Рассмотрим решение тригонометрических неравенств вида tgx>a и tgxединичной окружности.
Для решения нам потребуется чертеж единичной окружности и . Радиус единичной окружности равен 1, поэтому, откладывая на линии тангенсов отрезки, длина которых равна радиусу, получаем соответственно точки, в которых тангенс равен 1, 2, 3 и т.д., а вниз — -1,-2,-3 и т.д.
На линии тангенсов значениям тангенсов, большим a, соответствует часть, расположенная выше точки а. Заштриховываем соответствующий луч. Теперь проводим прямую через точку О — начало отсчета- и точку а на линии тангенсов. Она пересекает окружность в точке arctg a. Соответственно, на окружности решению неравенства tgx>a соответствует дуга от точки arctg a до п/2. Чтобы учесть все решения (а их с учетом периодичности тангенса — бесконечное множество), к каждому концу интервала прибавляем пn, где n — целое число (n принадлежит Z).
Для решения неравенства tgx>a вполне достаточно полуокружности от -п/2 до п/2. Но если требуется найти, к примеру, решение системы неравенств с тангенсом и синусом, то нужна вся окружность.
Если неравенство нестрогое, точку с arctg a включаем в ответ (на рисунке ее заштриховываем, в ответ записываем с квадратной скобкой). Точка п/2 в ответ никогда не включается, поскольку не входит в область определения тангенса (точка выколотая, скобка круглая).
Чтобы решить неравенство tgx>-a, рассуждаем так же как и для неравенства tgx>a. Поскольку arctg (-a)=-arctg a, только этим и отличается ответ.
В этом случае решению неравенства tgx
Решение неравенства tgx<-a аналогично решению неравенства tgx
Рассмотрим конкретный пример решения неравенства с тангенсом. Решить неравенство tgx<-1
Таким образом, решение неравенства tgx<-1 есть открытый промежуток (-п/2+пn; -п/4+пn). Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности При решении тригонометрических неравенств вида, где --- одна из тригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ. Основным методом решения тригонометрических неравенств является сведение их к простейшим неравенствам типа. Разберём на примере, как решать такие неравенства. Пример Решите неравенство. Решение. Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит. Для решением данного неравенства будут. Ясно также, что если некоторое число будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на, то также будет не меньше. Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить. Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все. Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые и соответственно (на рисунке (1) и (2)), касающиеся тригонометрической окружности. Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса. Пример Решите неравенство. Решение. Обозначим, тогда неравенство примет вид простейшего: . Рассмотрим интервал длиной, равной наименьшему положительному периоду (НПП) тангенса. На этом отрезке с помощью линии тангенсов устанавливаем, что. Вспоминаем теперь, что необходимо добавить, поскольку НПП функции. Итак, . Возвращаясь к переменной, получаем, что Неравенства с обратными тригонометрическими функциями удобно решать с использованием графиков обратных тригонометрических функций. Покажем, как это делается на примере. Решение тригонометрических неравенств графическим методом Заметим, что если --- периодическая функция, то для решения неравенства необходимо найти его решения на отрезке, длина которого равна периоду функции. Все решения исходного неравенства будут состоять из найденных значений, а также всех, отличающихся от найденных на любое целое число периодов функции Рассмотрим решение неравенства (). Поскольку, то при неравенство решений не имеет. Если, то множество решений неравенства --- множество всех действительных чисел. Пусть. Функция синус имеет наименьший положительный период, поэтому неравенство можно решить сначала на отрезке длиной, например, на отрезке. Строим графики функций и (). На отрезке функция синус возрастает, и уравнение, где, имеет один корень. На отрезке функция синус убывает, и уравнение имеет корень. На числовом промежутке график функции расположен выше графика функции. Поэтому для всех из промежутка) неравенство выполняется, если. В силу периодичности функции синус все решения неравенства задаются неравенствами вида: . Решать неравенства с тангенсом мы будем с помощью единичной окружности. Пример 1:
Решить неравенство: ${\rm tg}{x} \leq 1.$ Таким образом, решение примет вид: $x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n\right], \ n \in Z.$ Важно!
