2.4. ፖሊሄድራላዊ ማዕዘኖች
በአሰራሩ ሂደት መሰረት ጭብጥ እቅድ ማውጣትለዚህ ክፍል የአንድ ሰዓት የጥናት ጊዜ (አንድ ትምህርት) ተመድቧል።
1. የቤት ስራን መፈተሽ (5 ደቂቃ)
2. እናካሂዳለን። ከመረጃ ጋር የመሥራት ደረጃ (20 –25ደቂቃ)
በቴክኖሎጂ ደረጃ, ደረጃው የእውቀት (ኮግኒቲቭ) ዩኒቨርሳል ቀዳሚ ምስረታ ላይ ያተኮረ ነው የትምህርት እንቅስቃሴዎች(ጥያቄዎችን ወደ ጽሁፉ የመቅረጽ ችሎታ ፣ በጽሑፉ ላይ ተመስርተው መልሶችን ያዘጋጁ)።
ይህ አንቀጽ ያገኛል ተጨማሪ እድገትየሶስትዮሽ ማዕዘን ጽንሰ-ሀሳብ. የ polyhedral አንግል ይታያል, እና ከዚህ ጋር ተያይዞ የፖሊጎን ጽንሰ-ሀሳብ ግልጽ ማድረግ ይቻላል.
ከ polyhedral አንግሎች ጋር ተያይዞ, የቁጥሮች መወዛወዝ ችግር እንደገና ተብራርቷል. የ polyhedral angles ምሳሌን በመጠቀም፣ ስለ ኮንቬክስ እና ኮንቬክስ አሀዞች (ፖሊጎኖች፣ ፖሊሄድራላዊ አንግል፣ የዘፈቀደ ምስሎች) የተማሪዎችን ሃሳቦች የበለጠ እናብራራለን።
ለ polyhedral angles ለመቅረጽ ጠቃሚ ነው የአውሮፕላኖቻቸው ማዕዘኖች ባህሪያትየሶስትዮድራላዊ አንግል የአውሮፕላን ማዕዘኖች ተጓዳኝ ባህሪዎች ጋር ተመሳሳይ (ያለ ማረጋገጫ)
1. የ polyhedral አንግል እያንዳንዱ የአውሮፕላን አንግል ከሌሎቹ የአውሮፕላን ማዕዘኖች ድምር ያነሰ ነው።
2. የ polyhedral አንግል የሁሉም የአውሮፕላን ማዕዘኖች ድምር ከ360º ያነሰ ነው።
3. እናካሂዳለን። የክህሎት እድገት ደረጃ (15 –20 ደቂቃ)
መድረኩ በምርት ላይ ያተኮረ ነው።
የግንዛቤ UUD - ችሎታዎች ምስረታ;
- በአጠቃቀም የሂሳብ እውቀትየተለያዩ ለመፍታት የሂሳብ ችግሮችእና የተገኘውን ውጤት መገምገም;
- በማስረጃ አጠቃቀም ላይ የሂሳብ ንግግር;
- የተለያዩ የሂሳብ ጽሑፎችን ጨምሮ ከመረጃ ጋር በመስራት ላይ;
የቁጥጥር UUD - የማዘጋጀት ችሎታዎች ምስረታ የግል ግቦችእንቅስቃሴዎችን, ስራዎን ያቅዱ, በእቅዱ መሰረት እርምጃ ይውሰዱ, የተገኘውን ውጤት ይገምግሙ;
መግባባት UUD - ችሎታዎችን ማዳበር, በቡድኑ ውስጥ ካሉ ሌሎች ልጆች ጋር, ለችግሩ መፍትሄ ለማግኘት እና የተገኘውን ውጤት ለመገምገም.
ይህ ግልጽ ያልሆነውን ነገር ሁሉ የማብራሪያ ደረጃ እና የስልጠና ደረጃ መሆኑን እንነጋገራለን. የሥራ ግቦችን አውጥተናል በዚህ ደረጃከልጆች ግላዊ ግብን ሲያሳኩ፡ ያብራሩ ለራሴበደንብ ያልተረዱትን ሁሉ, ችግሮችን የሚያስከትሉ ችግሮችን መፍታት ይለማመዱ.
እዚህ በገጽ 29-30 ላይ ከተግባሮች 34, 35 ጋር መስራት ይችላሉ.
እንዲሁም በርካታ ተጨማሪ ተግባራትን እናቀርባለን።
1) የ polyhedral አንግል አለው nፊቶች. ስንት የጎድን አጥንት አለው?
መልስ፡- nየጎድን አጥንት
2) ከጠፍጣፋ ማዕዘኖች ጋር የtetrahedral angle ሞዴል መስራት ይቻላል 1) 80 °, 130 °, 70 °, 100 °; 2) 45°፣ 60°፣ 120°፣ 90°; 3) 80°፣ 80°፣ 80°፣ 80°? ሞዴሉ ስኬታማ ከሆነ, የትኛው አንግል ነው: ኮንቬክስ ወይም ኮንቬክስ ያልሆነ?
