Første niveau

Eksponentialligninger. The Ultimate Guide (2019)

Hej! I dag vil vi diskutere med dig, hvordan man løser ligninger, der enten kan være elementære (og jeg håber, at efter at have læst denne artikel, vil næsten alle være det for dig), og dem, der normalt gives "til påfyldning". Tilsyneladende for endelig at falde i søvn. Men jeg vil forsøge at gøre alt muligt, så du nu ikke kommer i problemer, når du står over for denne type ligninger. Jeg vil ikke slå om busken længere, men jeg vil fortælle dig en lille hemmelighed med det samme: i dag skal vi studere eksponentielle ligninger.

Før jeg går videre til at analysere måder at løse dem på, vil jeg straks skitsere dig en række spørgsmål (ganske små), som du bør gentage, før du skynder dig at angribe dette emne. Så for de bedste resultater, tak gentage:

1. Ejendomme og
2. Løsning og ligninger

Gentaget? Fantastiske! Så vil det ikke være svært for dig at bemærke, at roden af ​​ligningen er et tal. Forstår du præcis, hvordan jeg gjorde det? Er det sandt? Så lad os fortsætte. Svar nu på mit spørgsmål, hvad er lig med tredje potens? Du har helt ret: . Hvilken potens af to er otte? Det er rigtigt - den tredje! Fordi. Nå, lad os nu prøve at løse følgende problem: Lad mig gange tallet med sig selv én gang og få resultatet. Spørgsmålet er, hvor mange gange jeg gangede med mig selv? Du kan selvfølgelig tjekke dette direkte:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( justere)

Så kan du konkludere, at jeg gangede med mig selv gange. Hvordan kan du ellers tjekke dette? Sådan gør du: direkte efter definition af grad: . Men, du må indrømme, hvis jeg spurgte, hvor mange gange to skal ganges med sig selv for at få, for eksempel, ville du sige til mig: Jeg vil ikke narre mig selv og formere mig selv, før jeg er blå i ansigtet. Og han ville have fuldstændig ret. For hvordan kan du skriv kort ned alle trinene(og korthed er talentets søster)

hvor - det er de samme "gange", når du formerer med sig selv.

Jeg tror, ​​at du ved (og hvis du ikke ved, omgående, meget presserende gentag graderne!), at så vil mit problem blive skrevet i formen:

Hvordan kan du med rimelighed konkludere, at:

Så ubemærket skrev jeg det enkleste ned eksponentiel ligning:

Og jeg fandt ham endda rod. Synes du ikke, at alt er fuldstændig trivielt? Jeg tænker præcis det samme. Her er endnu et eksempel til dig:

Men hvad skal man gøre? Det kan jo ikke skrives som en potens af et (rimeligt) tal. Lad os ikke fortvivle og bemærke, at begge disse tal er perfekt udtrykt gennem kraften af ​​det samme tal. Hvilken en? Højre: . Derefter transformeres den oprindelige ligning til formen:

Hvor, som du allerede har forstået, . Lad os ikke udsætte længere og skrive det ned definition:

I vores tilfælde:.

Disse ligninger løses ved at reducere dem til formen:

efterfulgt af løsning af ligningen

Faktisk gjorde vi netop det i det forrige eksempel: vi fik følgende: Og vi løste den enkleste ligning.

Det ser ikke ud til at være noget kompliceret, vel? Lad os først øve os på de enkleste eksempler:

Vi ser igen, at højre og venstre side af ligningen skal repræsenteres som potenser af ét tal. Sandt nok, til venstre er dette allerede blevet gjort, men til højre er der et nummer. Men det er okay, for min ligning vil mirakuløst forvandle sig til dette:

Hvad skulle jeg bruge her? Hvilken regel? Reglen om "grader inden for grader" som lyder:

Hvad hvis:

Inden vi besvarer dette spørgsmål, lad os udfylde følgende tabel:

Det er let for os at bemærke, at jo mindre, jo mindre er værdien, men ikke desto mindre er alle disse værdier større end nul. OG DET VIL ALTID VÆRE!!! Den samme egenskab gælder FOR ENHVER GRUNDLAG MED ENHVER INDIKATOR!! (for enhver og). Hvad kan vi så konkludere om ligningen? Her er hvad det er: det har ingen rødder! Ligesom enhver ligning ikke har nogen rødder. Lad os nu øve os og Lad os løse simple eksempler:

Lad os tjekke:

1. Her vil der ikke blive krævet noget af dig, undtagen viden om gradernes egenskaber (som jeg i øvrigt bad dig om at gentage!) Som regel fører alt til den mindste base: , . Så vil den oprindelige ligning svare til følgende: Alt jeg behøver er at bruge egenskaberne for potenser: Når man multiplicerer tal med samme grundtal, lægges potenserne sammen, og når man dividerer, trækkes de fra. Så får jeg: Nå, nu vil jeg med god samvittighed gå fra eksponentialligningen til den lineære: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(align)

2. I det andet eksempel skal vi være mere forsigtige: Problemet er, at vi på venstre side umuligt kan repræsentere det samme tal som en potens. I dette tilfælde er det nogle gange nyttigt repræsentere tal som et produkt af potenser med forskellige baser, men de samme eksponenter:

Venstre side af ligningen vil se sådan ud: Hvad gav dette os? Her er hvad: Tal med forskellige grundtal men de samme eksponenter kan ganges.I dette tilfælde multipliceres baserne, men indikatoren ændres ikke:

I min situation vil dette give:

\begin(align)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(align)

Ikke dårligt, vel?

3. Jeg kan ikke lide det, når jeg unødigt har to led på den ene side af ligningen og ingen på den anden (nogle gange er det selvfølgelig berettiget, men nu er det ikke sådan). Jeg flytter minusleddet til højre:

Nu, som før, vil jeg skrive alt i form af trepotenser:

Jeg tilføjer graderne til venstre og får en ækvivalent ligning

Du kan nemt finde dens rod:

4. Som i eksempel tre har minusleddet en plads i højre side!

På min venstre side er næsten alt fint, undtagen hvad? Ja, den "forkerte grad" af de to generer mig. Men det kan jeg sagtens ordne ved at skrive:. Eureka - til venstre er alle baserne forskellige, men alle graderne er ens! Lad os formere os med det samme!

Her er alt klart igen: (hvis du ikke forstår, hvordan jeg på magisk vis fik den sidste ligestilling, så tag en pause i et minut, træk vejret og læs gradens egenskaber igen meget grundigt. Hvem sagde, at du kan springe en grad med en negativ eksponent? Nå, her er jeg omtrent det samme som ingen). Nu får jeg:

\begin(align)
& ((2)^(4\venstre((x) -9 \højre)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

Her er nogle problemer for dig at øve dig på, som jeg kun vil give svarene på (men i en "blandet" form). Løs dem, tjek dem, og du og jeg fortsætter vores forskning!

Parat? Svar som disse:

1. ethvert nummer

Okay, okay, jeg lavede sjov! Her er nogle skitser af løsninger (nogle meget korte!)

Tror du ikke, at det ikke er tilfældigt, at den ene brøkdel til venstre er den anden "omvendt"? Det ville være synd ikke at udnytte dette:

Denne regel bruges meget ofte, når man løser eksponentialligninger, husk det godt!

Så bliver den oprindelige ligning sådan:

Ved at løse denne andengradsligning får du følgende rødder:

2. En anden løsning: at dividere begge sider af ligningen med udtrykket til venstre (eller højre). Divider med hvad der er til højre, så får jeg:

Hvor (hvorfor?!)

3. Jeg vil ikke engang gentage mig selv, alt er allerede blevet "tygget" så meget.

4. svarende til en andengradsligning, rødder

5. Du skal bruge formlen givet i den første opgave, så får du det:

Ligningen er blevet til en triviel identitet, der er sand for enhver. Så er svaret et hvilket som helst reelt tal.

Nå, nu har du øvet dig i at løse simple eksponentialligninger. Nu vil jeg give dig et par livseksempler, der vil hjælpe dig med at forstå, hvorfor de er nødvendige i princippet. Her vil jeg give to eksempler. En af dem er ret dagligdags, men den anden er mere tilbøjelig til at være af videnskabelig snarere end praktisk interesse.