Точки $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$ у тангенса всегда (независимо от знака неравенства)
выколоты! Пример 2:
Решить неравенство: ${\rm tg}{x} > – \sqrt{3}.$ Отмечаем на линии тангенса точку $- \sqrt{3}$ и проводим прямую из начала координат до неё. Точка пересечения этой прямой с полуокружностью будет не закрашенной, так как неравенство строгое. Область будет находится выше прямой и до окружности, так как знак неравенства $>$. найдём точку пересечения: $x_{1} = {\rm arctg}{\left(-\sqrt{3}\right)} = -\frac{\pi}{3}.$ $t \in \left(-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n\right).$ Возвращаемся к исходной переменной: $\left(2x-\frac{\pi}{3}\right) \in \left(-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n\right).$ Последнее равносильно системе неравенств $\left\{\begin{array}{c} 2x-\frac{\pi}{3} > -\frac{\pi}{3} + \pi n, \\ 2x-\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}+\pi n, \end{array} \right.$ решив которую мы получим ответ. Действительно, $\left\{\begin{array}{c} 2x > \pi n, \\ 2x < \frac{5 \pi}{6} + \pi n, \end{array} \right.$ $\left\{\begin{array}{c} x > \frac{\pi n}{2}, \\ x < \frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \end{array} \right. $ И окончательно получаем: $x \in \left(\frac{\pi n}{2}; \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}\right), \ n \in Z.$ Неравенства – это соотношения вида a › b, где a и b – есть выражения, содержащие как минимум одну переменную. Неравенства могут быть строгими — ‹, › и нестрогими — ≥, ≤. Тригонометрические неравенства представляют собой выражения вида: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в которых F(x) представлено одной или несколькими тригонометрическими функциями. Примером простейшего тригонометрического неравенства является: sin x ‹ 1/2. Решать подобные задачи принято графически, для этого разработаны два способа. Чтобы найти промежуток, удовлетворяющий условиям неравенство sin x ‹ 1/2, необходимо выполнить следующие действия: Когда в выражении присутствуют строгие знаки, точки пересечения не являются решениями. Так как наименьший положительный период синусоиды равен 2π, то запишем ответ следующим образом: Если знаки выражения нестрогие, то интервал решений необходимо заключить в квадратные скобки — . Ответ задачи можно также записать в виде очередного неравенства: Подобные задачи легко решаются и с помощью тригонометрического круга. Алгоритм поиска ответов очень прост: Разберем этапы решения на примере неравенства sin x › 1/2. На круге отмечены точки α и β – значения Точки дуги, расположенные выше α и β, являются интервалом решения заданного неравенства. Если нужно решить пример для cos, то дуга ответов будет располагаться симметрично оси OX, а не OY. Рассмотреть разницу между интервалами решений для sin и cos можно на схемах приведенных ниже по тексту. Графические решения для неравенств тангенса и котангенса будут отличаться и от синуса, и от косинуса. Это обусловлено свойствами функций. Арктангенс и арккотангенс представляют собой касательные к тригонометрической окружности, а минимальный положительный период для обеих функций равняется π. Чтобы быстро и правильно пользоваться вторым способом, нужно запомнить на какой из оси откладываются значения sin, cos, tg и ctg. Касательная тангенс проходит параллельно оси OY. Если отложить значение arctg a на единичном круге, то вторая требуемая точка будет расположено в диагональной четверти. Углы Являются точками разрыва для функции, так как график стремится к ним, но никогда не достигает. В случае с котангенсом касательная проходит параллельно оси OX, а функция прерывается в точках π и 2π. Если аргумент функции неравенства представлен не просто переменной, а целым выражением содержащим неизвестную, то речь уже идет о сложном неравенстве. Ход и порядок его решения несколько отличаются от способов описанных выше. Допустим необходимо найти решение следующего неравенства: Графическое решение предусматривает построение обычной синусоиды y = sin x по произвольно выбранным значениям x. Рассчитаем таблицу с координатами для опорных точек графика: В результате должна получиться красивая кривая. Для простоты поиска решения заменим сложный аргумент функции Большинство студентов тригонометрические неравенства недолюбливают. А зря. Как говаривал один персонаж, “Вы просто не умеете их готовить” Так как же “готовить” и с чем подавать неравенство с синусом мы разберёмся в этой статье. Решать мы будем самым простым способом – с помощью единичной окружности. Итак, перво-наперво нам потребуется следующий алгоритм. Важно: д
анный алгоритм не работает
для неравенств вида $\sin{x} > 1; \ \sin{x} \geq 1, \ \sin{x} < -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$. Важно отметить также следующие случаи, которые гораздо удобнее решить логически, не используя вышеуказанный алгоритм. Частный случай 1.
Решить неравенство: $\sin{x} \leq 1.$ В силу того, что область значения тригонометрической функции $y=\sin{x}$ не больше по модулю $1$, то левая часть неравенства при любом
$x$ из области определения (а область определения синуса – все действительные числа) не больше $1$. А, значит, в ответ мы записываем: $x \in R$. Следствие:
$\sin{x} \geq -1.$ Частный случай 2.
