Loven om fordelingen af minimum (maksimum) af to stokastiske variable. Lov om distribution af ordrestatistik
I dette afsnit vil vi først og fremmest overveje en sådan funktionel transformation c. c., som består i at vælge maksimum (minimum) af to værdier.
Opgave 1. Fordelingsloven for minimum af to stokastiske variable. Et kontinuerligt system er givet. V. (X og X 2) med p.r./(*!, x 2). Find fordelingsfunktionen af r.v. Y:
Løsning. Lad os først finde P ( Y> y) = P (Xi > y; x 2 > y). Område D(y), hvor x> y og x 2 > y vist i fig. 9.6.1. Sandsynlighed for at ramme et punkt (X[, X 2) til regionen D(y) er lig
Hvor F (x b x 2) - systemfordelingsfunktion c. V. (Хь Х 2), F x(jq), F 2 (x 2) - fordelingsfunktioner c. V. x Og x 2 henholdsvis. Derfor,
For at bestemme p.r. g (y) du skal finde den afledede af højre side (9.6.1):
Hvis med. V. X x, X 2 selvstændig og fordelt identisk med p.r. Fi(X) =/ 2 (x) =f(x), At
Eksempel 1. Vi betragter driften af en enhed bestående af to blokke Bi og B 2, hvis fælles drift er absolut nødvendig for driften af enheden. Blok B driftstider! og B2 repræsenterer uafhængige s. V. x Og X 2, fordelt efter eksponentielle love med parametre x Og X 2. Det er påkrævet at finde distributionsloven c. V. U- driftstid for den tekniske enhed.
Løsning. Det er indlysende
Ved hjælp af formler (9.6.4) finder vi:
dvs. mindst to uafhængige stokastiske variable, fordelt efter eksponentielle love med parametrene X x og X 2, også fordelt efter eksponentielle love med parameter X x + X 2. ?
Opgave 2. Lov om fordeling af minimum af P uafhængige stokastiske variable. I betragtning af systemet P selvstændige landsbyer V. (X x, X 2, ..., X p) med p.r .f (x x),f 2 (x 2), ...,fn (x n). Find f. R. og tæthed c. V. Y= min (X X,.... X p).
Løsning. A-priory
Eksempel 2. Vi betragter driften af et automatiseret system (AS), bestående af P delsystemer For at højttalerne skal fungere, skal alle arbejde P delsystemer; oppetid for /th undersystem 7} fordelt efter eksponentialloven med parameteren (/ = 1, 2, P) og afhænger ikke af andre delsystemers driftstid. Bestem loven om tidsfordeling D i) for fejlfri drift af AS.
Løsning. Det er indlysende
Ved hjælp af formlen (9.6.6) finder vi r.v.-fordelingsfunktionen. D l)
Fordelingsloven c. V. - minimum af P selvstændige landsbyer c., fordelt efter eksponentielle love, er også eksponentiel; mens dens parameter i)S n)) er lig med summen af parametrene for disse eksponentielle fordelinger. Den følger det
Det kan påvises, at fordelingsloven c. V. D i) når den er stor nok P vil konvergere til den eksponentielle lov, selvom s. V. 7) (/= 1, 2, ..., P) er ikke fordelt efter eksponentielle love. Lad os demonstrere dette ved at bruge eksemplet med ligeligt ensartet fordelte s. V.:
I dette tilfælde
og dette er f. R. demonstrativ lov.
Således kan vi drage en konklusion, der er meget brugt i tekniske applikationer: hvis en anordning består af et tilstrækkeligt stort antal elementer n, hvis betjening er absolut nødvendig for apparatets funktion, så er loven om tidsfordeling F p) for fejlfri drift af enheden tæt på eksponentiel med parameteren, bestemt af formlen
hvor M[ Tj- gennemsnitlig fejlfri driftstid for det i-te element.
Fejlstrømmen af en sådan enhed vil være tæt på Poisson med parameteren )Sn ?
