Квадратът е правоъгълник с равни страни.
Може да се даде друга дефиниция на квадрат:
квадратът е ромб с всички прави ъгли.
Оказва се, че квадратът има всички свойства на успоредника, правоъгълника и ромба.
Нека изброим свойства на квадрат:
1. Всички ъгли на квадрат са прави, всички страни на квадрат са равни.
2. Диагоналите на квадрат са равни и се пресичат под прав ъгъл.
3. Диагоналите на квадрат разделят ъглите му наполовина.
Площта на квадрат очевидно е равна на квадрата на неговата страна: S = a 2.
Диагоналът на квадрат е равен на произведението на неговата страна и , т.е
,
Нека разгледаме няколко прости задачина тема "Квадрат". Всички те са взети от банката със задачи на FIPI.
1. Намерете страната на квадрат, чийто диагонал е равен на .
Ние знаем това. Тогава 
.
2. Намерете радиуса на окръжност, описана около квадрат със страна равна на .
Очевидно радиусът на окръжността е равен на диагонала на квадрата.
3. Намерете страната на квадрат, описан около окръжност с радиус 4.
Диаметърът на кръга е равен на страната на квадрата.
4. Намерете радиуса на окръжността, вписана в квадрата ABCD, като страните на квадратните клетки се считат за равни.
Малко по-трудна задача. Начертайте окръжност, вписана в даден квадрат, тоест относно всички негови страни. Ще видите, че диаметърът на този кръг е равен на страната на квадрата.
5. Намерете радиуса r на окръжността, вписана в четириъгълника ABCD. Моля, посочете в отговора си.
Преброяване на страните на клетките равно на едно. Четириъгълникът ABCD е квадрат. Всичките му страни са равни, всички ъгли са прави. Както в предишна задача, радиус на окръжност, вписана в квадрат, равен на половинатанеговите страни.
Ще го намерим на чертежа правоъгълен триъгълник. Използвайки теоремата на Питагор, намираме страната, например AB. То е равно. Тогава радиусът на вписаната окръжност е равен на . Ще запишем отговора.
Видео курсът „Вземи A“ включва всички теми, необходими за успешен полагане на Единния държавен изпитпо математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 Профил Единен държавен изпитпо математика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!
Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.
Всички необходима теория. Бързи начинирешения, клопки и тайни на единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.
Курсът съдържа 5 големи теми, по 2,5 часа. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.
Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачии теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. теория, референтен материал, анализ на всички видове задачи от Единния държавен изпит. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие пространствено въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решение сложни задачи 2 части от Единния държавен изпит.
Страница 3
Тъй като страните на квадрата са равни, той също е ромб. Следователно квадратът има свойствата на правоъгълник и ромб:
Квадратът има всички прави ъгли.
Диагоналите на квадрат са равни.
Диагоналите на квадрат се пресичат под прав ъгъл и са ъглополовящи на неговия ъгъл.
В учебника "Геометрия 7-9" Л.С. Атанасян (5) понятието „квадрат” е въведено в параграф 46 „Ромб и квадрат”, параграф 3 след изучаване на „ромба”.
Квадратът е правоъгълник, чиито страни са равни. След това се формулират основните свойства на квадрата:
Всички ъгли на квадрат са прави.
Диагоналите на квадрат са равни, взаимно перпендикулярни, пресечната точка разполовява и разполовява ъглите на квадрата.
Нека разгледаме методологията за изучаване на темата "Квадрат", като използваме примера на учебника на A.V. Погорелова.
След въвеждане на свойства и дефиниране на квадрат учениците решават задачи.
Задача 1. Докажете, че ако диагоналите на правоъгълник се пресичат под прав ъгъл, то той е квадрат.
Дадено е: ABCD е правоъгълник, AC, BD са диагонали, ACBD.
Докажете: ABCD-квадрат.
Доказателство.
Тъй като правоъгълникът е успоредник, а успоредник с перпендикулярни диагонали е ромб, тогава ABCD има всички страни равни => ABCD е квадрат (по дефиниция).
Задача 2. Докажете, че ромб с един прав ъгъл е квадрат.
Дадено е: ABCD - ромб,
Докажете: ABCD е квадрат.
Доказателство.
Тъй като ABCD е ромб, ABCD е успоредник.
ABCD е успоредник с ABC=90.
Следователно ABCD е правоъгълник.
Правоъгълник с равни страни (ABCD - ромб) по дефиниция е квадрат.
Периметърът на квадрата е 28 cm. Намерете неговата страна.
В квадрата ABCD е начертан диагоналът BD. Определете:
а) изглед на триъгълник ABD; б) ъгли AABD.
В равнобедрен правоъгълен триъгълник, всяка страна на който е 2 m, е вписан квадрат с общ ъгъл. Намерете периметъра на квадрата.
