En aritmetisk progression med n er givet ved betingelser. Lektionens emne: "Formel for summen af ​​de første n led i en aritmetisk progression

Mottoet for vores lektion vil være ordene fra den russiske matematiker V.P. Ermakova: "I matematik skal man ikke huske formler, men tænkeprocesser."

Under timerne

Formulering af problemet

På tavlen ses et portræt af Gauss. En lærer eller elev, der fik til opgave at forberede en besked på forhånd, fortæller, at da Gauss var i skole, bad læreren eleverne om at lægge alle de naturlige tal fra 1 til 100 sammen. Lille Gauss løste dette problem på et minut.

Spørgsmål . Hvordan fik Gauss svaret?

At finde løsninger

Eleverne udtrykker deres antagelser, og opsummerer derefter: at indse, at summerne er 1 + 100, 2 + 99 osv. er lige, Gauss ganget 101 med 50, det vil sige med antallet af sådanne summer. Med andre ord bemærkede han et mønster, der er iboende i aritmetisk progression.

Udledning af sumformlen n første led i en aritmetisk progression

Skriv lektionens emne ned på tavlen og i dine notesbøger. Eleverne skriver sammen med læreren konklusionen af ​​formlen ned:

Lade -en 1 ; -en 2 ; -en 3 ; -en 4 ; ...; en n – 2 ; en n – 1 ; en n- aritmetisk progression.

Primær konsolidering

1. Ved hjælp af formel (1) løser vi Gauss-problemet:

2. Brug formel (1), løs problemer mundtligt (deres betingelser er skrevet på tavlen eller positiv kode), ( en n) - aritmetisk progression:

EN) -en 1 = 2, -en 10 = 20. S 10 - ?

b) -en 1 = –5, -en 7 = 1. S 7 - ? [–14]

V) -en 1 = –2, -en 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) -en 1 = –5, -en 11 = 5. S 11 - ?

3. Fuldfør opgaven.

Givet: ( en n) - aritmetisk progression;

-en 1 = 3, -en 60 = 57.

Find: S 60 .

Løsning. Lad os bruge sumformlen n første led i en aritmetisk progression

Svar: 1800.

Yderligere spørgsmål. Hvor mange typer af forskellige problemer kan løses ved hjælp af denne formel?

Svar. Fire typer opgaver:

Find beløbet S n;

Find det første led i en aritmetisk progression -en 1 ;

Find n led af en aritmetisk progression en n;

Find antallet af led i en aritmetisk progression.

4. Udfør opgave: nr. 369(b).

Find summen af ​​de første tres led af den aritmetiske progression ( en n), hvis -en 1 = –10,5, -en 60 = 51,5.

Løsning.

Svar: 1230.

Yderligere spørgsmål. Skriv formlen ned n led af en aritmetisk progression.

Svar: en n = -en 1 + d(n – 1).

5. Beregn formlen for de første ni led i den aritmetiske progression ( b n),
Hvis b 1 = –17, d = 6.

Er det muligt at beregne med det samme ved hjælp af en formel?

Nej, for det niende led er ukendt.

Hvordan finder man det?

Ifølge formlen n led af en aritmetisk progression.

Løsning. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;

Svar: 63.

Spørgsmål. Er det muligt at finde summen uden at beregne det niende led i progressionen?

Formulering af problemet

Problem: Få sumformlen n første led i en aritmetisk progression, ved at kende dens første led og forskel d.

(Udledning af en formel på tavlen af ​​en elev.)

Vi vil beslutte nr. 371(a) om ny formel (2):

Lad os verbalt etablere formler (2) ( betingelserne for opgaverne er skrevet på tavlen).

(en n

1. -en 1 = 3, d = 4. S 4 - ?

2. -en 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]

Find ud af fra eleverne, hvilke spørgsmål der er uklare.

Selvstændigt arbejde

Mulighed 1

Givet: (en n) - aritmetisk progression.

1. -en 1 = –3, -en 6 = 21. S 6 - ?

2. -en 1 = 6, d = –3. S 4 - ?

Mulighed 2

Givet: (en n) - aritmetisk progression.

1.-en 1 = 2, -en 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.-en 1 = –7, d = 4. S 5 - ?

Eleverne udveksler notesbøger og tjekker hinandens løsninger.

Opsummer læringen af ​​materialet baseret på resultaterne af selvstændigt arbejde.

