Векторные величины проекция вектора на ось. Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве даны два вектора и . Отложим от произвольной точки O векторы и . Углом между векторами и называется наименьший из углов . Обозначается .

Рассмотрим ось l и отложим на ней единичный вектор (т.е. вектор, длина которого равна единице).

Под углом между вектором и осью l понимают угол между векторами и .

Итак, пусть l – некоторая ось и – вектор.

Обозначим через A 1 и B 1 проекции на ось l соответственно точек A и B . Предположим, что A 1 имеет координату x 1 , а B 1 – координату x 2 на оси l .

Тогда проекцией вектора на ось l называется разность x 1 – x 2 между координатами проекций конца и начала вектора на эту ось.

Проекцию вектора на ось l будем обозначать .

Ясно, что если угол между вектором и осью l острый, то x 2 > x 1 , и проекция x 2 – x 1 > 0; если этот угол тупой, то x 2 < x 1 и проекция x 2 – x 1 < 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l , то x 2 = x 1 и x 2 – x 1 =0.

Таким образом, проекция вектора на ось l – это длина отрезка A 1 B 1 , взятая с определённым знаком. Следовательно, проекция вектора на ось это число или скаляр.

Аналогично определяется проекция одного вектора на другой. В этом случае находятся проекции концов даного вектора на ту прямую, на которой лежит 2-ой вектор.

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций .

ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ И ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

Рассмотрим несколько векторов .

Линейной комбинацией данных векторов называется любой вектор вида , где - некоторые числа. Числа называются коэффициентами линейной комбинации. Говорят также, что в этом случае линейно выражается через данные векторы , т.е. получается из них с помощью линейных действий.

Например, если даны три вектора то в качестве их линейной комбинации можно рассматривать векторы:

Если вектор представлен как линейная комбинация каких-то векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Векторы называются линейно зависимыми , если существуют такие числа, не все равные нулю, что . Ясно, что заданные векторы будут линейно зависимыми, если какой-либо из этих векторов линейно выражается через остальные.

В противном случае, т.е. когда соотношение выполняется только при , эти векторы называются линейно независимыми .

Теорема 1. Любые два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство :

Аналогично можно доказать следующую теорему.

Теорема 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство .

БАЗИС

Базисом называется совокупность отличных от нулей линейно независимых векторов. Элементы базиса будем обозначать .

В предыдущем пункте мы видели, что два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы. Поэтому согласно теореме 1, из предыдущего пункта, базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора на этой плоскости.

Аналогично в пространстве линейно независимы любые три некомпланарных вектора. Следовательно, базисом в пространстве назовём три некомпланарных вектора.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Пусть в пространстве задан базис . Тогда любой вектор можно представить в виде линейной комбинации , где x , y , z – некоторые числа. Такое разложение единственно.

Доказательство .

Таким образом, базис позволяет однозначно сопоставить каждому вектору тройку чисел – коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса: . Верно и обратное, каждой тройке чисел x, y, z при помощи базиса можно сопоставить вектор, если составить линейную комбинацию .

Если базис и , то числа x, y, z называются координатами вектора в данном базисе. Координаты вектора обозначают .

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ

Пусть в пространстве задана точка O и три некомпланарных вектора .

Декартовой системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность точки и базиса, т.е. совокупность точки и трёх некомпланарных векторов (2-х неколлинеарных векторов), выходящих из этой точки.

Точка O называется началом координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат – осью абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями.

Рассмотрим в выбранной системе координат произвольную точку M . Введём понятие координаты точки M . Вектор , соединяющий начало координат с точкой M . называется радиус-вектором точки M .

Вектору в выбранном базисе можно сопоставить тройку чисел – его координаты: .

Координаты радиус-вектора точки M . называются координатами точки M . в рассматриваемой системе координат. M(x,y,z) . Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой.

Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости. Здесь точка имеет только две координаты – абсциссу и ординату.

Легко видеть, что при заданной системе координат каждая точка имеет определённые координаты. С другой стороны, для каждой тройки чисел найдётся единственная точка, имеющая эти числа в качестве координат.

