Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число sin t. Правда, правило соответствия довольно сложное, оно, как мы видели выше, заключается в следующем.
Чтобы по числу t найти значение sin t, нужно:
1) расположить числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0);
2) на окружности найти точку, соответствующую числу t;
3) найти ординату этой точки.
Эта ордината и есть sin t.
Фактически речь идет о функции u = sin t, где t -- любое действительное число.
Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t.
Есть целый ряд соотношений, связывающих значения различных тригонометрических функций, некоторые из этих соотношений мы уже получили:
sin 2 t+cos 2 t = 1
Из двух последних формул легко получить соотношение, связывающее tg t и ctg t:
Все указанные формулы используются в тех случаях, когда, зная значение какой-либо тригонометрической функции, требуется вычислить значения остальных тригонометрических функций.
Термины «синус», «косинус», «тангенс» и «котангенс» на самом деле были знакомы, правда, использовали их до сих пор в несколько иной интерпретации: в геометрии и в физике рассматривали синус, косинус, тангенс и котангенс у г л а (а не
числа, как это было в предыдущих параграфах).
Из геометрии известно, что синус (косинус) острого угла -- это отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе, а тангенс (котангенс) угла -- это отношение катетов прямоугольного треугольника. Иной подход к понятиям синуса, косинуса, тангенса и котангенса развивали в предыдущих параграфах. На самом деле эти подходы взаимосвязаны.
Возьмем угол с градусной мерой б o и расположим его в модели «числовая окружность в прямоугольной системе координат» так, как показано на рис. 14
вершину угла совместим с центром
окружности (с началом системы координат),
а одну сторону угла совместим с
положительным лучом оси абсцисс. Точку
пересечения второй стороны угла с
окружностью обозначим буквой М. Ордина-
рис 14 б o , а абсциссу этой точки -- косинусом угла б o .
Для отыскания синуса или косинуса угла б o совсем не обязательно каждый раз делать указанные весьма сложные построения.
Достаточно заметить, что дуга AM составляет такую же часть длины числовой окружности, какую угол б o составляет от утла 360°. Если длину дуги AM обозначить буквой t, то получим:
Таким образом,
Например,
Считают, что 30° -- это градусная мера угла, а -- радианная мера того же угла: 30° = рад. Вообще:
В частности, рад, откуда, в свою очередь, получаем.
Так что же такое 1 радиан? Есть различные меры длин отрезков: сантиметры, метры, ярды и т.д. Есть и различные меры для обозначения величин углов. Мы рассматриваем центральные углы единичной окружности. Угол в 1° -- это центральный угол, опирающийся на дугу, составляющую часть окружности. Угол в 1 радиан -- это центральный угол, опирающийся на дугу длиной 1, т.е. на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Из формулы, получаем, что 1 рад = 57,3°.
Рассматривая функцию u = sin t (или любую другую тригонометрическую функцию), мы можем считать независимую переменную t числовым аргументом, как это было в предыдущих параграфах, но можем считать эту переменную и мерой угла, т.е. угловым аргументом. Поэтому, говоря о тригонометрической функции, в определенном смысле безразлично считать ее функцией числового или углового аргумента.
Определение1: Числовая функция, заданная формулой y=sin x называется синусом.
Данная кривая имеет название – синусоида.
Свойства функции y=sin x
2. Область значения функции: E(y)=[-1; 1]
3. Четность функции:
y=sin x – нечетная,.
4. Периодичность: sin(x+2πn)=sin x, где n – целое число.
Данная функция через определенный промежуток принимает одинаковые значения. Такое свойство функции называют периодичностью. Промежуток – периодом функции.
Для функции y=sin x период составляет 2π.
Функция y=sin x – периодическая, с периодом Т=2πn, n – целое число.
Наименьший положительный период Т=2π.
Математически это можно записать так: sin(x+2πn)=sin x, где n – целое число.
Определение2: Числовая функция, заданная формулой y=cosx называется косинусом.
Свойства функции y=cos x
1. Область определения функции: D(y)=R
2. Область значения функции: E(y)=[-1;1]
3. Четность функции:
y=cos x –четная.
4. Периодичность: cos(x+2πn)=cos x, где n – целое число.
Функция y=cos x – периодическая, с периодом Т=2π.
Определение 3: Числовая функция, заданная формулой y=tg x, называется тангенсом.
Свойства функции y=tg x
1. Область определения функции: D(y) - все действительные числа, кроме π/2+πk, k – целое число. Потому что в этих точках тангенс не определен.
3. Четность функции:
y=tg x – нечетная.
4. Периодичность: tg(x+πk)=tg x, где k – целое число.
