Видеоурок «Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника» представляет данную теорему, а также следствия из нее. Знание теоремы и ее следствий необходимо для решения практических задач по геометрии, в которых для нахождения параметров треугольника используются различные соотношения его сторон и углов. Задача видеоурока - облегчить понимание материала, способствовать запоминанию теоремы и следствий из нее.
В видеоуроке использованы анимационные эффекты, которые помогают выделить важные детали геометрических фигур при усвоении материала. Также используется выделение цветом для выделения утверждения теоремы и ее следствий. Голосовое сопровождение объяснение полностью заменяет учителя при стандартной подаче ученикам нового материала.
В начале видеоурока после представления темы на экран выводится текст теоремы, которая утверждает о том, что против большей стороны в произвольном треугольнике располагается больший угол, н напротив большего угла всегда расположена большая сторона. Данное утверждение демонстрируется на треугольнике ΔАВС, который отображается на рисунке ниже текста теоремы. Доказательство теоремы объясняется устно диктором.
Для доказательства утверждения предполагается рассмотреть стороны AB, AC и углы, расположенные напротив них - ∠C и ∠B. Предполагается, что для сторон AB>AC напротив лежащие углы будут ∠C>∠B. На стороне AB откладывается отрезок AD, равный по величине отрезку AC. Так как сторона AC меньше стороны AB, то конец отрезка точка D лежит между вершинами треугольника A и B. Из этого следует, что образовавший при построении угол ∠1 меньше угла ∠C, а угол ∠2 как внешний к углу ∠BDC равняется сумме углов ∠DBC и ∠DCB. Это означает, что ∠2 больше угла ∠DBC=∠B. Соответственно, и угол ∠C больше угла ∠B.
Доказательство обратного утверждения сводится к рассмотрению соотношения сторон AB, AC, если угол ∠C больше угла ∠B. Выполняется доказательство от противного. Для этого предполагается, что при ∠C>∠B сторона AB равна или меньше стороны AC. Однако с учетов равенства сторон AB=AC, зная свойства равнобедренного треугольника, можно утверждать, что в этом случае углы ∠C=∠B также будут равны. Если же AB
Далее в видеоуроке рассматриваются следствия данной теоремы. Утверждается, что исходя из данной теоремы гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше катета. Действительно, так как гипотенуза лежит напротив прямого угла, то катеты располагаются напротив острых углов. Так как острые углы всегда меньше прямого, то и противолежащие стороны-катеты всегда меньше гипотенузы.
Второе следствие теоремы - признак равнобедренного треугольника. Данное следствие утверждает, что равенство двух углов треугольника означает, что он равнобедренный. На примере треугольника ΔABC рассматриваются два угла ∠C и ∠B, и противолежащие им стороны AB и AC. Предполагается, что равенству углов ∠C=∠B соответствует равенство сторон AB=AC. Действительно, если бы стороны не были равны, то по теореме напротив большей стороны лежал бы больший угол, а напротив меньшей стороны лежал бы меньший угол. Таким образом, предположение о неравенстве сторон неверно. Данный треугольник является равнобедренным. Следствие доказано.
Эта теорема сформулирована и доказана в учебнике Атанасяна Л.С. , в учебнике Погорелова А.В. такой теоремы нет. Видимо, связанно это с тем, что неравенство треугольника у Атанасяна Л.С. доказывается с использованием выше указанной теоремы. У Погорелова А.В. же неравенство треугольника доказывается с использованием понятия проекции наклонной.
Приведем доказательство теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника дословно.
Теорема: В треугольнике:
1) против большей стороны лежит больший угол;
2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.
Доказательство. 1) Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС. Докажем, что угол С >угла В. Отложим на стороне АВ отрезок АD, равный стороне АС (рис.1). Так как АD<АВ, то тока D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, угол С >угла 1. Угол 2 - внешний угол треугольника ВDС, поэтому угол 2>угла В. Углы 1 и 2 равны, как углы при основании равнобедренного треугольника АDС. Таким образом, угол С >угла 1, угол 1 = углу 2, угол 2>угла В. Отсюда следует, что угол С >угла В.
2) Пусть в треугольнике АВС угол С >угла В. Докажем, что АВ>АС. Предположим, что это не так. Тогда либо АВ=АС, либо АВ<АС. В первом случае треугольник АВС - равнобедренный и, значит, Угол С= углу В. Во втором случае угол В> угла С (против большей стороны лежит больший угол). И то и другое противоречит условию: угол С >угла В. Поэтому наше предположение неверно, и, следовательно, АВ>АС. Теорема доказана.
Из приведенного доказательства видно, что его идея заключается в проведении дополнительного построения, разбивающего рассматриваемый треугольник на два треугольника, один из которых равнобедренный. Реконструируем идею такого дополнительного построения, доказав эту теорему с использованием понятия о мысленном эксперименте.
Доказательство теоремы с использованием мысленного эксперимента.
Итак, предмет мысли нашего мысленного эксперимента - углы и стороны треугольника. Поместим его мысленно в такие условия (рис.2), в которых его сущность может раскрыться с особой определенностью(1этап).
Такими условиями являются:
Равенство всех углов и сторон треугольника (условия равностороннего треугольника);
Способность сторон треугольника «сжиматься» и «растягиваться» сохраняя при этом прямизну линии;
Вершины треугольника могут «скользить» по линиям, содержащим стороны треугольника;
Такие сконструированные условия позволяют нам раскрыть сущность соотношения сторон и углов треугольника с особой определенностью (1 этап) - зависимость величины противолежащего угла от величины противолежащей стороны и обратно.