መልስ: 1) ይቻላል; 2) ኮንቬክስ ወይም ኮንቬክስ ያልሆነ ሊሆን ይችላል; 3) ሊቻል ይችላል ፣ ሾጣጣ ብቻ።
3) እርስዎ በሚያውቁት የሶስትዮሽ ማእዘን የአውሮፕላን ማዕዘኖች ንብረት ላይ በመመስረት እያንዳንዱ የቴትራሄድራል አንግል የአውሮፕላን ማእዘን ከሌሎቹ የሶስቱ የአውሮፕላን ማዕዘኖች ድምር ያነሰ መሆኑን ያረጋግጡ።
መመሪያ: አውሮፕላን በሁለት ተቃራኒ ጠርዞች በኩል መሳል እና የተገኘውን የሶስትዮሽ ማዕዘኖች መመርመር ያስፈልግዎታል. ማስረጃው የሚሰራው ለኮንቬክስ ማዕዘኖች ብቻ ነው።
4) በቴትራሄድራል አንግል ሁሉም የአውሮፕላን ማዕዘኖች እኩል ናቸው። ስለታም መሆናቸውን ያረጋግጡ።
መፍትሄ፡ 1. እንሁን α – የዲግሪ መለኪያጠፍጣፋ ማዕዘን.
2. ከዚያም 4α< 360° (по свойству суммы плоских углов выпуклого многогранного угла).
3. ስለዚህ, α< 90°, т. е. α – острый угол.
5) በኮንቬክስ የ polyhedral አንግል እያንዳንዱ የአውሮፕላኑ ማዕዘኖች እኩል ናቸው ሀ) 30 °; ለ) 45 °; ሐ) 80 °; መ) 150 °. እንደዚህ ያለ ፖሊ ሄድራል አንግል ስንት ፊት ሊኖረው ይችላል?
መልስ፡ ሀ) 3≤ n< 12; б) 3 ≤ n < 8; в) 3 ≤ n < 4,5; г) 3 ≤ n < 2,4 (такого многогранного угла не существует). При подсчетах нужно учитывать, что n- ኢንቲጀር ቁጥር.
6) በኮንቬክስ የ polyhedral አንግል ውስጥ ሁሉም የአውሮፕላን ማዕዘኖች እርስ በእርሳቸው እኩል ናቸው. የ polyhedral አንግል ሀ) 6 አለው; ለ) 8; ሐ) 10 ፊቶች. የተሰጠው የ polyhedral አንግል የአውሮፕላን ማዕዘኖች ምንድ ናቸው?
ችግርን በሚፈታበት ጊዜ 5. n α < 360°, где n- የ polyhedral አንግል ፊቶች ብዛት ፣ α - የአውሮፕላን አንግል የዲግሪ መለኪያ; 0 ≤ α< 360°/ n.
መልስ፡ ሀ) 0 ≤ α< 60°; б) 0 ≤ α< 45°; в) 0 ≤ α< 36°.
ሥራዎቹን ለማጠናቀቅ የተመደበው ጊዜ ካለፈ በኋላ የሥራው ውጤት በአስተማሪው በቦርዱ ቀርቦ በተማሪዎች ውይይት ይደረጋል። ስራው ተጠቃሏል, እራስን መገምገም ይከሰታል, ግልጽ የሆነውን እና የሚሰራውን እና የማይሰራውን እና የማይሰራውን ከመወሰን ጋር የተያያዘ ነው.
4. እንቅረፅ የቤት ስራ በ የተለያዩ ደረጃዎችውስብስብነት - በቀድሞው ደረጃ ላይ ባለው የሥራ ውጤት ላይ በመመስረት.
20. ባለብዙ-ደረጃ ጥናት የ polyhedral ማዕዘኖች, የአውሮፕላን ማዕዘኖች የሶስትዮሽ ማዕዘን እና የ polyhedral ማዕዘን ባህሪያት.
መሰረታዊ ደረጃ;
አታናስያን
Dihedral አንግልን ብቻ ይመለከታል።
Pogorelov
በመጀመሪያ, የዲሂድራል አንግል እና ከዚያም ወዲያውኑ የሶስትዮሽ እና የ polyhedral ማዕዘኖችን ግምት ውስጥ ያስገባል.