Функция y=tg x – периодическая с периодом π.
Определение 4: Числовая функция, заданная формулой y=ctg x, называется котангенсом.
Свойства функции y=ctg x
1. Область определения функции: D(y) - все действительные числа, кроме πk, k– целое число. Потому что в этих точках котангенс не определен.
2. Область значения функции: E(y)=R.
Тригонометрические функции числового аргумента.
Тригонометрические функции числового аргумента
t
– это функции вида y
= cos t,
y
= sin t, y
= tg t, y
= ctg t.
С помощью этих формул через известное значение одной тригонометрической функции можно найти неизвестные значения других тригонометрических функций.
Пояснения .
1) Возьмем формулу cos 2 t + sin 2 t = 1 и выведем с ее помощью новую формулу.
Для этого разделим обе части формулы на cos 2 t (при t ≠ 0, то есть t ≠ π/2 + πk ). Итак:
cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t
Первое слагаемое равно 1. Мы знаем, что отношение синуса к конисусу – это тангенс, значит, второе слагаемое равно tg 2 t. В результате мы получаем новую (и уже известную вам) формулу:
2) Теперь разделим cos 2 t + sin 2 t = 1 на sin 2 t (при t ≠ πk ):
cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---, где t ≠ πk
+ πk
, k
– целое число
sin 2 t sin 2 t sin 2 t
Отношение косинуса к синусу – это котангенс. Значит:
Зная элементарные основы математики и выучив основные формулы тригонометрии, вы легко сможете самостоятельно выводить большинство остальных тригонометрических тождеств. И это даже лучше, чем просто зазубривать их: выученное наизусть быстро забывается, а понятое запоминается надолго, если не навсегда. К примеру, необязательно зазубривать, чему равна сумма единицы и квадрата тангенса. Забыли – можно легко вспомнить, если вы знаете самую простую вещь: тангенс – это отношение синуса к косинусу. Примените вдобавок простое правило сложения дробей с разными знаменателями – и получите результат:
sin 2 t 1 sin 2 t cos 2 t + sin 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t
Точно так же легко можно найти сумму единицы и квадрата котангенса, как и многие другие тождества.
Тригонометрические функции углового аргумента.
В функциях у = cos t , у = sin t , у = tg t , у = ctg t переменная t может быть не только числовым аргументом. Ее можно считать и мерой угла – то есть угловым аргументом.
С помощью числовой окружности и системы координат можно легко найти синус, косинус, тангенс, котангенс любого
угла. Для этого должны быть соблюдены два важных условия:
1) вершиной угла должен быть центр окружности, который одновременно является центром оси координат;
2) одной из сторон угла должен быть положительный луч оси x .
В этом случае ордината точки, в которой пересекаются окружность и вторая сторона угла, является синусом этого угла, а абсцисса этой точки – косинусом данного угла.
Пояснение . Нарисуем угол, одна сторона которого – положительный луч оси x , а вторая сторона выходит из начала оси координат (и из центра окружности) под углом 30º (см.рисунок). Тогда точка пересечения второй стороны с окружностью соответствует π/6. Нам известны ордината и абсцисса этой точки. Они же являются косинусом и синусом нашего угла:
√3 1
--; --
2 2
А зная синус и косинус угла, вы уже легко сможете найти его тангенс и котангенс.
Таким образом, числовая окружность, расположенная в системе координат, является удобным способом найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла.
Но есть более простой способ. Можно и не рисовать окружность и систему координат. Можно воспользоваться простыми и удобными формулами:
Пример : найти синус и косинус угла, равного 60º.
Решение :
π · 60 π √3
sin 60º = sin --- = sin -- = --
180 3 2
π 1
cos 60º = cos -- = -
3 2
Пояснение : мы выяснили, что синус и косинус угла 60º соответствуют значениям точки окружности π/3. Далее просто находим в таблице значения этой точки – и таким образом решаем наш пример. Таблица синусов и косинусов основных точек числовой окружности – в предыдущем разделе и на странице «Таблицы».
В настоящей главе мы введем тригонометрические функции числового аргумента. Многие вопросы математики, механики, физики и других наук приводят к тригонометрическим функциям не только угла (дуги), но и аргументов совершенно различной природы (длина, время, температура и т. д.). До сих пор под аргументом тригонометрической функции понимался угол, измеренный в градусах или радианах. Теперь мы обобщим понятия синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса, введя их как функции числового аргумента.Определение. Тригонометрическими функциями числового аргумента называются одноименные тригонометрические функции угла, равного радианам.
Поясним это определение на конкретных примерах.