Если векторы, взятые в качестве базиса, в выбранной системе координат, имеют единичную длину и попарно перпендикулярны, то система координат называется декартовой прямоугольной.

Несложно показать, что .

Направляющие косинусы вектора полностью определяют его направление, но ничего не говорят о его длине.

Ответ:

Свойства проекций:

Свойства проекции вектора

Свойство 1.

Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось:

Это свойство позволяет заменять проекцию суммы векторов суммой их проекций и наоборот.

Свойство 2. Если вектор умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число:

Свойство 3.

Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью:

Орт оси. Разложение вектора по координатным ортам. Координаты вектора. Свойства координат

Ответ:

Орты осей.

Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов, сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.

В трёхмерном случае орты обычно обозначаются

И Могут также применяться обозначения со стрелками и

При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

Разложение вектора по координатным ортам.

Орт координатной оси обозначается через , оси - через , оси - через (рис. 1)

Для любого вектора который лежит в плоскости имеет место следующее разложение:

Если вектор расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид:

Координаты вектора:

Чтобы вычислить координаты вектора, зная координаты (x1; y1) его начала A и координаты (x2; y2) его конца B, нужно из координат конца вычесть координаты начала: (x2 – x1; y2 – y1).

Свойства координат.

Рассмотрим координатную прямую с началом координат в точке О и единичным вектором i. Тогда для любого вектора a на этой прямой: a = axi.

Число ax называется координатой вектора a на координатной оси.

Свойство 1. При сложении векторов на оси их координаты складываются.

Свойство 2. При умножении вектора на число его координата умножается на это число.

Скалярное произведение векторов. Свойства.

Ответ:

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число,

равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства:

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=bа

Скалярное произведение координатных ортов. Определение скалярного произведения векторов, заданных своими координатами.

Ответ:

Скалярное произведение (×) орты

(X)	I	J	K
I
J
K

Определение скалярного произведения векторов, заданных своими координатами.

Скалярное произведение двух векторов и заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле

Векторное произведение двух векторов. Свойства векторного произведения.

Ответ:

Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую., если нет то в противоположном (показать как он показывал с «ручками»)

Векторным произведением вектора а на векторb называется вектор с который:

1. Перпендикулярен векторам а иb

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на a и b векторах

3. Векторы, a ,b , и c образуют правую тройку векторов

Свойства:

Векторное произведение координатных ортов. Определение векторного произведения векторов, заданных своими координатами.

Ответ:

Векторное произведение координатных ортов.

Определение векторного произведения векторов, заданных своими координатами.

Пусть векторы а = (х1; у1; z1) и b = (х2; у2; z2) заданы своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат О, i, j, k, причем тройка i, j, k является правой.

Разложим а и b по базисным векторам:

а = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Используя свойства векторного произведения, получаем

[а; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)

По определению векторного произведения находим

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Учитывая эти равенства, формулу (1) можно записать так:

[а; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[а; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Формула (2) дает выражение для векторного произведения двух векторов, заданных своими координатами.

Полученная формула громоздка.Используя обозначения определителей можно записать ее в другом более удобном для запоминания виде:

Обычно формулу (З) записывают еще короче:

а на ось или какой-либо другой вектор существуют понятия ее геометрической проекции и числовой (или алгебраической) проекции. Результатом геометрической проекции будет вектор, а результатом алгебраической – неотрицательное действительное число. Но перед тем, как перейти к этим понятиям вспомним необходимую информацию.

Предварительные сведения

Основное понятие – непосредственно понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Определение 3

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).

Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

Эти векторы коллинеарны.
Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Обозначение: $\overline{a}\overline{b}$

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

Эти векторы коллинеарны.
Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Обозначение: $\overline{a}↓\overline{d}$

Определение 6

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|\overline{a}|$

Перейдем к определению равенства двух векторов

Определение 7

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

Они сонаправлены;
Их длины равны (рис. 5).

Геометрическая проекция

Как мы уже сказали ранее, результатом геометрической проекции будет вектор.

