Numeriske funktioner og deres egenskaber. Lektion "Funktioner og deres egenskaber

De har mange egenskaber:


1. Funktionen kaldes monotont på et bestemt interval A, hvis det stiger eller falder på dette interval


2. Funktionen kaldes stigende på et bestemt interval A, hvis følgende betingelse er opfyldt for et hvilket som helst tal i deres mængde A:.


Grafen for en stigende funktion har en særlig funktion: når man bevæger sig langs x-aksen fra venstre mod højre langs intervallet EN ordinaterne af grafpunkterne stiger (fig. 4).


3. Funktionen kaldes faldende med et eller andet interval EN, hvis der for nogle tal er mange af dem EN betingelsen er opfyldt:.


Grafen for en aftagende funktion har en speciel funktion: når man bevæger sig langs x-aksen fra venstre mod højre langs intervallet EN ordinaterne af grafpunkterne falder (fig. 4).


4. Funktionen kaldes også selvom på et eller andet sæt X, hvis betingelsen er opfyldt: .


Grafen for en lige funktion er symmetrisk om ordinataksen (fig. 2).


5. Funktionen kaldes ulige på et eller andet sæt X, hvis betingelsen er opfyldt: .


Grafen for en ulige funktion er symmetrisk om oprindelsen (fig. 2).


6. Hvis funktionen y = f(x)
f(x) f(x), så siger de, at funktionen y = f(x) accepterer mindste værdi på=f(x) på x= x(Fig. 2, funktionen tager den mindste værdi i punktet med koordinaterne (0;0)).


7. Hvis funktionen y = f(x) er defineret på mængden X, og der eksisterer sådan, at for enhver uligheden f(x) f(x), så siger de, at funktionen y = f(x) accepterer højeste værdi på=f(x) på x= x(Fig. 4, funktionen har ikke de største og mindste værdier) .


Hvis for denne funktion y = f(x) alle de opførte ejendomme er undersøgt, så siger man det undersøgelse funktioner.

Lektion 1-2. Definition af en numerisk funktion og metoder til at specificere den

09.07.2015 11704 0

Mål: diskutere definitionen af ​​en funktion og hvordan den defineres.

I. Formidling af emnet og formålet med lektionerne

II. Gennemgang af 9. klasses materiale

Forskellige aspekter af dette emne er allerede blevet dækket i klasse 7-9. Nu skal vi udvide og opsummere informationen om funktionerne. Lad os minde dig om, at emnet er et af de vigtigste for hele matematikforløbet. Forskellige funktioner vil blive studeret frem til eksamen og videre på de videregående uddannelsesinstitutioner. Dette emne er tæt forbundet med løsning af ligninger, uligheder, ordproblemer, progressioner osv.

Definition 1. Lad to sæt reelle tal være givet D og E og loven er angivet f hvorefter hvert tal x∈ D svarer til entalstallet y ∈ E (se billede). Så siger de, at funktionen y = f(x ) eller y(x) med definitionsdomæne (O.O.) D og ændringsområdet (O.I.) E. I dette tilfælde kaldes værdien x den uafhængige variabel (eller funktionens argument), værdien y kaldes den afhængige variabel (eller værdien af ​​funktionen).

Funktion Domæne f angiver D(f ). Sættet bestående af alle tal f(x ) (funktionsområde f), angiver E(f).

Eksempel 1

Overvej funktionenFor at finde y for hver værdi af x skal du udføre følgende operationer: Træk tallet 2 (x - 2) fra værdien af ​​x, udtræk kvadratroden af ​​dette udtrykog tilføje til sidst tallet 3Sættet af disse operationer (eller loven, ifølge hvilken værdien y søges for hver værdi af x) kaldes funktionen y(x). For eksempel finder vi for x = 6For at beregne funktionen y ved et givet punkt x, er det således nødvendigt at erstatte denne værdi x i den givne funktion y(x).

Det er klart, at for en given funktion, for ethvert tilladt tal x, kan der kun findes én værdi af y (dvs. for hver værdi af x svarer der en værdi af y).

