Каждому школьнику, который готовится к ЕГЭ по математике, будет полезно повторить тему «Нахождение угла между прямыми». Как показывает статистика, при сдаче аттестационного испытания задачи по данному разделу стереометрии вызывают трудности у большого количества учащихся. При этом задания, требующие найти угол между прямыми, встречаются в ЕГЭ как базового, так и профильного уровня. Это значит, что уметь их решать должны все.
Основные моменты
В пространстве существует 4 типа взаимного расположения прямых. Они могут совпадать, пересекаться, быть параллельными или скрещивающимися. Угол между ними может быть острым или прямым.
Для нахождения угла между прямыми в ЕГЭ или, например, в решении , школьники Москвы и других городов могут использовать несколько способов решения задач по данному разделу стереометрии. Выполнить задание можно путем классических построений. Для этого стоит выучить основные аксиомы и теоремы стереометрии. Школьнику нужно уметь логически выстраивать рассуждение и создавать чертежи, для того чтобы привести задание к планиметрической задаче.
Также можно использовать векторно-координатный метод, применяя простые формулы, правила и алгоритмы. Главное в этом случае - правильно выполнить все вычисления. Отточить свои навыки решения задач по стереометрии и другим разделам школьного курса вам поможет образовательный проект «Школково».
Данный материал посвящен такому понятию, как угол между двумя пересекающимися прямыми. В первом пункте мы поясним, что он из себя представляет, и покажем его на иллюстрациях. Потом разберем, какими способами можно найти синус, косинус этого угла и сам угол (отдельно рассмотрим случаи с плоскостью и трехмерным пространством), приведем нужные формулы и покажем на примерах, как именно они применяются на практике.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Для того чтобы понять, что такое угол, образующийся при пересечении двух прямых, нам потребуется вспомнить само определение угла, перпендикулярности и точки пересечения.
Определение 1
Мы называем две прямые пересекающимися, если у них есть одна общая точка. Эта точка называется точкой пересечения двух прямых.
Каждая прямая разделяется точкой пересечения на лучи. Обе прямые при этом образуют 4 угла, из которых два – вертикальные, а два – смежные. Если мы знаем меру одного из них, то можем определить и другие оставшиеся.
Допустим, нам известно, что один из углов равен α . В таком случае угол, который является вертикальным по отношению к нему, тоже будет равен α . Чтобы найти оставшиеся углы, нам надо вычислить разность 180 ° - α . Если α будет равно 90 градусам, то все углы будут прямыми. Пересекающиеся под прямым углом линии называются перпендикулярными (понятию перпендикулярности посвящена отдельная статья).
Взгляните на рисунок:
Перейдем к формулированию основного определения.
Определение 2
Угол, образованный двумя пересекающимися прямыми – это мера меньшего из 4 -х углов, которые образуют две эти прямые.
Из определения нужно сделать важный вывод: размер угла в этом случае будет выражен любым действительным числом в интервале (0 , 90 ] . Если прямые являются перпендикулярными, то угол между ними в любом случае будет равен 90 градусам.
Умение находить меру угла между двумя пересекающимися прямыми полезно для решения многих практических задач. Метод решения можно выбрать из нескольких вариантов.
Для начала мы можем взять геометрические методы. Если нам известно что-то о дополнительных углах, то можно связать их с нужным нам углом, используя свойства равных или подобных фигур. Например, если мы знаем стороны треугольника и нужно вычислить угол между прямыми, на которых эти стороны расположены, то для решения нам подойдет теорема косинусов. Если у нас в условии есть прямоугольный треугольник, то для подсчетов нам также пригодится знание синуса, косинуса и тангенса угла.
Координатный метод тоже весьма удобен для решения задач такого типа. Поясним, как правильно его использовать.
У нас есть прямоугольная (декартова) система координат O x y , в которой заданы две прямые. Обозначим их буквами a и b . Прямые при этом можно описать с помощью каких-либо уравнений. Исходные прямые имеют точку пересечения M . Как определить искомый угол (обозначим его α) между этими прямыми?
Начнем с формулировки основного принципа нахождения угла в заданных условиях.
Нам известно, что с понятием прямой линии тесно связаны такие понятия, как направляющий и нормальный вектор. Если у нас есть уравнение некоторой прямой, из него можно взять координаты этих векторов. Мы можем сделать это сразу для двух пересекающихся прямых.
Угол, образуемый двумя пересекающимися прямыми, можно найти с помощью:
- угла между направляющими векторами;
- угла между нормальными векторами;
- угла между нормальным вектором одной прямой и направляющим вектором другой.
Теперь рассмотрим каждый способ отдельно.
1. Допустим, что у нас есть прямая a с направляющим вектором a → = (a x , a y) и прямая b с направляющим вектором b → (b x , b y) . Теперь отложим два вектора a → и b → от точки пересечения. После этого мы увидим, что они будут располагаться каждый на своей прямой. Тогда у нас есть четыре варианта их взаимного расположения. См. иллюстрацию:
Если угол между двумя векторами не является тупым, то он и будет нужным нам углом между пересекающимися прямыми a и b . Если же он тупой, то искомый угол будет равен углу, смежному с углом a → , b → ^ . Таким образом, α = a → , b → ^ в том случае, если a → , b → ^ ≤ 90 ° , и α = 180 ° - a → , b → ^ , если a → , b → ^ > 90 ° .