Første niveau

Aritmetisk progression. Detaljeret teori med eksempler (2019)

Nummerrækkefølge

Så lad os sætte os ned og begynde at skrive nogle tal. For eksempel:
Du kan skrive alle tal, og der kan være lige så mange af dem, som du vil (i vores tilfælde er der dem). Uanset hvor mange tal vi skriver, kan vi altid sige, hvilket der er først, hvilket der er andet, og så videre indtil det sidste, det vil sige, vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en talrække:

Nummerrækkefølge
For eksempel for vores sekvens:

Det tildelte nummer er specifikt for kun ét nummer i sekvensen. Med andre ord er der ingen tre sekunders tal i sekvensen. Det andet tal (som det th tal) er altid det samme.
Tallet med tal kaldes sekvensens th led.

Vi kalder normalt hele sekvensen med et bogstav (f.eks.), og hvert medlem af denne sekvens er det samme bogstav med et indeks svarende til tallet på dette medlem: .

I vores tilfælde:

Lad os sige, at vi har nummerrækkefølge, hvor forskellen mellem tilstødende tal er den samme og ens.
For eksempel:

etc.
Denne talrække kaldes en aritmetisk progression.
Udtrykket "progression" blev introduceret af den romerske forfatter Boethius tilbage i det 6. århundrede og blev forstået i flere i bred forstand, som en uendelig talrække. Navnet "aritmetik" blev overført fra teorien om kontinuerlige proportioner, som blev studeret af de gamle grækere.

Dette er en talrække, hvor hvert medlem er lig med den foregående tilføjet til det samme tal. Dette tal kaldes forskellen på en aritmetisk progression og betegnes.

Prøv at bestemme, hvilke talsekvenser der er en aritmetisk progression, og hvilke der ikke er:

en)
b)
c)
d)

Forstået? Lad os sammenligne vores svar:
Er aritmetisk progression - b, c.
Er ikke aritmetisk progression - a, d.

Lad os gå tilbage til givet progression() og prøv at finde værdien af ​​dets th medlem. Eksisterer to måde at finde det på.

1. Metode

Vi kan føje progressionstallet til den forrige værdi, indtil vi når progressionens th term. Det er godt, at vi ikke har meget at opsummere - kun tre værdier:

Så det th led i den beskrevne aritmetiske progression er lig med.

2. Metode

Hvad hvis vi havde brug for at finde værdien af ​​progressionens tredje led? Summeringen ville tage os mere end en time, og det er ikke et faktum, at vi ikke ville lave fejl, når vi lægger tal sammen.
Selvfølgelig har matematikere fundet på en måde, hvorpå det ikke er nødvendigt at lægge forskellen på en aritmetisk progression til den tidligere værdi. Se nærmere på det tegnede billede... Du har sikkert allerede lagt mærke til et bestemt mønster, nemlig:

Lad os f.eks. se, hvad værdien af ​​det tredje led i denne aritmetiske progression består af:


Med andre ord:

Prøv selv at finde værdien af ​​et medlem af en given aritmetisk progression på denne måde.

Har du beregnet? Sammenlign dine noter med svaret:

Bemærk venligst, at du fik nøjagtig det samme tal som i den foregående metode, da vi sekventielt tilføjede vilkårene for den aritmetiske progression til den forrige værdi.
Lad os prøve at "depersonalisere" denne formel- lad os bringe hende til generel form og vi får:

Aritmetisk progressionsligning.

Aritmetiske progressioner kan være stigende eller faldende.

Stigende- progressioner, hvor hver efterfølgende værdi af vilkårene er større end den foregående.
For eksempel:

Aftagende- progressioner, hvor hver efterfølgende værdi af vilkårene er mindre end den foregående.
For eksempel:

Den afledte formel bruges i beregningen af ​​led i både stigende og faldende termer af en aritmetisk progression.
Lad os tjekke dette i praksis.
Vi får givet en aritmetisk progression bestående af følgende tal: Lad os tjekke, hvad tallet i denne aritmetiske progression vil være, hvis vi bruger vores formel til at beregne det:


Siden da:

Vi er således overbevist om, at formlen fungerer i både faldende og stigende aritmetisk progression.
Prøv selv at finde de th og th led i denne aritmetiske progression.

