2. Grundlæggende om sandsynlighedsteori
Forventet værdi
Overvej en tilfældig variabel med numeriske værdier. Det er ofte nyttigt at knytte et tal til denne funktion - dets "middelværdi" eller, som man siger, "gennemsnitsværdi", "indeks for central tendens". Af en række årsager, hvoraf nogle vil blive tydelige senere, bruges den matematiske forventning normalt som "gennemsnitsværdien".
Definition 3. Matematisk forventning til en stokastisk variabel x opkaldte nummer
de der. den matematiske forventning af en tilfældig variabel er en vægtet sum af værdierne af en tilfældig variabel med vægte lig med sandsynligheden for de tilsvarende elementære begivenheder.
Eksempel 6. Lad os beregne den matematiske forventning til det tal, der vises på terningens øverste side. Det følger direkte af definition 3, at
Udsagn 2. Lad den tilfældige variabel x tager værdier x 1, x 2,..., xm. Så er ligestillingen sand
(5)
de der. Den matematiske forventning til en stokastisk variabel er en vægtet sum af værdierne af den stokastiske variabel med vægte svarende til sandsynligheden for, at den stokastiske variabel tager bestemte værdier.
I modsætning til (4), hvor summeringen udføres direkte over elementære hændelser, kan en tilfældig hændelse bestå af flere elementære hændelser.
Nogle gange tages relation (5) som definitionen af matematisk forventning. Men ved at bruge definition 3, som vist nedenfor, er det lettere at etablere egenskaberne af den matematiske forventning, der er nødvendig for at konstruere sandsynlighedsmodeller for virkelige fænomener end at bruge relation (5).
For at bevise relation (5) grupperer vi i (4) led med identiske værdier af den tilfældige variabel:
Da den konstante faktor kan tages ud af summens fortegn, så
Ved at bestemme sandsynligheden for en begivenhed
Ved at bruge de to sidste relationer får vi de nødvendige:
Begrebet matematisk forventning i probabilistisk-statistisk teori svarer til begrebet tyngdepunkt i mekanikken. Lad os sætte det i punkter x 1, x 2,..., xm på massetalaksen P(x= x 1 ), P(x= x 2 ),…, P(x= x m) henholdsvis. Så viser lighed (5), at tyngdepunktet for dette system af materielle punkter falder sammen med den matematiske forventning, som viser naturligheden af definition 3.
Udsagn 3. Lade x- tilfældig værdi, M(X)- dens matematiske forventning, EN– et vist antal. Derefter
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(x- -en) 2 ]= M[(x- M(x)) 2 ]+(-en- M(x)) 2 .
For at bevise dette, lad os først overveje en stokastisk variabel, der er konstant, dvs. funktionen kortlægger rummet af elementære begivenheder til et enkelt punkt EN. Da den konstante multiplikator kan tages ud over summens fortegn, så
Hvis hvert medlem af en sum er opdelt i to led, så deles hele summen i to summer, hvoraf det første består af det første led, og det andet udgøres af det andet. Derfor er den matematiske forventning om summen af to stokastiske variable X+Y, defineret på det samme rum af elementære begivenheder, er lig med summen af matematiske forventninger M(X) Og M(U) disse tilfældige variable:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Og derfor M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Som vist ovenfor, M(M(X)) = M(X). Derfor, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Fordi (X - a) 2 = ((x – M(x)) + (M(x) - -en)} 2 = (x - M(x)) 2 + 2(x - M(x))(M(x) - -en) + (M(x) – -en) 2 , At M[(X - a)2] =M(x - M(x)) 2 + M{2(x - M(x))(M(x) - -en)} + M[(M(x) – -en) 2 ]. Lad os forenkle den sidste ligestilling. Som vist i begyndelsen af beviset for påstand 3, er den matematiske forventning til en konstant konstanten selv, og derfor M[(M(x) – -en) 2 ] = (M(x) – -en) 2 . Da den konstante multiplikator kan tages ud over summens fortegn, så M{2(x - M(x))(M(x) - -en)} = 2(M(x) - -en)M(x - M(x)). Den højre side af den sidste lighed er 0, fordi, som vist ovenfor, M(X-M(X))=0. Derfor, M[(x- -en) 2 ]= M[(x- M(x)) 2 ]+(-en- M(x)) 2 , hvilket var det, der skulle bevises.
Af ovenstående følger det M[(x- -en) 2 ] når et minimum EN, lige M[(x- M(x)) 2 ], på a = M(X), da det andet led i lighed 3) altid er ikke-negativt og kun er lig med 0 for den angivne værdi EN.