Исходя из того, что косинусы равных углов равны, мы можем переписать получившиеся равенства так: cos α = cos a → , b → ^ , если a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ , если a → , b → ^ > 90 ° .
Во втором случае были использованы формулы приведения. Таким образом,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ < 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Запишем последнюю формулу словами:
Определение 3
Косинус угла, образованного двумя пересекающимися прямыми, будет равен модулю косинуса угла между его направляющими векторами.
Общий вид формулы косинуса угла между двумя векторами a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) выглядит так:
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
Из нее мы можем вывести формулу косинуса угла между двумя заданными прямыми:
cos α = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
Тогда сам угол можно найти по следующей формуле:
α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
Здесь a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) – это направляющие векторы заданных прямых.
Приведем пример решения задачи.
Пример 1
В прямоугольной системе координат на плоскости заданы две пересекающиеся прямые a и b . Их можно описать параметрическими уравнениями x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R и x 5 = y - 6 - 3 . Вычислите угол между этими прямыми.
Решение
У нас в условии есть параметрическое уравнение, значит, для этой прямой мы сразу можем записать координаты ее направляющего вектора. Для этого нам нужно взять значения коэффициентов при параметре, т.е. прямая x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R будет иметь направляющий вектор a → = (4 , 1) .
Вторая прямая описана с помощью канонического уравнения x 5 = y - 6 - 3 . Здесь координаты мы можем взять из знаменателей. Таким образом, у этой прямой есть направляющий вектор b → = (5 , - 3) .
Далее переходим непосредственно к нахождению угла. Для этого просто подставляем имеющиеся координаты двух векторов в приведенную выше формулу α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Получаем следующее:
α = a r c cos 4 · 5 + 1 · (- 3) 4 2 + 1 2 · 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 · 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Ответ : данные прямые образуют угол в 45 градусов.
Мы можем решить подобную задачу с помощью нахождения угла между нормальными векторами. Если у нас есть прямая a с нормальным вектором n a → = (n a x , n a y) и прямая b с нормальным вектором n b → = (n b x , n b y) , то угол между ними будет равен углу между n a → и n b → либо углу, который будет смежным с n a → , n b → ^ . Этот способ показан на картинке:
Формулы для вычисления косинуса угла между пересекающимися прямыми и самого этого угла с помощью координат нормальных векторов выглядят так:
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x · n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 · n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x · n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 · n b x 2 + n b y 2
Здесь n a → и n b → обозначают нормальные векторы двух заданных прямых.
Пример 2
В прямоугольной системе координат заданы две прямые с помощью уравнений 3 x + 5 y - 30 = 0 и x + 4 y - 17 = 0 . Найдите синус, косинус угла между ними и величину самого этого угла.
Решение
Исходные прямые заданы с помощью нормальных уравнений прямой вида A x + B y + C = 0 . Нормальный вектор обозначим n → = (A , B) . Найдем координаты первого нормального вектора для одной прямой и запишем их: n a → = (3 , 5) . Для второй прямой x + 4 y - 17 = 0 нормальный вектор будет иметь координаты n b → = (1 , 4) . Теперь добавим полученные значения в формулу и подсчитаем итог:
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 · 1 + 5 · 4 3 2 + 5 2 · 1 2 + 4 2 = 23 34 · 17 = 23 2 34
Если нам известен косинус угла, то мы можем вычислить его синус, используя основное тригонометрическое тождество. Поскольку угол α , образованный прямыми, не является тупым, то sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34 .
В таком случае α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .
Ответ: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Разберем последний случай – нахождение угла между прямыми, если нам известны координаты направляющего вектора одной прямой и нормального вектора другой.
Допустим, что прямая a имеет направляющий вектор a → = (a x , a y) , а прямая b – нормальный вектор n b → = (n b x , n b y) . Нам надо отложить эти векторы от точки пересечения и рассмотреть все варианты их взаимного расположения. См. на картинке:
Если величина угла между заданными векторами не более 90 градусов, получается, что он будет дополнять угол между a и b до прямого угла.
a → , n b → ^ = 90 ° - α в том случае, если a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Если он менее 90 градусов, то мы получим следующее:
a → , n b → ^ > 90 ° , тогда a → , n b → ^ = 90 ° + α
Используя правило равенства косинусов равных углов, запишем:
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α при a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α при a → , n b → ^ > 90 ° .
Таким образом,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ < 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Сформулируем вывод.
Определение 4
Чтобы найти синус угла между двумя прямыми, пересекающимися на плоскости, нужно вычислить модуль косинуса угла между направляющим вектором первой прямой и нормальным вектором второй.