Решить неравенство: $\sin{x} < 1.$ Применяя аналогичные частному случаю 1 рассуждения, получим, что левая часть неравенства меньше $1$ для всех $x \in R$, кроме точек, являющихся решением уравнения $\sin{x} = 1$. Решая это уравнение, будем иметь: $x = (-1)^{n}\arcsin{1}+ \pi n = (-1)^{n}\frac{\pi}{2} + \pi n.$ А, значит, в ответ мы записываем: $x \in R \backslash \left\{(-1)^{n}\frac{\pi}{2} + \pi n\right\}$. Следствие:
аналогично решается и неравенство $\sin{x} > -1.$ Пример 1:
Решить неравенство: $\sin{x} \geq \frac{1}{2}.$ Таким образом, решение примет вид: $x \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n\right], \ n \in Z.$ Пример 2:
Решить неравенство: $\sin{x} < -\frac{1}{2}$ Отметим на оси синусов координату $- \frac{1}{2}$ и проведём прямую параллельно оси косинусов и проходящую через эту точку. Отметим точки пересечения. Они будут не закрашенными, так как неравенство строгое. Знак неравенства $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его: $\sin{x}=-\frac{1}{2}$ $x=(-1)^{n}\arcsin{\left(-\frac{1}{2}\right)}+ \pi n =(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n$. Полагая далее $n=0$, находим первую точку пересечения: $x_{1}=-\frac{\pi}{6}$. Наша область идёт в отрицательном направлении от первой точки, значит $n$ полагаем равным $-1$: $x_{2}=(-1)^{-1+1}\frac{\pi}{6} + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$. Итак, решением этого неравенства будет промежуток: $x \in \left(-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{\pi}{6} + 2 \pi n\right), \ n \in Z.$ Пример 3:
Решить неравенство: $1 – 2\sin{\left(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}\right)} \leq 0.$ Этот пример решать сразу с помощью алгоритма нельзя. Для начала его надо преобразовать. Делаем в точности так, как делали бы с уравнением, но не забываем про знак. Деление или умножение на отрицательное число меняет его на противоположный! Итак, перенесём всё, что не содержит тригонометрическую функцию в правую часть. Получим: $- 2\sin{\left(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}\right)} \leq -1.$ Разделим левую и правую часть на $-2$ (не забываем про знак!). Будем иметь: $\sin{\left(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}\right)} \geq \frac{1}{2}.$ Опять получилось неравенство, которое мы не можем решить с помощью алгоритма. Но здесь уже достаточно сделать замену переменной: $t=\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}.$ Получаем тригонометрическое неравенство, которое можно решить с помощью алгоритма: $\sin{t} \geq \frac{1}{2}.$ Это неравенство было решено в примере 1, поэтому позаимствуем оттуда ответ: $t \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n\right].$ Однако, решение ещё не закончилось. Нам нужно вернуться к исходной переменной. $(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}) \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n\right].$ Представим промежуток в виде системы: $\left\{\begin{array}{c} \frac{x}{4}+\frac{\pi}{6} \geq \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \\ \frac{x}{4}+\frac{\pi}{6} \leq \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n. \end{array} \right.$ В левых частях системы стоит выражение ($\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}$), которое принадлежит промежутку. За первое неравенство отвечает левая граница промежутка, а за второе – правая. Причём скобки играют немаловажную роль: если скобка квадратная, то неравенство будет нестрогим, а если круглая, то строгим. наша задача получить слева $x$ в обоих неравенствах
. Перенесём $\frac{\pi}{6}$ из левой части в правые, получим: $\left\{\begin{array}{c} \frac{x}{4} \geq \frac{\pi}{6} + 2\pi n -\frac{\pi}{6}, \\ \frac{x}{4} \leq \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n – \frac{\pi}{6}. \end{array} \right.$ Упрощая, будем иметь: $\left\{\begin{array}{c} \frac{x}{4} \geq 2\pi n, \\ \frac{x}{4} \leq \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n. \end{array} \right.$ Умножая левые и правые части на $4$, получим: $\left\{\begin{array}{c} x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac{8\pi}{3} + 8 \pi n. \end{array} \right.$ Собирая систему в промежуток, получим ответ: $x \in \left[ 8\pi n; \frac{8\pi}{3} + 8 \pi n\right], \ n \in Z.$ Алгоритм решения неравенств с тангенсом:
Примеры решения неравенств с помощью алгоритма.
Способ 1 — Решение неравенств с помощью построения графика функции
Способ 2 — Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности
Сложные тригонометрические неравенства
Алгоритм решения неравенств с синусом:
Ограничение алгоритма
Частные случаи при решении неравенства с синусом
Примеры решения неравенств с помощью алгоритма.