ሶስት ጨረሮች a, b, c, ከአንድ ነጥብ የሚፈልቁ እና በአንድ አውሮፕላን ውስጥ የሚተኛን እንይ. ባለ ሶስት አቅጣጫዊ አንግል (abc) በሶስት ጠፍጣፋ ማዕዘኖች (ab) (ቢሲ) እና (ac) (ምስል 400) የተሰራ ምስል ነው። እነዚህ ማዕዘኖች ጠርዞች ይባላሉ የሶስትዮሽ ማዕዘን, እና ጎኖቻቸው የጎድን አጥንቶች ናቸው. የአውሮፕላኑ ማዕዘኖች የጋራ ቋት የሶስትዮድራላዊ ማዕዘን (vertex) ይባላል። በሶስትዮሽ ማእዘን ፊቶች የተሰሩ የዲህድራል ማዕዘኖች ይባላሉ አቅጣጫዊ ማዕዘኖችየሶስትዮሽ ማዕዘን.
የ polyhedral አንግል ጽንሰ-ሐሳብ በተመሳሳይ መልኩ ቀርቧል (ምሥል 401).
ምስል 400 እና ምስል 401
ፒ 
የመገለጫ ደረጃ(ኤ.ዲ. አሌክስድሮቭ፣ ኤ.ኤል. ቨርነር፣ ቪ.አይ. ሪዝሂክ)፡-
የዘፈቀደ የ polyhedral ማዕዘናት ፍቺ እና ጥናት እስከ § 31 ድረስ እንተወዋለን, አሁን በጣም ቀላሉን እንመለከታለን - trihedral angles. በስቲሪዮሜትሪ ዲሂድራል ማዕዘኖች የአውሮፕላን ማዕዘኖች አናሎግ ተደርገው ሊወሰዱ ከቻሉ፣ trihedral angles እንደ አውሮፕላን ትሪያንግል ተመሳሳይነት ሊወሰድ ይችላል፣ እና በሚቀጥሉት አንቀጾች ውስጥ በተፈጥሮ ከሉላዊ ትሪያንግሎች ጋር እንዴት እንደሚዛመዱ እናያለን።
እንደዚህ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ማዕዘን መገንባት (እና ስለዚህ ገንቢ በሆነ መልኩ መግለፅ) ይችላሉ. ማናቸውንም ሶስት ጨረሮች a, b, c ይውሰዱ አጠቃላይ ጅምርኦ እና በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ አለመዋሸት (ምስል 150). እነዚህ ጨረሮች የሶስት ኮንቬክስ አውሮፕላን ማዕዘኖች ናቸው፡ አንግል α ከጎን ለ፣ c፣ አንግል β ከጎን a፣ c እና አንግል γ ከጎን a፣ b. የእነዚህ ሦስት ማዕዘኖች α፣ β፣ γ ኅብረት ትራይሄድራል አንግል Oabc (ወይም፣ ባጭሩ፣ ባለሦስትዮሽ አንግል O) ይባላል። ጨረሮች a, b, c የሶስትዮድራል አንግል Oabc ጠርዞች ይባላሉ, እና የአውሮፕላኑ አንግሎች α, β, γ ፊቶቹ ናቸው. ነጥብ O የሶስትዮድራል አንግል ጫፍ ተብሎ ይጠራል።
3 አስተያየቶች ያልተወሳሰበ ፊት ያለው ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ማዕዘን (ምስል 151) መግለጽ ይቻል ይሆናል, ነገር ግን እንደነዚህ ያሉትን የሶስትዮሽ ማዕዘኖች አንመለከትም. 
ለእያንዳንዱ የሶስትዮሽ ማዕዘን ጠርዝ, ተመጣጣኝ የዲሂድራል አንግል ይወሰናል, አንደኛው ጠርዝ የሶስትዮሽ ማዕዘን ተጓዳኝ ጠርዝ ይይዛል, እና ፊቶቹ ከዚህ ጠርዝ አጠገብ ያለውን የሶስትዮሽ ማዕዘን ፊቶችን ይይዛሉ.
የሶስትዮድራል አንግል ኦአቢክ ጠርዝ a, b, c በ a^, b^, c^ (በቀጥታ ከደብዳቤዎች በላይ ያሉ መያዣዎች) የዲሂድራል ማዕዘኖች ዋጋዎች.