Запишем необходимые формулы. Нахождение синуса угла:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2
Нахождение самого угла:
α = a r c sin = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2
Здесь a → является направляющим вектором первой прямой, а n b → – нормальным вектором второй.
Пример 3
Две пересекающиеся прямые заданы уравнениями x - 5 = y - 6 3 и x + 4 y - 17 = 0 . Найдите угол пересечения.
Решение
Берем координаты направляющего и нормального вектора из заданных уравнений. Получается a → = (- 5 , 3) и n → b = (1 , 4) . Берем формулу α = a r c sin = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2 и считаем:
α = a r c sin = - 5 · 1 + 3 · 4 (- 5) 2 + 3 2 · 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Обратите внимание, что мы взяли уравнения из предыдущей задачи и получили точно такой же результат, но другим способом.
Ответ: α = a r c sin 7 2 34
Приведем еще один способ нахождения нужного угла с помощью угловых коэффициентов заданных прямых.
У нас есть прямая a , которая задана в прямоугольной системе координат с помощью уравнения y = k 1 · x + b 1 , и прямая b , заданная как y = k 2 · x + b 2 . Это уравнения прямых с угловым коэффициентом. Чтобы найти угол пересечения, используем формулу:
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 , где k 1 и k 2 являются угловыми коэффициентами заданных прямых. Для получения этой записи были использованы формулы определения угла через координаты нормальных векторов.
Пример 4
Есть две пересекающиеся на плоскости прямые, заданные уравнениями y = - 3 5 x + 6 и y = - 1 4 x + 17 4 . Вычислите величину угла пересечения.
Решение
Угловые коэффициенты наших прямых равны k 1 = - 3 5 и k 2 = - 1 4 . Добавим их в формулу α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 и подсчитаем:
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
Ответ: α = a r c cos 23 2 34
В выводах этого пункта следует отметить, что приведенные здесь формулы нахождения угла не обязательно учить наизусть. Для этого достаточно знать координаты направляющих и/или нормальных векторов заданных прямых и уметь определять их по разным типам уравнений. А вот формулы для вычисления косинуса угла лучше запомнить или записать.
Как вычислить угол между пересекающимися прямыми в пространстве
Вычисление такого угла можно свести к вычислению координат направляющих векторов и определению величины угла, образованного этими векторами. Для таких примеров используются такие же рассуждения, которые мы приводили до этого.
Допустим, что у нас есть прямоугольная система координат, расположенная в трехмерном пространстве. В ней заданы две прямые a и b с точкой пересечения M . Чтобы вычислить координаты направляющих векторов, нам нужно знать уравнения этих прямых. Обозначим направляющие векторы a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) . Для вычисления косинуса угла между ними воспользуемся формулой:
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
Для нахождения самого угла нам понадобится эта формула:
α = a r c cos a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
Пример 5
У нас есть прямая, заданная в трехмерном пространстве с помощью уравнения x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Известно, что она пересекается с осью O z . Вычислите угол пересечения и косинус этого угла.
Решение
Обозначим угол, который надо вычислить, буквой α . Запишем координаты направляющего вектора для первой прямой – a → = (1 , - 3 , - 2) . Для оси аппликат мы можем взять координатный вектор k → = (0 , 0 , 1) в качестве направляющего. Мы получили необходимые данные и можем добавить их в нужную формулу:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → · k → = 1 · 0 - 3 · 0 - 2 · 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 · 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
В итоге мы получили, что нужный нам угол будет равен a r c cos 1 2 = 45 ° .
Ответ: cos α = 1 2 , α = 45 ° .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Этим видео я начинаю длинную серию уроков про логарифмические уравнения. Сейчас перед вами сразу три примера, на основе которых мы будем учиться решать самые простые задачи, которые так и называются — простейшие .
log 0,5 (3x − 1) = −3
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Напомню, что простейшим логарифмическим уравнением называется следующее:
log a f (x ) = b
При этом важно, чтобы переменная х присутствует только внутри аргумента, т. е. только в функции f (x ). А числа а и b являются именно числами, а ни в коем случае не функциями, содержащими переменную х.
Основные методы решения
Существует множество способов решения таких конструкций. Например, большинство учителей в школе предлагают такой способ: Сразу выразить функцию f (x ) по формуле f (x ) = a b . Т. е. когда вы встречаете простейшую конструкцию, сразу без дополнительных действий и построений можете перейти к решению.
Да, безусловно, решение получится правильным. Однако проблема этой формулы состоит в том, что большинство учеников не понимают , откуда она берется и почему именно букву а мы возводим в букву b .
В результате я часто наблюдаю очень обидные ошибки, когда, например, эти буквы меняются местами. Данную формулу нужно либо понять, либо зубрить, причем второй способ приводит к ошибкам в самые неподходящие и самые ответственные моменты: на экзаменах, контрольных и т. д.
Именно поэтому всем своим ученикам я предлагаю отказаться от стандартной школьной формулы и использовать для решения логарифмических уравнений второй подход, который, как вы уже наверняка догадались из названия, называется канонической формой .