Lad os sammenligne resultaterne:

Aritmetisk progressionsegenskab

Lad os komplicere problemet - vi vil udlede egenskaben for aritmetisk progression.
Lad os sige, at vi får følgende betingelse:
- aritmetisk progression, find værdien.
Nemt, siger du og begynder at tælle efter den formel, du allerede kender:

Lad, ah, så:

Fuldstændig ret. Det viser sig, at vi først finder, derefter tilføjer det til det første tal og får det, vi leder efter. Hvis progressionen er repræsenteret af små værdier, så er der ikke noget kompliceret ved det, men hvad nu hvis vi får tal i betingelsen? Enig, der er mulighed for at lave en fejl i beregningerne.
Tænk nu på, om det er muligt at løse dette problem i et trin ved hjælp af en formel? Selvfølgelig ja, og det er det, vi vil forsøge at få frem nu.

Lad os betegne det påkrævede led for den aritmetiske progression, da formlen for at finde den er kendt af os - dette er den samme formel, som vi udledte i begyndelsen:
, Derefter:

  • den foregående periode af progressionen er:
  • næste semester i progressionen er:

Lad os opsummere de foregående og efterfølgende vilkår for progressionen:

Det viser sig, at summen af ​​de foregående og efterfølgende led i progressionen er den dobbelte værdi af progressionsleddet placeret mellem dem. Med andre ord, for at finde værdien af ​​et progressionsled med kendte tidligere og successive værdier, skal du tilføje dem og dividere med.

Det er rigtigt, vi fik det samme nummer. Lad os sikre materialet. Beregn selv værdien for progressionen, det er slet ikke svært.

Godt klaret! Du ved næsten alt om progression! Det er tilbage kun at finde ud af én formel, som ifølge legenden let blev udledt af en af ​​de største matematikere gennem tidene, "matematikernes konge" - Karl Gauss...

Da Carl Gauss var 9 år gammel, stillede en lærer, der var travlt med at tjekke elevernes arbejde i andre klasser, følgende problem i klassen: "Beregn summen af ​​alle naturlige tal fra til (ifølge andre kilder op til) inklusive." Forestil dig lærerens overraskelse, da en af ​​hans elever (dette var Karl Gauss) et minut senere gav det rigtige svar på opgaven, mens de fleste af vovehalsens klassekammerater efter lange udregninger fik det forkerte resultat...

Den unge Carl Gauss lagde mærke til et bestemt mønster, som du også nemt kan bemærke.
Lad os sige, at vi har en aritmetisk progression bestående af -th led: Vi skal finde summen af ​​disse led af den aritmetiske progression. Selvfølgelig kan vi manuelt summere alle værdierne, men hvad nu hvis opgaven kræver at finde summen af ​​dens vilkår, som Gauss ledte efter?

Lad os skildre den udvikling, vi har fået. Se nærmere på de fremhævede tal og prøv at udføre forskellige matematiske operationer med dem.


Har du prøvet det? Hvad lagde du mærke til? Højre! Deres beløb er lige store


Fortæl mig nu, hvor mange sådanne par er der i alt i den progression, vi har fået? Selvfølgelig præcis halvdelen af ​​alle tal, altså.
Baseret på det faktum, at summen af ​​to led i en aritmetisk progression er ens, og lignende par er lige, får vi, at total beløb er lig med:
.
Således vil formlen for summen af ​​de første led i enhver aritmetisk progression være:

I nogle problemer kender vi ikke det th led, men vi kender forskellen på progressionen. Prøv at erstatte formlen for det th led i sumformlen.
Hvad fik du?

Godt klaret! Lad os nu vende tilbage til problemet, som blev stillet til Carl Gauss: beregn selv, hvad summen af ​​tal, der starter fra th, er lig med og summen af ​​numre, der starter fra th.

Hvor meget fik du?
Gauss fandt ud af, at summen af ​​vilkårene er lig, og summen af ​​vilkårene. Var det det du besluttede?

Faktisk blev formlen for summen af ​​led i en aritmetisk progression bevist af den antikke græske videnskabsmand Diophantus tilbage i det 3. århundrede, og i hele denne tid vittige mennesker gjort fuld brug af egenskaberne ved aritmetisk progression.
Forestil dig for eksempel Det gamle Egypten og det meste storstilet byggeri dengang - konstruktionen af ​​en pyramide... Billedet viser den ene side af den.

Hvor er progressionen her, siger du? Se godt efter og find et mønster i antallet af sandblokke i hver række af pyramidevæggen.