Opgave 3. Fordelingsloven for maksimum af to stokastiske variable. Et kontinuerligt system er givet. V. (Хь X 2) med densitet/(lbs x 2). Det er påkrævet at finde r.v. distributionsloven.
Løsning. A-priory,
Hvor F(x x, x 2) - systemfordelingsfunktion (X og X 2).
Ved at differentiere dette udtryk, som vi gjorde før, får vi:
Hvis tilfældige variable X og X2 er altså ligeligt fordelt
Hvis tilfældige variable X x 2 er så uafhængige
Hvis tilfældige variable X x 2 uafhængig og ligeligt fordelt altså
Eksempel 3. Driften af en teknisk enhed kan ikke begynde, før samlingen af dens to blokke Bi og B2 er afsluttet. Samlingstiden for blokkene Bi og B 2 er et system af uafhængige s. V. X x Og X 2, fordelt efter eksponentielle love med parametre X x Og X 2. Y- tidspunkt for færdiggørelse af samling af begge tekniske specifikationsblokke.
Løsning. Det er indlysende Y= max (X ъ X 2). Fordelingstæthed c. V. ^bestemmes af formel (9.6.12)
Denne lov er ikke vejledende. ?
Opgave 4. Fordelingsloven af det maksimale af P uafhængige stokastiske variable. Et kontinuerligt system er givet. V. (X x, X 2 , ..., X p) med tæthed f(x x, x 2,
Find fordelingsloven for en stokastisk variabel
Løsning. A-priory
Hvor F(x 1, x 2 ,..., x p) - systemdistributionsfunktion (X x, X 2, ..., X p). Ved at differentiere finder vi fordelingstætheden:
Hvor Fj (Xj) - f. R. Med. V. Xjfj(xj) - dens tæthed.
Hvis med. V. x b ..., X p uafhængig og ligeligt fordelt (Fi(y) = F(y); f(y) =f(y) (/"= 1,P)), At
Hvis tilfældige variable X og ..., X p er så uafhængige
Eksempel 4. Arbejdet med teknisk udstyr kan ikke påbegyndes før samlingen af alle P dens blokke: B b Bg, ..., B„. Samlingstiderne for blokke B b..., B l repræsenterer et system P selvstændige landsbyer V. (Huh..., X p), fordelt efter eksponentielle love med parametre A.1,..., A, s.
Vi skal finde tætheden c. V. U- færdiggørelsestid for al montage P TU-blokke.
Løsning. Det er klart, at y = max (X,..., X p). Ifølge formel (9.6.16) har vi 
Opgave 5. Lov om fordeling af ordensstatistik. Lad os overveje et kontinuerligt system af identisk distribuerede, uafhængige s. V. (X v X 2, ..., X p) med f. R. F(x) og p.r./(x). Lad os arrangere de værdier, der antages af de tilfældige variable X v X 2, ..., X p, i stigende rækkefølge og angiv:
X (1) er en tilfældig variabel, der tager den mindste af værdier: (X (1) = min (X v X 2, ..., X p));
X(2) - næststørste accepterede værdi af de stokastiske variable X v X 2, ..., Xp;
x(T) - y-i ved størrelsen af den accepterede værdi fra stokastiske variable X x, X 2, ..., X p;
X(P) - den største stokastiske variabel i henhold til den accepterede værdi X, X 2, x„ (X (n) = Shah (X og X 2, ..., X p)).
Naturligvis,
Tilfældige variable X(i), X@),..., X(") hedder ordinær statistik.
Formlerne (9.6.8) og (9.6.17) giver lovene for distribution af ekstreme udtryk X(i), Og X(") systemer (*).