Идея канонической формы проста. Давайте еще раз посмотрим на нашу задачу: слева у нас есть log a , при этом под буквой a имеется в виду именно число, а ни в коем случае не функция, содержащая переменную х. Следовательно, на эту букву распространяются все ограничения, которые накладываются на основание логарифма. а именно:
1 ≠ a > 0
С другой стороны, из того же самого уравнения мы видим, что логарифм должен быть равен числу b , и вот на эту букву никаких ограничений не накладывается, потому что он может принимать любые значения — как положительные, так и отрицательные. Все зависит от того, какие значения принимает функция f (x ).
И вот тут мы вспоминаем наше замечательное правило, что любое число b может быть представлено в виде логарифма по основанию а от а в степени b :
b = log a a b
Как запомнить эту формулу? Да очень просто. Давайте запишем следующую конструкцию:
b = b · 1 = b · log a a
Разумеется, что при этом возникают все ограничения, которые мы записали вначале. А теперь давайте воспользуемся основным свойством логарифма, и внесем множитель b в качестве степени а. Получим:
b = b · 1 = b · log a a = log a a b
В результате исходное уравнение перепишется в следующем виде:
log a f (x ) = log a a b → f (x ) = a b
Вот и все. Новая функция уже не содержит логарифма и решается стандартными алгебраическими приемами.
Конечно, кто-то сейчас возразит: а зачем вообще было придумывать какую-то каноническую формулу, зачем выполнять два дополнительных ненужных шага, если можно было сразу перейти от исходной конструкции к итоговой формуле? Да уже хотя бы затем, что большинство учеников не понимают, откуда берется эта формула и, как следствие, регулярно допускают ошибки при ее применении.
А вот такая последовательность действий, состоящая из трех шагов, позволяет вам решить исходное логарифмическое уравнение, даже если вы не понимаете, откуда берется та самая итоговая формула. Кстати, канонической формулой называется именно эта запись:
log a f (x ) = log a a b
Удобство канонической формы состоит еще и в том, что ее можно применять для решения очень широкого класса логарифмических уравнений, а не только простейших, которые мы рассматриваем сегодня.
Примеры решения
А теперь давайте рассмотрим реальные примеры. Итак, решаем:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Давайте перепишем его следующим образом:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Многие ученики торопятся и пытаются сразу возвести число 0,5 в степень, которая пришла к нам из исходной задачи. И действительно, когда вы уже хорошо натренируетесь в решении подобных задач, вы можете сразу выполнять этот шаг.
Однако если сейчас вы только приступаете к изучению этой темы, лучше никуда не торопиться, чтобы не допускать обидных ошибок. Итак, перед нами каноническая форма. Имеем:
3x − 1 = 0,5 −3
Это уже не логарифмическое уравнение, а линейное относительно переменной х. Чтобы решить его, давайте для начала разберемся с числом 0,5 в степени −3. Заметим, что 0,5 — это 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Все десятичные дроби переводите в обычные, когда вы решаете логарифмическое уравнение.
Переписываем и получаем:
3x
− 1 = 8
3x
= 9
x
= 3
Все, мы получили ответ. Первая задача решена.
Вторая задача
Переходим ко второй задаче:
Как видим, это уравнение уже не является простейшим. Уже хотя бы потому, что слева стоит разность, а не один-единственный логарифм по одному основанию.
Следовательно, нужно каким-то образом избавиться от этой разности. В данном случае все очень просто. Давайте внимательно посмотрим на основания: слева стоит число под корнем:
Общая рекомендация: во всех логарифмических уравнениях старайтесь избавиться от радикалов, т. е. от записей с корнями и переходить к степенным функциям, просто потому что показатели этих степеней легко выносятся за знак логарифма и в конечном счета такая запись существенно упрощает и ускоряет вычисления. Вот давайте так и запишем:
Теперь вспоминаем замечательное свойство логарифма: из аргумента, а также из основания можно выносить степени. В случае с основаниями происходит следующее:
log a k b = 1/k loga b
Другими словами, число, которое стояло в степени основания, выносится вперед и при этом переворачивается, т. е. становится обратным числом. В нашем случае стояла степень основания с показателем 1/2. Следовательно, мы можем вынести ее как 2/1. Получим:
5 · 2 log 5 x
− log 5 x
= 18
10 log 5 x
− log 5 x
= 18
Обратите внимание: ни в коем случае нельзя избавляться от логарифмов на этом шаге. Вспомните математику 4—5 класса и порядок действий: сначала выполняется умножение, а лишь затем — сложение и вычитание. В данном случае мы из 10 элементов вычитаем один такой же:
9 log 5 x
= 18
log 5 x
= 2
Теперь наше уравнение выглядит как надо. Это простейшая конструкция, и мы решаем его с помощью канонической формы:
log 5 x
= log 5 5 2
x
= 5 2
x
= 25
Вот и все. Вторая задача решена.
Третий пример
Переходим к третьей задаче:
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Напомню следующую формулу:
lg b = log 10 b
Если вас по каким-либо причинам смущает запись lg b , то при выполнении всех вычислений вы можете записать просто log 10 b . С десятичными логарифмами можно работать так же, как и с другими: выносить степени, складывать и представлять любые числа в виде lg 10.
