1º. Експоненциални уравнениясе наричат уравнения, съдържащи променлива в експонента.
Решаването на експоненциални уравнения се основава на свойството на степените: две степени с една и съща основа са равни тогава и само ако техните показатели са равни.
2º. Основни методи за решаване на експоненциални уравнения:
1) най-простото уравнение има решение;
2) уравнение с формата, логаритмична спрямо основата а свеждам до форма;
3) уравнение от вида е еквивалентно на уравнението ;
4) уравнение на формата 
е еквивалентно на уравнението.
5) уравнение от формата се редуцира чрез заместване до уравнение и след това се решава набор от прости експоненциални уравнения;
6) уравнение с реципрочни стойности 
чрез заместване те се свеждат до уравнение и след това решават набор от уравнения;
7) уравнения, еднородни по отношение на a g(x)И b g(x)предвид това 
мил 
чрез заместване те се свеждат до уравнение и след това се решава набор от уравнения.
Класификация на експоненциалните уравнения.
1. Уравнения, решени чрез преминаване към една база.
Пример 18. Решете уравнението 
.
Решение: Нека се възползваме от факта, че всички основи на степените са степени на числото 5: .
2. Уравнения, решени чрез преминаване към един показател.
Тези уравнения се решават чрез трансформиране на оригиналното уравнение във формата , което се редуцира до най-простия си вид с помощта на свойството пропорция.
Пример 19. Решете уравнението:
3. Уравнения, решени чрез изваждане на общия множител от скоби.
Ако всеки степенен показател в дадено уравнение се различава от другия с определено число, тогава уравненията се решават, като степенният показател с най-малкия показател се поставя извън скоби.
Пример 20. Решете уравнението.
Решение: Нека извадим степента с най-малкия показател извън скобите от лявата страна на уравнението:
Пример 21. Решете уравнението 
Решение: Нека групираме отделно от лявата страна на уравнението членовете, съдържащи степени с основа 4, от дясната страна - с основа 3, след което изведем степените с най-малък показател извън скоби:
4. Уравнения, които се свеждат до квадратни (или кубични) уравнения.
Следните уравнения се свеждат до квадратно уравнение за новата променлива y:
а) вида на заместването, в този случай;
б) вида на заместването и .
Пример 22. Решете уравнението 
.
Решение: Нека направим промяна на променлива и решим квадратното уравнение:
.
Отговор: 0; 1.
5. Уравнения, които са еднородни по отношение на експоненциални функции.
Уравнение от вида е хомогенно уравнение от втора степен по отношение на неизвестните a xИ b x. Такива уравнения се редуцират, като първо двете страни се разделят на и след това се заместват в квадратни уравнения.
Пример 23. Решете уравнението.
Решение: Разделете двете страни на уравнението на:
Като поставим, получаваме квадратно уравнение с корени.
Сега проблемът се свежда до решаването на набор от уравнения 
. От първото уравнение намираме, че . Второто уравнение няма корени, тъй като за всяка стойност х.
Отговор: -1/2.
6. Рационални уравнения по отношение на експоненциални функции.
Пример 24. Решете уравнението.
Решение: Разделете числителя и знаменателя на дробта на 3 хи вместо две получаваме една експоненциална функция:
7. Уравнения на формата 
.
Такива уравнения с набор от допустими стойности (APV), определени от условието, чрез вземане на логаритъм от двете страни на уравнението се свеждат до еквивалентно уравнение, което от своя страна е еквивалентно на набор от две уравнения или.
Пример 25. Решете уравнението: .
.
Дидактически материал.
Решете уравненията:
1. ; 2. ; 3. 
;
4. 
; 5. ; 6. ;
9. 
; 10. 
; 11. 
;
14. 
; 15. ;
16. 
; 17. 
;
18. ; 19. 
;
20. ; 21. 
;
22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
.
26. Намерете произведението на корените на уравнението 
.
27. Намерете сумата от корените на уравнението 
.
Намерете значението на израза:
28. , където х 0- корен на уравнението ;
29. , където х 0– цял корен на уравнението 
.
Решете уравнението:
31. 
; 32. .
Отговори: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 50; 6,0; 7. -2; 8.2; 9. 1, 3; 10. 8; 11,5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18.1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
Тема No8.
Експоненциални неравенства.
1º. Извиква се неравенство, съдържащо променлива в степента експоненциално неравенство.
2º. Решението на експоненциалните неравенства на формата се основава на следните твърдения:
ако , тогава неравенството е еквивалентно на ;
ако , тогава неравенството е еквивалентно на .
При решаване на експоненциални неравенства се използват същите техники, както при решаване на експоненциални уравнения.
Пример 26. Решете неравенство 
(метод на преход към една база).
Решение: Защото 
, тогава даденото неравенство може да се запише като: 
. Тъй като , тогава това неравенство е еквивалентно на неравенството 
.
Решавайки последното неравенство, получаваме .
Пример 27. Решете неравенството: ( като извадим общия множител извън скоби).
Решение: Нека извадим скобите от лявата страна на неравенството , от дясната страна на неравенството и разделим двете страни на неравенството на (-2), променяйки знака на неравенството на противоположния:
Тъй като , тогава при преминаване към неравенство на показателите знакът на неравенството отново се променя на противоположния. Получаваме. По този начин множеството от всички решения на това неравенство е интервалът.
Пример 28. Решете неравенство ( чрез въвеждане на нова променлива).
Решение: Нека . Тогава това неравенство ще приеме формата: 
или 
, чието решение е интервалът .
Оттук. Тъй като функцията нараства, тогава .
Дидактически материал.
Посочете набора от решения на неравенството:
1. ; 2. ; 3. ;
6. На какви стойности хТочките на графиката на функцията лежат ли под правата линия?