Hvorfor ikke en aritmetisk progression? Beregn, hvor mange blokke der er nødvendige for at bygge én væg, hvis der er placeret blokke i bunden. Jeg håber ikke, du vil tælle, mens du flytter fingeren hen over skærmen, husker du den sidste formel og alt, hvad vi sagde om aritmetisk progression?

I I dette tilfælde progression ser ud på følgende måde: .
Aritmetisk progressionsforskel.
Antallet af led i en aritmetisk progression.
Lad os erstatte vores data med de sidste formler (beregn antallet af blokke på 2 måder).

Metode 1.

Metode 2.

Og nu kan du beregne på skærmen: sammenlign de opnåede værdier med antallet af blokke, der er i vores pyramide. Forstået? Godt gået, du har mestret summen af ​​de n'te led i en aritmetisk progression.
Selvfølgelig kan du ikke bygge en pyramide fra blokke ved basen, men fra? Prøv at beregne, hvor mange sandsten der er nødvendige for at bygge en mur med denne tilstand.
Klarede du dig?
Det rigtige svar er blokke:

Uddannelse

Opgaver:

  1. Masha er ved at komme i form til sommer. Hver dag øger hun antallet af squats med. Hvor mange gange vil Masha lave squats på en uge, hvis hun lavede squats ved den første træning?
  2. Hvad er summen af ​​alle ulige tal indeholdt i.
  3. Ved opbevaring af kævler stabler loggere dem på en sådan måde, at hver øverste lag indeholder en log mindre end den forrige. Hvor mange træstammer er der i ét murværk, hvis murværkets fundament er træstammer?

Svar:

  1. Lad os definere parametrene for den aritmetiske progression. I dette tilfælde
    (uger = dage).

    Svar: Om to uger skal Masha lave squats en gang om dagen.

  2. Først ulige tal, sidste nummer.
    Aritmetisk progressionsforskel.
    Antallet af ulige tal i er det halve, men lad os kontrollere dette faktum ved at bruge formlen til at finde det te led i en aritmetisk progression:

    Tal indeholder ulige tal.
    Lad os erstatte de tilgængelige data i formlen:

    Svar: Summen af ​​alle ulige tal indeholdt i er lig.

  3. Lad os huske problemet med pyramider. For vores tilfælde, a, da hvert øverste lag er reduceret med en log, så er der i alt en masse lag, dvs.
    Lad os erstatte dataene med formlen:

    Svar: Der er bjælker i murværket.

Lad os opsummere det

  1. - en talrække, hvor forskellen mellem tilstødende tal er den samme og ens. Det kan være stigende eller faldende.
  2. At finde formel Det th led i en aritmetisk progression er skrevet med formlen - , hvor er antallet af tal i progressionen.
  3. Ejendom tilhørende medlemmer af en aritmetisk progression- - hvor er antallet af tal i progression.
  4. Summen af ​​vilkårene for en aritmetisk progression kan findes på to måder:

    , hvor er antallet af værdier.

ARITMETISK PROGRESSION. GENNEMSNIVEAU

Nummerrækkefølge

Lad os sætte os ned og begynde at skrive nogle tal. For eksempel:

Du kan skrive alle tal, og der kan være lige så mange af dem, som du vil. Men vi kan altid sige, hvilken der er først, hvilken der er anden, og så videre, det vil sige, at vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en talrække.

Nummerrækkefølge er et sæt numre, som hver kan tildeles et unikt nummer.

Med andre ord kan hvert tal associeres med et bestemt naturligt tal og et unikt. Og vi vil ikke tildele dette nummer til noget andet nummer fra dette sæt.

Tallet med nummer kaldes det th medlem af sekvensen.

Vi kalder normalt hele sekvensen med et bogstav (f.eks.), og hvert medlem af denne sekvens er det samme bogstav med et indeks svarende til tallet på dette medlem: .

Det er meget praktisk, hvis det th led i sekvensen kan specificeres med en formel. For eksempel formlen

indstiller rækkefølgen:

Og formlen er følgende sekvens:

For eksempel er en aritmetisk progression en sekvens (det første led her er lig, og forskellen er det). Eller (, forskel).

formel for n'te led

Vi kalder en formel tilbagevendende, hvor du, for at finde ud af det te led, skal kende de foregående eller flere foregående:

For at finde f.eks. det th led af progressionen ved hjælp af denne formel, bliver vi nødt til at beregne de foregående ni. Lad det f.eks. Derefter:

Nå, er det klart nu, hvad formlen er?

