Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности
При решении тригонометрических неравенств вида, где --- одна из тригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ. Основным методом решения тригонометрических неравенств является сведение их к простейшим неравенствам типа. Разберём на примере, как решать такие неравенства.
Пример Решите неравенство.
Решение. Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит.
Для решением данного неравенства будут. Ясно также, что если некоторое число будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на, то также будет не меньше. Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить. Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все.
Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые и соответственно (на рисунке (1) и (2)), касающиеся тригонометрической окружности.
Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса.
Пример Решите неравенство.
Решение. Обозначим, тогда неравенство примет вид простейшего: . Рассмотрим интервал длиной, равной наименьшему положительному периоду (НПП) тангенса. На этом отрезке с помощью линии тангенсов устанавливаем, что. Вспоминаем теперь, что необходимо добавить, поскольку НПП функции. Итак, . Возвращаясь к переменной, получаем, что
Неравенства с обратными тригонометрическими функциями удобно решать с использованием графиков обратных тригонометрических функций. Покажем, как это делается на примере.
Решение тригонометрических неравенств графическим методом
Заметим, что если --- периодическая функция, то для решения неравенства необходимо найти его решения на отрезке, длина которого равна периоду функции. Все решения исходного неравенства будут состоять из найденных значений, а также всех, отличающихся от найденных на любое целое число периодов функции
Рассмотрим решение неравенства ().
Поскольку, то при неравенство решений не имеет. Если, то множество решений неравенства --- множество всех действительных чисел.
Пусть. Функция синус имеет наименьший положительный период, поэтому неравенство можно решить сначала на отрезке длиной, например, на отрезке. Строим графики функций и ().
На отрезке функция синус возрастает, и уравнение, где, имеет один корень. На отрезке функция синус убывает, и уравнение имеет корень. На числовом промежутке график функции расположен выше графика функции. Поэтому для всех из промежутка) неравенство выполняется, если. В силу периодичности функции синус все решения неравенства задаются неравенствами вида: .
Неравенства – это соотношения вида a › b, где a и b – есть выражения, содержащие как минимум одну переменную. Неравенства могут быть строгими — ‹, › и нестрогими — ≥, ≤.
Тригонометрические неравенства представляют собой выражения вида: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в которых F(x) представлено одной или несколькими тригонометрическими функциями.
Примером простейшего тригонометрического неравенства является: sin x ‹ 1/2. Решать подобные задачи принято графически, для этого разработаны два способа.
Способ 1 — Решение неравенств с помощью построения графика функции
Чтобы найти промежуток, удовлетворяющий условиям неравенство sin x ‹ 1/2, необходимо выполнить следующие действия:
- На координатной оси построить синусоиду y = sin x.
- На той же оси начертить график числового аргумента неравенства, т. е. прямую, проходящую через точку ½ ординаты ОY.
- Отметить точки пересечения двух графиков.
- Заштриховать отрезок являющийся, решением примера.
Когда в выражении присутствуют строгие знаки, точки пересечения не являются решениями. Так как наименьший положительный период синусоиды равен 2π, то запишем ответ следующим образом:
Если знаки выражения нестрогие, то интервал решений необходимо заключить в квадратные скобки — . Ответ задачи можно также записать в виде очередного неравенства: 
Способ 2 — Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности
Подобные задачи легко решаются и с помощью тригонометрического круга. Алгоритм поиска ответов очень прост:
- Сначала стоит начертить единичную окружность.
- Затем нужно отметить значение аркфункции аргумента правой части неравенства на дуге круга.
- Нужно провести прямую проходящую через значение аркфункции параллельно оси абсциссы (ОХ).
- После останется только выделить дугу окружности, являющуюся множеством решений тригонометрического неравенства.
- Записать ответ в требуемой форме.
Разберем этапы решения на примере неравенства sin x › 1/2. На круге отмечены точки α и β – значения
Точки дуги, расположенные выше α и β, являются интервалом решения заданного неравенства.
Если нужно решить пример для cos, то дуга ответов будет располагаться симметрично оси OX, а не OY. Рассмотреть разницу между интервалами решений для sin и cos можно на схемах приведенных ниже по тексту.
Графические решения для неравенств тангенса и котангенса будут отличаться и от синуса, и от косинуса. Это обусловлено свойствами функций.
Арктангенс и арккотангенс представляют собой касательные к тригонометрической окружности, а минимальный положительный период для обеих функций равняется π. Чтобы быстро и правильно пользоваться вторым способом, нужно запомнить на какой из оси откладываются значения sin, cos, tg и ctg.
Касательная тангенс проходит параллельно оси OY. Если отложить значение arctg a на единичном круге, то вторая требуемая точка будет расположено в диагональной четверти. Углы
Являются точками разрыва для функции, так как график стремится к ним, но никогда не достигает.
В случае с котангенсом касательная проходит параллельно оси OX, а функция прерывается в точках π и 2π.
Сложные тригонометрические неравенства
Если аргумент функции неравенства представлен не просто переменной, а целым выражением содержащим неизвестную, то речь уже идет о сложном неравенстве. Ход и порядок его решения несколько отличаются от способов описанных выше. Допустим необходимо найти решение следующего неравенства:
Графическое решение предусматривает построение обычной синусоиды y = sin x по произвольно выбранным значениям x. Рассчитаем таблицу с координатами для опорных точек графика:
В результате должна получиться красивая кривая.
Для простоты поиска решения заменим сложный аргумент функции
Рассмотрим решение тригонометрических неравенств вида tgx>a и tgx
Для решения нам потребуется чертеж единичной окружности и . Радиус единичной окружности равен 1, поэтому, откладывая на линии тангенсов отрезки, длина которых равна радиусу, получаем соответственно точки, в которых тангенс равен 1, 2, 3 и т.д., а вниз — -1,-2,-3 и т.д. На линии тангенсов значениям тангенсов, большим a, соответствует часть, расположенная выше точки а. Заштриховываем соответствующий луч. Теперь проводим прямую через точку О — начало отсчета- и точку а на линии тангенсов. Она пересекает окружность в точке arctg a. Соответственно, на окружности решению неравенства tgx>a соответствует дуга от точки arctg a до п/2. Чтобы учесть все решения (а их с учетом периодичности тангенса — бесконечное множество), к каждому концу интервала прибавляем пn, где n — целое число (n принадлежит Z). Для решения неравенства tgx>a вполне достаточно полуокружности от -п/2 до п/2. Но если требуется найти, к примеру, решение системы неравенств с тангенсом и синусом, то нужна вся окружность. Если неравенство нестрогое, точку с arctg a включаем в ответ (на рисунке ее заштриховываем, в ответ записываем с квадратной скобкой). Точка п/2 в ответ никогда не включается, поскольку не входит в область определения тангенса (точка выколотая, скобка круглая). Чтобы решить неравенство tgx>-a, рассуждаем так же как и для неравенства tgx>a. Поскольку arctg (-a)=-arctg a, только этим и отличается ответ.