Вот именно этими свойствами мы сейчас и воспользуемся для решения задачи, поскольку она не является простейшей, которую мы записали в самом начале нашего урока.
Для начала заметим, что множитель 2, стоящий перед lg 5, может быть внесен и станет степенью основания 5. Кроме того, свободное слагаемое 3 также представимо в виде логарифма — это очень легко наблюдать из нашей записи.
Судите сами: любое число можно представить в виде log по основанию 10:
3 = log 10 10 3 = lg 10 3
Перепишем исходную задачу с учетом полученных изменений:
lg (x
− 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x
− 3) = lg 1000 · 25
lg (x
− 3) = lg 25 000
Перед нами снова каноническая форма, причем мы получили ее, минуя стадию преобразований, т. е. простейшее логарифмическое уравнение у нас нигде не всплывало.
Именно об этом я и говорил в самом начале урока. Каноническая форма позволяет решать более широкий класс задач, нежели стандартная школьная формула, которую дают большинство школьных учителей.
Ну и все, избавляемся от знака десятичного логарифма, и получаем простую линейную конструкцию:
x
+ 3 = 25 000
x
= 24 997
Все! Задача решена.
Замечание по поводу области определения
Тут бы хотелось привести важное замечание по поводу области определения. Наверняка сейчас найдутся ученики и учителя, которые скажут: «Когда мы решаем выражения с логарифмами, необходимо обязательно помнить, что аргумент f (x ) должен быть больше нуля!» В связи с этим возникает логичный вопрос: почему ни в одной из рассмотренных задач мы не требовали, чтобы это неравенство выполнялось?
Не переживайте. Никаких лишних корней в этих случаях не возникнет. И это еще одна замечательная хитрость, которая позволяет ускорить решение. Просто знайте, что если в задаче переменная х встречается лишь в одном месте (а точнее — в одном-единственном аргументе одного-единственного логарифма), и больше нигде в нашем случае нет переменной х, то записывать область определения не нужно , потому что она будет выполняться автоматически.
Судите сами: в первом уравнении мы получили, что 3х − 1, т. е. аргумент должен быть равен 8. Это автоматически означает, что 3х − 1 будет больше нуля.
С тем же успехом мы можем записать, что во втором случае х должен быть равен 5 2 , т. е. он заведомо больше нуля. А в третьем случае, где х + 3 = 25 000, т. е. опять же заведомо больше нуля. Другими словами, область определения выполняется автоматически, но только при условии, что х встречается лишь в аргументе лишь одного логарифма.
Вот и все, что нужно знать для решения простейших задач. Уже одно это правило вместе с правилами преобразования позволит вам решать очень широкий класс задач.
Но давайте будем честными: для того, чтобы окончательно разобраться с этим приемом, чтобы научиться применять каноническую форму логарифмического уравнения, недостаточно просто посмотреть один видеоурок. Поэтому прямо сейчас скачайте варианты для самостоятельного решения, которые прилагаются к данному видеоуроку и начните решать хотя бы одну из этих двух самостоятельных работ.
Времени у вас уйдет буквально несколько минут. А вот эффект от такого обучения будет намного выше по сравнению с тем, если бы вы просто просмотрели данный видеоурок.
Надеюсь, этот урок поможет разобраться вам с логарифмическими уравнениями. Применяйте каноническую форму, упрощайте выражения с помощью правил работы с логарифмами — и никакие задачи вам будут не страшны. А у меня на сегодня все.
Учет области определения
Теперь поговорим об области определения логарифмической функции, а также о том, как это влияет на решение логарифмических уравнений. Рассмотрим конструкцию вида
log a f (x ) = b
Такое выражение называется простейшим — в нем лишь одна функция, а числа а и b — это именно числа, а ни в коем случае не функция, зависящая от переменной х. Решается оно очень просто. Достаточно лишь использовать формулу:
b = log a a b
Данная формула является одним из ключевых свойств логарифма, и при подстановке в наше исходное выражение мы получим следующее:
log a f (x ) = log a a b
f (x ) = a b
Это уже знакомая формула из школьных учебников. У многих учеников наверняка возникнет вопрос: поскольку в исходном выражении функция f (x ) стоит под знаком log, на нее накладываются следующие ограничения:
f (х) > 0
Это ограничение действует потому, что логарифм от отрицательных чисел не существует. Так, может быть, вследствие этого ограничения следует ввести проверку на ответы? Быть может, их нужно подставлять в исходник?
Нет, в простейших логарифмических уравнениях дополнительная проверка излишня. И вот почему. Взгляните на нашу итоговую формулу:
f (x ) = a b
Дело в том, что число а в любом случае больше 0 — это требование тоже накладывается логарифмом. Число а является основанием. При этом на число b никаких ограничений не накладывается. Но это и неважно, потому что в какую бы степень мы бы не возводили положительное число, на выходе мы все равно получим положительное число. Таким образом, требование f (х) > 0 выполняется автоматически.