Eksempel 1 (merkantil) Lad dig have rubler, men du vil gøre det til rubler. Banken tilbyder dig at tage disse penge fra dig til en årlig kurs med månedlig kapitalisering af renter (månedlig periodisering). Spørgsmålet er, hvor mange måneder skal du åbne et depositum i for at nå det krævede endelige beløb? En ganske banal opgave, er det ikke? Ikke desto mindre er dens løsning forbundet med konstruktionen af ​​den tilsvarende eksponentielle ligning: Lad - det oprindelige beløb, - det endelige beløb, - renten for perioden, - antallet af perioder. Derefter:

I vores tilfælde (hvis satsen er årlig, så beregnes den pr. måned). Hvorfor er det divideret med? Hvis du ikke kender svaret på dette spørgsmål, så husk emnet ""! Så får vi denne ligning:

Denne eksponentielle ligning kan allerede løses kun ved hjælp af en lommeregner (dens udseende antyder dette, og dette kræver kendskab til logaritmer, som vi vil stifte bekendtskab med lidt senere), hvilket er hvad jeg vil gøre: ... Således , for at få en million, skal vi give et bidrag i en måned (ikke særlig hurtigt, vel?).

Eksempel 2 (temmelig videnskabeligt). På trods af hans visse "isolation" anbefaler jeg, at du er opmærksom på ham: han "glider regelmæssigt ind i Unified State Examination!! (problemet er taget fra den "rigtige" version) Under henfaldet af en radioaktiv isotop falder dens masse ifølge loven, hvor (mg) er isotopens begyndelsesmasse, (min.) er den tid, der er gået fra indledende øjeblik, (min.) er halveringstiden. I det indledende tidspunkt er isotopens masse mg. Dens halveringstid er min. Efter hvor mange minutter vil massen af ​​isotopen være lig med mg? Det er okay: vi tager bare og erstatter alle data i den formel, der er foreslået os:

Lad os dividere begge dele med "i håbet om, at vi til venstre får noget fordøjeligt:

Nå, vi er meget heldige! Det er til venstre, så lad os gå videre til den tilsvarende ligning:

Hvor er min.

Som du kan se, har eksponentielle ligninger meget reelle anvendelser i praksis. Nu vil jeg vise dig en anden (simpel) måde at løse eksponentialligninger på, som er baseret på at tage den fælles faktor ud af parentes og derefter gruppere termerne. Bliv ikke bange for mine ord, du stødte allerede på denne metode i 7. klasse, da du studerede polynomier. For eksempel, hvis du havde brug for at faktorisere udtrykket:

Lad os gruppere: det første og tredje led, såvel som det andet og fjerde. Det er klart, at den første og den tredje er forskellen mellem kvadrater:

og den anden og fjerde har en fælles faktor på tre:

Så svarer det oprindelige udtryk til dette:

Hvor man kan udlede den fælles faktor er ikke længere svært:

Derfor,

Dette er nogenlunde, hvad vi vil gøre, når vi løser eksponentielle ligninger: se efter "fællesskab" blandt begreberne og tag det ud af parentes, og så - hvad der vil, jeg tror på, at vi vil være heldige =)) For eksempel:

Til højre er langt fra at være en potens af syv (jeg tjekkede!) Og til venstre - det er lidt bedre, du kan selvfølgelig "hakke" faktoren a fra den anden fra første termin, og derefter behandle med hvad du har, men lad os være mere forsigtige med dig. Jeg vil ikke beskæftige mig med de brøker, der uundgåeligt dannes, når man "vælger", så burde jeg ikke hellere tage det ud? Så vil jeg ikke have nogen fraktioner: som man siger, ulvene bliver fodret og fårene er sikre:

Beregn udtrykket i parentes. Magisk, magisk viser det sig at (overraskende, selvom hvad skulle vi ellers forvente?).

Så reducerer vi begge sider af ligningen med denne faktor. Vi får: , fra.

Her er et mere kompliceret eksempel (egentlig en smule):

Hvilket problem! Vi har ikke ét fælles fodslag her! Det er ikke helt klart, hvad man skal gøre nu. Lad os gøre, hvad vi kan: Flyt først "firerne" til den ene side og "femrene" til den anden:

Lad os nu tage "generelle" ud til venstre og højre:

Så hvad nu? Hvad er fordelen ved sådan en dum gruppe? Ved første øjekast er det slet ikke synligt, men lad os se dybere:

Nå, nu sørger vi for, at vi til venstre kun har udtrykket c, og til højre - alt andet. Hvordan gør vi dette? Sådan gør du: Divider begge sider af ligningen først med (så vi slipper af med eksponenten til højre), og divider derefter begge sider med (så vi slipper af med den numeriske faktor til venstre). Endelig får vi:

Utrolig! Til venstre har vi et udtryk, og til højre har vi et simpelt udtryk. Så konkluderer vi med det samme

Her er endnu et eksempel, som du kan forstærke:

Jeg vil give hans korte løsning (uden at genere mig selv meget med forklaringer), prøv selv at forstå alle "finesser" af løsningen.

Nu til den endelige konsolidering af det dækkede materiale. Prøv selv at løse følgende problemer. Jeg vil blot give korte anbefalinger og tips til at løse dem:

1. Lad os tage den fælles faktor ud af parentes: Hvor:
2. Lad os præsentere det første udtryk i formen: , divider begge sider med og få det
3. , så transformeres den oprindelige ligning til formen: Nå, nu et tip - se efter, hvor du og jeg allerede har løst denne ligning!
4. Forestil dig hvordan, hvordan, ah, ja, så divider begge sider med, så du får den enkleste eksponentielle ligning.
5. Tag det ud af beslagene.
6. Tag det ud af beslagene.

EKSPONENTÆRE LIGNINGER. GENNEMSNIVEAU

Jeg antager, at efter at have læst den første artikel, som talte om hvad er eksponentialligninger og hvordan man løser dem, har du mestret den nødvendige minimumsviden, der er nødvendig for at løse de enkleste eksempler.

Nu vil jeg se på en anden metode til at løse eksponentialligninger, det er

"metode til at introducere en ny variabel" (eller erstatning). Han løser de fleste af de "svære" problemer om emnet eksponentielle ligninger (og ikke kun ligninger). Denne metode er en af ​​de mest anvendte i praksis. Først anbefaler jeg, at du sætter dig ind i emnet.

Som du allerede har forstået fra navnet, er essensen af ​​denne metode at indføre en sådan ændring af variabel, at din eksponentielle ligning mirakuløst vil forvandle sig til en, som du nemt kan løse. Alt, der er tilbage for dig efter at have løst denne meget "forenklede ligning" er at lave en "omvendt erstatning": det vil sige, vende tilbage fra den erstattede til den erstattede. Lad os illustrere, hvad vi lige sagde med et meget simpelt eksempel:

Eksempel 1:

Denne ligning løses ved hjælp af en "simpel substitution", som matematikere nedsættende kalder det. Faktisk er erstatningen her den mest oplagte. Det skal man bare se

Så bliver den oprindelige ligning til dette:

Hvis vi derudover forestiller os hvordan, så er det helt klart, hvad der skal udskiftes: selvfølgelig. Hvad bliver så den oprindelige ligning? Her er hvad:

Du kan nemt finde dens rødder på egen hånd: . Hvad skal vi gøre nu? Det er tid til at vende tilbage til den oprindelige variabel. Hvad har jeg glemt at nævne? Nemlig: ved udskiftning af en vis grad med en ny variabel (det vil sige ved udskiftning af en type), vil jeg være interesseret i kun positive rødder! Du kan nemt svare på hvorfor. Derfor er du og jeg ikke interesseret, men den anden rod er ret egnet til os:

Så hvor fra.

Svar:

Som du kan se, i det foregående eksempel, bad en erstatning bare om vores hænder. Det er desværre ikke altid tilfældet. Lad os dog ikke gå direkte til de triste ting, men lad os øve os med endnu et eksempel med en ret simpel erstatning

Eksempel 2.

