af former og ustabilitet overalt.
Under det evolutionære udviklingsstadium når det dissipative system, på grund af udviklingens natur, en tilstand af stærk uligevægt og mister stabilitet. Dette sker ved kritiske værdier af kontrolparametrene, og den videre afhængighed af de igangværende processer af de handlende kræfter bliver ekstremt ulineær.
Løsningen på den nye krisesituation er den hurtige overgang af det dissipative system til en af de mulige stabile tilstande, kvalitativt forskellig fra den oprindelige. Prigogine fortolker en sådan overgang som en tilpasning af et dissipativt system til ydre forhold, hvilket sikrer dets overlevelse. Dette er selvorganiseringen af systemet.
Selvorganisering viser sig i form af en gigantisk kollektiv udsving, som intet har at gøre med fysikkens statistiske love. I en overgangstilstand opfører systemets elementer sig på en korreleret måde, selvom de før det var i kaotisk bevægelse.
Som et eksempel kan vi tage overgangsstadiet fra et homogent univers til et strukturelt. I begyndelsen af denne overgang var universet en blanding af tre stoffer, der næsten ikke interagerede med hinanden: leptoner, fotoner og baryonisk stof. Temperaturen (3000 K) og tætheden af stof på dette tidspunkt var allerede ret lav, og under disse forhold kunne ingen af de fire fundamentale interaktioner give processer til at øge kompleksiteten og rækkefølgen af stof. Udsigten var dannelsen af en "leptonørken", en analog af "varmedød". Men dette skete ikke; der var et spring i systemet til en kvalitativt ny tilstand: Strukturer af forskellige skalaer dukkede op i universet, som var i rent ikke-ligevægtstilstande. For at forklare denne proces bruges ideerne om selvorganisering af stof. Fra et formelt synspunkt kan universet betragtes som et dissipativt system, da det er åbent (hvis vi betragter vakuum som universets miljø); nonequilibrium (ligevægtssammensætningen af stof og antistof er forstyrret i den, den består af tre dele, der næsten ikke interagerer med hinanden, som hver har sin egen temperatur); stoffets temperatur og tæthed på dette stadie er kritisk, da ingen af de fysiske interaktioner sikrer universets videre udvikling. Alt dette førte til et spring, dannelsen af et strukturelt univers.
Overgangen af et dissipativt system fra en kritisk tilstand til en stabil tilstand er tvetydig. Komplekse ikke-ligevægtssystemer har evnen til at gå fra ustabile til en af flere diskrete stabile tilstande. Hvilken af dem, overgangen vil finde sted, er et spørgsmål om tilfældigheder. I et system i en kritisk tilstand udvikles stærke udsving, og under påvirkning af en af dem sker der et spring til en bestemt stabil tilstand. Da udsvingene er tilfældige, viser "valget" af den endelige tilstand sig at være tilfældigt. Men når først overgangen er gennemført, er der ingen tilbagevenden. Springet er engangs og irreversibelt. Den kritiske værdi af systemparametrene, ved hvilke en tvetydig overgang til en ny tilstand er mulig, kaldes bifurkationspunkt.
Opdagelsen af bifurkationsfænomenet introducerede ifølge Prigogine et element af den historiske tilgang til fysikken. Enhver beskrivelse af et system, der har gennemgået en bifurkation, kræver inddragelse af både probabilistiske begreber og klassisk determinisme. Ved at være mellem to bifurkationspunkter udvikler systemet sig naturligt, mens nær bifurkationspunkterne spiller fluktuationer en væsentlig rolle, som bestemmer, hvilken vej til videre udvikling der vælges.
Selvorganisering tvinger os således til at tage et nyt blik på forholdet mellem det tilfældige og det naturlige i udviklingen af systemer, i naturen som helhed. Der er to faser i udviklingen: jævn evolution, hvis forløb er ret naturligt og strengt bestemt, og hop ved bifurkationspunkter, som forekommer tilfældigt og derfor tilfældigt bestemmer det efterfølgende naturlige evolutionære stadium indtil næste hop på et nyt kritisk punkt.
Enhver person kan blive overbevist om, at bifurkationspunkter ikke er en abstraktion. Enhver person har stået over for situationer, hvor han stod over for valget af sin fremtidige livsvej, og en tilfældig kombination af omstændigheder bestemte denne vej. For eksempel planlagde en person at tage for at studere i en anden by, men brækkede benet og måtte blive hjemme. Således afgjorde hændelsen det efterfølgende stadium af livet. Lignende eksempler kan fortsættes, alle kan bringe dem fra deres eget liv.
Et vigtigt punkt i udviklingen af problemer med termodynamik uden ligevægt er dens relation til problemet med tidsirreversibilitet. Selvorganisering adlyder ikke statistiske love, men når den opstår, afsløres "tidens pil" tydeligt - springprocessen kan ikke vendes. Klassisk mekanik, baseret på dynamiske love, udelukker ikke muligheden for tidsvending. Så ved at ændre plustegnet foran tid og hastighed i ligningerne, der beskriver et legemes bevægelse, får vi en beskrivelse af bevægelsen af dette legeme langs den gennemkørte vej i den modsatte retning. Og selvom al vores erfaring overbeviser os om umuligheden af at skrue tiden tilbage, var en sådan mulighed ikke teoretisk udelukket. En anden ting er statistiske love, herunder termodynamikkens love. For systemer, der består af et meget stort antal partikler, følger ensrettede naturlige processer uundgåeligt.
Katastrofeteori beskæftiger sig også med problemer med selvorganisering. Katastrofer kaldet bratte ændringer, der opstår i form af en pludselig reaktion fra systemet på en jævn ændring i ydre forhold. Denne teori giver en universel metode til at studere alle pludselige overgange, diskontinuiteter og pludselige kvalitative ændringer.
I dag ser verdensbilledet sådan ud. Den verden, vi lever i, består af åbne systemer i flere skalaer, hvis udvikling forløber efter en enkelt algoritme. Denne algoritme er baseret på materiens iboende evne til selvorganisering, som manifesterer sig på kritiske punkter i systemet. Det største system, som mennesket kender, er det udviklende univers.
Seminar lektionsplan (2 timer)
1. Klassiske og moderne udviklingsbegreber i naturvidenskab.
2. Essensen af ideen om selvorganisering af materien.
3. Grundlæggende om synergetik og termodynamik uden ligevægt.
Emner i rapporter og abstracts
1. Betydningen af bogen af I. Prigogine og I. Stengers "Order from Chaos" for moderne videnskab.
2. Grundlæggende om teorien om katastrofer.
LITTERATUR
1. Arnold A.I. Katastrofe teori. M., 1990.
2. Prigozhy I., Stengers I. Orden ud af kaos. M., 1986.
3. Rovinsky R.E. Univers i udvikling. M., 1996.
4. Haken G. Synergetik. M., 1985.