Lad os nu overveje definitionsdomænet og variationsområdet for denne funktion. Det er kun muligt at udtrække kvadratroden af ​​udtrykket (x - 2), hvis denne værdi er ikke-negativ, dvs. x - 2 ≥ 0 eller x ≥ 2. FindDa per definition af en aritmetisk rodså tilføjer vi tallet 3 til alle dele af denne ulighed, får vi:eller 3 ≤ y< +∞. Находим

Rationelle funktioner bruges ofte i matematik. I dette tilfælde funktioner i formen f(x ) = p(x) (hvor p(x) er et polynomium) kaldes hele rationelle funktioner. Formens funktioner(hvor p(x) og q(x ) - polynomier) kaldes brøk-rationelle funktioner. Åbenbart en brøkdeler defineret hvis nævneren q(x ) forsvinder ikke. Derfor er definitionsdomænet for den fraktionelle rationelle funktion- mængden af ​​alle reelle tal, hvorfra polynomiets rødder er udelukket q(x).

Eksempel 2

Rationel funktiondefineret for x - 2 ≠ 0, dvs. x ≠ 2. Derfor er definitionsdomænet for denne funktion mængden af ​​alle reelle tal, der ikke er lig med 2, dvs. foreningen af ​​intervallerne (-∞; 2) og (2; ∞).

Husk, at foreningen af ​​mængderne A og B er en mængde bestående af alle elementer, der indgår i mindst et af mængderne A eller B. Unionen af ​​mængderne A og B er angivet med symbolet A U B. Således er foreningen af ​​segmenter og (3; 9) et interval (ikke-skærende intervaller) er betegnet med .

For at vende tilbage til eksemplet kan vi skrive:Da for alle acceptable værdier af x brøkenforsvinder ikke, så funktionen f(x ) tager alle værdier undtagen 3. Derfor

Eksempel 3

Lad os finde definitionsdomænet for den fraktionelle rationelle funktion

Nævnerne af brøker forsvinder ved x = 2, x = 1 og x = -3. Derfor er definitionsområdet for denne funktion

Eksempel 4

Afhængighed er ikke længere en funktion. Faktisk, hvis vi ønsker at beregne værdien af ​​y, for eksempel for x = 1, så finder vi ved hjælp af den øverste formel: y = 2 1 - 3 = -1, og ved at bruge den nederste formel får vi: y = 12 + 1 = 2. Således én værdi x(x = 1) svarer til to værdier af y (y = -1 og y = 2). Derfor er denne afhængighed (per definition) ikke en funktion.

Eksempel 5

Der vises grafer over to afhængigheder y(x ). Lad os bestemme, hvilken af ​​dem der er en funktion.


I fig. og grafen for funktionen er givet, da på ethvert tidspunkt x 0 kun én værdi y0 svarer. I fig. b er en graf af en form for afhængighed (men ikke en funktion), da sådanne punkter findes (f.eks. x 0 ), som svarer til mere end én værdi y (f.eks. y1 og y2).

Lad os nu overveje de vigtigste måder at specificere funktioner på.

1) Analytisk (ved hjælp af en formel eller formler).

Eksempel 6

Lad os se på funktionerne:

På trods af sin usædvanlige form definerer dette forhold også en funktion. For enhver værdi af x er det let at finde værdien af ​​y. For eksempel, for x = -0,37 (da x< 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х >0, så bruger vi det nederste udtryk) vi har:Fra metoden til at finde y er det klart, at enhver værdi x kun svarer til én værdi y.

c) 3x + y = 2y - x2. Lad os udtrykke værdien y fra dette forhold: 3x + x2 = 2y - y eller x2 + 3x = y. Denne relation definerer således også funktionen y = x2 + 3x.

2) Tabel

Eksempel 7

Lad os udskrive en tabel med kvadrater y for tallene x.

2,25

6,25

Tabeldataene definerer også en funktion - for hver (angivet i tabellen) værdi af x kan der findes en enkelt værdi af y. For eksempel, y(1,5) = 2,25, y(5) = 25 osv.