Det er klart, at vi højst sandsynligt bliver nødt til at lave en erstatning (dette er den mindste af de potenser, der er inkluderet i vores ligning), men før vi introducerer en erstatning, skal vores ligning være "forberedt" til det, nemlig: , . Så kan du erstatte, som et resultat får jeg følgende udtryk:

Åh horror: en kubisk ligning med helt forfærdelige formler til at løse det (nå, i generelle vendinger). Men lad os ikke fortvivle med det samme, men lad os tænke over, hvad vi skal gøre. Jeg vil foreslå snyd: vi ved, at for at få et "smukt" svar, skal vi få det i form af en eller anden potens af tre (hvorfor skulle det være, ikke?). Lad os prøve at gætte mindst én rod af vores ligning (jeg begynder at gætte med tre potenser).

Første gæt. Ikke en rod. Ak og åh...

.
Venstre side er lige.
Højre del: !
Spise! Gættede den første rod. Nu bliver tingene nemmere!

Kender du til "hjørne"-delingsordningen? Selvfølgelig gør du det, du bruger det når du dividerer et tal med et andet. Men de færreste ved, at det samme kan gøres med polynomier. Der er en vidunderlig sætning:

Når det gælder min situation, fortæller dette mig, at det er deleligt uden rest med. Hvordan foregår opdelingen? Sådan:

Jeg ser på hvilket monom jeg skal gange med for at få Clearly, så:

Jeg trækker det resulterende udtryk fra, får jeg:

Hvad skal jeg gange med for at få? Det er klart, at på, så får jeg:

og træk igen det resulterende udtryk fra det resterende:

Nå, det sidste trin er at gange med og trække fra det resterende udtryk:

Hurra, splittelsen er forbi! Hvad har vi akkumuleret privat? I sig selv:.

Så fik vi følgende udvidelse af det oprindelige polynomium:

Lad os løse den anden ligning:

Det har rødder:

Så den oprindelige ligning:

har tre rødder:

Vi vil selvfølgelig kassere den sidste rod, da den er mindre end nul. Og de første to efter omvendt udskiftning vil give os to rødder:

Svar: ..

Med dette eksempel ville jeg slet ikke skræmme dig, men mit mål var at vise, at selvom vi havde en ret simpel erstatning, førte det alligevel til en ret kompleks ligning, hvis løsning krævede nogle specielle færdigheder fra os. Nå, ingen er immune over for dette. Men erstatningen i dette tilfælde var ret åbenlys.

Her er et eksempel med en lidt mindre indlysende erstatning:

Det er slet ikke klart, hvad vi skal gøre: Problemet er, at i vores ligning er der to forskellige baser, og den ene base kan ikke opnås fra den anden ved at hæve den til nogen (rimelig, naturligt) magt. Men hvad ser vi? Begge baser adskiller sig kun i fortegn, og deres produkt er forskellen mellem kvadrater lig med en:

Definition:

Således er de tal, der er baserne i vores eksempel, konjugerede.

I dette tilfælde ville det smarte skridt være gange begge sider af ligningen med det konjugerede tal.

For eksempel, på, så vil venstre side af ligningen blive lig med, og højre. Hvis vi laver en substitution, vil vores oprindelige ligning blive sådan her:

dens rødder, og husker vi det, så får vi det.

Svar: , .

Som regel er erstatningsmetoden tilstrækkelig til at løse de fleste "skole"-eksponentialligninger. Følgende opgaver er taget fra Unified State Examination C1 (øget sværhedsgrad). Du er allerede dygtig nok til at løse disse eksempler på egen hånd. Jeg vil kun give den nødvendige erstatning.

1. Løs ligningen:
2. Find rødderne til ligningen:
3. Løs ligningen:. Find alle rødderne til denne ligning, der hører til segmentet:

Og nu nogle korte forklaringer og svar:

1. Her er det nok for os at bemærke, at... Så vil den oprindelige ligning svare til dette: Denne ligning kan løses ved at erstatte Lav selv de videre beregninger. I sidste ende vil din opgave blive reduceret til at løse simple trigonometriske problemer (afhængigt af sinus eller cosinus). Vi vil se på løsninger på lignende eksempler i andre afsnit.
2. Her kan du endda undvære substitution: Flyt blot subtrahenden til højre og repræsentere begge baser gennem to potenser: , og gå derefter direkte til andengradsligningen.
3. Den tredje ligning er også løst ganske standard: lad os forestille os hvordan. Så, i stedet for, får vi en andengradsligning: derefter,

   Du ved allerede, hvad en logaritme er, ikke? Ingen? Så læs emnet hurtigt!

   Den første rod hører åbenbart ikke til segmentet, men den anden er uklar! Men det finder vi ud af meget snart! Siden da (dette er en egenskab ved logaritmen!) Lad os sammenligne:

   Træk fra begge sider, så får vi:

   Venstre side kan repræsenteres som:

   gange begge sider med:

   kan så ganges med

   Sammenlign derefter:

   siden da:

   Så hører den anden rod til det nødvendige interval

   Svar:

Som du kan se, udvælgelse af rødder til eksponentialligninger kræver et ret dybt kendskab til logaritmers egenskaber, så jeg råder dig til at være så forsigtig som muligt, når du løser eksponentialligninger. Som du forstår, hænger alt sammen i matematik! Som min matematiklærer sagde: "matematik kan ligesom historie ikke læses fra den ene dag til den anden."

Som regel alle Vanskeligheden ved at løse opgaver C1 er netop udvælgelsen af ​​ligningens rødder. Lad os øve os med endnu et eksempel:

Det er klart, at selve ligningen er løst ganske enkelt. Ved at lave en substitution reducerer vi vores oprindelige ligning til følgende:

Lad os først se på den første rod. Lad os sammenligne og: siden da. (egenskab for en logaritmisk funktion, at). Så er det klart, at den første rod ikke hører til vores interval. Nu den anden rod:. Det er tydeligt (da funktionen på er stigende). Det er tilbage at sammenligne og...

siden da på samme tid. På denne måde kan jeg "drive en pind" mellem og. Denne pind er et nummer. Det første udtryk er mindre, og det andet er større. Så er det andet udtryk større end det første, og roden hører til intervallet.

Svar: .

Lad os endelig se på et andet eksempel på en ligning, hvor substitutionen er ret ikke-standard:

Lad os starte med det samme med, hvad der kan gøres, og hvad - i princippet kan gøres, men det er bedre ikke at gøre det. Du kan forestille dig alt gennem magten tre, to og seks. Hvor fører det hen? Det vil ikke føre til noget: et virvar af grader, hvoraf nogle vil være ret svære at slippe af med. Hvad skal der så til? Lad os bemærke, at a Og hvad vil det give os? Og det faktum, at vi kan reducere løsningen af ​​dette eksempel til løsningen af ​​en ret simpel eksponentialligning! Lad os først omskrive vores ligning som:

Lad os nu dividere begge sider af den resulterende ligning med:

Eureka! Nu kan vi erstatte, vi får:

Nå, nu er det din tur til at løse demonstrationsproblemer, og jeg vil kun give korte kommentarer til dem, så du ikke kommer på afveje! Held og lykke!

1. Det sværeste! Det er så svært at se en erstatning her! Men ikke desto mindre kan dette eksempel løses fuldstændigt vha fremhæve en komplet firkant. For at løse det er det nok at bemærke, at:

Så her er din erstatning:

(Bemærk venligst, at her under vores udskiftning kan vi ikke kassere den negative rod!!! Hvorfor tror du?)

For at løse eksemplet skal du kun løse to ligninger:

Begge kan løses ved en "standardudskiftning" (men den anden i ét eksempel!)

2. Læg mærke til det, og lav en erstatning.

3. Dekomponér tallet i coprime-faktorer og forenkle det resulterende udtryk.

4. Divider brøkens tæller og nævner med (eller, hvis du foretrækker det) og foretag substitutionen eller.

5. Bemærk, at tallene og er konjugeret.

EKSPONENTÆRE LIGNINGER. AVANCERET NIVEAU

Derudover, lad os se på en anden måde - løse eksponentialligninger ved hjælp af logaritmemetoden. Jeg kan ikke sige, at løsning af eksponentielle ligninger ved hjælp af denne metode er meget populær, men i nogle tilfælde kan det kun føre os til den korrekte løsning af vores ligning. Det bruges især ofte til at løse de såkaldte " blandede ligninger": det vil sige dem, hvor funktioner af forskellige typer forekommer.