Udsagn 4. Lad den tilfældige variabel x tager værdier x 1, x 2,..., xm, og f er en funktion af det numeriske argument. Derefter
For at bevise dette, lad os gruppere på højre side af lighed (4), som definerer den matematiske forventning, termer med de samme værdier:
Ved at bruge det faktum, at konstantfaktoren kan tages ud af summens fortegn, og definitionen af sandsynligheden for en tilfældig hændelse (2), får vi
Q.E.D.
Udsagn 5. Lade x Og U– tilfældige variable defineret på det samme rum af elementære begivenheder, EN Og b- nogle tal. Derefter M(økse+ ved)= er(x)+ bM(Y).
Ved at bruge definitionen af den matematiske forventning og summationssymbolets egenskaber får vi en kæde af ligheder:
Det nødvendige er bevist.
Ovenstående viser, hvordan den matematiske forventning afhænger af overgangen til et andet referencepunkt og til en anden måleenhed (overgang Y=økse+b), såvel som til funktioner af stokastiske variable. De opnåede resultater bruges konstant i tekniske og økonomiske analyser, til vurdering af en virksomheds finansielle og økonomiske aktiviteter, under overgangen fra en valuta til en anden i udenlandske økonomiske beregninger, i regulatorisk og teknisk dokumentation osv. De undersøgte resultater gør det muligt at brug af de samme beregningsformler for forskellige parametre skala og skifte.
| Tidligere |
Sandsynlighedsteori er en særlig gren af matematik, der kun studeres af studerende fra højere uddannelsesinstitutioner. Kan du lide beregninger og formler? Er du ikke bange for udsigterne til at stifte bekendtskab med normalfordelingen, ensembleentropi, matematisk forventning og spredning af en diskret stokastisk variabel? Så vil dette emne være meget interessant for dig. Lad os stifte bekendtskab med flere af de vigtigste grundbegreber i denne videnskabsgren.
Lad os huske det grundlæggende
Selvom du husker de enkleste begreber af sandsynlighedsteori, så forsøm ikke artiklens første afsnit. Pointen er, at uden en klar forståelse af det grundlæggende, vil du ikke være i stand til at arbejde med formlerne diskuteret nedenfor.
Så der opstår en tilfældig begivenhed, et eller andet eksperimenter. Som et resultat af de handlinger, vi foretager, kan vi få flere udfald – nogle af dem forekommer oftere, andre sjældnere. Sandsynligheden for en hændelse er forholdet mellem antallet af faktisk opnåede udfald af én type og det samlede antal mulige. Kun ved at kende den klassiske definition af dette begreb kan du begynde at studere den matematiske forventning og spredning af kontinuerlige tilfældige variabler.
Gennemsnit
Tilbage i skolen, under matematiktimerne, begyndte du at arbejde med det aritmetiske gennemsnit. Dette koncept er meget udbredt i sandsynlighedsteori, og kan derfor ikke ignoreres. Det vigtigste for os i øjeblikket er, at vi vil støde på det i formlerne for den matematiske forventning og spredning af en tilfældig variabel.
Vi har en talfølge og ønsker at finde det aritmetiske middelværdi. Det eneste, der kræves af os, er at opsummere alt tilgængeligt og dividere med antallet af elementer i rækkefølgen. Lad os have tal fra 1 til 9. Summen af elementerne vil være lig med 45, og vi deler denne værdi med 9. Svar: - 5.
Spredning
I videnskabelige termer er spredning det gennemsnitlige kvadrat af afvigelser af de opnåede værdier af en karakteristik fra det aritmetiske gennemsnit. Det er angivet med et stort latinsk bogstav D. Hvad skal der til for at beregne det? For hvert element i sekvensen beregner vi forskellen mellem det eksisterende tal og det aritmetiske middelværdi og kvadrerer det. Der vil være præcis lige så mange værdier, som der kan være resultater for den begivenhed, vi overvejer. Dernæst opsummerer vi alt modtaget og dividerer med antallet af elementer i sekvensen. Hvis vi har fem mulige udfald, så divider med fem.
Dispersion har også egenskaber, som skal huskes for at kunne bruges, når man løser problemer. For eksempel, når en tilfældig variabel øges med X gange, øges variansen med X i anden kvadrat (dvs. X*X). Det er aldrig mindre end nul og afhænger ikke af at flytte værdier op eller ned med lige store mængder. Derudover, for uafhængige forsøg, er variansen af summen lig med summen af varianserne.
Nu skal vi bestemt overveje eksempler på variansen af en diskret tilfældig variabel og den matematiske forventning.
Lad os sige, at vi kørte 21 eksperimenter og fik 7 forskellige resultater. Vi observerede hver af dem henholdsvis 1, 2, 2, 3, 4, 4 og 5 gange. Hvad vil variansen være lig med?
