Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Начальный уровень
Равносторонний треугольник. Иллюстрированный гид (2019)
Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?
Равносторонний треугольник. Свойства.
Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме, значит, каждый по.
Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник :
Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром! В равностороннем треугольнике оказалось не особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!
Итак, ещё раз:
Уже должно быть очевидно, отчего так.
Посмотри на рисунок: точка - центр треугольника. Значит, - радиус описанной окружности (обозначили его), а - радиус вписанной окружности (обозначим).
Но ведь точка - ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении, считая от вершины.
Поэтому, то есть.
Давай удостоверимся в этом.
Равносторонний треугольник. Высота
Рассмотрим - он прямоугольный.
Равносторонний треугольник. Радиус описанной окружности
А это почему?
Мы уже выяснили, что точка - не только центр описанной окружности, но и точка пересечения медиан. Значит, .
Величину мы уже находили. Теперь подставляем:
Равносторонний треугольник. Радиус вписанной окружности
Это уже теперь должно быть совсем ясно
Ну вот, все основные сведения обсудили. Конечно, можно задавать сотни вопросов про всякие длины всяких отрезков в равностороннем треугольнике.
Но главное, что следует иметь в виду, решая задачки о равностороннем треугольнике, - это то, что все его углы известны - равны и все высоты являются и биссектрисами, и медианами, и серединными перпендикулярами.
РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Равносторонний треугольник - треугольник, у которого все стороны равны: .
В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны:
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 999 руб.
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Во втором случае мы подарим тебе тренажер “6000 задач с решениями и ответами, по каждой теме, по всем уровням сложности”. Его точно хватит, чтобы набить руку на решении задач по любой теме.
На самом деле это намного больше, чем просто тренажер - целая программа подготовки. Если понадобится, ты сможешь ею так же воспользоваться БЕСПЛАТНО.
Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
В этой публикации для вас очередная задача по планиметрии. Она относится к заданиям повышенной сложности (профильный уровень). Но, как вы увидите, никакой особой трудности на самом деле процесс решения не представляет. Такую задачу можно считать подарком на экзамене. Итак, приступим!
В правильный треугольник со стороной «a» вписан круг. В этот круг вписан правильный треугольник, в который вписан круг и так далее.
а) Доказать, что площади кругов образуют геометрическую прогрессию.
б) Найдите сумму площадей всех кругов.
*Справка! Что такое геометрическая прогрессия? Это такая последовательность, когда каждый следующий её член равен предыдущему умноженному на одно и тоже число. Простой пример: 3, 6, 12, 24, 48 …. Предыдущий член последовательности умножен на 2 и получен следующий. Число «2» называется знаменателем геометрической прогрессии.
а) Построим правильный треугольник, впишем окружность, в неё впишем треугольник и в него ещё окружность (на этом остановимся):
Давайте назовём окружности (от большей к меньшей) просто «первая» и «вторая». Отметим, что радиус первой (большей) окружности будет вдвое больше радиуса второй (в прямоугольном треугольник катет лежащий против угла 30 градусов равен половине гипотенузы).
Что получается с площадями окружностей? Имеем:
То есть площадь второй окружности в четыре раза меньше площади первой. Если далее рассматривать вписанные окружности относительно друг друга, то получим такую же связь (зависимость) их площадей относительно друг друга, то есть площадь каждой последующей будет в 4 раза меньше площади предыдущей. Запишем подробнее:
*Общая формула геометрической прогрессии имеет вид:
Таким образом, мы мы получили геометрическую прогрессию. Знаменатель её равен ¼. Доказано!
б) Формула бесконечной геометрической прогрессии имеет вид:
Значит сумма площадей всех кругов будет равна:
Теперь выразим радиус первой окружности через сторону треугольника равную «а». Имеем (если сторона равна «а», то половина стороны равна 0,5а):
Таким образом, получим:
Второй подход к решению.
а) Так как радиусы соседних окружностей отличаются в два раза, то получается что коэффициент подобия равен 0,5 (окружности всегда подобны). Можем записать:
Это есть геометрическая прогрессия.
б) Теперь вычислим сумму площадей кругов. Пусть
Известно, что в равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен трети его высоты, то есть:
Значит площадь круга будет равна:
Записываем ответ.
Материал разработан совместно с Евгением Масловым, репетитором по математике (учебный город Челябинск).
С уважением, Александр Крутицких.