For eksempel en ligning af formen:

i det generelle tilfælde kan det kun løses ved at tage logaritmer på begge sider (for eksempel til basen), hvor den oprindelige ligning bliver til følgende:

Lad os se på følgende eksempel:

Det er klart, at ifølge ODZ af den logaritmiske funktion er vi kun interesserede. Dette følger dog ikke kun af ODZ af logaritmen, men af ​​endnu en grund. Jeg tror ikke, det vil være svært for dig at gætte, hvilken det er.

Lad os tage logaritmen af ​​begge sider af vores ligning til basen:

Som du kan se, førte logaritmen af ​​vores oprindelige ligning os hurtigt til det rigtige (og smukke!) svar. Lad os øve os med endnu et eksempel:

Der er heller ikke noget galt her: lad os tage logaritmen af ​​begge sider af ligningen til basen, så får vi:

Lad os lave en erstatning:

Vi gik dog glip af noget! Lagde du mærke til, hvor jeg lavede en fejl? Når alt kommer til alt, så:

som ikke opfylder kravet (tænk hvor det kom fra!)

Svar:

Prøv at nedskrive løsningen til eksponentialligningerne nedenfor:

Sammenlign nu din beslutning med dette:

1. Lad os logaritme begge sider til basen under hensyntagen til, at:

(den anden rod er ikke egnet til os på grund af udskiftning)

2. Logaritme til basen:

Lad os transformere det resulterende udtryk til følgende form:

EKSPONENTÆRE LIGNINGER. KORT BESKRIVELSE OG GRUNDLÆGGENDE FORMLER

Eksponentialligning

Formens ligning:

hedder den enkleste eksponentialligning.

Egenskaber for grader

Tilgange til løsning

• Reduktion til samme grundlag
• Reduktion til samme eksponent
• Variabel udskiftning
• Forenkling af udtrykket og anvendelse af et af ovenstående.

Løsning af eksponentialligninger. Eksempler.

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")

Hvad er der sket eksponentiel ligning? Dette er en ligning, hvor de ukendte (x'er) og udtryk med dem er med indikatorer nogle grader. Og kun der! Det er vigtigt.

Der er du eksempler på eksponentialligninger:

3 x 2 x = 8 x+3

Bemærk! I basis af grader (nedenfor) - kun tal. I indikatorer grader (over) - en bred vifte af udtryk med et X. Hvis der pludselig dukker et X op i ligningen et andet sted end en indikator, for eksempel:

dette vil allerede være en ligning af blandet type. Sådanne ligninger har ikke klare regler for løsning af dem. Vi vil ikke overveje dem lige nu. Her vil vi beskæftige os med løsning af eksponentialligninger i sin reneste form.

Faktisk løses selv rene eksponentielle ligninger ikke altid klart. Men der er visse typer eksponentielle ligninger, der kan og bør løses. Det er disse typer, vi vil overveje.

Løsning af simple eksponentialligninger.

Lad os først løse noget meget grundlæggende. For eksempel:

Selv uden nogen teorier, ved simpel udvælgelse er det klart, at x = 2. Ikke mere, vel!? Ingen anden værdi af X virker. Lad os nu se på løsningen på denne vanskelige eksponentielle ligning:

Hvad har vi gjort? Vi smed faktisk simpelthen de samme baser ud (tripler). Fuldstændig smidt ud. Og den gode nyhed er, at vi rammer sømmet på hovedet!

Faktisk, hvis der i en eksponentiel ligning er venstre og højre det samme tal i enhver potens, kan disse tal fjernes, og eksponenterne kan udlignes. Matematik tillader. Det er tilbage at løse en meget enklere ligning. Fantastisk, ikke?)

Men lad os huske bestemt: Du kan kun fjerne baser, når basistallene til venstre og højre er i glimrende isolation! Uden nogen naboer og koefficienter. Lad os sige i ligningerne:

2 x +2 x+1 = 2 3, eller

toer kan ikke fjernes!

Nå, vi har mestret det vigtigste. Hvordan man bevæger sig fra onde eksponentielle udtryk til enklere ligninger.

"Det er tiderne!" - du siger. "Hvem ville give sådan en primitiv lektion om prøver og eksamener!?"

Jeg må være enig. Ingen vil. Men nu ved du, hvor du skal sigte, når du skal løse vanskelige eksempler. Det skal bringes til den form, hvor det samme grundtal er til venstre og højre. Så bliver alt nemmere. Faktisk er dette en klassiker inden for matematik. Vi tager det originale eksempel og transformerer det til det ønskede os sind. Efter matematikkens regler, selvfølgelig.

Lad os se på eksempler, der kræver en ekstra indsats for at reducere dem til de enkleste. Lad os ringe til dem simple eksponentialligninger.

Løsning af simple eksponentialligninger. Eksempler.

Ved løsning af eksponentialligninger er hovedreglerne handlinger med grader. Uden viden om disse handlinger vil intet fungere.

Til handlinger med grader skal man tilføje personlig iagttagelse og opfindsomhed. Har vi brug for de samme grundtal? Så vi leder efter dem i eksemplet i eksplicit eller krypteret form.

Lad os se, hvordan dette gøres i praksis?

Lad os få et eksempel:

2 2x - 8 x+1 = 0

Det første skarpe blik er kl grunde. De... De er forskellige! To og otte. Men det er for tidligt at blive modløs. Det er tid til at huske det

To og otte er slægtninge i grad.) Det er sagtens muligt at skrive:

8 x+1 = (2 3) x+1

Hvis vi husker formlen fra operationer med grader:

(a n) m = a nm ,

dette fungerer godt:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Det oprindelige eksempel begyndte at se sådan ud:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Vi overfører 2 3 (x+1) til højre (ingen har annulleret matematikkens elementære operationer!), får vi:

2 2x = 2 3(x+1)

Det er praktisk talt alt. Fjernelse af baserne:

Vi løser dette monster og får

Dette er det rigtige svar.

I dette eksempel hjalp det os at kende tos kræfter. Vi identificeret i otte er der en krypteret to. Denne teknik (kodning af fælles baser under forskellige tal) er en meget populær teknik i eksponentialligninger! Ja, og også i logaritmer. Du skal kunne genkende potenser af andre tal i tal. Dette er ekstremt vigtigt for at løse eksponentielle ligninger.

Faktum er, at det ikke er et problem at hæve et hvilket som helst tal til enhver magt. Multiplicer, selv på papiret, og det er det. For eksempel kan enhver hæve 3 til femte potens. 243 vil fungere, hvis du kender multiplikationstabellen.) Men i eksponentialligninger er det meget oftere ikke nødvendigt at hæve til en potens, men omvendt... Find ud af hvilket tal i hvilken grad er gemt bag tallet 243, eller f.eks. 343... Ingen lommeregner vil hjælpe dig her.

Du skal kende nogle tals kræfter ved synet, ikke sandt... Lad os øve os?

Bestem hvilke potenser og hvilke tal tallene er:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Svar (i et rod, selvfølgelig!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Hvis man ser godt efter, kan man se et mærkeligt faktum. Der er markant flere svar end opgaver! Nå, det sker... For eksempel 2 6, 4 3, 8 2 - det er alle 64.

Lad os antage, at du har noteret dig informationen om kendskab til tal.) Lad mig også minde dig om, at vi bruger til at løse eksponentialligninger alle lager af matematisk viden. Inklusiv dem fra junior- og middelklassen. Du gik ikke direkte i gymnasiet, vel?)

For eksempel, når man løser eksponentialligninger, hjælper det ofte at sætte den fælles faktor ud af parentes (hej til 7. klasse!). Lad os se på et eksempel:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Og igen, det første blik er på fundamentet! Grundlaget for graderne er forskellige... Tre og ni. Men vi ønsker, at de skal være de samme. Nå, i dette tilfælde er ønsket fuldstændig opfyldt!) Fordi:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Brug de samme regler for håndtering af grader:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Det er fantastisk, du kan skrive det ned:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Vi gav et eksempel af samme årsager. Så hvad er det næste!? Du kan ikke smide treere ud... blindgyde?