Lad os først udregne det aritmetiske middelværdi: summen af elementerne er selvfølgelig 21. Divider det med 7 og få 3. Træk nu 3 fra hvert tal i den oprindelige rækkefølge, kvadrerer hver værdi, og læg resultaterne sammen. Resultatet er 12. Nu skal vi bare dividere tallet med antallet af elementer, og det ser ud til, at det er alt. Men der er en fangst! Lad os diskutere det.
Afhængighed af antallet af eksperimenter
Det viser sig, at når man beregner varians, kan nævneren indeholde et af to tal: enten N eller N-1. Her er N antallet af udførte eksperimenter eller antallet af elementer i sekvensen (hvilket i det væsentlige er det samme). Hvad afhænger dette af?
Hvis antallet af test måles i hundreder, så skal vi sætte N i nævneren, hvis i enheder, så N-1. Forskere besluttede at tegne grænsen ret symbolsk: i dag passerer den gennem tallet 30. Hvis vi udførte mindre end 30 eksperimenter, vil vi dividere mængden med N-1, og hvis mere, så med N.
Opgave
Lad os vende tilbage til vores eksempel på løsning af problemet med varians og matematisk forventning. Vi fik et mellemtal 12, som skulle divideres med N eller N-1. Da vi udførte 21 eksperimenter, hvilket er mindre end 30, vil vi vælge den anden mulighed. Så svaret er: variansen er 12/2 = 2.
Forventet værdi
Lad os gå videre til det andet koncept, som vi skal overveje i denne artikel. Den matematiske forventning er resultatet af at lægge alle mulige udfald ganget med de tilsvarende sandsynligheder. Det er vigtigt at forstå, at den opnåede værdi, såvel som resultatet af beregningen af variansen, kun opnås én gang for hele problemet, uanset hvor mange udfald der betragtes i det.
Formlen for matematisk forventning er ret enkel: vi tager resultatet, multiplicerer det med dets sandsynlighed, tilføjer det samme for det andet, tredje resultat osv. Alt relateret til dette koncept er ikke svært at beregne. For eksempel er summen af de forventede værdier lig med den forventede værdi af summen. Det samme gælder for arbejdet. Ikke enhver størrelse i sandsynlighedsteori giver dig mulighed for at udføre så simple operationer. Lad os tage problemet og beregne betydningen af to begreber, vi har studeret på én gang. Desuden blev vi distraheret af teori - det er tid til at øve.
Endnu et eksempel
Vi kørte 50 forsøg og fik 10 typer udfald - tal fra 0 til 9 - der vises i forskellige procenter. Disse er henholdsvis: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Husk på, at for at opnå sandsynligheder skal du dividere procentværdierne med 100. Således får vi 0,02; 0,1 osv. Lad os præsentere et eksempel på løsning af problemet for variansen af en tilfældig variabel og den matematiske forventning.
Vi beregner det aritmetiske middelværdi ved at bruge formlen, som vi husker fra folkeskolen: 50/10 = 5.
Lad os nu konvertere sandsynligheden til antallet af udfald "i stykker" for at gøre det nemmere at tælle. Vi får 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 og 9. Fra hver opnået værdi trækker vi det aritmetiske middelværdi, hvorefter vi kvadrerer hvert af de opnåede resultater. Se hvordan du gør dette ved at bruge det første element som eksempel: 1 - 5 = (-4). Næste: (-4) * (-4) = 16. For andre værdier skal du udføre disse handlinger selv. Hvis du gjorde alt korrekt, vil du få 90 efter at have lagt dem alle sammen.
Lad os fortsætte med at beregne variansen og forventet værdi ved at dividere 90 med N. Hvorfor vælger vi N frem for N-1? Korrekt, fordi antallet af udførte eksperimenter overstiger 30. Altså: 90/10 = 9. Vi fik variansen. Hvis du får et andet nummer, så fortvivl ikke. Mest sandsynligt har du lavet en simpel fejl i beregningerne. Dobbelttjek, hvad du skrev, og alt skal nok falde på plads.
Husk endelig formlen for matematisk forventning. Vi giver ikke alle beregningerne, vi skriver kun et svar, som du kan tjekke med efter at have gennemført alle de nødvendige procedurer. Den forventede værdi vil være 5,48. Lad os kun huske, hvordan man udfører operationer, ved at bruge de første elementer som et eksempel: 0*0,02 + 1*0,1... og så videre. Som du kan se, multiplicerer vi blot udfaldsværdien med dens sandsynlighed.
Afvigelse
Et andet begreb, der er tæt forbundet med spredning og matematisk forventning, er standardafvigelse. Det er enten angivet med de latinske bogstaver sd eller med det græske små bogstav "sigma". Dette koncept viser, hvor meget værdierne i gennemsnit afviger fra den centrale funktion. For at finde dens værdi skal du beregne kvadratroden af variansen.