Что действительно стоит проверять, так это область определения функции, стоящей под знаком log. Там могут встречаться довольно непростые конструкции, и в процессе решения за ними обязательно нужно следить. Давайте посмотрим.
Первая задача:
Первый шаг: преобразуем дробь справа. Получим:
Избавляемся от знака логарифма и получаем обычное иррациональное уравнение:
Из полученных корней нас устраивает только первый, так как второй корень меньше нуля. Единственным ответом будет число 9. Все, задача решена. Никаких дополнительных проверок того, что выражение под знаком логарифма больше 0, не требуется, потому что оно не просто больше 0, а по условию уравнения оно равно 2. Следовательно, требование «больше нуля», выполняется автоматически.
Переходим ко второй задаче:
Здесь все то же самое. Переписываем конструкцию, заменяя тройку:
Избавляемся от знаков логарифма и получаем иррациональное уравнение:
Возводим обе части в квадрат с учетом ограничений и получаем:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Решаем полученное уравнение через дискриминант:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Но x = −6 нас не устраивает, потому что если мы подставим это число в наше неравенство, то получим:
−6 + 4 = −2 < 0
В нашем же случае требуется, чтобы было больше, чем 0 или в крайнем случае равно. А вот x = −1 нам подходит:
−1 + 4 = 3 > 0
Единственным ответом в нашем случае будет x = −1. Вот и все решение. Давайте вернемся в самое начало наших вычислений.
Основной вывод из этого урока: проверять ограничения для функции в простейших логарифмических уравнениях не требуется. Потому что в процессе решения все ограничения выполняются автоматически.
Однако это ни в коем случае не означает, что о проверке можно вообще забыть. В процессе работы над логарифмическим уравнением вполне может перейти в иррациональное, в котором будут свои ограничения и требования к правой части, в чем мы сегодня и убедились на двух различных примерах.
Смело решайте такие задачи и будьте особо внимательные, если в аргументе стоит корень.
Логарифмические уравнения с разными основаниями
Продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем еще два довольно интересных приема, с помощью которых модно решать более сложные конструкции. Но для начала вспомним, как решаются простейшие задачи:
log a f (x ) = b
В этой записи а и b являются именно числами, а в функции f (x ) должна присутствовать переменная х, и только там, т. е. х должен находиться только в аргументе. Преобразовывать такие логарифмические уравнения мы будем с помощью канонической формы. Для этого заметим, что
b = log a a b
Причем a b — это именно аргумент. Давайте перепишем это выражение следующим образом:
log a f (x ) = log a a b
Мы именно этого и добиваемся, чтобы и слева, и справа стоял логарифм по основанию а. В этом случае мы можем, образно говоря, зачеркнуть знаки log, а с точки зрения математики мы можем сказать, что мы просто приравниваем аргументы:
f (x ) = a b
В результате мы получим новое выражение, которое будет решаться намного проще. Давайте применим это правило к нашим сегодняшним задачам.
Итак, первая конструкция:
Прежде всего, отмечу, что справа стоит дробь, в знаменателе которой находится log. Когда вы видите такое выражение, не лишним будет вспомнить замечательное свойство логарифмов:
Переводя на русский язык, это означает, что любой логарифм может быть представлен в виде частного двух логарифмов с любым основанием с. Разумеется, 0 < с ≠ 1.
Так вот: у этой формулы есть один замечательный частный случай, когда переменная с равна переменной b . В этом случае мы получим конструкцию вида:
Именно такую конструкцию мы наблюдаем от знака справа в нашем уравнении. Давайте заменим эту конструкцию на log a b , получим:
Другими словами, в сравнении с исходным заданием, мы поменяли местами аргумент и основание логарифма. Взамен нам пришлось перевернуть дробь.
Вспоминаем, что любую степень можно выносить из основания по следующему правилу:
Другими словами, коэффициент k , который является степенью основания, выносится как перевернутая дробь. Давайте вынесем ее как перевернутую дробь:
Дробный множитель нельзя оставлять спереди, потому что в этом случае мы не сможем представить данную запись как каноническую форму (ведь в канонической форме перед вторым логарифмом никакой дополнительный множитель не стоит). Следовательно, давайте внесем дробь 1/4 в аргумент в виде степени:
Теперь мы приравниваем аргументы, основания которых одинаковые (а основания у нас действительно одинаковые), и записываем:
x + 5 = 1
x = −4
Вот и все. Мы получили ответ к первому логарифмическому уравнению. Обратите внимание: в исходной задаче переменная х встречается лишь в одном log, причем стоит в его аргументе. Следовательно, проверять область определения не требуется, и наше число х = −4 действительно является ответом.
Теперь переходим ко второму выражению:
lg 56 = lg 2 log 2 7 − 3lg (x + 4)
Здесь помимо обычных логарифмов, нам придется работать с lg f (x ). Как решать такое уравнение? Неподготовленному ученику может показаться, что это какая-то жесть, но на самом деле все решается элементарно.