Slet ikke. Husk den mest universelle og magtfulde beslutningsregel alle sammen matematiske opgaver:

Hvis du ikke ved, hvad du har brug for, så gør hvad du kan!

Se, alt ordner sig).

Hvad er der i denne eksponentielle ligning Kan gøre? Ja, i venstre side beder den bare om at blive taget ud af beslag! Den samlede multiplikator på 3 2x antyder tydeligt dette. Lad os prøve, og så får vi se:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Eksemplet bliver bedre og bedre!

Vi husker, at for at eliminere grunde har vi brug for en ren grad, uden nogen koefficienter. Tallet 70 generer os. Så vi dividerer begge sider af ligningen med 70, får vi:

Ups! Alt blev bedre!

Dette er det endelige svar.

Det sker dog, at taxa på samme grundlag opnås, men deres eliminering er ikke mulig. Dette sker i andre typer eksponentialligninger. Lad os mestre denne type.

Udskiftning af en variabel ved løsning af eksponentialligninger. Eksempler.

Lad os løse ligningen:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Først - som sædvanligt. Lad os gå videre til én base. Til en toer.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Vi får ligningen:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Og det er her, vi hænger ud. De tidligere teknikker vil ikke virke, uanset hvordan du ser på det. Vi bliver nødt til at trække en anden kraftfuld og universel metode ud af vores arsenal. Det hedder variabel udskiftning.

Essensen af ​​metoden er overraskende enkel. I stedet for et komplekst ikon (i vores tilfælde - 2 x) skriver vi et andet, enklere (for eksempel - t). Sådan en tilsyneladende meningsløs erstatning fører til fantastiske resultater!) Alt bliver bare klart og forståeligt!

Så lad

Så 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

I vores ligning erstatter vi alle potenser med x'er med t:

Nå, går det op for dig?) Har du glemt andengradsligningerne endnu? Løser vi gennem diskriminanten, får vi:

Det vigtigste her er ikke at stoppe, som det sker... Dette er ikke svaret endnu, vi skal bruge x, ikke t. Lad os vende tilbage til X'erne, dvs. vi foretager en omvendt udskiftning. Først for t 1:

Det er,

En rod blev fundet. Vi leder efter den anden fra t 2:

Hm... 2 x til venstre, 1 til højre... Problem? Slet ikke! Det er nok at huske (fra operationer med beføjelser, ja...), at en enhed er nogen tal til nul potens. Nogen. Uanset hvad der er nødvendigt, installerer vi det. Vi skal bruge en toer. Midler:

Det er det nu. Vi har 2 rødder:

Dette er svaret.

På løsning af eksponentialligninger til sidst ender man nogle gange med en form for akavet udtryk. Type:

Syv kan ikke konverteres til to gennem en simpel magt. De er ikke pårørende... Hvordan kan vi være det? Nogen kan være forvirret... Men den person, der læste på dette websted emnet "Hvad er en logaritme?" , smiler bare sparsomt og skriver med fast hånd det helt rigtige svar ned:

Der kan ikke være et sådant svar i opgave "B" på Unified State Examination. Der kræves et bestemt nummer. Men i opgave "C" er det nemt.

Denne lektion giver eksempler på løsning af de mest almindelige eksponentialligninger. Lad os fremhæve hovedpunkterne.

Praktiske tips:

1. Først og fremmest ser vi på grunde grader. Vi spekulerer på, om det er muligt at lave dem identisk. Lad os prøve at gøre dette ved aktivt at bruge handlinger med grader. Glem ikke, at tal uden x'er også kan konverteres til potenser!

2. Vi forsøger at bringe eksponentialligningen til formen, når der til venstre og højre er det samme tal i enhver potens. Vi bruger handlinger med grader Og faktorisering. Hvad der kan tælles i tal, tæller vi.

3. Hvis det andet tip ikke virker, så prøv at bruge variabel erstatning. Resultatet kan være en ligning, der let kan løses. Oftest - firkantet. Eller fraktioneret, som også reduceres til kvadratisk.

4. For at kunne løse eksponentialligninger skal du kende potenserne af nogle tal ved synet.

Som sædvanlig bliver du i slutningen af ​​lektionen inviteret til at bestemme lidt.) På egen hånd. Fra simpelt til komplekst.

Løs eksponentialligninger:

Sværere:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Find produktet af rødder:

2 3'ere + 2 x = 9

sket?

Nå, så et meget komplekst eksempel (selvom det kan løses i sindet...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Hvad er mere interessant? Så er her et dårligt eksempel til dig. Ret fristende for øget sværhedsgrad. Lad mig antyde, at i dette eksempel er det, der redder dig, opfindsomhed og den mest universelle regel for at løse alle matematiske problemer.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Et enklere eksempel til afslapning):

9 2 x - 4 3 x = 0

Og til dessert. Find summen af ​​ligningens rødder:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ja Ja! Dette er en ligning af blandet type! Hvilket vi ikke overvejede i denne lektion. Hvorfor overveje dem, de skal løses!) Denne lektion er ganske nok til at løse ligningen. Nå, du har brug for opfindsomhed... Og må syvende klasse hjælpe dig (dette er et tip!).

Svar (i uorden, adskilt af semikolon):

1; 2; 3; 4; der er ingen løsninger; 2; -2; -5; 4; 0.

Er alt vellykket? Store.

Der er et problem? Intet problem! Special Section 555 løser alle disse eksponentialligninger med detaljerede forklaringer. Hvad, hvorfor og hvorfor. Og selvfølgelig er der yderligere værdifuld information om at arbejde med alle mulige eksponentielle ligninger. Ikke kun disse.)

Et sidste sjovt spørgsmål at overveje. I denne lektion arbejdede vi med eksponentialligninger. Hvorfor sagde jeg ikke et ord om ODZ her? I ligninger er dette i øvrigt en meget vigtig ting...

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

Eksponentialligninger er dem, hvor det ukendte er indeholdt i eksponenten. Den enkleste eksponentialligning har formen: a x = a b, hvor a> 0, a 1, x er ukendt.

De vigtigste egenskaber ved potenser, hvormed eksponentialligninger transformeres: a>0, b>0.

Ved løsning af eksponentialligninger bruges følgende egenskaber for eksponentialfunktionen også: y = a x, a > 0, a1:

For at repræsentere et tal som en potens, skal du bruge den grundlæggende logaritmiske identitet: b = , a > 0, a1, b > 0.

Problemer og test om emnet "Eksponentialligninger"

• Eksponentialligninger

  Lektioner: 4 opgaver: 21 prøver: 1

• Eksponentialligninger - Vigtige emner til gennemgang af Unified State Examination i matematik

  Opgaver: 14

• Systemer af eksponentielle og logaritmiske ligninger - Eksponentielle og logaritmiske funktioner klasse 11

  Lektioner: 1 Opgaver: 15 prøver: 1

• §2.1. Løsning af eksponentialligninger

  Lektioner: 1 Opgaver: 27

• §7 Eksponentielle og logaritmiske ligninger og uligheder - Afsnit 5. Eksponentielle og logaritmiske funktioner, grad 10

  Lektioner: 1 Opgaver: 17

For at kunne løse eksponentialligninger skal du kende de grundlæggende egenskaber for potenser, egenskaberne for eksponentialfunktionen og den grundlæggende logaritmiske identitet.

Ved løsning af eksponentialligninger bruges to hovedmetoder:

1. overgang fra ligningen a f(x) = a g(x) til ligningen f(x) = g(x);
2. introduktion af nye linjer.

Eksempler.

1. Ligninger reduceret til de enkleste. De løses ved at reducere begge sider af ligningen til en potens med samme base.

3 x = 9 x – 2.

Løsning:

3 x = (3 2) x – 2;
3 x = 3 2x – 4;
x = 2x –4;
x = 4.

Svar: 4.

2. Ligninger løst ved at tage den fælles faktor ud af parentes.

Løsning:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

Svar: 3.