Hvis du plotter en normalfordelingsgraf og ønsker at se den kvadrerede afvigelse direkte på den, kan dette gøres i flere trin. Tag halvdelen af billedet til venstre eller højre for tilstanden (central værdi), tegn en vinkelret på den vandrette akse, så områderne af de resulterende figurer er ens. Størrelsen af segmentet mellem midten af fordelingen og den resulterende projektion på den vandrette akse vil repræsentere standardafvigelsen.
Software
Som det fremgår af beskrivelserne af formlerne og de præsenterede eksempler, er beregning af varians og matematisk forventning ikke den enkleste fremgangsmåde ud fra et aritmetisk synspunkt. For ikke at spilde tid giver det mening at bruge programmet, der bruges i højere uddannelsesinstitutioner - det kaldes "R". Det har funktioner, der giver dig mulighed for at beregne værdier for mange begreber fra statistik og sandsynlighedsteori.
For eksempel angiver du en vektor af værdier. Dette gøres som følger: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Endelig
Spredning og matematisk forventning er uden hvilke det er svært at beregne noget i fremtiden. I hovedforløbet af forelæsninger på universiteter diskuteres de allerede i de første måneder af studiet af emnet. Det er netop på grund af den manglende forståelse for disse simple begreber og manglende evne til at beregne dem, at mange elever straks begynder at komme bagud i uddannelsen og senere får dårlige karakterer i slutningen af sessionen, hvilket fratager dem legater.
Øv dig i mindst en uge, en halv time om dagen, og løs opgaver svarende til dem, der er præsenteret i denne artikel. Så vil du på enhver test i sandsynlighedsteori være i stand til at klare eksemplerne uden uvedkommende tips og snydeark.
Den mest komplette egenskab ved en stokastisk variabel er dens fordelingslov. Det er dog ikke altid kendt, og i disse tilfælde må man nøjes med mindre information. Sådan information kan omfatte: ændringsintervallet for en tilfældig variabel, dens største (mindste) værdi, nogle andre karakteristika, der beskriver den tilfældige variabel på en eller anden måde. Alle disse mængder kaldes numeriske karakteristika tilfældig variabel. Normalt er disse nogle ikke tilfældigt tal, der på en eller anden måde karakteriserer en tilfældig variabel. Hovedformålet med numeriske karakteristika er at udtrykke de mest betydningsfulde træk ved en bestemt fordeling i en kortfattet form.
Den enkleste numeriske karakteristik af en stokastisk variabel x kaldte hende forventet værdi:
M(X)=x 1 p 1 + x 2 p 2 +…+x n p n. (1.3.1)
Her x 1, x 2, …, x n– mulige værdier af den tilfældige variabel x, A p 1, s 2, …, р n– deres sandsynligheder.
Eksempel 1. Find den matematiske forventning til en stokastisk variabel, hvis dens fordelingslov er kendt:
Løsning. M(X)=2×0,3+3×0,1+5×0,6=3,9.
Eksempel 2. Find den matematiske forventning til antallet af forekomster af en begivenhed EN i et forsøg, hvis sandsynligheden for denne hændelse er lige stor R.
Løsning. Hvis x– antallet af hændelser EN i en test, så åbenbart distributionsloven x har formen:
Derefter M(X)=0×(1–р)+1×р=р.
Altså: den matematiske forventning om antallet af forekomster af en begivenhed i et forsøg er lig med dens sandsynlighed.
Probabilistisk betydning af matematisk forventning
Lad det produceres n test, hvor den stokastiske variabel x accepteret m 1 gange værdi x 1, m 2 gange værdi x 2, …, m k gange værdi x k. Derefter summen af alle værdier i n test er lig med:
x 1 m 1 +x 2 m 2 +...+x k m k.
Lad os finde det aritmetiske middelværdi af alle værdier taget af den tilfældige variabel:
Værdier – relative frekvenser for forekomst af værdier x i (i=1, …, k). Hvis n stor nok (n®¥), så er disse frekvenser omtrent lig med sandsynligheden:. Men derefter
=x1p1+x2p2+…+xkpk=M(X).
Således er den matematiske forventning omtrent lig (jo mere nøjagtigt, jo større antal tests) med det aritmetiske gennemsnit af de observerede værdier af den stokastiske variabel. Dette er den probabilistiske betydning af matematisk forventning.
Egenskaber for matematisk forventning
1. Den matematiske forventning til en konstant er lig med konstanten selv.
M(C)=C×1=C.
2. Konstantfaktoren kan tages ud af det matematiske forventningstegnet
M(CX)=C×M(X).