የሶስትዮሽ ፊት α፣ β፣ γ የሶስትዮድራላዊው አንግል Oabc እና ሶስት አቅጣጫዊ ማዕዘኖቹ በ የጎድን አጥንት a, b, с, እንዲሁም መጠኖች α, β, γ እና а^, b^, с^ የሦስትዮሽ ማዕዘን ክፍሎችን እንጠራዋለን. (የአውሮፕላን ትሪያንግል አካላት ጎኖቹ እና ማዕዘኖቹ መሆናቸውን አስታውስ።)
የእኛ ተግባር የሦስትዮሽ አንግል አንዳንድ አካላትን በሌሎች አካላት ማለትም በሦስትዮሽ ማዕዘኖች “ትሪግኖሜትሪ” መገንባት ነው።
1) የኮሳይን ቲዎረም አናሎግ በማውጣት እንጀምር። በመጀመሪያ፣ ቢያንስ ሁለት ፊቶች ያሉት Oabcን፣ ለምሳሌ α እና β፣ ሹል ማዕዘኖች. ነጥቡን C በጠርዙ ሐ ላይ እንውሰድ እና ከሱ ፊቶች α እና β perpendiculars CB እና CA ወደ ጠርዝ ሐ ከጠርዙ ሀ እና ለ ነጥብ A እና B ላይ እስኪገናኙ ድረስ (ምስል 152)። የኮሳይን ቲዎረም በመጠቀም AB ከሦስት ማዕዘናት OAB እና CAB ያለውን ርቀት እንግለጽ።
AB 2 =AC 2 +BC 2 -2AC*BC*Cos(c^) እና AB 2 = OA 2 +OB 2 -2AO*BO*Cosγ።
የመጀመሪያውን ከሁለተኛው እኩልነት ስንቀንስ፡-
OA 2 -AC 2 +OB 2 -BC 2 +2AC*BC*Cos(c^)-2AO*VO*Cosγ=0 (1)። ምክንያቱም ትሪያንግሎች ኦኤስቪ እና ኦሲኤ ቀኝ ማዕዘን ናቸው፣ በመቀጠል AC 2 -AC 2 =OS 2 እና OB 2 -VS 2 =OS 2 (2)
ስለዚህ ከ (1) እና (2) የሚከተለው OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)
እነዚያ። 
ግን 
,
,
,
. ለዛ ነው
(3) - የኮሳይን ቲዎሬም ለሦስትዮሽ ማዕዘኖች አናሎግ - የኮሳይን ቀመር.
ሁለቱም ፊቶች α እና β ግልጽ ያልሆኑ ማዕዘኖች ናቸው።
አንደኛው አንግሎች α እና β ለምሳሌ α, አጣዳፊ ነው, እና ሌላኛው, β, obtuse ነው.
ቢያንስ 1 ማዕዘኖች α ወይም β ቀጥ ያሉ ናቸው።
የሶስትዮሽ ማዕዘኖች እኩልነት ምልክቶችከሶስት ማዕዘኖች እኩልነት ምልክቶች ጋር ተመሳሳይ። ግን ልዩነት አለ-ለምሳሌ ፣ ሁለት የሶስትዮሽ ማዕዘኖች የዲሂድራል ማዕዘኖቻቸው በተመሳሳይ እኩል ከሆኑ እኩል ናቸው። ያስታውሱ ሁለት የአውሮፕላን ትሪያንግሎች ተመሳሳይ ማዕዘኖች እኩል ናቸው። እና ለስላሴ ማዕዘኖች ተመሳሳይ ሁኔታ ወደ ተመሳሳይነት ሳይሆን ወደ እኩልነት ይመራል.
የሶስትዮሽ ማዕዘኖች አስደናቂ ናቸው ንብረትሁለትነት ተብሎ የሚጠራው. ስለ trihedral angle Oabc በማንኛውም ንድፈ ሃሳብ ውስጥ ከሆነ እንተካለን። እሴቶች a, b, ከ π-α, π-β, π-γ እና በተቃራኒው α, β, γ በ π-a^, π-b^, π-c^ ተካ, ከዚያም እንደገና ስለ trihedral angles እውነተኛ መግለጫ እናገኛለን. ከመጀመሪያው አንድ ቲዎሪ ጋር ሁለት ጊዜ። እውነት ነው, እንዲህ ዓይነቱ ምትክ በሳይንስ ቲዎሪ ውስጥ ከተሰራ, እንደገና ወደ ሳይን ጽንሰ-ሐሳብ እንመጣለን (ለራሱ ሁለት ነው). ነገር ግን ይህንን በኮሳይን ቲዎሬም (3) ውስጥ ካደረግን, አዲስ ቀመር እናገኛለን
cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.
ለምን እንደዚህ አይነት ጥምርነት እንደሚፈጠር ግልፅ ይሆናል ለሶስት ሄድራል ማእዘን ሁለትዮሽ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ማእዘን ከገነባን ጠርዞቹ ከዋናው ማዕዘን ፊት ጋር ቀጥ ያሉ ናቸው (ክፍል 33.3 እና ምስል 356 ይመልከቱ)።
አንዳንዶቹ በጣም ቀላል ንጣፎች ናቸው የ polyhedral ማዕዘኖች. እነሱ ከተለመዱ ማዕዘኖች የተሠሩ ናቸው (አሁን ብዙውን ጊዜ እንደዚህ ያሉትን ማዕዘኖች ጠፍጣፋ ማዕዘኖች ብለን እንጠራዋለን) ልክ እንደ የተዘጋ የተሰበረ መስመር ከክፍሎች የተሠራ ነው። ይኸውም የሚከተለው ፍቺ ተሰጥቷል፡-
የ polyhedral አንግል ይባላልየሚከተሉት ሁኔታዎች እንዲሟሉ በአውሮፕላን ማዕዘኖች የተሰራ ምስል
1) ሁለት ማዕዘኖች የሉትም። የጋራ ነጥቦች, የጋራ ቋታቸው ወይም ሙሉ ጎናቸው ካልሆነ በስተቀር.