Диагоналът на един квадрат е 4 m, неговата страна е равна на диагонала на друг квадрат. Намерете страната на последния.
Правоъгълник е вписан в квадрат, така че от всяка страна на квадрата има по един връх на правоъгълника и страните на правоъгълника са успоредни на диагоналите на квадрата. Намерете страните на правоъгълника, като знаете, че едната от тях е два пъти по-голяма от другата и че диагоналът на квадрата е 12 m.
Обобщение на урока по темата "Успоредник, правоъгълник, ромб, квадрат."
Цели на урока: Систематизиране, обобщаване на знанията за четири фигури - успоредник, правоъгълник, ромб, квадрат, техните свойства, характеристики.
Мото на урока:
„Тогава трябва да се преподава математика, защото тя подрежда ума.“
(М. В. Ломоносов).
План на урока:
Разговор с класа по въпроси.
Работете върху готови чертежи(работа по двойки).
Приложение в живота (съобщение).
Урок по физическо възпитание ("вярно - невярно").
Тест (2 варианта).
Домашна работа: параграфи 45, 46, № 406, № 411, клас „5“ № 412.
Самостоятелна работа
Обобщение на урока.
1. Гатанки:
УЧИТЕЛ: Нека си припомним дефинициите на четириъгълниците. Тези гатанки използват техните свойства. Аз чета гатанката, а вие взимате карта с верния отговор (всеки ученик има карта: успоредник, квадрат, ромб, правоъгълник).
1. Познаваш ли ме
Искам да проверя
Мога да измеря всякакви площи
Все пак имам четири страни
И всички са равни помежду си.
И моите диагонали също са равни,
На мен ми разделят ъглите наполовина, а и с тях
Аз самият съм разбит на равни части.
(квадрат)
2. И моите диагонали са равни,
Искам да кажа, въпреки че не ми се обадиха,
И въпреки че не се наричам квадрат
Той ми е брат.
(Правоъгълник)
3. Поне моите страни
По двойки, равни и успоредни,
Все пак ми е тъжно, че диагоналите ми не са равни,
И те не разделят ъглите наполовина
Но все пак, кажи ми, приятелю, кой съм аз?
(Успоредник)
4. Въпреки че моите не са равни на диагоналите,
Малко вероятно е да съм по-нисък от всички по важност.
В крайна сметка те се пресичат под прав ъгъл,
И всеки ъгъл е разделен наполовина,
И аз съм много важна фигура, ще ви кажа.
2. Разговор с класа по следните въпроси:
Какъв тип четириъгълници са правоъгълник, ромб, квадрат?
Какви са свойствата на успоредник?
Квадрате четириъгълник с равни странии ъгли.
Диагонал на квадрате сегмент, свързващ двата му противоположни върха.
Паралелограм, ромб и правоъгълник също са квадрат, ако имат прави ъгли, еднакви дължинистрани и диагонали.
Свойства на квадрат
1. Дължините на страните на квадрата са равни.
AB=BC=CD=DA
2. Всички ъгли на квадрата са прави.
\ъгъл ABC = \ъгъл BCD = \ъгъл CDA = \ъгъл DAB = 90^(\circ)
3. Противоположни страниквадратите са успоредни един на друг.
AB\успоредник CD, BC\успоредник AD
4. Сборът от всички ъгли на квадрат е 360 градуса.
\ъгъл ABC + \ъгъл BCD + \ъгъл CDA + \ъгъл DAB = 360^(\circ)
5. Ъгълът между диагонала и страната е 45 градуса.
\ъгъл BAC = \ъгъл BCA = \ъгъл CAD = \ъгъл ACD = 45^(\circ)
Доказателство
Квадратът е ромб \Rightarrow AC е ъглополовяща на ъгъл A и е равен на 45^(\circ) . Тогава AC разделя \ъгъл A и \ъгъл C на 2 ъгъла от 45^(\circ) .
6. Диагоналите на квадрат са еднакви, перпендикулярни и разполовени от точката на пресичане.
AO = BO = CO = DO
\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle AOD = 90^(\circ)
AC = BD
Доказателство
Тъй като квадратът е правоъгълник \Rightarrow, диагоналите са равни; тъй като - ромб \Rightarrow диагоналите са перпендикулярни. И тъй като е успоредник, \Rightarrow диагоналите са разделени наполовина от пресечната точка.
7. Всеки от диагоналите разделя квадрата на два равнобедрени правоъгълни триъгълника.
\триъгълник ABD = \триъгълник CBD = \триъгълник ABC = \триъгълник ACD
8. Двата диагонала разделят квадрата на 4 равнобедрени правоъгълни триъгълника.
\триъгълник AOB = \триъгълник BOC = \триъгълник COD = \триъгълник AOD
9. Ако страната на квадрата е равна на a, тогава диагоналът ще бъде равен на a \sqrt(2) .