7. На какви стойности хТочките на графиката на функцията лежат ли поне до правата?
Решете неравенството:
8. 
; 9. 
; 10. ;
13. Посочете най-голямото цяло число решение на неравенството 
.
14. Намерете произведението на най-голямото цяло число и най-малкото цяло число решения на неравенството 
.
Решете неравенството:
15. ; 16. 
; 17. 
;
18. 
; 19. ; 20. ;
21. 
; 22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
; 26. 
.
Намерете домейна на функцията:
27. 
; 28. 
.
29. Намерете набор от стойности на аргументи, за които стойностите на всяка от функциите са по-големи от 3:
И 
.
Отговори: 11.3; 12.3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. (a)=a^(\frac( 1) (n))\) получаваме, че \(\sqrt(3^3)=((3^3))^(\frac(1)(2))\). След това, използвайки свойството степен \((a^b)^c=a^(bc)\), получаваме \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)
Знаем също, че \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Прилагайки това към лявата страна, получаваме: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)
Сега запомнете, че: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Тази формула може да се използва и в обратна посока: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Тогава \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)
Прилагайки свойството \((a^b)^c=a^(bc)\) към дясната страна, получаваме: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)
И сега основите ни са равни и няма смущаващи коефициенти и т.н. Така че можем да направим прехода.
Пример
. Решете експоненциалното уравнение \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)
Решение:
|
\(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) |
Отново използваме свойството степен \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) в обратна посока. |
|
|
\(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) |
Сега помнете, че \(4=2^2\). |
|
|
\((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) |
Използвайки свойствата на градусите, трансформираме: |
|
|
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) |
Разглеждаме внимателно уравнението и виждаме, че замяната \(t=2^x\) се предполага сама. |
|
|
\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) |
Ние обаче намерихме стойностите на \(t\) и имаме нужда от \(x\). Връщаме се към X, като правим обратна замяна. |
|
|
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) |
Нека трансформираме второто уравнение, използвайки свойството за отрицателна степен... |
|
|
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) |
...и решаваме до отговора. |
|
|
\(x_1=1\) \(x_2=-1\) |
Отговор : \(-1; 1\).
Остава въпросът - как да разберете кога кой метод да използвате? Това идва с опита. Докато не го развиете, използвайте общата препоръка за решаване на сложни проблеми - „ако не знаете какво да правите, направете каквото можете“. Тоест, потърсете как можете да трансформирате уравнението по принцип и се опитайте да го направите - какво ще стане, ако стане? Основното нещо е да се правят само математически базирани трансформации.
Експоненциални уравнения без решения
Нека да разгледаме още две ситуации, които често объркват учениците:
- положително число на степен е равно на нула, например \(2^x=0\);
- положително число е равно на степен на отрицателно число, например \(2^x=-4\).
Нека се опитаме да решим с груба сила. Ако x е положително число, тогава с нарастването на x цялата степен \(2^x\) само ще нараства:
\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).
\(x=0\); \(2^0=1\)
Също така от. Отрицателните X остават. Спомняйки си свойството \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), проверяваме:
\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)
Въпреки факта, че числото става по-малко с всяка стъпка, то никога няма да достигне нула. Така че отрицателният градус не ни спаси. Стигаме до логично заключение:
Положително число до каквато и да е степен ще остане положително число.
Следователно и двете уравнения по-горе нямат решения.
Експоненциални уравнения с различни основи
В практиката понякога се сблъскваме с експоненциални уравнения с различни основи, които не се свеждат една към друга и в същото време с еднакви показатели. Те изглеждат така: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), където \(a\) и \(b\) са положителни числа.
Например:
\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)
Такива уравнения могат лесно да бъдат решени чрез разделяне на която и да е от страните на уравнението (обикновено разделено на дясната страна, т.е. на \(b^(f(x))\). Можете да разделите по този начин, защото положително число е положителен на произволна степен (т.е. не делим на нула) Получаваме:
\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)
Пример
. Решете експоненциалното уравнение \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Решение:
|
\(5^(x+7)=3^(x+7)\) |
Тук няма да можем да превърнем петица в тройка или обратно (поне без да използваме). Това означава, че не можем да стигнем до формата \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Индикаторите обаче са същите. |
|
|
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) |
Сега запомнете свойството \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) и го използвайте отляво в обратната посока. Отдясно просто намаляваме дроба. |
|
|
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) |
Изглежда, че нещата не са се подобрили. Но запомнете още едно свойство на степента: \(a^0=1\), с други думи: „всяко число на нулева степен е равно на \(1\).“ Обратното също е вярно: „един може да бъде представен като всяко число на нулева степен“. Нека се възползваме от това, като направим основата отдясно същата като отляво. |
|
|
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) |
Ето! Да се отървем от базите. |
|
|
Пишем отговор. |
Отговор : \(-7\).
Понякога „еднаквостта“ на експонентите не е очевидна, но умелото използване на свойствата на експонентите разрешава този проблем.
Пример
. Решете експоненциалното уравнение \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Решение:
|
\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Уравнението изглежда много тъжно... Не само, че основите не могат да бъдат сведени до едно и също число (седем по никакъв начин няма да е равно на \(\frac(1)(3)\)), но и показателите са различни. .. Нека обаче използваме левия показател двойка. |
|
|
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Спомняйки си свойството \((a^b)^c=a^(b·c)\), трансформираме отляво: |
|
|
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Сега, като си спомняме свойството на отрицателна степен \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), трансформираме отдясно: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) |
|
|
\(49^(x-2)=3^(x-2)\) |
Алилуя! Индикаторите са същите! |
Отговор : \(2\).