Bevis. Lad distributionsloven x givet af tabellen:
Derefter den tilfældige variabel CX tager værdier Cx 1, Cx 2, …, Сх n med samme sandsynlighed, dvs. distributionsloven CX har formen:
M(СХ)=Сх 1 ×р 1 +Сх 2 ×р 2 +…+Сх n ×p n =
=C(x1p1+x2p2+…+xnpn)=CM(X).
3. Den matematiske forventning af produktet af to uafhængige stokastiske variable er lig med produktet af deres matematiske forventninger:
M(XY)=M(X)×M(Y).
Denne erklæring er givet uden bevis (beviset er baseret på definitionen af matematisk forventning).
Følge. Den matematiske forventning til produktet af flere indbyrdes uafhængige stokastiske variable er lig med produktet af deres matematiske forventninger.
Især for tre uafhængige stokastiske variable
M(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).
Eksempel. Find den matematiske forventning til produktet af det antal point, der kan vises, når du kaster to terninger.
Løsning. Lade X i– antal point pr jeg knogler. Det kan være tal 1 , 2 , …, 6 med sandsynligheder. Derefter
M(X i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .
Lade X=X 1 × X 2. Derefter
M(X)=M(X1)xM(X2)= =12,25.
4. Den matematiske forventning af summen af to stokastiske variable (uafhængige eller afhængige) er lig med summen af de matematiske forventninger til vilkårene:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Denne egenskab er generaliseret til tilfældet med et vilkårligt antal udtryk.
Eksempel. Der affyres 3 skud med sandsynlighed for at ramme målet lig p1 = 0,4, p2 = 0,3 Og p3 = 0,6. Find den matematiske forventning til det samlede antal hits.
Løsning. Lade X i– antal hits ved jeg-th skud. Derefter
М(Х i)=1×pi +0×(1–pi)=pi.
Dermed,
M(X 1 + X 2 + X 3)= =0,4+0,3+0,6=1,3.
Karakteristika for DSV'er og deres egenskaber. Forventning, varians, standardafvigelse
Fordelingsloven karakteriserer den stokastiske variabel fuldt ud. Men når det er umuligt at finde distributionsloven, eller dette ikke er påkrævet, kan du begrænse dig til at finde værdier kaldet numeriske karakteristika for en tilfældig variabel. Disse værdier bestemmer en gennemsnitsværdi, omkring hvilken værdierne af den tilfældige variabel er grupperet, og i hvilken grad de er spredt omkring denne gennemsnitsværdi.
Matematisk forventning En diskret stokastisk variabel er summen af produkterne af alle mulige værdier af den stokastiske variabel og deres sandsynligheder.
Den matematiske forventning eksisterer, hvis rækken på højre side af ligheden konvergerer absolut.
Fra et sandsynlighedssynspunkt kan vi sige, at den matematiske forventning er omtrent lig med det aritmetiske gennemsnit af de observerede værdier af den stokastiske variabel.
Eksempel. Fordelingsloven for en diskret stokastisk variabel er kendt. Find den matematiske forventning.
| x | ||||
| s | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Løsning:
9.2 Egenskaber ved matematisk forventning
1. Den matematiske forventning om en konstant værdi er lig med konstanten selv.
2. Den konstante faktor kan tages ud som et tegn på den matematiske forventning.
3. Den matematiske forventning af produktet af to uafhængige stokastiske variable er lig med produktet af deres matematiske forventninger.
Denne egenskab er sand for et vilkårligt antal tilfældige variable.
4. Den matematiske forventning af summen af to stokastiske variable er lig med summen af de matematiske forventninger til vilkårene.
Denne egenskab gælder også for et vilkårligt antal tilfældige variable.
Lad n uafhængige forsøg udføres, hvor sandsynligheden for forekomst af begivenhed A, hvori er lig med p.
Sætning. Den matematiske forventning M(X) af antallet af forekomster af begivenhed A i n uafhængige forsøg er lig med produktet af antallet af forsøg og sandsynligheden for, at begivenheden indtræffer i hvert forsøg.
Eksempel. Find den matematiske forventning til den stokastiske variabel Z, hvis de matematiske forventninger til X og Y er kendt: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Løsning:
9.3 Spredning af en diskret stokastisk variabel
Den matematiske forventning kan dog ikke fuldt ud karakterisere den tilfældige proces. Ud over den matematiske forventning er det nødvendigt at indtaste en værdi, der karakteriserer afvigelsen af værdierne af den stokastiske variabel fra den matematiske forventning.
Denne afvigelse er lig med forskellen mellem den stokastiske variabel og dens matematiske forventning. I dette tilfælde er den matematiske forventning til afvigelsen nul. Dette forklares ved, at nogle mulige afvigelser er positive, andre er negative, og som følge af deres gensidige annullering opnås nul.