2) ለእያንዳንዳቸው እነዚህ ማዕዘኖች እያንዳንዳቸው ጎኖቹ ከአንድ እና ከሌላው ጋር ተመሳሳይ ናቸው ።
3) ከእያንዳንዱ ጥግ ላይ የጋራ ጎኖች ባሉት ማዕዘኖች በኩል ወደ እያንዳንዱ ጥግ መሄድ ይችላሉ.
4) ሁለት ማዕዘኖች የሉም የጋራ ጎንበተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ አይዋሹ (ምሥል 324).
በዚህ ሁኔታ, የ polyhedral ማዕዘን ቅርጽ ያለው የአውሮፕላኑ ማዕዘኖች ፊቶች ይባላሉ, ጎኖቻቸው ደግሞ ጠርዝ ይባላሉ.
ስር ይህ ትርጉምየዲሂድራል አንግልም ተስማሚ ነው. በሁለት ያልተጣጠፉ ጠፍጣፋ ማዕዘኖች የተዋቀረ ነው. የእሱ ወርድ በጫፉ ላይ እንደ ማንኛውም ነጥብ ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል, እና ይህ ነጥብ ጠርዙን በጫፍ ላይ ወደሚገናኙት ሁለት ጠርዞች ይከፍላል. ነገር ግን በዚህ የቬርቴክ አቀማመጥ ላይ እርግጠኛ አለመሆን, የዲሂድራል አንግል ከ polyhedral angles ብዛት አይካተትም.
ፒ 
የ polyhedral አንግል ጽንሰ-ሐሳብ አስፈላጊ ነው, በተለይም በ polyhedra ጥናት - በፖሊሄድራ ንድፈ ሃሳብ ውስጥ. የ polyhedron አወቃቀሩ በየትኛው ፊቶች ላይ እንደተሠራ እና በጫፍ ላይ እንዴት እንደሚገጣጠሙ, ማለትም ምን ዓይነት ፖሊሄድራል ማዕዘኖች እንዳሉ ይታወቃል.
የተለያዩ የ polyhedra የ polyhedral ማዕዘኖችን አስቡ.
የ polyhedral angles ፊቶችም ያልተወሳሰቡ ማዕዘኖች ሊሆኑ እንደሚችሉ ልብ ይበሉ.
ከሶስት ጨረሮች የተፈጠረ ምስል ከአንድ ነጥብ O የሚወጣ እና በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ የማይተኛ እና ሶስት የአውሮፕላኖች ክፍሎች በእነዚህ ጨረሮች መካከል የተዘጉ ፣ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ አንግል (ምስል 352) ይባላል።
ነጥብ O የማዕዘን ጫፍ ተብሎ ይጠራል, ጨረሮች a, b, c የእሱ ጠርዞች, የአውሮፕላኖች ክፍሎች ናቸው. ፊቶቹ የአውሮፕላን ማዕዘኖች ናቸው ፣ እንዲሁም የተሰጠው የሶስትዮሽ አንግል የአውሮፕላን ማዕዘኖች ይባላሉ። በጠፍጣፋው ፊቶች መካከል ያሉት ማዕዘኖች የተሰጠው የሶስትዮሽ ማዕዘን ዳይሄድራል ማዕዘኖች ይባላሉ.
ቲዎሬም 1. በሶስትዮሽ ማእዘን እያንዳንዱ የአውሮፕላን ማእዘን ከሁለቱ ድምር ያነሰ ነው.
ማረጋገጫ። ለትላልቅ የአውሮፕላኑ ማዕዘኖች ቲዎሪውን ማረጋገጥ በቂ ነው. ትልቁ የአውሮፕላን አንግል ባለ ሶስት አቅጣጫዊ አንግል በምስል ውስጥ ይኑር። 353. በአውሮፕላኑ ውስጥ ካለው አንግል ጋር እኩል የሆነ አንግል እንገንባ ጎኑ ለ በማእዘኑ ውስጥ ያልፋል (የአውሮፕላኑ ማዕዘኖች ትልቁ!)።
መስመሮችን c እና b any ላይ እናስቀምጥ እኩል ክፍሎችጨረሮችን a እና bን በነጥብ N እና M ላይ እያቆራረጥን በዘፈቀደ አውሮፕላን በነጥቦቹ እንሳል።
ትሪያንግሎች ካሉት ጋር እኩል ናቸው። እኩል ማዕዘኖችበእኩል ወገኖች መካከል ተጠናቀቀ ። ከቬርቴክስ ኦ ጋር ያለው አንግል በ ውስጥ ካለው አንግል የበለጠ መሆኑን እናሳይ። በእርግጥ እነዚህ ማዕዘኖች በጥንድ መካከል ይገኛሉ እኩል ጎኖች, ሦስተኛው ጎን በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ ትልቅ ነው
ይህ የሚያሳየው የሁለት አውሮፕላን ማዕዘኖች ድምር ከሶስተኛው አውሮፕላን አንግል የበለጠ መሆኑን ነው ይህም መረጋገጥ ያለበት ነው።
ቲዎረም 2. የሶስትዮሽ ማዕዘን የአውሮፕላኑ ማዕዘኖች ድምር ከአራት ቀኝ ማዕዘኖች ያነሰ ነው.