3. Ligninger løst ved hjælp af en ændring af variabel.

Løsning:

2 2x + 2 x – 12 = 0
Vi betegner 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y1 = -4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Ligningen har ingen løsninger, fordi 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log23; x = log 2 3.

Svar: log 2 3.

4. Ligninger, der indeholder potenser med to forskellige (ikke reducerbare til hinanden) baser.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 × 23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

Svar: 2.

5. Ligninger, der er homogene med hensyn til a x og b x.

Generel form:.

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x.

Løsning:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Lad os betegne (3/2) x = y.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
y1 = 2; y 2 = ½.

Svar: log 3/2 2; - log 3/2 2.

Hvad er en eksponentiel ligning? Eksempler.

Altså, en eksponentiel ligning... En ny unik udstilling i vores generelle udstilling af en bred vifte af ligninger!) Som det næsten altid er tilfældet, er nøgleordet for ethvert nyt matematisk udtryk det tilsvarende adjektiv, der kendetegner det. Så det er her. Nøgleordet i udtrykket "eksponentiel ligning" er ordet "vejledende". Hvad betyder det? Dette ord betyder, at det ukendte (x) er lokaliseret hvad angår eventuelle grader. Og kun der! Dette er ekstremt vigtigt.

For eksempel disse simple ligninger:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Eller endda disse monstre:

2 sin x = 0,5

Vær straks opmærksom på en vigtig ting: grunde grader (nederst) – kun tal. Men i indikatorer grader (over) - en bred vifte af udtryk med et X. Absolut alle.) Alt afhænger af den specifikke ligning. Hvis x pludselig optræder et andet sted i ligningen, ud over indikatoren (f.eks. 3 x = 18 + x 2), så vil en sådan ligning allerede være en ligning blandet type. Sådanne ligninger har ikke klare regler for løsning af dem. Derfor vil vi ikke overveje dem i denne lektion. Til glæde for eleverne.) Her vil vi kun overveje eksponentialligninger i deres "rene" form.

Generelt kan ikke alle og ikke altid engang rene eksponentialligninger løses klart. Men blandt al den rige variation af eksponentialligninger er der visse typer, der kan og bør løses. Det er disse typer ligninger, vi vil overveje. Og vi vil helt sikkert løse eksemplerne.) Så lad os få det godt og afsted! Ligesom i computerskydespil, vil vores rejse foregå gennem niveauer.) Fra elementært til enkelt, fra enkelt til mellemliggende og fra middel til komplekst. Undervejs vil der også vente dig et hemmeligt niveau - teknikker og metoder til at løse ikke-standardiserede eksempler. Dem, som du ikke vil læse om i de fleste skolebøger... Nå, og til sidst venter selvfølgelig den endelige chef på dig i form af lektier.)

Niveau 0. Hvad er den enkleste eksponentialligning? Løsning af simple eksponentialligninger.

Lad os først se på nogle ærlige elementære ting. Du skal starte et sted, ikke? For eksempel denne ligning:

2 x = 2 2

Selv uden nogen teorier, ved simpel logik og sund fornuft er det klart, at x = 2. Der er ingen anden måde, vel? Ingen anden betydning af X er egnet ... Og lad os nu vende vores opmærksomhed mod optegnelse over beslutning denne seje eksponentielle ligning:

2 x = 2 2

X = 2

Hvad skete der med os? Og følgende skete. Vi tog det faktisk og... smed simpelthen de samme baser (toere) ud! Fuldstændig smidt ud. Og den gode nyhed er, at vi har ramt bull's eye!

Ja, faktisk, hvis der i en eksponentiel ligning er venstre og højre det samme tal i enhver potens, så kan disse tal kasseres og blot sidestille eksponenterne. Matematik tillader det.) Og så kan man arbejde separat med indikatorerne og løse en meget enklere ligning. Fantastisk, ikke?

Her er nøgleideen til at løse enhver (ja, præcis enhver!) eksponentiel ligning: ved hjælp af identiske transformationer er det nødvendigt at sikre, at venstre og højre side af ligningen er det samme grundtal i forskellige potenser. Og så kan du roligt fjerne de samme baser og sidestille eksponenterne. Og arbejde med en enklere ligning.

Lad os nu huske jernreglen: det er muligt at fjerne identiske grundtal, hvis og kun hvis tallene til venstre og højre for ligningen har grundtal i stolt ensomhed.

Hvad betyder det, i pragtfuld isolation? Det betyder uden nogen naboer og koefficienter. Lad mig forklare.

For eksempel i lign.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Treere kan ikke fjernes! Hvorfor? For på venstrefløjen har vi ikke bare en ensom treer i den grad, men arbejde 3·3 x-5. En ekstra tre forstyrrer: koefficienten, forstår du.)

Det samme kan siges om ligningen

5 3 x = 5 2 x +5 x

Også her er alle baserne ens - fem. Men til højre har vi ikke en eneste potens af fem: der er en sum af potenser!

Kort sagt, vi har kun ret til at fjerne identiske baser, når vores eksponentielle ligning ser sådan ud og kun sådan her:

-enf (x) = en g (x)

Denne type eksponentielligning kaldes den enkleste. Eller videnskabeligt set kanonisk . Og uanset hvilken indviklet ligning vi har foran os, vil vi på den ene eller anden måde reducere den til netop denne simpleste (kanoniske) form. Eller i nogle tilfælde til helhed ligninger af denne type. Så kan vores enkleste ligning omskrives i generel form som denne:

F(x) = g(x)

Det er alt. Dette ville være en tilsvarende konvertering. I dette tilfælde kan f(x) og g(x) være absolut alle udtryk med et x. Uanset hvad.

Måske vil en særlig nysgerrig studerende undre sig: hvorfor i alverden kasserer vi så let og enkelt de samme baser til venstre og højre og sidestiller eksponenterne? Intuition er intuition, men hvad nu hvis denne tilgang i en eller anden ligning og af en eller anden grund viser sig at være forkert? Er det altid lovligt at smide de samme grunde ud? Desværre, for et stringent matematisk svar på dette interessante spørgsmål, skal du dykke ret dybt og seriøst ind i den generelle teori om funktioners struktur og adfærd. Og lidt mere specifikt – i fænomenet streng monotoni. Især streng monotoni eksponentiel funktiony= et x. Da det er eksponentialfunktionen og dens egenskaber, der ligger til grund for løsningen af ​​eksponentialligninger, ja.) Et detaljeret svar på dette spørgsmål vil blive givet i en separat speciallektion, der er dedikeret til at løse komplekse ikke-standardligninger ved hjælp af monotoniteten af ​​forskellige funktioner.)

At forklare dette punkt i detaljer nu ville kun blæse hovedet på den gennemsnitlige studerende og skræmme ham væk på forhånd med en tør og tung teori. Jeg vil ikke gøre dette.) Fordi vores hovedopgave i øjeblikket er lær at løse eksponentialligninger! De enkleste! Lad os derfor ikke bekymre os endnu og frimodigt smide de samme grunde ud. Det her Kan, tag mit ord for det!) Og så løser vi den ækvivalente ligning f(x) = g(x). Som regel enklere end den oprindelige eksponentielle.

Det antages selvfølgelig, at folk allerede ved, hvordan man løser mindst , og ligninger, uden x'er i eksponenter.) For dem, der stadig ikke ved hvordan, er du velkommen til at lukke denne side, følge de relevante links og udfylde de gamle huller. Ellers får du det svært, ja...

Jeg taler ikke om irrationelle, trigonometriske og andre brutale ligninger, der også kan dukke op i processen med at eliminere grundlaget. Men vær ikke foruroliget, vi vil ikke overveje direkte grusomhed i form af grader for nu: det er for tidligt. Vi træner kun på de enkleste ligninger.)

Lad os nu se på ligninger, der kræver en ekstra indsats for at reducere dem til de enkleste. For forskellens skyld, lad os kalde dem simple eksponentialligninger. Så lad os gå til næste niveau!

Niveau 1. Simple eksponentialligninger. Lad os genkende graderne! Naturlige indikatorer.