I hver linje lægger vi til, ganget med et eller andet tal. Hvilken en? Meget simpelt: dette er nummeret på det nuværende medlem minus:

Meget mere bekvemt nu, ikke? Vi tjekker:

Bestem selv:

I en aritmetisk progression skal du finde formlen for det n. led og finde det hundrede led.

Løsning:

Det første led er lige. Hvad er forskellen? Her er hvad:

(Dette er grunden til, at det kaldes forskel, fordi det er lig med forskellen mellem successive led i progressionen).

Så formlen:

Så er det hundrede led lig med:

Hvad er summen af ​​alle naturlige tal fra til?

Ifølge legenden, stor matematiker Karl Gauss, som en 9-årig dreng, beregnede dette beløb på få minutter. Han bemærkede, at summen af ​​det første og det sidste tal er lig, summen af ​​det andet og næstsidste tal er det samme, summen af ​​det tredje og det tredje fra slutningen er det samme, og så videre. Hvor mange sådanne par er der i alt? Det er rigtigt, præcis halvdelen af ​​antallet af alle tal, altså. Så,

Den generelle formel for summen af ​​de første led i enhver aritmetisk progression vil være:

Eksempel:
Find summen af ​​alle tocifrede tal, multipla.

Løsning:

Det første sådan nummer er dette. Hver efterfølgende fås ved at tilføje til tidligere dato. De tal, vi er interesserede i, danner således en aritmetisk progression med det første led og forskellen.

Formel for th term for denne progression:

Hvor mange led er der i forløbet, hvis de alle skal være tocifrede?

Meget let: .

Den sidste periode af progressionen vil være lige. Så summen:

Svar: .

Bestem nu selv:

  1. Hver dag løber atleten flere meter end den foregående dag. Hvor mange kilometer vil han i alt løbe på en uge, hvis han løb km m på den første dag?
  2. En cyklist rejser flere kilometer hver dag end den foregående dag. Den første dag rejste han km. Hvor mange dage skal han rejse for at tilbagelægge en kilometer? Hvor mange kilometer vil han rejse i løbet af den sidste dag af sin rejse?
  3. Prisen på et køleskab i en butik falder med samme beløb hvert år. Bestem, hvor meget prisen på et køleskab faldt hvert år, hvis det seks år senere blev solgt for rubler, der blev sat til salg for rubler.

Svar:

  1. Det vigtigste her er at genkende den aritmetiske progression og bestemme dens parametre. I dette tilfælde (uger = dage). Du skal bestemme summen af ​​de første led i denne progression:
    .
    Svar:
  2. Her er angivet: , skal findes.
    Det er klart, at du skal bruge den samme sumformel som i tidligere opgave:
    .
    Erstat værdierne:

    Roden passer åbenbart ikke, så svaret er.
    Lad os beregne stien tilbagelagt i løbet af den sidste dag ved hjælp af formlen for det th led:
    (km).
    Svar:

  3. Givet:. Find: .
    Det kunne ikke være nemmere:
    (gnide).
    Svar:

ARITMETISK PROGRESSION. KORT OM DE VIGTIGSTE TING

Dette er en talrække, hvor forskellen mellem tilstødende tal er den samme og ens.

Aritmetisk progression kan være stigende () og faldende ().

For eksempel:

Formel til at finde det n'te led i en aritmetisk progression

er skrevet af formlen, hvor er antallet af tal i progression.

Ejendom tilhørende medlemmer af en aritmetisk progression

Det giver dig mulighed for nemt at finde et led i en progression, hvis dets naboled er kendt - hvor er antallet af tal i progressionen.

Summen af ​​led i en aritmetisk progression

Der er to måder at finde beløbet på:

Hvor er antallet af værdier.

Hvor er antallet af værdier.


For eksempel sekvensen \(2\); \(5\); \(8\); \(elleve\); \(14\)... er en aritmetisk progression, fordi hver næste element adskiller sig fra den foregående til tre (kan fås fra den foregående ved at tilføje tre):

I denne progression er forskellen \(d\) positiv (lig med \(3\)), og derfor er hvert næste led større end det foregående. Sådanne progressioner kaldes stigende.

\(d\) kan dog også være negativt tal. For eksempel, i aritmetisk progression \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progressionsforskellen \(d\) er lig med minus seks.