Внимательно посмотрите на слагаемое lg 2 log 2 7. Что мы можем о нем сказать? Основания и аргументы log и lg совпадают, и это должно наводить на некоторые мысли. Давайте еще раз вспомним, как выносятся степени из-под знака логарифма:
log a b n = nlog a b
Другими словами, то, что являлось степенью при числе b в аргументе, становится множителем перед самим log. Давайте применим эту формулу для выражения lg 2 log 2 7. Пусть вас не пугает lg 2 — это самое обычное выражение. Можно переписать его следующим образом:
Для него справедливы все правила, которые действуют для любого другого логарифма. В частности, множитель, стоящий спереди, можно внести в степень аргумента. Давайте запишем:
Очень часто ученики в упор не видят это действие, потому что нехорошо вносить один log под знак другого. На самом деле ничего криминального в этом нет. Более того, мы получаем формулу, которая легко считается, если помнить важное правило:
Эту формулу можно рассматривать и как определение, и как одно из его свойств. В любом случае, если вы преобразуете логарифмическое уравнение, эту формулу вы должны знать точно так же, как и представление любого числа в виде log.
Возвращаемся к нашей задаче. Переписываем его с учетом того факта, что первое слагаемое справа от знака равенства будет равно просто lg 7. Имеем:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
Давайте перенесем lg 7 влево, получим:
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
Вычитаем выражения слева, потому что они имеют одно и то же основание:
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
Теперь давайте внимательно посмотрим на уравнение, которое мы получили. Оно практически является канонической формой, однако справа присутствует множитель −3. Давайте внесем его в аргумент правого lg:
lg 8 = lg (x + 4) −3
Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения, поэтому мы вычеркиваем знаки lg и приравниваем аргументы:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
Вот и все! Мы решили второе логарифмическое уравнение. При этом никаких дополнительных проверок не требуется, потому что в исходной задаче х присутствовал лишь в одном аргументе.
Перечислю еще раз ключевые моменты этого урока.
Главная формула, которая изучается во всех уроках на этой странице, посвященной решению логарифмических уравнений — это каноническая форма. И пусть вас не пугает то, что в большинстве школьных учебников вас учат решать подобные задачи по-другому. Данный инструмент работает очень эффективно и позволяет решать гораздо более широкий класс задач, нежели простейшие, которые мы изучали в самом начале нашего урока.
Кроме того, для решения логарифмических уравнений полезно будет знать основные свойства. А именно:
- Формулу перехода к одному основанию и частный случай, когда мы переворачиваем log (это очень пригодилось нам в первой задаче);
- Формулу внесения и вынесения степеней из-под знака логарифма. Здесь многие ученики зависают и в упор не видят, что выносимая и вносимая степень сама может содержать log f (x ). Ничего страшного в этом нет. Мы можем вносить один log по знак другого и при этом существенно упрощать решение задачи, что мы и наблюдаем во втором случае.
В заключении хотел бы добавить, что проверять область определения в каждом из этих случае не требуется, потому что везде переменная х присутствует только в одном знаке log, и при этом находится в его аргументе. Как следствие, все требования области определения выполняются автоматически.
Задачи с переменным основанием
Сегодня мы рассмотрим логарифмические уравнения, которые для многих учеников кажутся нестандартными, а то и вовсе нерешаемыми. Речь идет об выражениях, в основании которых стоят не числа, а переменные и даже функции. Решать такие конструкции мы будем с помощью нашего стандартного приема, а именно через каноническую форму.
Для начала вспомним, как решаются простейшие задачи, в основании которых стоят обычные числа. Итак, простейшей называется конструкция вида
log a f (x ) = b
Для решения таких задач мы можем использовать следующую формулу:
b = log a a b
Переписываем наше исходное выражение и получаем:
log a f (x ) = log a a b
Затем мы приравниваем аргументы, т. е. записываем:
f (x ) = a b
Таким образом мы избавляемся от знака log и решаем уже обычную задачу. При этом полученные при решении корни и будут корнями исходного логарифмического уравнения. Кроме того, запись, когда и слева, и справа стоит по одному и тому же логарифму с одним и тем же основанием, как раз и называется канонической формой. Именно к такой записи мы будем пытаться свести сегодняшние конструкции. Итак, поехали.
Первая задача:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Заменяем 1 на log x − 2 (x − 2) 1 . Та степень, которую мы наблюдаем у аргумента, это, на самом деле то число b , которое стояло справа от знака равенства. Таким образом, перепишем наше выражение. Получим:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Что мы видим? Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения, поэтому мы смело можем приравнять аргументы. Получим:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Но на этом решение не заканчивается, потому что данное уравнение не равносильно исходному. Ведь полученная конструкция состоит из функций, которые определены на всей числовой прямой, а наши исходные логарифмы определены не везде и не всегда.
Поэтому мы должны отдельно записать область определения. Давайте не будем мудрить и для начала запишем все требования:
Во-первых, аргумент каждого из логарифмов должен быть больше 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Во-вторых, основание должно быть не только больше 0, но и отлично от 1:
x − 2 ≠ 1
В итоге получим систему:
Но вы не пугайтесь: при обработке логарифмических уравнений такую систему можно существенно упростить.