ማረጋገጫ። በሦስትዮሽ ማዕዘን ጠርዝ ላይ ሶስት ነጥቦችን A, B እና C ን እንውሰድ እና በእነሱ ውስጥ የመቁረጫ አውሮፕላን እንሳል, በስእል እንደሚታየው. 354. የማዕዘን ድምር ትሪያንግል ኤቢሲእኩል ስለዚህ፣ የስድስት ማዕዘኖች OAC፣ OAB፣ OCA፣ OCB፣ OBC፣ OVA ድምር ከቀደመው ንድፈ ሃሳብ የበለጠ ነው። ነገር ግን የሶስት ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር OAB, OBC, OCA በሶስትዮሽ ማዕዘን ፊቶች ውስጥ እኩል ነው. ስለዚህ የሶስትዮድራል አንግል ጠፍጣፋ ማዕዘኖች ድርሻ ከአራት ቀጥታ መስመር በታች ይቆያል። ይህ ድምር በዘፈቀደ ትንሽ ("trihedral spire") ወይም በዘፈቀደ ሊጠጋ ይችላል የSABC ፒራሚድ ቁመትን በምስል. 355, መሰረቱን በመጠበቅ, ከዚያም በቬርቴክስ S ላይ ያለው የአውሮፕላን አንግሎች ድምር ወደ አዝማሚያ ይሆናል
የሶስትዮድራል አንግል የዳይሄድራል ማዕዘኖች ድምርም ገደብ አለው። ግልጽ ነው እያንዳንዱ የዲቪዲ ማዕዘኖች እና ስለዚህ ድምራቸው ያነሰ ነው. ለተመሳሳይ ፒራሚድ በስእል. 355 የፒራሚዱ ቁመት ሲቀንስ ይህ ድምር ወደ ገደቡ ቀርቧል።
ስለዚህ ፣ ለአውሮፕላን እና ለሦስትዮሽ አንግል ዲሄድራል ማዕዘኖች ፣ የሚከተሉት አለመመጣጠኖች ይያዛሉ ።
በአውሮፕላን ላይ ባለው የሶስት ማዕዘን ጂኦሜትሪ እና በሦስትዮሽ አንግል ጂኦሜትሪ መካከል ትልቅ ተመሳሳይነት አለ። በዚህ ሁኔታ, ተመሳሳይነት በሦስት ማዕዘን ማዕዘኖች እና በሶስትዮሽ ማዕዘኖች መካከል ባለው የዲይድራል ማዕዘኖች መካከል, በአንድ በኩል እና በሶስት ማዕዘን ጎኖች እና በጠፍጣፋው የሶስትዮሽ ማዕዘን መካከል, በሌላኛው በኩል. ለምሳሌ ፣ በተጠቆመው የፅንሰ-ሀሳቦች ምትክ ፣ በሦስት ማዕዘኖች እኩልነት ላይ ያለው ጽንሰ-ሐሳብ ልክ እንደ ሆነ ይቆያል። ተጓዳኝ ቀመሮችን በትይዩ እናቅርብ።
ነገር ግን፣ ሁለት የሶስትዮሽ ማዕዘኖች ተጓዳኝ ዳይሄድራል ማዕዘኖች እኩል ናቸው። ይህ በእንዲህ እንዳለ፣ ማዕዘኖቻቸው በቅደም ተከተል እኩል የሆኑ ሁለት ትሪያንግሎች ተመሳሳይ ናቸው፣ ግን የግድ እኩል አይደሉም። ለስላሴ ማዕዘኖች ፣ እንዲሁም ለሶስት ማዕዘኖች ፣ የሶስትዮሽ ማእዘንን የመፍታት ተግባር ቀርቧል ፣ ማለትም ፣ ከሌሎች ከተሰጡት ንጥረ ነገሮች ውስጥ የተወሰኑትን የማግኘት ተግባር። እንዲህ ላለው ተግባር ምሳሌ እንስጥ.