3) Grafisk

I et rektangulært koordinatsystem, for at skildre den funktionelle afhængighed y(x), er det praktisk at bruge en speciel tegning - en graf over funktionen.

Definition 2. Graf over en funktion y(x ) er sættet af alle punkter i koordinatsystemet, hvis abscisser er lig med værdierne af den uafhængige variabel x, og ordinaterne er lig med de tilsvarende værdier af den afhængige variabel y.

I kraft af denne definition er alle par af punkter (x0, y0), der opfylder den funktionelle afhængighed y(x), placeret på grafen for funktionen. Ethvert andet par af punkter, der ikke opfylder afhængigheden y(x ), ligger funktionerne ikke på grafen.

Eksempel 8

Givet en funktion Hører punktet med koordinater til grafen for denne funktion: a) (-2; -6); b) (-3; -10)?

1. Find værdien af ​​funktionen y atDa y(-2) = -6, så hører punkt A (-2; -6) til grafen for denne funktion.

2. Bestem værdien af ​​funktionen y at Siden y (-3) = -11, så hører punkt B (-3; -10) ikke til grafen for denne funktion.

Ifølge denne graf for funktionen y = f(x ) er det nemt at finde definitionsdomænet D(f ) og rækkevidde E(f ) funktioner. For at gøre dette projiceres grafpunkterne på koordinatakserne. Så danner abscissen af ​​disse punkter definitionsdomænet D(f ), ordinater - værdiområde E(f).

Lad os sammenligne forskellige måder at definere en funktion på. Analysemetoden bør betragtes som den mest komplette. Det giver dig mulighed for at oprette en tabel med funktionsværdier for nogle argumentværdier, bygge en graf over funktionen og udføre den nødvendige forskning af funktionen. Samtidig giver tabelmetoden dig hurtigt og nemt at finde værdien af ​​funktionen for nogle argumentværdier. Grafen for en funktion viser tydeligt dens adfærd. Derfor bør man ikke modsætte sig forskellige metoder til at specificere en funktion; hver af dem har sine egne fordele og ulemper. I praksis bruges alle tre måder at angive en funktion på.

Eksempel 9

Givet funktionen y = 2x2 - 3x +1.

Lad os finde: a) y (2); b) y (-3x); c) y(x + 1).

For at finde værdien af ​​en funktion for en bestemt værdi af argumentet, er det nødvendigt at erstatte denne værdi af argumentet i den analytiske form af funktionen. Derfor får vi:

Eksempel 10

Det er kendt, at y(3 - x) = 2x2 - 4. Lad os finde: a) y(x); b) y(-2).

a) Lad os betegne det med bogstav z = 3, derefter x = 3 - z . Lad os erstatte denne værdi x i den analytiske form af denne funktion y(3 - x) = 2x2 - 4 og få: y (3 - (3 - z)) = 2 (3 - z)2 - 4, eller y (z) = 2 (3 - z)2 - 4, eller y (z) = 2 (9 - 6 z + z 2) - 4, eller y (z) = 2x2 - 12 z + 14. Da det er ligegyldigt hvilket bogstav funktionsargumentet er angivet - z, x, t eller en hvilken som helst anden, får vi straks: y(x) = 2x2 - 12x + 14;

b) Nu er det nemt at finde y(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.

Eksempel 11

Det er kendt, at Lad os finde x(y).

Lad os betegne med bogstavet z = x - 2, derefter x = z + 2, og skriv problemets tilstand ned: eller Til vi vil skrive den samme betingelse for argumentet (- z): For nemheds skyld introducerer vi nye variabler a = y (z) og b = y (- z ). For sådanne variable får vi et system af lineære ligninger

Vi er interesserede i det ukendte en.