Spredning (spredning) af en diskret tilfældig variabel er den matematiske forventning af den tilfældige variabels kvadrerede afvigelse fra dens matematiske forventning.
I praksis er denne metode til beregning af varians ubelejlig, fordi fører til besværlige beregninger for en lang række tilfældige variable værdier.
Derfor bruges en anden metode.
Sætning. Variansen er lig med forskellen mellem den matematiske forventning af kvadratet af den stokastiske variabel X og kvadratet af dens matematiske forventning.
Bevis. Under hensyntagen til det faktum, at den matematiske forventning M(X) og kvadratet af den matematiske forventning M2(X) er konstante størrelser, kan vi skrive:
Eksempel. Find variansen af en diskret stokastisk variabel givet af fordelingsloven.
| x | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Løsning: .
9.4 Dispersionsegenskaber
1. Variansen af en konstant værdi er nul. .
2. Konstantfaktoren kan tages ud af spredningstegnet ved at kvadrere det. .
3. Variansen af summen af to uafhængige stokastiske variable er lig med summen af disse variables varians. .
4. Variansen af forskellen mellem to uafhængige stokastiske variable er lig med summen af disse variables varians. .
Sætning. Variansen af antallet af forekomster af begivenhed A i n uafhængige forsøg, i hver af hvilke sandsynligheden p for begivenhedens forekomst er konstant, er lig med produktet af antallet af forsøg med sandsynligheden for forekomsten og ikke- hændelsens forekomst i hvert forsøg.
9.5 Standardafvigelse for en diskret stokastisk variabel
Standardafvigelse tilfældig variabel X kaldes kvadratroden af variansen.
Sætning. Standardafvigelsen af summen af et endeligt antal af indbyrdes uafhængige stokastiske variable er lig med kvadratroden af summen af kvadraterne af disse variables standardafvigelser.
Størrelse
Grundlæggende numeriske egenskaber ved tilfældig
Densitetsfordelingsloven karakteriserer en stokastisk variabel. Men ofte er det ukendt, og man må begrænse sig til mindre information. Nogle gange er det endnu mere rentabelt at bruge tal, der beskriver en tilfældig variabel i alt. Sådanne numre kaldes numeriske karakteristika tilfældig variabel. Lad os se på de vigtigste.
Definition:Den matematiske forventning M(X) for en diskret stokastisk variabel er summen af produkterne af alle mulige værdier af denne mængde og deres sandsynligheder:
Hvis en diskret tilfældig variabel x tager så mange mulige værdier
Desuden eksisterer den matematiske forventning, hvis denne serie er absolut konvergent.
Det følger af definitionen M(X) en diskret tilfældig variabel er en ikke-tilfældig (konstant) variabel.
Eksempel: Lade x– antallet af hændelser EN i en test, P(A) = p. Vi skal finde den matematiske forventning x.
Løsning: Lad os skabe en tabelfordelingslov x:
| x | 0 | 1 |
| P | 1 - s | s |
Lad os finde den matematiske forventning:
Dermed, den matematiske forventning om antallet af forekomster af en begivenhed i et forsøg er lig med sandsynligheden for denne begivenhed.
Udtrykkets oprindelse forventet værdi forbundet med den indledende periode af fremkomsten af sandsynlighedsteori (XVI-XVII århundreder), da omfanget af dets anvendelse var begrænset til gambling. Spilleren var interesseret i den gennemsnitlige værdi af den forventede gevinst, dvs. matematisk forventning om at vinde.
Lad os overveje probabilistisk betydning af matematisk forventning.
Lad det produceres n test, hvor den stokastiske variabel x accepteret m 1 gange værdi x 1, m 2 gange værdi x 2, og så videre, og til sidst accepterede hun m k gange værdi x k, og m 1 + m 2 +…+ + m k = n.
Derefter summen af alle værdier taget af den tilfældige variabel x, er lige x 1 m 1 + x 2 m 2 +…+x k m k.
Aritmetisk middelværdi af alle værdier taget af en tilfældig variabel x,lige med:
siden er den relative frekvens af en værdi for enhver værdi i = 1, …, k.
Som det er kendt, hvis antallet af tests n er tilstrækkelig stor, så er den relative frekvens omtrent lig med sandsynligheden for, at hændelsen indtræffer, derfor
Dermed, .
Konklusion:Den matematiske forventning til en diskret tilfældig variabel er omtrent lig (jo mere nøjagtigt, jo større er antallet af tests) med det aritmetiske gennemsnit af de observerede værdier af den tilfældige variabel.
Lad os overveje de grundlæggende egenskaber ved matematisk forventning.