ተግባር የሶስትዮሽ ማዕዘን የአውሮፕላን ማዕዘኖች ተሰጥተዋል. የእሱን አቅጣጫዊ ማዕዘኖች ያግኙ።
መፍትሄ። በጠርዙ ሀ ላይ አንድ ክፍል እናስቀምጥ እና መደበኛውን ክፍል ABC እንሳል የዲሄድራል አንግል ሀ. ከ የቀኝ ሶስት ማዕዘን OAV እናገኛለን እኛም አለን።
ለBC በኮሳይን ቲዎሬም በሶስት ማዕዘን BAC ላይ ተተግብሮ እናገኛለን (ለአጭሩ የአውሮፕላን ማዕዘኖችን በቀላሉ ab፣ ac፣ bc፣ dihedral angles - a, b, c)
አሁን የኮሳይን ቲዎረምን ወደ ትሪያንግል BOC እንተገብራለን፡
ከዚህ እናገኛለን
እና በተመሳሳይ
እነዚህን ቀመሮች በመጠቀም የአውሮፕላኑን ማዕዘኖች በማወቅ ዲሄድራል ማዕዘኖችን ማግኘት ይችላሉ። ያለምንም ማስረጃ አስደናቂውን ግንኙነት እናስተውል
የሳይንስ ቲዎሬም ተብሎ ይጠራል.
በሦስት ማዕዘኑ ጂኦሜትሪ እና በሦስት ማዕዘኑ ጂኦሜትሪ መካከል ስላለው ጥልቅ ተመሳሳይነት ማብራሪያ የሚከተለውን ግንባታ ካካሄድን ለማግኘት አስቸጋሪ አይደለም። የአንድ ሉል ራዲየስ መሃከል በሶስትዮሽ አንግል ኦ (ምስል 357) ጫፍ ላይ እናስቀምጥ።
ከዚያም ጠርዞቹ የሉሉን ገጽታ በሶስት ነጥቦች A, B, C ያቋርጣሉ, እና የማዕዘኑ ጠርዞች በሉሉ ላይ ያሉትን ቅስቶች ይቆርጣሉ. ትላልቅ ክበቦች AC፣ AB፣ BC ሉል ላይ አንድ ምስል ABC ተፈጥሯል, spherical triangle ይባላል. ቅስቶች (የሶስት ማዕዘን "ጎኖች") የሚለካው በሶስትዮሽ ማዕዘኑ በአውሮፕላን ማዕዘኖች ነው, በቋሚዎቹ ላይ ያሉት ማዕዘኖች የዲሂድራል ማዕዘኖች የአውሮፕላን ማዕዘኖች ናቸው. ስለዚህ የሶስትዮሽ ማዕዘኖች መፍትሄ የሉላዊ ትሪግኖሜትሪ ርዕሰ ጉዳይ ከሆነው የሉል ትሪያንግል መፍትሄ ሌላ ምንም አይደለም. ግንኙነቶች (243.1) እና (243.2) ከሉላዊ ትሪጎኖሜትሪ መሰረታዊ ግንኙነቶች መካከል ናቸው። ሉላዊ ትሪግኖሜትሪአለው አስፈላጊለሥነ ፈለክ ጥናት. ስለዚህ, የ trihedral angles ንድፈ ሃሳብ የሉል ትሪያንግል ንድፈ ሃሳብ ነው ስለዚህም በብዙ መልኩ በአውሮፕላን ላይ ካለው የሶስት ማዕዘን ንድፈ ሃሳብ ጋር ተመሳሳይ ነው. በነዚህ ንድፈ ሐሳቦች መካከል ያለው ልዩነት፡- 1) በሉላዊ ትሪያንግል ውስጥ ሁለቱም ማዕዘኖች እና ጎኖቹ የሚለካው በማዕዘን መለኪያ ነው፡ ስለዚህም ለምሳሌ በሳይንስ ንድፈ ሃሳብ ውስጥ የጎኖቹን ሳይሆን የጎኖቹን AB ኃጢያት ይመለከታሉ። , AC, BC;
MAOU "የፈጠራ ቴክኖሎጂዎች ሊሲየም"
ፖሊሄድራላዊ ማዕዘኖች. ኮንቬክስ ፖሊሄድራ
የተዘጋጀው በ10ቢ ክፍል ተማሪ፡- አሌክሲ ቡሪኪን
የተረጋገጠው በ: Dubinskaya I.A.