Lad os finde distributionsfunktionen F^ m)(x)s. V. X^t y Begivenhed (X^x) er det T Med. V. fra systemet P Med. V. (X ( , X 2 ,..., x n) vil være mindre end x og (p - t) Med. V. vil være større end x. Siden s. V. X t (/" = 1, 2,..., P) er uafhængige og identisk fordelt, så P (X t x) = F(x) R (Xj > x) = 1 - F(x). Vi skal finde sandsynligheden for, at i P uafhængige eksperimenter begivenhed (Xj x) vises nøjagtigt T enkelt gang. Ved at anvende binomialfordelingen får vi
Lav en distributionslov for antallet af defekte dele produceret under et skift på begge maskiner, og beregn den matematiske forventning og standardafvigelse for denne stokastiske variabel.
192. Sandsynligheden for at uret skal justeres yderligere er 0,2. Udarbejd en lov for fordeling af antallet af ure, der skal justeres yderligere på tre tilfældigt udvalgte ure. Brug den resulterende distributionslov, find den matematiske forventning og varians for denne stokastiske variabel. Tjek resultatet ved hjælp af de passende formler for den matematiske forventning og spredning af en tilfældig variabel fordelt i henhold til binomialloven.
193. Fra de seks tilgængelige lottokuponer, hvoraf fire er ikke-vindende, trækkes en kupon tilfældigt, indtil en vinderkupon er stødt på. Udarbejd en fordelingslov for den stokastiske variabel X - antallet af udtagne billetter, hvis hver udtaget billet ikke returneres. Find den matematiske forventning og standardafvigelse for denne tilfældige variabel.
194. En studerende kan højst gå til eksamen fire gange. Lav en fordelingslov for den stokastiske variabel X - antallet af forsøg på at bestå eksamen, hvis sandsynligheden for at bestå den er 0,75 og efterfølgende stiger med 0,1 for hvert efterfølgende forsøg. Find variansen af denne tilfældige variabel.
195. Fordelingslovene for to uafhængige stokastiske variable X og Y er givet:
| x | – 6 | Y | – 3 | – 1 | ||||
| P | 0,3 | 0,45 | 0,25 | 0,75 | 0,25 |
Lav en fordelingslov for den stokastiske variabel X–Y og tjek spredningsegenskaben D(X–Y) = D(X) + D(Y).
196. Blandt de fem ure af samme type, der findes på værkstedet, er der kun ét, der har et fejljusteret pendul. Mesteren kontrollerer et tilfældigt valgt ur. Gennemgangen slutter, så snart et ur med et forskudt pendul detekteres (de afkrydsede ure ses ikke igen). Udarbejd en fordelingslov for det antal timer, som mesteren har set, og beregn den matematiske forventning og spredning af denne stokastiske variabel.
197. Uafhængige stokastiske variable X og Y er specificeret ved fordelingslove:
| x | Y | – 2 | ||||||
| P | 0,1 | 0,3 | ? | 0,4 | 0,6 |
Tegn fordelingsloven for den stokastiske variabel X 2 + 2Y og tjek egenskaben for den matematiske forventning: M(X 2 + 2Y) = M(X 2) + 2M(Y).
198. Det er kendt, at en stokastisk variabel X, der tager to værdier x 1 = 1 og x 2 = 2, har en matematisk forventning lig med 7/6. Find de sandsynligheder, som den stokastiske variabel X tager sine værdier med. Lav en fordelingslov for en stokastisk variabel 2 X 2 og find dens varians.
199. To uafhængige stokastiske variable X og Y er specificeret af fordelingslovene:
Find P(X= 3) og P(Y= 4). Tegn fordelingsloven for den stokastiske variabel X – 2Y og kontroller egenskaberne for den matematiske forventning og spredning: M(X – 2Y) = M(X) – 2M(Y); D(X – 2Y) = D(X) + 4D(Y).
I opgave 201–210 angives stokastiske variable, der er fordelt efter normalloven
201. Den stokastiske variabel ξ er normalfordelt. Find P(0< ξ<10), если Мξ= 10 и Р(10< ξ<20)= 0,3.
202. Den stokastiske variabel ξ er normalfordelt. Find P(35< ξ<40), если Мξ= 25 и Р(10< ξ<15)= 0,2.
203. Den stokastiske variabel ξ er normalfordelt. Find P(1< ξ<3), если Мξ= 3 и Р(3< ξ<5)= 0,1915.
204. <σ).