Og i dette tilfælde vil hvert næste element være mindre end det forrige. Disse progressioner kaldes faldende.

Aritmetisk progressionsnotation

Progression er angivet med et lille latinsk bogstav.

Tal, der danner en progression kaldes medlemmer(eller elementer).

De er angivet med samme bogstav som en aritmetisk progression, men med et numerisk indeks svarende til tallet på elementet i rækkefølge.

For eksempel består den aritmetiske progression \(a_n = \venstre\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) af elementerne \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) og så videre.

Med andre ord, for progressionen \(a_n = \venstre\(2; 5; 8; 11; 14...\højre\)\)

Løsning af aritmetiske progressionsproblemer

I princippet er de oplysninger, der præsenteres ovenfor, allerede nok til at løse næsten ethvert aritmetisk progressionsproblem (inklusive dem, der tilbydes på OGE).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progression er specificeret af betingelserne \(b_1=7; d=4\). Find \(b_5\).
Løsning:

Svar: \(b_5=23\)

Eksempel (OGE). De første tre led i en aritmetisk progression er givet: \(62; 49; 36…\) Find værdien af ​​det første negative led i denne progression..
Løsning:

Vi får de første elementer i rækkefølgen og ved, at det er en aritmetisk progression. Det vil sige, at hvert element adskiller sig fra sin nabo med det samme tal. Lad os finde ud af hvilken ved at trække den forrige fra det næste element: \(d=49-62=-13\).

Nu kan vi genoprette vores progression til det (første negative) element, vi har brug for.

Parat. Du kan skrive et svar.

Svar: \(-3\)

Eksempel (OGE). Givet flere på hinanden følgende elementer i en aritmetisk progression: \(…5; x; 10; 12,5...\) Find værdien af ​​elementet, der er angivet med bogstavet \(x\).
Løsning:


For at finde \(x\), skal vi vide, hvor meget det næste element adskiller sig fra det foregående, med andre ord progressionsforskellen. Lad os finde det ud fra to kendte naboelementer: \(d=12,5-10=2,5\).

Og nu kan vi nemt finde det, vi leder efter: \(x=5+2,5=7,5\).


Parat. Du kan skrive et svar.

Svar: \(7,5\).

Eksempel (OGE). Der gives aritmetisk progression følgende forhold: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Find summen af ​​de første seks led i denne progression.
Løsning:

Vi skal finde summen af ​​de første seks led i progressionen. Men vi kender ikke deres betydninger, vi får kun det første element. Derfor beregner vi først værdierne én efter én ved at bruge det, vi har fået:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Og efter at have beregnet de seks elementer, vi skal bruge, finder vi deres sum.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Det nødvendige beløb er fundet.

Svar: \(S_6=9\).

Eksempel (OGE). I aritmetisk progression \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Find forskellen på denne progression.
Løsning:

Svar: \(d=7\).

Vigtige formler for aritmetisk progression

Som du kan se, kan mange problemer med aritmetisk progression løses blot ved at forstå hovedsagen - at en aritmetisk progression er en kæde af tal, og hvert efterfølgende element i denne kæde opnås ved at lægge det samme tal til det forrige (den forskel i progressionen).

Nogle gange er der dog situationer, hvor det er meget ubelejligt at beslutte sig for "front-on". Forestil dig for eksempel, at vi i det allerførste eksempel ikke skal finde det femte element \(b_5\), men det tre hundrede og seksogfirsende \(b_(386)\). Skal vi tilføje fire \(385\) gange? Eller forestil dig, at du i det næstsidste eksempel skal finde summen af ​​de første treoghalvfjerds elementer. Du bliver træt af at tælle...

Derfor løser de i sådanne tilfælde ikke tingene "head-on", men bruger specielle formler afledt til aritmetisk progression. Og de vigtigste er formlen for det n'te led i progressionen og formlen for summen af ​​\(n\) første led.

Formel for \(n\)te led: \(a_n=a_1+(n-1)d\), hvor \(a_1\) er det første led i progressionen;
\(n\) – nummeret på det påkrævede element;
\(a_n\) – led for progressionen med nummer \(n\).


Denne formel giver os mulighed for hurtigt at finde selv det tre hundrede eller millionte element, idet vi kun kender det første og forskellen på progressionen.

Eksempel. Den aritmetiske progression er specificeret af betingelserne: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Find \(b_(246)\).
Løsning:

Svar: \(b_(246)=1850\).