Определение 8

Геометрической проекцией вектора $\overline{AB}$ на ось будем называть такой вектор, который получается следующим образом: Точка начала вектора $A$ проецируется на данную ось. Получаем точку $A"$ - начало искомого вектора. Точка конца вектора $B$ проецируется на данную ось. Получаем точку $B"$ - конец искомого вектора. Вектор $\overline{A"B"}$ и будет искомым вектором.

Рассмотрим задачу:

Пример 1

Постройте геометрическую проекцию $\overline{AB}$ на ось $l$, изображенные на рисунке 6.

Проведем из точки $A$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $A"$. Далее проведем из точки $B$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $B"$ (рис. 7).

Введение…………………………………………………………………………3

1. Значение вектора и скаляра………………………………………….4

2. Определение проекции, оси и координатой точки………………...5

3. Проекция вектора на ось……………………………………………...6

4. Основная формула векторной алгебры……………………………..8

5. Вычисление модуля вектора по его проекциям…………………...9

Заключение……………………………………………………………………...11

Литература……………………………………………………………………...12

Введение:

Физика неразрывно связана с математикой. Математика дает физике средства и приемы общего и точного выражения зависимости между физическими величинами, которые открываются в результате эксперимента или теоретических исследований.Ведь основной метод исследований в физике – экспериментальный. Это значит – вычисления ученый выявляет с помощью измерений. Обозначает связь между различными физическими величинами. Затем, все переводится на язык математики. Формируется математическая модель. Физика - есть наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие закономерности. Задача физики состоит в том, чтобы создать в нашем сознании такую картину физического мира, которая наиболее полно отражает свойства его и обеспечивает такие соотношения между элементами модели, какие существуют между элементами.

Итак, физика создает модель окружающего нас мира и изучает ее свойства. Но любая модель является ограниченной. При создании моделей того или иного явления принимаются во внимание только существенные для данного круга явлений свойства и связи. В этом и заключается искусство ученого - из всего многообразия выбрать главное.

Физические модели являются математическими, но не математика является их основой. Количественные соотношения между физическими величинами выясняются в результате измерений, наблюдений и экспериментальных исследований и лишь выражаются на языке математики. Однако другого языка для построения физических теорий не существует.

1. Значение вектора и скаляра.

В физике и математике вектор - это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей. Их можно противопоставить другим величинам, таким, как масса, объем, давление, температура и плотность, которые можно описать обычным числом, и называются они "скалярами" .

Они записываются либо буквами обычного шрифта, либо цифрами (а, б, t, G, 5, −7….). Скалярные величины могут быть положительными и отрицательными. В то же время некоторые объекты изучения могут обладать такими свойствами, для полного описания которых знание только числовой меры оказывается недостаточным, необходимо ещё охарактеризовать эти свойства направлением в пространстве. Такие свойства характеризуются векторными величинами (векторами). Векторы, в отличие от скаляров, обозначаются буквами жирного шрифта: a, b, g, F, С ….
Нередко вектор обозначают буквой обычного (нежирного) шрифта, но со стрелкой над ней:

Кроме того, часто вектор обозначают парой букв (обычно заглавных), причём первая буква обозначает начало вектора, а вторая - его конец.

Модуль вектора, то есть длину направленного прямолинейного отрезка, обозначают теми же буквами, как и сам вектор, но в обычном (не жирном) написании и без стрелки над ними, либо точно также как и вектор (то есть жирным шрифтом или обычным, но со стрелкой), но тогда обозначение вектора заключается в вертикальные черточки.
Вектор – сложный объект, который одновременно характеризуется и величиной и направлением.

Не бывает также положительных и отрицательных векторов. А вот равными между собой векторы быть могут. Это когда, например, aиb имеют одинаковые модули и направлены в одну сторону. В этом случае справедлива запись a = b. Надо также иметь в виду, что перед символом вектора может стоять знак минус, например, - с, однако, этот знак символически указывает на то, что вектор -с имеет такой же модуль, как и вектор с, но направлен в противоположную сторону.

Вектор -с называют противоположным (или обратным) вектору с.
В физике же каждый вектор наполнен конкретным содержанием и при сравнении однотипных векторов (например, сил) могут иметь существенное значение и точки их приложения.

2.Определение проекции, оси и координатой точки.