205. For en stokastisk variabel ξ fordelt i henhold til normalloven, find Р(|ξ–а|<2σ).
206. For en stokastisk variabel ξ fordelt i henhold til normalloven, find Р(|ξ–а|<4σ).
207. Uafhængige stokastiske variable ξ og η er normalfordelte,
Мξ= –1; Dξ= 2; Мη= 5; Dη= 7. Nedskriv sandsynlighedstætheden og fordelingsfunktionen af deres sum. Find Р(ξ+η<5) и Р(–1< ξ+η<3).
208. Uafhængige stokastiske variable ξ, η, ζ er fordelt efter normalloven og Мξ= 3; Dξ= 4; Мη= –2; Dn = 0,04; Мζ= 1; Dζ = 0,09. Skriv sandsynlighedstætheden og fordelingsfunktionen ned for deres sum. Find Р(ξ+η+ζ<5) и Р(–1< ξ+η+ζ<3).
209. Uafhængige stokastiske variable ξ, η, ζ er normalfordelte og Мξ= –1; Dξ= 9; Мη= 2; Dn = 4; Мζ= –3; Dζ= 0,64. Skriv sandsynlighedstætheden og fordelingsfunktionen ned for deres sum. Find Р(ξ+η+ζ<0) и
Р(–3< ξ+η+ζ<0).
210. Den automatiske maskine producerer ruller, der kontrollerer deres diametre ξ. Forudsat at ξ er normalfordelt og a = 10 mm, σ = 0,1 mm, find det interval, hvori diametrene på de fremstillede valser vil være indeholdt med en sandsynlighed på 0,9973.
I opgave 211-220 er en prøve X med volumen n = 100 givet af tabellen:
| x i | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 |
| n i | 20+(a+b) | 30–(a+b) |
hvor måleresultaterne x i = 0,2·a +(i –1)·0,3·b; n i – frekvenser, med hvilke værdier x i forekommer.
1) konstruere en polygon med relative frekvenser w i =n i /n;
2) beregn prøvegennemsnittet, prøvevarians D B og standardafvigelse σ B;
3) beregne teoretiske frekvenser. Konstruer en graf på samme tegning som polygonen;
4) test hypotesen om normalfordelingen af populationen ved hjælp af χ 2-kriteriet ved et signifikansniveau på α = 0,05.
211. a = 4; b = 3; 212 . a = 3; b = 2; 213. a = 5; b = 1; 214. a = 1; b = 4;
215. a = 3; b = 5; 216. a=2; b = 3; 217. a = 4; b = 1; 218. a = 2; b = 5; 219. a = 1; b = 2; 220. a = 5; b = 4.
I opgave 221-230 er en todimensionel prøve af resultater af fælles målinger af karakteristika X og Y med et volumen på n = 100 specificeret af en korrelationstabel:
| X Y | y 1 | y 2 | y 3 | y 4 | y 5 | n xi |
| x 1 | – | – | – | |||
| x 2 | – | – | ||||
| x 3 | – | 8+a | 12+b | – | – | 20+(a+b) |
| x 4 | – | – | 16-a | 14–b | – | 30–(a+b) |
| x 5 | – | – | – | |||
| x 6 | – | – | ||||
| x 7 | – | – | – | |||
| n yi | 19+a | 42+b–a | 31–b | n = 100 |
hvor xi = 0,2·a +(i-1)·0,3·b; yi = 0,5·a +(j – 1)·0,2·b.
1) Find og σ y. Tag værdierne af og σ x fra den forrige opgave.
2) Beregn korrelationskoefficienten r B . Træk en konklusion om karakteren af forholdet mellem karakteristika X og Y.
3) Konstruer ligningen for en ret regressionslinje for Y på X i formen.
4) Tegn korrelationsfeltet på grafen, dvs. plot punkterne (xi, yi) og konstruer en ret linje.