For at finde det bruger vi metoden med algebraisk addition. Lad os derfor gange den første ligning med tallet (-2), den anden ligning med tallet 3. Vi får:

Lad os tilføje disse ligninger:hvor Da funktionsargumentet kan betegnes med et hvilket som helst bogstav, har vi:

Afslutningsvis bemærker vi, at ved udgangen af ​​klasse 9 blev følgende egenskaber og grafer undersøgt:

a) lineær funktion y = kx + m (grafen er en ret linje);

b) andengradsfunktion y = ax2 + b x + c (graf - parabel);

c) fraktioneret lineær funktion(graf - hyperbel), i særlige funktioner

d) potensfunktion y = xa (især funktionen

e) funktioner y = |x|.

For yderligere undersøgelse af materialet anbefaler vi at gentage egenskaberne og graferne for disse funktioner. De følgende lektioner vil dække de grundlæggende metoder til konvertering af grafer.

1. Definer en numerisk funktion.

2. Forklar hvordan man definerer en funktion.

3. Hvad kaldes foreningen af ​​mængder A og B?

4. Hvilke funktioner kaldes rationelle heltal?

5. Hvilke funktioner kaldes brøkrationelle? Hvad er definitionsområdet for sådanne funktioner?

6. Hvad kaldes grafen for en funktion f(x)?

7. Angiv egenskaber og grafer for hovedfunktionerne.

IV. Lektionsopgave

§ 1, nr. 1 (a, d); 2 (c, d); 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 6 (c); 7 (a, b); 8 (c, d); 10 (-en ); 13 (c, d); 16 (a, b); 18.

V. Hjemmearbejde

§ 1, nr. 1 (b, c); 2 (a, b); 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 6 (g); 7 (c, d); 8 (a, b); 10 (b); 13 (a, b); 16 (c, d); 19.

VI. Kreative opgaver

1. Find funktionen y = f(x), hvis:


Svar:


2. Find funktionen y = f(x) hvis:

Svar:


VII. Opsummering af lektionerne

OVERSIGT LEKTION OM EMNET "FUNKTIONER OG DERES EGENSKABER".

Lektionens mål:

Metodisk:øge elevernes aktiv-kognitive aktivitet gennem individuelt selvstændigt arbejde og brug af udviklingsmæssige typetestopgaver.

Uddannelsesmæssigt: gentage elementære funktioner, deres grundlæggende egenskaber og grafer. Introducer begrebet gensidigt omvendte funktioner. Systematisere elevernes viden om emnet; bidrage til konsolideringen af ​​færdigheder i beregning af logaritmer, ved at anvende deres egenskaber ved løsning af opgaver af en ikke-standardtype; gentag konstruktionen af ​​grafer over funktioner ved hjælp af transformationer og test dine færdigheder og evner, når du løser øvelser på egen hånd.

Uddannelsesmæssigt: fremme nøjagtighed, ro, ansvarlighed og evnen til at træffe selvstændige beslutninger.

Udviklingsmæssigt: udvikle intellektuelle evner, mentale operationer, tale, hukommelse. Udvikle en kærlighed og interesse for matematik; I løbet af lektionen skal du sikre dig, at eleverne udvikler selvstændig tænkning i læringsaktiviteter.

Lektionstype: generalisering og systematisering.

Udstyr: tavle, computer, projektor, lærred, undervisningslitteratur.

Lektionens epigraf:"Matematik skal så undervises, fordi det bringer sindet i orden."

(M.V. Lomonosov).

UNDER UNDERVISNINGEN

Tjek lektier.

Gentagelse af eksponentielle og logaritmiske funktioner med basis a = 2, konstruktion af deres grafer i samme koordinatplan, analyse af deres relative position. Overvej den indbyrdes afhængighed mellem disse funktioners hovedegenskaber (OOF og OFP). Giv begrebet gensidigt omvendte funktioner.

Overvej eksponentielle og logaritmiske funktioner med basis a = ½ c

for at sikre, at de opførte ejendommes indbyrdes afhængighed overholdes og for

faldende gensidigt omvendte funktioner.

Organisering af selvstændigt test-type arbejde med henblik på udvikling af tænkeevner

systematiseringsoperationer om emnet "Funktioner og deres egenskaber."