Ejendom 1:Den matematiske forventning om en konstant værdi er lig med selve konstantværdien:
M(C) = C.
Bevis: Konstant MED kan betragtes , som har én mulig betydning MED og accepterer det med sandsynlighed p = 1. Derfor, M(C) =C 1= S.
Lad os definere produkt af en konstant variabel C og en diskret stokastisk variabel X som en diskret stokastisk variabel CX, hvis mulige værdier er lig med produkterne af konstanten MED til mulige værdier x CX lig med sandsynligheden for de tilsvarende mulige værdier x:
| CX | C | C | … | C |
| x | … | |||
| R | … |
Ejendom 2:Den konstante faktor kan tages ud af det matematiske forventningstegn:
M(CX) = CM(X).
Bevis: Lad den tilfældige variabel x er givet af loven om sandsynlighedsfordeling:
| x | … | |||
| P | … |
Lad os skrive loven om sandsynlighedsfordeling af en stokastisk variabel CX:
| CX | C | C | … | C |
| P | … |
M(CX) = C +C =C + ) = C M(X).
Definition:To stokastiske variable kaldes uafhængige, hvis fordelingsloven for den ene af dem ikke afhænger af, hvilke mulige værdier den anden variabel tog. Ellers er de stokastiske variable afhængige.
Definition:Flere tilfældige variabler siges at være gensidigt uafhængige, hvis fordelingslovene for et hvilket som helst antal af dem ikke afhænger af, hvilke mulige værdier de resterende variable tog.
Lad os definere produkt af uafhængige diskrete stokastiske variable X og Y som en diskret stokastisk variabel XY, hvis mulige værdier er lig med produkterne af hver mulig værdi x for enhver mulig værdi Y. Sandsynligheder for mulige værdier XY er lig med produkterne af sandsynligheden for mulige værdier af faktorerne.
Lad fordelingen af stokastiske variable være givet x Og Y:
| x | … | |||
| P | … |
| Y | … | |||
| G | … |
Derefter fordelingen af den stokastiske variabel XY har formen:
| XY | … | |||
| P | … |
Nogle værker kan være lige. I dette tilfælde er sandsynligheden for en mulig værdi af produktet lig med summen af de tilsvarende sandsynligheder. For eksempel, hvis = , så er sandsynligheden for værdien
Ejendom 3:Den matematiske forventning af produktet af to uafhængige stokastiske variable er lig med produktet af deres matematiske forventninger:
M(XY) = M(X) MIN).
Bevis: Lad uafhængige stokastiske variable x Og Y er specificeret af deres egne sandsynlighedsfordelingslove:
| x | ||
| P |
| Y | ||
| G |
For at forenkle beregningerne vil vi begrænse os til et lille antal mulige værdier. I det generelle tilfælde er beviset det samme.
Lad os skabe en lov om fordelingen af en tilfældig variabel XY:
| XY | ||||
| P |
M(XY) =
M(X) MIN).
Følge:Den matematiske forventning til produktet af flere indbyrdes uafhængige stokastiske variable er lig med produktet af deres matematiske forventninger.
Bevis: Lad os bevise for tre indbyrdes uafhængige stokastiske variable x,Y,Z. Tilfældige variable XY Og Z uafhængig, så får vi:
M(XYZ) = M(XY Z) = M(XY) M(Z) = M(X) MIN) M(Z).
For et vilkårligt antal af indbyrdes uafhængige stokastiske variabler udføres beviset ved metoden matematisk induktion.
Eksempel: Uafhængige tilfældige variable x Og Y
| x | 5 | 2 | |
| P | 0,6 | 0,1 | 0,3 |
| Y | 7 | 9 |
| G | 0,8 | 0,2 |
Skal finde M(XY).
Løsning: Siden tilfældige variable x Og Y er så uafhængige M(XY)=M(X) M(Y)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.
Lad os definere summen af diskrete stokastiske variable X og Y som en diskret stokastisk variabel X+Y, hvis mulige værdier er lig med summen af hver mulig værdi x med enhver mulig værdi Y. Sandsynligheder for mulige værdier X+Y for uafhængige stokastiske variable x Og Y er lig med produkterne af vilkårenes sandsynligheder og for afhængige stokastiske variable - produkterne af sandsynligheden for et led ved den betingede sandsynlighed for det andet.
Hvis = og sandsynligheden for disse værdier er henholdsvis lig, så er sandsynligheden (det samme som ) lig med .
Ejendom 4:Den matematiske forventning af summen af to tilfældige variable (afhængig eller uafhængig) er lig med summen af de matematiske forventninger til vilkårene:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Bevis: Lad to stokastiske variable x Og Y er givet af følgende distributionslove:
| x | ||
| P |
| Y | ||
| G |
For at forenkle konklusionen vil vi begrænse os til to mulige værdier af hver mængde. I det generelle tilfælde er beviset det samme.