Судите сами: с одной стороны, от нас требуется, чтобы квадратичная функция была больше нуля, а с другой стороны — эта квадратичная функция приравнивается к некому линейному выражению, от которого также требуется, чтобы оно было больше нуля.
В таком случае, если мы требуем, чтобы x − 2 > 0, то автоматически будет выполняться и требование 2x 2 − 13x + 18 > 0. Поэтому мы можем смело зачеркнуть неравенство, содержащее квадратичную функцию. Таким образом, количество выражений, которое содержится в нашей системе, уменьшится до трех.
Разумеется, с тем же успехом мы могли бы зачеркнуть и линейное неравенство, т. е. вычеркнуть x − 2 > 0 и потребовать, чтобы 2x 2 − 13x + 18 > 0. Но согласитесь, что решить простейшее линейное неравенство гораздо быстрее и проще, чем квадратичное, пусть даже при условии, что в результате решения всей этой системы мы получим одни и те же корни.
В общем, по возможности старайтесь оптимизировать вычисления. И в случае с логарифмическими уравнениями вычеркивайте самые сложные неравенства.
Давайте перепишем нашу систему:
Вот такая система из трех выражений, с двумя из которых мы, по сути, уже разобрались. Давайте отдельно выпишем квадратное уравнение и решим его:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Перед нами приведенный квадратный трехчлен и, следовательно, мы можем воспользоваться формулами Виета. Получим:
(х − 5)(х − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
А теперь возвращаемся к нашей системе и обнаруживаем, что х = 2 нас не устраивает, потому что от нас требуется, чтобы х был строго больше, чем 2.
А вот х = 5 нас вполне устраивает: число 5 больше, чем 2, и при этом 5 не равно 3. Следовательно, единственным решением данной системы будет являться х = 5.
Все, задача решена, в т. ч. с учетом ОДЗ. Переходим ко второму уравнению. Здесь нас ждут более интересные и содержательные выкладки:
Первый шаг: как и в прошлый раз, приводим все это дело к канонической форме. Для этого число 9 мы можем записать следующим образом:
Основание с корнем можно не трогать, а вот аргумент лучше преобразовать. Давайте перейдем от корня в степень с рациональным показателем. Запишем:
Давайте я не буду переписывать все наше большое логарифмическое уравнение, а просто сразу приравняю аргументы:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Перед нами вновь приведенный квадратный трехчлен, воспользуемся формулами Виета и запишем:
(х + 3)(х + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Итак, мы получили корни, но никто нам не гарантировал, что они подойдут к исходному логарифмическому уравнению. Ведь знаки log накладывают дополнительные ограничения (здесь мы должны были бы записать систему, но из-за громоздкости всей конструкции я решил посчитать область определения отдельно).
В первую очередь, вспоминаем, что аргументы должны быть больше 0, а именно:
Это и есть требования, накладываемые областью определения.
Сразу заметим, что поскольку мы приравниваем первые два выражения системы друг к другу, то любое из них мы можем вычеркнуть. Давайте вычеркнем первую, потому что она выглядит более угрожающе, нежели вторая.
Кроме того, заметим, что решением второго и третьего неравенства будут одни и те множества (куб какого-то числа больше нуля, если само это число больше нуля; аналогично и с корнем третьей степени — эти неравенства полностью аналогичны, поэтому одно из них мы можем вычеркнуть).
А вот с третьим неравенством такое не пройдет. Избавимся от знака радикала, стоящего слева, для чего возведем обе части в куб. Получим:
Итак, мы получаем следующие требования:
− 2 ≠ x > −3
Какой из наших корней:x 1 = −3 или x 2 = −1 отвечает этим требованиям? Очевидно, что только х = −1, потому что х = −3 не удовлетворяет первому неравенству (ибо неравенство у нас строгое). Итого возвращаясь к нашей задаче, мы получаем один корень: х = −1. Вот и все, задача решена.
Еще раз ключевые моменты данной задачи:
- Не стесняйтесь применять и решать логарифмические уравнения с помощью канонической формы. Ученики, которые делают такую запись, а не переходят напрямую от исходной задачи к конструкции типа log a f (x ) = b , допускают намного меньше ошибок, чем те, которые куда-то спешат, пропуская промежуточные шаги вычислений;
- Как только в логарифме появляется переменное основание, задача перестает быть простейшей. Следовательно, при его решении необходимо учитывать область определения: аргументы должны быть больше нуля, а основания — не только больше 0, но еще они не должны быть равны 1.
Накладывать последние требования на итоговые ответы можно по-разному. Например, можно решать целую систему, содержащую все требования к области определения. С другой стороны, можно сначала решить саму задачу, а затем вспомнить про область определения, отдельно проработать ее в виде системы и наложить на полученные корни.
Какой способ выбирать при решении конкретного логарифмического уравнения, решать только вам. В любом случае ответ получится один и тот же.