221. a = 4; b = 3; 222. a = 3; b = 2; 223. a = 5; b = 1;
224. a = 1; b = 4; 225. a = 3; b = 5; 226. a = 2; b = 3;
227. a = 4; b = 1; 228. a = 2; b = 5; 229. a = 1; b = 2
230. a = 5; b = 4
I opgave 231–240 skal du finde den maksimale værdi af funktionen 
under forhold 
.
Tag værdierne fra tabellen
| Muligheder | Muligheder | |||||||||
| A 1 | ||||||||||
| A 2 | ||||||||||
| A 3 | ||||||||||
| B 1 | ||||||||||
| B 2 | ||||||||||
| B 3 | ||||||||||
| T 1 | ||||||||||
| T 2 | ||||||||||
| T 3 | ||||||||||
| C 1 | ||||||||||
| C 2 |
påkrævet:
1) løse et lineært programmeringsproblem ved hjælp af en grafisk metode;
2) løs problemet ved hjælp af tabelular simplex-metoden;
3) vis overensstemmelsen mellem støtteløsningerne og hjørnerne i regionen med mulige løsninger;
I opgave 241-250 skal noget homogen gods koncentreret blandt tre leverandører A i () leveres til fem forbrugere B j (). Lastopgørelser fra leverandører a i og forbrugerbehov b j, samt omkostningerne ved at transportere en lastenhed fra den i-te leverandør til den j-te forbruger C ij er angivet i tabellen.
| Leverandører | Forbrugere | Reserver | ||||
| B 1 | B 2 | B 3 | B 4 | B 5 | ||
| A 1 | Fra 11 | Fra 12 | Fra 13 | Fra 14 | Fra 15 | en 1 |
| A 2 | Fra 21 | Fra 22 | Fra 23 | Fra 24 | Fra 25 | en 2 |
| A 3 | C 31 | C 32 | C 33 | C 34 | Fra 35 | en 3 |
| Behov | b 1 | b 2 | b 3 | b 4 | b 5 |
Skal bestemme en optimal transportplan, der gør det muligt at fjerne al gods fra leverandører og tilfredsstiller alle forbrugeres behov på en sådan måde, at denne plan har en minimumsomkostning. Find den første støtteplan ved hjælp af "nordvest"-vinkelmetoden. Find den optimale plan ved hjælp af den potentielle metode. Beregn forsendelsesomkostningerne for hver plan.
| Muligheder | Muligheder | |||||||||
| en 1 | ||||||||||
| en 2 | ||||||||||
| en 3 | ||||||||||
| b 1 | ||||||||||
| b 2 | ||||||||||
| b 3 | ||||||||||
| b 4 | ||||||||||
| b 5 | ||||||||||
| Fra 11 | ||||||||||
| Fra 12 | ||||||||||
| Fra 13 | ||||||||||
| Fra 14 | ||||||||||
| Fra 15 | ||||||||||
| Fra 21 | ||||||||||
| Fra 22 | ||||||||||
| Fra 23 | ||||||||||
| Fra 24 | ||||||||||
| Fra 25 | ||||||||||
| C 31 | ||||||||||
| C 32 | ||||||||||
| C 33 | ||||||||||
| C 34 | ||||||||||
| Fra 35 |
I opgave 251-260 foretager branchen anlægsinvesteringer i fire objekter. Under hensyntagen til bidragets egenskaber og lokale forhold udtrykkes industriens overskud, afhængigt af finansieringsbeløbet, af elementerne i betalingsmatricen. For at forenkle problemet skal du antage, at industriens tab er lig med industriens fortjeneste. Find optimale industristrategier. Påkrævet:
1) opsummer de indledende data i en tabel og find en løsning på matrixspillet i rene strategier, hvis det findes (ellers se næste trin 2);
2) forenkle betalingsmatricen;
3) skabe et par gensidigt dobbelte problemer svarende til det givne matrixspil;
4) finde den optimale løsning på det direkte problem (for industri B) ved hjælp af simplex-metoden;
5) ved hjælp af korrespondancen af variabler, skriv den optimale løsning på det dobbelte problem (for industri A);
6) giv en geometrisk fortolkning af denne løsning (for industri A);
7) ved at bruge forholdet mellem optimale løsninger på et par dobbelte problemer, optimale strategier og omkostningerne ved spillet, finde en løsning på spillet i blandede strategier;