Ось – это прямая, которой придается какое–то направление.
Ось обозначается какой-либо буквой: X , Y , Z , s , t … Обычно на оси выбирается (произвольно) точка, которая называется началом отсчета и, как правило, обозначается буквой О. От этой точки отсчитываются расстояния до других интересующих нас точек.

Проекцией точки на ось называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную ось. То есть, проекцией точки на ось является точка.

Координатой точки на данной оси называется число, абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между началом оси и проекцией точки на эту ось. Это число берется со знаком плюс, если проекция точки располагается в направлении оси от ее начала и со знаком минус, если в противоположном направлении.

3.Проекция вектора на ось.

Проекцией вектора на ось называется вектор, который получается в результате перемножения скалярной проекции вектора на эту ось и единичного вектора этой оси. Например, если а x – скалярная проекция вектора а на ось X, то а x ·i - его векторная проекция на эту ось.

Обозначим векторную проекцию также, как и сам вектор, но с индексом той оси на которую вектор проектируется. Так, векторную проекцию вектора а на ось Х обозначим а x (жирная буква, обозначающая вектор и нижний индекс названия оси) или

(нежирная буква, обозначающая вектор, но со стрелкой наверху (!) и нижний индекс названия оси).

Скалярной проекцией вектора на ось называется число , абсолютная величина которого равна длине отрезка оси (в выбранном масштабе), заключённого между проекциями точки начала и точки конца вектора. Обычно вместо выражения скалярная проекция говорят просто – проекция . Проекция обозначается той же буквой, что и проектируемый вектор (в обычном, нежирном написании), с нижним (как правило) индексом названия оси, на которую этот вектор проектируется. Например, если на ось Х проектируется вектора, то его проекция обозначается а x . При проектировании этого же вектора на другую ось, если ось Y , его проекция будет обозначаться а y .

Чтобы вычислить проекцию вектора на ось (например, ось X) надо из координаты точки его конца вычесть координату точки начала, то есть

а x = х к − x н.

Проекция вектора на ось - это число. Причем, проекция может быть положительной, если величина х к больше величины х н,

отрицательной, если величина х к меньше величины х н

и равной нулю, если х к равно х н.

Проекцию вектора на ось можно также найти, зная модуль вектора и угол, который он составляет с этой осью.

Из рисунка видно, что а x = а Cos α

То есть, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между направлением оси и направлением вектора . Если угол острый, то
Cos α > 0 и а x > 0, а, если тупой, то косинус тупого угла отрицателен, и проекция вектора на ось тоже будет отрицательна.

Углы, отсчитываемые от оси против хода часовой стрелки, принято считать положительными, а по ходу - отрицательными. Однако, поскольку косинус – функция четная, то есть, Cos α = Cos (− α), то при вычислении проекций углы можно отсчитывать как по ходу часовой стрелки, так и против.

Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора.

4. Основная формула векторной алгебры.

Спроектируемвектор а на оси Х и Y прямоугольной системы координат. Найдем векторные проекции вектора а на эти оси:

а x = а x ·i, а y = а y ·j.

Но в соответствии справилом сложения векторов

а = а x + а y .

а = а x ·i + а y ·j.

Таким образом, мы выразили вектор через его проекции и орты прямоугольной системы координат (или через его векторные проекции).

Векторные проекции а x и а y называютсясоставляющими или компонентами вектора а. Операция, которую мы выполнили, называется разложением вектора по осямпрямоугольной системы координат.

Если вектор задан в пространстве, то

а = а x ·i + а y ·j + а z ·k.

Эта формула называется основной формулой векторной алгебры. Конечно, ее можно записать и так.

1°.Для определения векторной величины, кроме чис ленного значения, необходимо знать ее направление. Примерами таких величин служат скорость и ускорение, перемещение точки при движении тела. Определение. Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, у которого различают начало и конец. Начало вектора называется точкой его приложения; прямая l , на которой расположен вектор, называется линией его действия. Определение. Модулем вектора называется его длина. Модуль вектора обозначается символом |А¯В | или|а¯| .