FUNKTIONS EGENSKABER:

1). y = ‌│х│ ;

2). Stigning gennem hele definitionsområdet;

3). OOF: (- ∞; + ∞) ;

4). y = sin x;

5). Falder ved 0< а < 1 ;

6). y = x3;

7). OPF: (0; + ∞);

8). Generel funktion;

9). y = √ x;

10). OOF: (0; + ∞);

elleve). Falder over hele definitionsområdet;

12). y = kx + b;

13). OSF: (- ∞; + ∞);

14). Stiger ved k > 0;

15). OOF: (- ∞; 0); (0; + ∞);

16). y = cos x;

17). Har ingen ekstremum punkter;

18). OSF: (- ∞; 0); (0; + ∞);

19). Falder ved k< 0 ;

20). y = x2;

21). OOF: x ≠ πn;

22). y = k/x;

23). Også selvom;

25). Falder for k > 0;

26). OOF: [ 0; + ∞);

27). y = tan x;

28). Øger med k< 0;

29). OSF: [0; + ∞);

tredive). Ulige;

31). y = log x;

32). OOF: x ≠ πn/2;

33). y = ctg x;

34). Øger når a > 1.

Under dette arbejde undersøge eleverne om individuelle opgaver:

nr. 1. a) Tegn graf funktionen

b) Tegn graf funktionen

nr. 2. a) Beregn:

b) Beregn:

nr. 3. a) Forenkle udtrykket
og find dens værdi på

b) Forenkle udtrykket
og find dens værdi på
.

Hjemmearbejde: nr. 1. Beregn: a)
;

V)
;

G)
.

nr. 2. Find funktionens definitionsdomæne: a)
;

V)
; G)
.

Sektioner: Matematik

Klasse: 9

Lektionstype: Lektion om generalisering og systematisering af viden.

Udstyr:

  1. Interaktivt udstyr (PC, multimedieprojektor).
  2. Test, materiale i Microsoft Word ( Bilag 1).
  3. Interaktivt program "Autograf".
  4. Individuel test - uddelingskopier ( Bilag 2).

Under timerne

1. Organisatorisk øjeblik

Formålet med lektionen annonceres.

Fase I af lektionen

Tjek lektier

  1. Saml foldere med selvstændige hjemmeopgaver fra didaktisk materiale S-19 mulighed 1.
  2. Løs på tavlen de opgaver, der voldte vanskeligheder for eleverne, når de lavede deres lektier.

Lektion trin II

1. Frontal undersøgelse.

2. Blitz-undersøgelse: Fremhæv det rigtige svar i testen på tavlen (bilag 1, s. 2-3).

Lektion trin III

laver øvelser.

1. Løs nr. 358 (a). Løs ligningen grafisk: .

2. Kort (fire svage elever løser i en notesbog eller på tavlen):

1) Find betydningen af ​​udtrykket: a) ; b) .

2) Find definitionsdomænet for funktionerne: a) ; b) y = .

3. Løs nr. 358 (a). Løs ligningen grafisk: .

En elev løser på tavlen, resten i en notesbog. Om nødvendigt hjælper læreren eleven.

Et rektangulært koordinatsystem blev bygget på den interaktive tavle ved hjælp af AutoGraph-programmet. Eleven tegner de tilsvarende grafer med en markør, finder en løsning og skriver svaret ned. Derefter kontrolleres opgaven: formlen indtastes ved hjælp af tastaturet, og grafen skal falde sammen med den, der allerede er tegnet i samme koordinatsystem. Abscissen af ​​grafernes skæringspunkt er roden af ​​ligningen.

Løsning:

Svar: 8

Løs nr. 360(a). Plot og læs grafen for funktionen:

Eleverne løser opgaven selvstændigt.

Konstruktionen af ​​grafen kontrolleres ved hjælp af AutoGraph-programmet, egenskaberne skrives på tavlen af ​​én elev (definitionsdomæne, værdidomæne, paritet, monotoni, kontinuitet, nuller og fortegnskonstant, største og mindste værdier af en funktion).

Løsning:

Ejendomme:

1) D( f) = (-); E( f) = , stiger med )