Lad os sammensætte alle mulige værdier af en tilfældig variabel X+Y(antag for nemheds skyld, at disse værdier er forskellige; hvis ikke, så er beviset ens):
| X+Y | ||||
| P |
Lad os finde den matematiske forventning til denne værdi.
M(X+Y) = + + + +
Lad os bevise, at + = .
Begivenhed X = ( dens sandsynlighed P(X = ) medfører den hændelse, at den stokastiske variabel X+Y vil tage værdien eller (sandsynligheden for denne hændelse er ifølge additionssætningen lig med ) og omvendt. Så =.
Lighederne = = = bevises på lignende måde
Ved at erstatte højresiden af disse ligheder i den resulterende formel for den matematiske forventning får vi:
M(X + Y) = + ) = M(X) + M(Y).
Følge:Den matematiske forventning til summen af flere stokastiske variable er lig med summen af termernes matematiske forventninger.
Bevis: Lad os bevise for tre stokastiske variable x,Y,Z. Lad os finde den matematiske forventning til tilfældige variable X+Y Og Z:
M(X+Y+Z)=M((X+Y Z)=M(X+Y) M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)
For et vilkårligt antal stokastiske variable udføres beviset ved metoden matematisk induktion.
Eksempel: Find gennemsnittet af summen af det antal point, der kan opnås, når du kaster to terninger.
Løsning: Lade x– antallet af point, der kan optræde på den første terning, Y- På den anden. Det er indlysende, at tilfældige variable x Og Y har samme fordelinger. Lad os skrive fordelingsdataene ned x Og Y i en tabel:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
M(X) = M(Y) (1+2+3+4+5+6) = =
M(X + Y) = 7.
Så den gennemsnitlige værdi af summen af det antal point, der kan vises, når man kaster to terninger er 7 .
Sætning:Den matematiske forventning M(X) af antallet af forekomster af begivenhed A i n uafhængige forsøg er lig med produktet af antallet af forsøg og sandsynligheden for forekomsten af begivenheden i hvert forsøg: M(X) = np.
Bevis: Lade x– antallet af hændelser EN V n uafhængige tests. Helt klart det samlede antal x begivenhedens hændelser EN i disse forsøg er summen af antallet af forekomster af hændelsen i individuelle forsøg. Så, hvis antallet af forekomster af en begivenhed i det første forsøg, i det andet, og så videre, endelig, er antallet af forekomster af begivenheden i n-th test, så beregnes det samlede antal forekomster af hændelsen med formlen:
Ved egenskab 4 af matematisk forventning vi har:
M(X) = M( ) + … + M( ).
Da den matematiske forventning om antallet af forekomster af en begivenhed i et forsøg er lig med sandsynligheden for begivenheden, så
M( ) = M( )= … = M( ) = s.
Derfor, M(X) = np.
Eksempel: Sandsynligheden for at ramme målet, når der skydes fra en pistol er p = 0,6. Find det gennemsnitlige antal hits, hvis det er lavet 10 skud.
Løsning: Træffet for hvert skud afhænger ikke af udfaldet af andre skud, derfor er de overvejede begivenheder uafhængige, og derfor er den nødvendige matematiske forventning lig med:
M(X) = np = 10 0,6 = 6.
Så det gennemsnitlige antal hits er 6.
Overvej nu den matematiske forventning til en kontinuert stokastisk variabel.
Definition:Den matematiske forventning til en kontinuerlig tilfældig variabel X, hvis mulige værdier hører til intervallet,kaldet det bestemte integral:
hvor f(x) er sandsynlighedsfordelingstætheden.
Hvis mulige værdier af en kontinuerlig tilfældig variabel X hører til hele Ox-aksen, så
Det antages, at dette ukorrekte integral konvergerer absolut, dvs. integralet konvergerer Hvis dette krav ikke var opfyldt, så ville værdien af integralet afhænge af den hastighed, hvormed (separat) den nedre grænse har tendens til -∞, og den øvre grænse har tendens til +∞.
Det kan bevises alle egenskaber ved den matematiske forventning af en diskret stokastisk variabel bevares for en kontinuert stokastisk variabel. Beviset er baseret på egenskaberne ved bestemte og ukorrekte integraler.
Det er indlysende, at den matematiske forventning M(X) større end den mindste og mindre end den størst mulige værdi af den stokastiske variabel x. De der. på talaksen er mulige værdier af en tilfældig variabel placeret til venstre og til højre for dens matematiske forventning. I denne forstand, den matematiske forventning M(X) kendetegner udbredelsens placering og kaldes derfor ofte distributionscenter.