Formel for summen af ​​de første n led: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), hvor



\(a_n\) – det sidste summerede led;


Eksempel (OGE). Den aritmetiske progression er specificeret af betingelserne \(a_n=3,4n-0,6\). Find summen af ​​de første \(25\) led i denne progression.
Løsning:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)

For at beregne summen af ​​de første femogtyve led skal vi kende værdien af ​​de første og femogtyvende led.
Vores progression er givet af formlen for det n'te led afhængigt af dets antal (for flere detaljer, se). Lad os beregne det første element ved at erstatte et med \(n\).

\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)

Lad os nu finde det femogtyvende led ved at erstatte femogtyve i stedet for \(n\).

\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)

Nå, nu kan vi nemt beregne det nødvendige beløb.

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\)
\(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)

Svaret er klar.

Svar: \(S_(25)=1090\).

For summen \(n\) af de første led kan du få en anden formel: du skal bare \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \) \ (\cdot 25\ ) i stedet for \(a_n\) erstatte det med formlen \(a_n=a_1+(n-1)d\). Vi får:

Formel for summen af ​​de første n led: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), hvor

\(S_n\) – den nødvendige sum af \(n\) første elementer;
\(a_1\) – det første summerede led;
\(d\) – progressionsforskel;
\(n\) – antal elementer i alt.

Eksempel. Find summen af ​​de første \(33\)-ex led i den aritmetiske progression: \(17\); \(15,5\); \(14\)...
Løsning:

Svar: \(S_(33)=-231\).

Mere komplekse aritmetiske progressionsproblemer

Nu har du alt nødvendige oplysninger til at løse næsten ethvert aritmetisk progressionsproblem. Lad os afslutte emnet med at overveje problemer, hvor du ikke kun skal anvende formler, men også tænke lidt (i matematik kan dette være nyttigt ☺)

Eksempel (OGE). Find summen af ​​alle negative led i progressionen: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)...
Løsning:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)

Opgaven ligner meget den forrige. Vi begynder at løse det samme: først finder vi \(d\).

\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)

Nu vil jeg gerne erstatte \(d\) i formlen for summen... og her kommer en lille nuance frem - vi kender ikke \(n\). Vi ved med andre ord ikke, hvor mange termer der skal tilføjes. Hvordan finder man ud af det? Lad os tænke. Vi stopper med at tilføje elementer, når vi når det første positive element. Det vil sige, du skal finde ud af antallet af dette element. Hvordan? Lad os nedskrive formlen for at beregne ethvert element i en aritmetisk progression: \(a_n=a_1+(n-1)d\) for vores tilfælde.

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)

Vi har brug for \(a_n\) for at blive større end nul. Lad os finde ud af, hvad \(n\) dette vil ske.

\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)

\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)

Vi dividerer begge sider af uligheden med \(0,3\).

\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)

Vi overfører minus en, og vi glemmer ikke at ændre skiltene

\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)

Lad os beregne...

\(n>65.333...\)

...og det viser sig, at det første positive element vil have tallet \(66\). Følgelig har den sidste negative \(n=65\). For en sikkerheds skyld, lad os tjekke dette.

\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\)
\(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)

Så vi skal tilføje de første \(65\) elementer.

\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\)
\(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)

Svaret er klar.

Svar: \(S_(65)=-630,5\).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progression er specificeret af betingelserne: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Find summen fra \(26\) til elementet \(42\) inklusive.
Løsning:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)

I denne opgave skal du også finde summen af ​​elementer, men startende ikke fra den første, men fra den \(26\)th. For sådan et tilfælde har vi ikke en formel. Hvordan beslutter man sig?
Det er nemt - for at få summen fra \(26\)te til \(42\)te skal du først finde summen fra \(1\)te til \(42\)te, og derefter trække fra fra den summen fra første til \(25\)th (se billede).


For vores progression \(a_1=-33\), og forskellen \(d=4\) (vi tilføjer trods alt de fire til det forrige element for at finde det næste). At vide dette lad os finde summen de første \(42\)-y elementer.

\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\)
\(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)

Nu summen af ​​de første \(25\) elementer.

\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\)
\(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)

Og til sidst beregner vi svaret.

\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Svar: \(S=1683\).

Til aritmetisk progression er der flere formler, som vi ikke overvejede i denne artikel på grund af deres lave praktiske anvendelighed. Du kan dog nemt finde dem.