Определение. Проекцией вектора на ось называется скаляр, равный модулю составляющей вектора по этой оси, взятому со знаком плюс, если направление составляющей совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если эти направления противоположны. Если вектор перпендикулярен оси, то его проекция равна нулю. Свойства проекции вектора на ось:

1. Проекция вектора на ось не изменяется от параллельного переноса векторов. пр l AB = пр l A 1 B 1

2. Аддитивность проекции. Проекция суммы векторов на некоторую ось равна сумме проекций данных векторов на эту ось. пр l (a 1 +a 2 +a 3)=пр l a 1 +пр l a 2 +пр l a 3 3. Однородность проекции. Скалярный множитель можно выносить за знак проекции вектора на ось 4. Пр.вектора на ось рав. произв. мод.вектора на косинус угла между вектором и осью пр l а‾ = /а‾/ * cosφ - если угол φ острый – проекция положительная

- если угол φ тупой – проекция отрицательная

6. Понятие скалярного произведения векторов . Скалярная величина определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к единице измерения. Примерами таких величин являются температура, объем, масса.Скалярным произвед двух векторов наз: скаляр, равный, произв едению модулей этих векторов и cos угла между ними. Пример: найти , если решение:

Механич смысл скалярного произведения: пусть материальная точка перемещ из точки В в точку С по прямой под действием силы - вектор перемещения. Как известно при этом совершается работа А,

Скалярное перемещени Если материальная точка перем. прямолинейно под действием некоторой силы, то скалярное произведение силы на вектор перемещения = совершаемой при этом работе. Свойства скалярного произведения:

1) Коммутативный(переместительный закон)

2) ассоциативный(сочетательный) з.

3) Дистрибутивный(распределит) з.

Формула для вычисления по координатам сомножителей: Координатами вектора а‾ называются его проекции а х,а у,а z на координатные оси. Векторное произведение двух векторов = произведению третьего порядка, у которого в первой строке находятся орты, во второй строке координаты первого вектора, в третьей строке координаты второго вектора.

пример: , решение:

Ответ:

ТЕОРМЕХ

1. Сила, элементы графостатики.

Мера механического взаимодействия тел, т.е. взаимодействия, влияющего на их состояние покоя или движения, характеризуется силой. Сила определяется:

Таким образом, сила - величина векторная.

Системой сил будем называть совокупность сил, действующих на одно рассматриваемое тело. Различают системы сходящихся, параллельных и произвольно-расположенных сил.

Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил.

Величину, равную геометрической сумме сил какой-либо системы, называют главным вектором этой системы сил. Геометрическая сумма R гл , (главный вектор) любой системы сил определяется или последовательным сложением сил системы по правилу параллелограмма (или треугольника) или построением силового многоугольника.

Равнодействующая системы сходящихся сил находится непосредственно с помощью закона параллелограмма сил. Аналогичную задачу можно решить и для произвольной системы сил, если найти возможность перенести все силы в одну точку. Такая возможность существует. Перенесем силу F из точки А в точку В.

Полученная при этом система трёх сил и представляет собой силу F 1 = F , но приложенную в точке В, и пару F ,F 2 . (Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело). Таким образом, система произвольно расположенных сил при приведении к произвольно выбранному центру эквивалента одной силе R гл (главному вектору), приложенной в центре приведения, и одной паре М гл (главному моменту).

Отметим, что сила R гл не является равнодействующей системы сил, т.к. заменяет систему сил не одна, а вместе с парой М гл .

Для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы R гл =0 и М гл =0.

2. Хрупкость и пластичность Хрупкость -способность мат-ла разрушаться при незначит. остаточных деформациях. Пластичность -способ-ть получать значительные остат. Деформации, не разрушаясь. При проектировании строительных конструкций необходимо установить значения величин, характеризующих прочностные и деформативные свойства материалов. Наибольшую информацию о механических свойствах металлов можно получить из статических испытаний на растяжение. Записанные с помощью специального устройства диаграммы растяжения (т.е. графики зависимости между растягивающей силой F и удлинением образца ∆l) имеют вид:

Первая диаграмма характерна для пластических материалов (низкоуглеродная сталь). Диаграмма имеет ряд характерных участков: ОА - зона упругости, нагрузка пропорциональна деформации;

АВ - до точки В, в материале не обнаруживается признаков пластической (остаточной) деформации;

CD - площадка текучести, деформации растут практически без увеличения нагрузки;

BD - зона общей текучести, в этой зоне значительно развиваются пластические деформации.