Nøglereglerne ved løsning af eksponentielle ligninger er regler for håndtering af grader. Uden denne viden og færdigheder vil intet fungere. Ak. Så hvis der er problemer med graderne, så er du først velkommen. Derudover får vi også brug for . Disse transformationer (to af dem!) er grundlaget for at løse alle matematiske ligninger generelt. Og ikke kun demonstrative. Så den der har glemt det, tag også et kig på linket: Jeg sætter dem ikke bare der.

Men operationer med beføjelser og identitetstransformationer alene er ikke nok. Personlig observation og opfindsomhed er også påkrævet. Vi har brug for de samme grunde, ikke? Så vi undersøger eksemplet og leder efter dem i en eksplicit eller forklædt form!

For eksempel denne ligning:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Første kig på grunde. De er forskellige! Tre og syvogtyve. Men det er for tidligt at gå i panik og fortvivlelse. Det er tid til at huske det

27 = 3 3

Nummer 3 og 27 er slægtninge efter grad! Og de nærmeste.) Derfor har vi fuld ret til at skrive:

27 x +2 = (3 3) x+2

Lad os nu forbinde vores viden om handlinger med grader(og jeg advarede dig!). Der er en meget nyttig formel der:

(a m) n = a mn

Hvis du nu sætter det i værk, fungerer det godt:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3 (x +2)

Det originale eksempel ser nu sådan ud:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Dejligt, gradernes bund er jævnet ud. Det var det, vi ville. Halvdelen er overstået.) Nu starter vi den grundlæggende identitetstransformation - flyt 3 3(x +2) til højre. Ingen har annulleret matematikkens elementære operationer, ja.) Vi får:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Hvad giver denne form for ligning os? Og det faktum, at nu er vores ligning reduceret til kanonisk form: til venstre og højre er der de samme tal (tre) i potenser. Desuden er begge tre i pragtfuld isolation. Fjern gerne triplerne og få:

2x = 3(x+2)

Vi løser dette og får:

X = -6

Det er det. Dette er det rigtige svar.)

Lad os nu tænke på løsningen. Hvad reddede os i dette eksempel? Viden om tres kræfter reddede os. Hvordan præcist? Vi identificeret nummer 27 indeholder en krypteret treer! Dette trick (som koder den samme base under forskellige tal) er et af de mest populære i eksponentielle ligninger! Medmindre det er det mest populære. Ja, og på samme måde i øvrigt. Det er derfor, at observation og evnen til at genkende potenser af andre tal i tal er så vigtige i eksponentielle ligninger!

Praktiske råd:

Du skal kende kræfterne i populære tal. I ansigtet!

Selvfølgelig kan enhver hæve to til syvende potens eller tre til femte potens. Ikke i mit sind, men i hvert fald i et udkast. Men i eksponentielle ligninger er det meget oftere ikke nødvendigt at hæve til en potens, men tværtimod at finde ud af, hvilket tal og til hvilken styrke, der er skjult bag tallet, f.eks. 128 eller 243. Og dette er mere kompliceret end blot at hæve, er du enig. Mærk forskellen, som man siger!

Da evnen til at genkende grader personligt vil være nyttig ikke kun på dette niveau, men også på de næste, er her en lille opgave til dig:

Bestem hvilke potenser og hvilke tal tallene er:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Svar (selvfølgelig tilfældigt):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Ja Ja! Bliv ikke overrasket over, at der er flere svar end opgaver. For eksempel er 2 8, 4 4 og 16 2 alle 256.

Niveau 2. Simple eksponentialligninger. Lad os genkende graderne! Negative og fraktionerede indikatorer.

På dette niveau bruger vi allerede vores viden om grader fuldt ud. Vi inddrager nemlig negative og fraktionelle indikatorer i denne fascinerende proces! Ja Ja! Vi er nødt til at øge vores magt, ikke?

For eksempel denne frygtelige ligning:

Igen er det første blik på fundamentet. Årsagerne er forskellige! Og denne gang ligner de slet ikke hinanden! 5 og 0,04... Og for at eliminere baserne er de samme nødvendige... Hvad skal man gøre?

Det er ok! Faktisk er alt det samme, det er bare, at sammenhængen mellem de fem og 0,04 er visuelt dårligt synlig. Hvordan kan vi komme ud? Lad os gå videre til tallet 0,04 som en almindelig brøk! Og så, ser du, alt vil fungere.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Det viser sig, at 0,04 er 1/25! Nå, hvem skulle have troet!)

Så hvordan? Er det nu nemmere at se sammenhængen mellem tallene 5 og 1/25? Det er det...

Og nu efter reglerne for handlinger med grader med negativ indikator Du kan skrive med en rolig hånd:

Det er godt. Så vi kom til den samme base - fem. Nu erstatter vi det ubelejlige tal 0,04 i ligningen med 5 -2 og får:

Igen, ifølge reglerne for operationer med grader, kan vi nu skrive:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

For en sikkerheds skyld minder jeg dig (hvis nogen ikke ved det), at de grundlæggende regler for håndtering af grader gælder for nogen indikatorer! Inklusiv for negative.) Så tag og multiplicer indikatorerne (-2) og (x-1) i henhold til den relevante regel. Vores ligning bliver bedre og bedre:

Alle! Bortset fra ensomme femmere er der intet andet i magterne til venstre og højre. Ligningen er reduceret til kanonisk form. Og så - ad det riflede spor. Vi fjerner femtallene og sætter lighedstegn mellem indikatorerne:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Eksemplet er næsten løst. Det eneste, der er tilbage, er matematik i folkeskolen – åbn (korrekt!) parenteserne og saml alt til venstre:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Vi løser dette og får to rødder:

x 1 = 1; x 2 = 3

Det er alt.)

Lad os nu tænke igen. I dette eksempel skulle vi igen genkende det samme tal i forskellige grader! Nemlig at se en krypteret femmer i tallet 0,04. Og denne gang - i negativ grad! Hvordan gjorde vi det? Lige fra hånden - ingen måde. Men efter at have flyttet fra decimalbrøken 0,04 til fællesbrøken 1/25, blev alt klart! Og så gik hele beslutningen som smurt.)

Derfor endnu et grønt praktisk råd.

Hvis en eksponentielligning indeholder decimalbrøker, så går vi fra decimalbrøker til almindelige brøker. Det er meget nemmere at genkende potenser af mange populære tal i brøker! Efter genkendelsen går vi fra brøker til potenser med negative eksponenter.

Husk, at dette trick forekommer meget, meget ofte i eksponentielle ligninger! Men personen er ikke i emnet. Han kigger for eksempel på tallene 32 og 0,125 og bliver ked af det. Uden at han ved det, er dette en og samme to, kun i forskellige grader... Men du ved allerede!)

Løs ligningen:

I! Det ligner stille rædsel... Tilsyneladende bedrager dog. Dette er den enkleste eksponentielle ligning på trods af dens skræmmende udseende. Og nu vil jeg vise dig det.)

Lad os først se på alle tallene i baserne og koefficienterne. De er selvfølgelig forskellige, ja. Men vi vil stadig tage en risiko og forsøge at lave dem identisk! Lad os prøve at komme til det samme tal i forskellige magter. Desuden er tallene helst så små som muligt. Så lad os begynde at afkode!

Nå, med de fire er alt umiddelbart klart - det er 2 2. Okay, det er allerede noget.)

Med en brøkdel af 0,25 - er det stadig uklart. Skal tjekkes. Lad os bruge praktiske råd - gå fra en decimalbrøk til en almindelig brøk:

0,25 = 25/100 = 1/4

Meget bedre allerede. For nu er det tydeligt at se, at 1/4 er 2 -2. Fantastisk, og tallet 0,25 er også beslægtet med to.)

Så langt så godt. Men det værste antal af alle er tilbage - kvadratrod af to! Hvad skal man gøre med denne peber? Kan det også repræsenteres som en topotens? Og hvem ved...

Nå, lad os dykke ned i vores skatkammer af viden om grader igen! Denne gang forbinder vi desuden vores viden om rødder. Fra 9. klasses forløb skulle du og jeg have lært, at enhver rod, hvis det ønskes, altid kan forvandles til en grad med en brøkindikator.