mulighed 1 mulighed 2 mulighed 3
1. Analytisk geometri og vektoralgebra……………….. 4
2. Systemer af lineære ligninger og komplekse tal………….. 5
3. Plot funktionsgrafer, beregning af grænser
og identificere brudpunkter for funktioner.………………….…………………. 6
4. Afledte funktioner, største og mindste værdier
på segmentet………………………………………………………………….… 9
5. Forskning af funktioner og konstruktion af grafer,
funktioner af flere variable, mindste kvadraters metode... 11
6. Ubestemt, bestemt og upassende integral... 12
7. Løsning af differentialligninger og systemer
differentialligninger………………….……….…….….…… 14
8. Multiple og kurvelineære integraler ………………………………… 15
9. Undersøgelse af numeriske og potensrækker, tilnærmet
løsninger til differentialligninger……………………………… 17
10. Sandsynlighedsteori……………….………………………………………… 18
Petr Alekseevich Burov
Anatoly Nikolaevich Muravyov
Samling af opgaver
©2015-2019 websted
Alle rettigheder tilhører deres forfattere. Dette websted gør ikke krav på forfatterskab, men giver gratis brug.
Sidens oprettelsesdato: 2017-12-07
To stokastiske variable $X$ og $Y$ kaldes uafhængige, hvis fordelingsloven for en stokastisk variabel ikke ændrer sig afhængigt af, hvilke mulige værdier den anden stokastiske variabel tager. Det vil sige, at for enhver $x$ og $y$ er begivenhederne $X=x$ og $Y=y$ uafhængige. Da hændelserne $X=x$ og $Y=y$ er uafhængige, så ved sætningen af produktet af sandsynligheder for uafhængige hændelser $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ højre)\højre)=P \venstre(X=x\højre)P\venstre(Y=y\højre)$.
Eksempel 1 . Lad den tilfældige variabel $X$ udtrykke kontantgevinsterne fra lodder fra et lotteri "Russian Lotto", og den stokastiske variabel $Y$ udtrykke kontantgevinsterne fra lodder fra et andet lotteri "Golden Key". Det er indlysende, at de tilfældige variable $X,\Y$ vil være uafhængige, da gevinsterne fra lodder i et lotteri ikke afhænger af loven om fordelingen af gevinster fra lodder fra et andet lotteri. I det tilfælde, hvor de tilfældige variable $X,\Y$ ville udtrykke gevinsterne fra det samme lotteri, så ville disse tilfældige variable naturligvis være afhængige.
Eksempel 2 . To arbejdere arbejder på forskellige værksteder og producerer forskellige produkter, som ikke er relaterede til hinanden af fremstillingsteknologier og de anvendte råmaterialer. Distributionsloven for antallet af defekte produkter fremstillet af den første arbejder pr. skift har følgende form:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Antal \ defekte \ produkter \ x & 0 & 1 \\
\hline
Sandsynlighed & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end(matrix)$
Antallet af defekte produkter produceret af den anden arbejder pr. skift overholder følgende distributionslov.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Antal \ defekte \ produkter \ y & 0 & 1 \\
\hline
Sandsynlighed & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\end(matrix)$
Lad os finde distributionsloven for antallet af defekte produkter produceret af to arbejdere pr. skift.
Lad den stokastiske variabel $X$ være antallet af defekte produkter produceret af den første arbejder pr. skift, og $Y$ antallet af defekte produkter produceret af den anden arbejder pr. skift. Ved betingelse er de stokastiske variable $X,\Y$ uafhængige.