ካባሮቭስክ
ፖሊ ሄድራል አንግል
ፖሊ ሄድራል አንግልየሚከተሉት ሁኔታዎች እንዲሟሉ በአውሮፕላን ማዕዘኖች የተሰራ ምስል ነው።
1) ሁለት ማዕዘኖች ከጋራ ወርድ ወይም ሙሉ ጎናቸው በስተቀር የጋራ ነጥቦች የላቸውም።
2) ለእያንዳንዳቸው እነዚህ ማዕዘኖች እያንዳንዳቸው ጎኖቹ ከአንድ እና ከሌላው ጋር ተመሳሳይ ናቸው ።
3) ከእያንዳንዱ ማእዘን አንድ የጋራ ጎን ባለው ማዕዘኖች ወደ እያንዳንዱ ጥግ መሄድ ይችላሉ ።
4) አንድ የጋራ ጎን ያላቸው ሁለት ማዕዘኖች በአንድ አውሮፕላን ውስጥ አይተኛም.
- አንግሎች ASB፣ BSC፣... ተጠርተዋል። ጠፍጣፋ ማዕዘኖችወይም ጠርዞች, ጎኖቻቸው SA, SB, ... ተጠርተዋል የጎድን አጥንትእና የጋራው ወርድ ኤስ- ከላይየ polyhedral አንግል.
ቲዎሪ 1.
በሶስትዮሽ ማእዘን እያንዳንዱ የአውሮፕላን ማእዘን ከሌሎቹ ሁለት የአውሮፕላን ማዕዘኖች ድምር ያነሰ ነው.
መዘዝ
- / አሲሲ- / ASB/CSB; / አሲሲ- / CSB/ASB
በሶስትዮሽ ማእዘን እያንዳንዱ የአውሮፕላን ማእዘን ከሌሎቹ ሁለት ማዕዘኖች ልዩነት ይበልጣል .
ቲዎረም2.
- የሶስቱም የሶስት አውሮፕላን ማዕዘኖች ድምር ከ 360 ° ያነሰ ነው. .
180°፣ ይህም ማለት α + β + γ "ወርድ = "640" ማለት ነው። ማረጋገጫ
እንጥቀስ
ከዚያ ከሶስት ማዕዘኖች ASC, ASB, BSC አለን
አሁን አለመመጣጠን ቅጹን ይወስዳል
180° - α + 180° - β + 180° - γ 180°፣
ከየት ነው የሚመጣው
α + β + γ
የሶስትዮሽ ማዕዘኖች እኩልነት በጣም ቀላሉ ጉዳዮች
- 1) በሁለት ተመሳሳይ እኩል እና ተመሳሳይ በሆነ የተራራቁ የአውሮፕላን ማዕዘኖች መካከል በተዘጋ እኩል ዲሄድራል አንግል ወይም 2) በእኩል የአውሮፕላን አንግል ላይ በተመጣጣኝ እኩል እና ተመሳሳይ በሆነ የጠርዝ ዳይሄድራል ማዕዘኖች መካከል ተዘግቷል .
ኮንቬክስ ፖሊ ሄድራል አንግል
- የ polyhedral አንግል ሙሉ በሙሉ በእያንዳንዱ ፊቶች አውሮፕላን በአንዱ ጎን ላይ የሚገኝ ከሆነ ኮንቬክስ ይባላል, ይህም ላልተወሰነ ጊዜ የተዘረጋ ነው.
ፖሊሄድሮን.
ፖሊሄድሮን, በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ - ስብስብ የመጨረሻ ቁጥርጠፍጣፋ ፖሊጎኖች ፣ እንደዚህ ያሉ የማንኛውም ፖሊጎኖች እያንዳንዱ ጎን በተመሳሳይ ጊዜ ከሌላው ጎን ነው ፣ ከመጀመሪያው አጠገብ ይባላል።
ኮንቬክስ ፖሊሄድራ
ፖሊሄድሮንተብሎ ይጠራል ኮንቬክስከየትኛውም ፊቶቹ አውሮፕላን በአንዱ በኩል ሙሉ በሙሉ ቢተኛ; ከዚያ ጫፎቹ እንዲሁ ሾጣጣ ናቸው።
ኮንቬክስ ፖሊሄድሮንቦታውን በሁለት ክፍሎች ይከፍታል - ውጫዊ እና ውስጣዊ. የውስጡ ክፍል ኮንቬክስ አካል ነው። በተቃራኒው, የአንድ ኮንቬክስ አካል ገጽ ፖሊሄድራል ከሆነ, ተዛማጁ ፖሊሄድሮን ኮንቬክስ ነው.
ቲዎረም.የሁሉም የአውሮፕላኖች ማዕዘኖች የኮንቬክስ ፖሊሄድራላዊ ማዕዘን ድምር ከ 360 ዲግሪ ያነሰ ነው.
ንብረት 1.በኮንቬክስ ፖሊሄድሮን ውስጥ፣ ሁሉም ፊቶች ሾጣጣ ፖሊጎኖች ናቸው።
ንብረት2.ማንኛውም convex polyhedronፒራሚዶች ከጋራ ወርድ ጋር ሊዋሃድ ይችላል, መሰረቱ የ polyhedron ንጣፍ ይፈጥራል.