DE - зона упрочнения, при максимальном (или не сколько меньшем) усилии на образце в наиболее слабом месте возникает сужение - «шейка»;

ЕК - зона местной текучести, деформации происходят в области «шейки» вплоть до разрыва в точке К.

Вторая диаграмма характерна для хрупкого мате риала (чугуна). Диаграмма не имеет выраженного начального прямолинейного участка. Разрыв образцов из хрупких металлов происходит при весьма незначительном удлинении и без образования шейки.

Диаграмма F = f (∆l) зависит от размеров образца, поэтому её перестраивают в координатах «напряжение-деформация». Напряжением называется внутренняя сила, отнесённая к единице площади в данной точке рассматриваемого сечения σ =F/A . Изменение ∆l первоначальной длины стержня l называется абсолютным удлинением. Отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине ε = ∆ l/l называется относительным удлинением или деформацией. При упругих деформациях связь между деформациями и напряжениями линейна и описывается законом Гука: σ = Е *ε , где Е - модуль упругости.

3. Степень свободы системы.

Степенью свободы системы называют наименьшее число геометрических параметров (координат точек, углов поворота элементов системы, их длины), которые могут независимо друг от друга изменяться при движении системы относительно земли.

W = 3D-2Ш-3Ж-C оп -C co 6 cm в

W - степень свободы системы, D - количество дисков,

Ш - количество шарниров,Ж - количество жёстких дисков, С оп - количество опорных стержней, С соб - количество собственных стержней системы.

W<0. Система геометрически изменяема , она не имеет достаточного количества связей, обеспечивающих неизменяемость. Такие системы в строительстве не применяются. W > 0. Система имеет так называемые «лишние» связи, которые не являются необходимыми для обеспечения неизменяемости системы, и называется статически неопределимой. W < 0. Система геометрически неизменяемая.

Статическая неопределимость может быть внешней или внутренней. В первом случае опорные реакции, а, следовательно, и внутренние усилия, не могут быть определены с помощью одних лишь уравнений статики. Во втором случае опорные реакции могут быть определены с помощью уравнений статики, а внутренние усилия - нет. W = 0 . Система не имеет лишних связей, она статически определима и может быть неизменяемой. Для того, чтобы решить вопрос о пригодности использования такой системы, необходимо произвести её структурный анализ. Из-за неправильного расположения связей возможно образование так называемых «мгновенно» изменяемых систем, которые не могут быть использованы в строительстве.

4. НДС (напряженно-деформированные состояния)

Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечение бруса возникает только продольная сила. N (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия равны нулю.

При центральном растяжении (сжатии) в поперечном сечении возникают только нормальные напряжения σ=N/A Подбор сечения осуществляется по формуле

A= N / σ. Под изгибом понимают такой вид напряжения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. Если в поперечных сечениях бруса имеют место только изгибающие моменты - это случай чистого изгиба, если же возникают изгибающие моменты и поперечные силы - это так называемый поперечный изгиб.

Во всех точках поперечного сечения бруса возникают нормальные σ и касательные τ напряжения, которые могут быть определены по формулам:

Эпюры напряжений в сечениях бруса имеют вид
Подбор сечения изгибаемого элемента производят по максимальному значению изгибающего момента W x mpe6 - требуемый момент сопротивления сечения. Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении вала возникает только крутящий момент Мкр.

Напряжённое состояние - чистый сдвиг. В поперечных сечениях возникают только касательные напряжения τ.

Подбор сечения осуществляется по формуле:Под сложным сопротивлением подразумевают комбинации простых напряженных состояний (растяжения, сжатия, сдвига, кручения и изгиба.

Изгиб называют косым, если плоскость действия изгибающего момента, не совпадает ни с одной из его главных плоскостей. Косой изгиб можно рассматривать как совокупность двух прямых изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях. При косом изгибе в поперечных сечениях бруса в общем случае возникают 4 внутренних силовых фактора Q x , M x , Q y u M y .