Antallet af defekte produkter produceret af to arbejdere pr. skift er en tilfældig variabel $X+Y$. Dens mulige værdier er $0,\1$ og $2$. Lad os finde de sandsynligheder, som den stokastiske variabel $X+Y$ tager sine værdier med.
$P\venstre(X+Y=0\højre)=P\venstre(X=0,\ Y=0\højre)=P\venstre(X=0\højre)P\venstre(Y=0\højre) =0,8\cdot 0,7=0,56.$
$P\venstre(X+Y=1\højre)=P\venstre(X=0,\Y=1\ eller\ X=1,\Y=0\højre)=P\venstre(X=0\højre )P\venstre(Y=1\højre)+P\venstre(X=1\højre)P\venstre(Y=0\højre)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7 =0,38.$
$P\venstre(X+Y=2\højre)=P\venstre(X=1,\ Y=1\højre)=P\venstre(X=1\højre)P\venstre(Y=1\højre) =0.2\cdot 0.3=0.06.$
Derefter loven om distribution af antallet af defekte produkter fremstillet af to arbejdere pr. skift:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Antal \ defekte \ produkter & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Sandsynlighed & 0,56 & 0,38 & 0,06\\
\hline
\end(matrix)$
I det foregående eksempel udførte vi en operation på tilfældige variable $X,\Y$, nemlig at vi fandt deres sum $X+Y$. Lad os nu give en mere stringent definition af operationer (addition, forskel, multiplikation) over tilfældige variable og give eksempler på løsninger.
Definition 1. Produktet $kX$ af en tilfældig variabel $X$ med en konstant variabel $k$ er en tilfældig variabel, der tager værdier $kx_i$ med samme sandsynlighed $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \dots ,\ n\ højre)$.
Definition 2. Summen (forskel eller produkt) af tilfældige variable $X$ og $Y$ er en tilfældig variabel, der tager alle mulige værdier af formen $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ eller $x_i\cdot y_i$) , hvor $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, med sandsynligheder $p_(ij)$ for, at den tilfældige variabel $X$ vil tage værdien $x_i$, og $Y$ værdien $y_j$:
$$p_(ij)=P\venstre[\venstre(X=x_i\højre)\venstre(Y=y_j\højre)\højre].$$
Da de stokastiske variable $X,\Y$ er uafhængige, så ifølge sandsynlighedsmultiplikationssætningen for uafhængige hændelser: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ højre)= p_i\cdot p_j$.
Eksempel 3 . Uafhængige stokastiske variable $X,\ Y$ er specificeret af deres sandsynlighedsfordelingslove.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(matrix)$
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(matrix)$
Lad os formulere fordelingsloven for den stokastiske variabel $Z=2X+Y$. Summen af tilfældige variable $X$ og $Y$, det vil sige $X+Y$, er en tilfældig variabel, der tager alle mulige værdier af formen $x_i+y_j$, hvor $i=1,\ 2 ,\dots ,\ n$ , med sandsynligheder $p_(ij)$ for at den stokastiske variabel $X$ vil tage værdien $x_i$, og $Y$ værdien $y_j$: $p_(ij)=P\venstre [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. Da de stokastiske variable $X,\Y$ er uafhængige, så ifølge sandsynlighedsmultiplikationssætningen for uafhængige hændelser: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ højre)= p_i\cdot p_j$.
Så det har distributionslove for de tilfældige variabler $2X$ og $Y$, henholdsvis.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(matrix)$
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(matrix)$
For at gøre det nemmere at finde alle værdier af summen $Z=2X+Y$ og deres sandsynligheder, vil vi sammensætte en hjælpetabel, i hver celle, hvoraf vi i venstre hjørne placerer værdierne af summen $ Z=2X+Y$, og i højre hjørne - sandsynligheden for disse værdier opnået som et resultat ved at multiplicere sandsynligheden for de tilsvarende værdier af tilfældige variabler $2X$ og $Y$.
Som et resultat opnår vi fordelingen $Z=2X+Y$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\end(matrix)$