Пример 1. Вычислим значенйе . Здесь под мы понимаем отвлеченное иррациональное число. Согласно определению . Итак, .
Пример 2. Вычислим значение . Здесь под 1,5 мы понимаем отвлеченное число. Согласно определению (см. приложение II).
Пример 3. Вычислим значение Аналогично предыдущему получаем (см. приложение II).
Итак, в дальнейшем под аргументом тригонометрических функций мы будем понимать угол (дугу) или просто число в зависимости от той задачи, которую решаем. А в ряде случаев аргументом может служить величина, имеющая и другую размерность, например время и т. д. Называя аргумент углом (дугой), мы можем подразумевать под ним число, с помощью которого он измерен в радианах.
Урок и презентация на тему: "Тригонометрическая функция числового аргумента, определение, тождества"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
1. Определение числового аргумента.
2. Основные формулы.
3. Тригонометрические тождества.
4. Примеры и задачи для самостоятельного решения.
Определение тригонометрической функции числового аргумента
Ребята, мы знаем что такое синус, косинус, тангенс и котангенс.Давайте посмотрим, можно ли через значения одних тригонометрических функций найти значения других тригонометрических функций?
Определим тригонометрическую функцию числового элемента, как: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$.
Вспомним основные формулы:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Кстати, как называется эта формула?
$tg(t)=\frac{sin(t)}{cos(t)}$, при $t≠\frac{π}{2}+πk$.
$ctg(t)=\frac{cos(t)}{sin(t)}$, при $t≠πk$.
Давайте выведем новые формулы.
Тригонометрические тождества
Мы знаем основное тригонометрическое тождество: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$.Ребята, давайте обе части тождества разделим на $cos^2(t)$.
Получим: $\frac{sin^2(t)}{cos^2(t)}+\frac{cos^2(t)}{cos^2(t)}=\frac{1}{cos^2(t)}$.
Преобразуем: $(\frac{sin(t)}{cos(t)})^2+1=\frac{1}{cos^2(t)}.$
У нас получается тождество: $tg^2(t)+1=\frac{1}{cos^2(t)}$, при $t≠\frac{π}{2}+πk$.
Теперь разделим обе части тождества на $sin^2(t)$.
Получим: $\frac{sin^2(t)}{sin^2(t)}+\frac{cos^2(t)}{sin^2(t)}=\frac{1}{sin^2(t)}$.
Преобразуем: $1+(\frac{cos(t)}{sin(t)})^2=\frac{1}{sin^2(t)}.$
У нас получается новое тождество, которое стоит запомнить:
$ctg^2(t)+1=\frac{1}{sin^2(t)}$, при $t≠πk$.
Нам удалось получить две новых формулы. Запомните их.
Эти формулы используются, если по какому-то известному значению тригонометрической функции требуется вычислить значение другой функции.
Решение примеров на тригонометрические функции числового аргумента
Пример 1.$cos(t) =\frac{5}{7}$, найти $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ для всех t.
Решение:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Тогда $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac{5}{7})^2=1-\frac{25}{49}=\frac{49-25}{49}=\frac{24}{49}$.
$sin(t)=±\frac{\sqrt{24}}{7}=±\frac{2\sqrt{6}}{7}$.
$tg(t)=±\sqrt{\frac{1}{cos^2(t)}-1}=±\sqrt{\frac{1}{\frac{25}{49}}-1}=±\sqrt{\frac{49}{25}-1}=±\sqrt{\frac{24}{25}}=±\frac{\sqrt{24}}{5}$.
$ctg(t)=±\sqrt{\frac{1}{sin^2(t)}-1}=±\sqrt{\frac{1}{\frac{24}{49}}-1}=±\sqrt{\frac{49}{24}-1}=±\sqrt{\frac{25}{24}}=±\frac{5}{\sqrt{24}}$.
Пример 2.
$tg(t) = \frac{5}{12}$, найти $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, при всех $0 Решение:
$tg^2(t)+1=\frac{1}{cos^2(t)}$.
Тогда $\frac{1}{cos^2(t)}=1+\frac{25}{144}=\frac{169}{144}$.
Получаем, что $cos^2(t)=\frac{144}{169}$.
Тогда $cos^2(t)=±\frac{12}{13}$, но $0
Получаем: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac{5}{12}*\frac{12}{13}=\frac{5}{13}$.
$ctg(t)=\frac{1}{tg(t)}=\frac{12}{5}$.Задачи для самостоятельного решения
1. $tg(t) = -\frac{3}{4}$, найти $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, при всех $\frac{π}{2}
4. $cos(t) = \frac{12}{13}$, найти $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ для всех $t$.