Sådan her:

I vores tilfælde:

Wow! Det viser sig, at kvadratroden af ​​to er 2 1/2. Det er det!

Det er fint! Alle vores ubelejlige numre viste sig faktisk at være en krypteret toer.) Jeg argumenterer ikke, et sted meget sofistikeret krypteret. Men vi forbedrer også vores professionalisme i at løse sådanne cifre! Og så er alt allerede indlysende. I vores ligning erstatter vi tallene 4, 0,25 og roden af ​​to med to potenser:

Alle! Grundlaget for alle grader i eksemplet blev det samme - to. Og nu bruges standardhandlinger med grader:

en men n = en m + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Til venstre side får du:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

For højre side vil det være:

Og nu ser vores onde ligning sådan ud:

For dem, der ikke har fundet ud af præcis, hvordan denne ligning opstod, så handler spørgsmålet her ikke om eksponentielle ligninger. Spørgsmålet handler om handlinger med grader. Jeg bad dig om hurtigst muligt at gentage det til dem, der har problemer!

Her er målstregen! Den kanoniske form af eksponentialligningen er opnået! Så hvordan? Har jeg overbevist dig om, at alt ikke er så skræmmende? ;) Vi fjerner toerne og sidestiller indikatorerne:

Tilbage er kun at løse denne lineære ligning. Hvordan? Ved hjælp af identiske transformationer, selvfølgelig.) Beslut hvad der foregår! Gang begge sider med to (for at fjerne brøken 3/2), flyt termerne med X'er til venstre, uden X'er til højre, bring lignende, tæl - og du vil blive glad!

Alt skal vise sig smukt:

X=4

Lad os nu tænke over løsningen igen. I dette eksempel blev vi hjulpet af overgangen fra kvadrat rod Til grad med eksponent 1/2. Desuden hjalp kun sådan en snedig transformation os med at nå den samme base (to) overalt, hvilket reddede situationen! Og hvis ikke for det, så ville vi have alle muligheder for at fryse for evigt og aldrig klare dette eksempel, ja...

Derfor forsømmer vi ikke det næste praktiske råd:

Hvis en eksponentielligning indeholder rødder, så går vi fra rødder til potenser med brøkeksponenter. Meget ofte afklarer kun en sådan transformation den videre situation.

Naturligvis er negative og fraktionelle kræfter allerede meget mere komplekse end naturlige kræfter. I det mindste fra synsvinkel og især genkendelse fra højre mod venstre!

Det er klart, at det ikke er så stort et problem at hæve f.eks. to direkte til -3 eller fire til -3/2. For dem der ved det.)

Men gå for eksempel indse det straks

0,125 = 2 -3

Eller

Her er det kun øvelse og rig erfaring, der hersker, ja. Og selvfølgelig en klar idé, Hvad er en negativ og fraktioneret grad? Og også praktiske råd! Ja, ja, de samme grøn.) Jeg håber, at de stadig vil hjælpe dig med bedre at navigere i hele den mangfoldige række af grader og markant øge dine chancer for succes! Så lad os ikke forsømme dem. Det er ikke for ingenting, at jeg nogle gange skriver med grønt.)

Men hvis I lærer hinanden at kende selv med så eksotiske kræfter som negative og brøkdele, så vil jeres evner til at løse eksponentielle ligninger udvide sig enormt, og I vil være i stand til at håndtere næsten enhver form for eksponentielligninger. Nå, hvis ikke nogen, så 80 procent af alle eksponentielle ligninger - helt sikkert! Ja, ja, jeg laver ikke sjov!

Så vores første del af vores introduktion til eksponentielle ligninger er nået til sin logiske konklusion. Og som en mellemtræning foreslår jeg traditionelt at gøre lidt selvrefleksion.)

Øvelse 1.

For at mine ord om at dechifrere negative og brøkkræfter ikke går forgæves, foreslår jeg at spille et lille spil!

Udtryk tal som to potenser:

Svar (i uorden):

sket? Store! Så laver vi en kampmission - løs de enkleste og simpleste eksponentielle ligninger!

Opgave 2.

Løs ligningerne (alle svar er noget rod!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Svar:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

sket? Faktisk er det meget enklere!

Så løser vi næste spil:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Svar:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Og disse eksempler er et tilbage? Store! Du vokser! Så er her nogle flere eksempler, som du kan snacke med:

Svar:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Og er dette besluttet? Nå, respekt! Jeg tager hatten af.) Det betyder, at lektionen ikke var forgæves, og det indledende niveau med at løse eksponentielle ligninger kan anses for at være behersket. Næste niveauer og mere komplekse ligninger er forude! Og nye teknikker og tilgange. Og ikke-standardiserede eksempler. Og nye overraskelser.) Alt dette er i den næste lektion!

Gik noget galt? Det betyder, at problemerne højst sandsynligt er i . Eller i. Eller begge dele på én gang. Jeg er magtesløs her. Jeg kan endnu en gang kun foreslå én ting - vær ikke doven og følg linkene.)

Fortsættes.)

Eksponentialligninger. Som du ved, inkluderer Unified State Examinationen simple ligninger. Vi har allerede overvejet nogle - disse er logaritmiske, trigonometriske, rationelle. Her er eksponentialligningerne.

I en nylig artikel, vi arbejdede med eksponentielle udtryk, vil det være nyttigt. Selve ligningerne løses enkelt og hurtigt. Du skal bare kende eksponenternes egenskaber og... Om detteYderligere.

Lad os liste egenskaberne for eksponenter:

Nulpotensen af ​​ethvert tal er lig med en.

En konsekvens af denne ejendom:

Lidt mere teori.

En eksponentiel ligning er en ligning, der indeholder en variabel i eksponenten, det vil sige, det er en ligning af formen:

f(x) udtryk, der indeholder en variabel

Metoder til løsning af eksponentialligninger

1. Som et resultat af transformationer kan ligningen reduceres til formen:

Så anvender vi ejendommen:

2. Ved opnåelse af en ligning af formen en f (x) = b ved hjælp af definitionen af ​​logaritme får vi:

3. Som et resultat af transformationer kan du få en ligning af formen:

Logaritme anvendt:

Udtryk og find x.

I problemerne med Unified State Exam-varianterne vil det være nok at bruge den første metode.

Det vil sige, at det er nødvendigt at repræsentere venstre og højre side i form af potenser med samme base, og så sidestiller vi eksponenterne og løser den sædvanlige lineære ligning.

Overvej ligningerne:

Find roden til ligning 4 1–2x = 64.

Det er nødvendigt at sikre, at venstre og højre side indeholder eksponentielle udtryk med samme base. Vi kan repræsentere 64 som 4 i potensen 3. Vi får:

4 1-2x = 4 3

1 – 2x = 3

– 2x = 2

x = – 1

Undersøgelse:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Svar: -1

Find roden til ligning 3 x–18 = 1/9.

Det er kendt, at

Så 3 x-18 = 3 -2

Baserne er ens, vi kan sidestille indikatorerne:

x – 18 = – 2

x = 16

Undersøgelse:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Svar: 16

Find roden til ligningen:

Lad os repræsentere brøken 1/64 som en fjerdedel til tredje potens:

2x – 19 = 3

2x = 22

x = 11

Undersøgelse:

Svar: 11

Find roden til ligningen:

Lad os forestille os 1/3 som 3 –1 og 9 som 3 i anden kvadrat, vi får:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2x) = 3 2

3 –8+2x = 3 2

Nu kan vi sidestille indikatorerne:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Undersøgelse:

Svar: 5

26654. Find roden til ligningen:

Løsning:

Svar: 8,75

Faktisk, uanset hvilken styrke vi hæver et positivt tal a til, kan vi ikke få et negativt tal.

Enhver eksponentiel ligning efter passende transformationer reduceres til at løse en eller flere simple.I dette afsnit vil vi også se på at løse nogle ligninger, gå ikke glip af det!Det er alt. Held og lykke!

Med venlig hilsen Alexander Krutitskikh.

P.S: Jeg ville være taknemmelig, hvis du fortæller mig om webstedet på sociale netværk.