В самом деле, проводя последующие мысленные трансформации (2 этап) путем «растяжения» одной из сторон треугольника (рис.3) мы сможем наблюдать соответственно и увеличение противолежащего угла.
Производя обозначение углов и вершин треугольников (рис.4), получаемых при «растяжении» сторон равностороннего треугольника, мы тем самым мысленно формируем ту среду, ту систему связей, в которую помещаем наш предмет мысли (3 этап).
Увеличивая сторону АС путем «растяжения» до стороны АС1, мы тем самым будем наблюдать увеличение угла 1 и соответственное уменьшение угла 2. Но мы также будем наблюдать увеличение и стороны ВС до стороны ВС1. Если сторона ВС увеличилась больше, чем сторона АС (ВС1>АС1), то теорема не верна. Покажем что это не так.
Может быть два случая: ВС1=АС1 и ВС1 ВС1>АС1АС1. В первом случаи треугольник АВС1 был бы равнобедренным, а угол 1 был бы равен углу 3. Но это не так: угол 3 не изменялся и равен 60°, а угол 1 увеличился и стал > 60° - значит стороны ВС1 и АС1 не равны (рис.5). Во втором случае сторону АС1 можно увеличить до стороны ВС1 путем «растяжения» до стороны А1С1 (т.е. А1С1=ВС1) (рис.5). Полученный треугольник А1ВС1 - равнобедренный, а следовательно углы при основании должны быть равны. Но угол 3 уменьшился (т.е. стал < 60°), а угол 1 снова увеличился - значит стороны А1С1 и ВС1 не равны.
Если увеличивать не сторону а угол, мы снова будем решать вопрос о том, какая из двух сторон (АС или ВС) увеличилась больше.
Исходя из проведенного мысленного эксперимента, мы можем заключить истинность утверждения о том, что против большей стороны лежит больший угол и обратно.
Цели урока:
Образовательные:
- Совершенствовать навыки решения задач по теме “Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника”.
- Обобщить и систематизировать теоретический материал:
– виды треугольников;
– сумма углов треугольника;
– соотношения между сторонами и углами треугольника;
– признак равнобедренного треугольника.
Развивающие:
- Развивать навыки устного счета.
- Развивать логическое мышление обучающихся.
- Формировать умения четко и ясно излагать свои мысли.
- Развивать математическую речь учащихся в процессе выполнения устной работы по воспроизведению теоретического материала.
Воспитательные:
- Воспитывать умение работать с имеющейся информацией.
- Воспитывать уважение к предмету, умение видеть математические задачи в окружающем нас мире.
- Воспитывать умение слушать своего товарища, чувство взаимопомощи и взаимоподдержки.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний с применением компьютерных технологий.
Оборудование и наглядность: Компьютер, проектор, презентация к уроку, цветные мелки.
Оформление доски: на закрытой части доски выполнен чертеж к № 246.
Структура урока.
| Вид деятельности. | № слайдов. | мин. |
| 1. Организационный момент. | 1 | |
| 2. Сообщение темы и целей урока. | 2 | |
| 3. Актуализация опорных знаний. | 6 | |
| 4. Практическая работа. | 2–4 | 8 |
| 5. Физкультминутка. | 2 | |
| 6. Закрепление изученного материала: № 241, 239, 246 – в тетради. Письменно. | 23 | |
| 7. Подведение итогов урока. Выставление оценок. | 2 | |
| 8. Задание на дом: повторить п.30 – п. 32 учебника, № 337, 338. | 1 |
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Сообщение темы и целей урока.
Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение учащимся целей и плана урока.
Целью сегодняшнего урока является обобщение и систематизация теоретического материала, совершенствование навыков решения задач по теме “Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника”.
Сегодня главной фигурой на нашем уроке будет – Треугольник.
III. Актуализация опорных знаний.
Фронтальная работа.
- Что такое треугольник?
- Какие бывают треугольники?
- Какой треугольник называется остроугольным?
- Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются его стороны?
- Какой треугольник называется тупоугольным?
- Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника.
- Какой угол называется внешним углом треугольника? Чему равен внешний угол треугольника?
- Какой треугольник называется равнобедренным? Перечислите его свойства.
- Сформулируйте признак равнобедренного треугольника.
- Сформулируйте теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника.
- Какие следствия вытекают из теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника?
IV. Практическая работа. Устная работа на готовых чертежах. <Презентация> .
В треугольнике АВС найдем меньший угол.
Меньшая сторона АС, значит меньший угол В.
В треугольнике NRQ найдем меньшую сторону.
1) Меньший угол Q, т.к. 180 0 – (74 0 + 64 0) = 42 0
2) Меньшая сторона NR.
V. Физкультминутка.
VI. Закрепление учебного материала
Решение задачи № 241.
Учащиеся записывают в тетрадях число, тему урока. Учитель вызывает к доске учащегося для решения задачи № 241.
Решение: ∆АВС – равнобедренный, значит <В = <С. MN||BC, откуда Получили, что Учитель вызывает к доске учащегося для решения задачи № 239. Решение: 1. Рассмотрим ∆BMH – прямоугольный, т.к. BH – высота. По следствию 1
BM>BH. 2. BM=BH в случае если ∆АВС является равнобедренным (АВ = ВС) или
равносторонним. Учитель вызывает к доске учащегося для решения задачи № 246 (чертеж начерчен
на доске). Решение: Так как ВО – биссектриса, то OE||AB, следовательно, OD||AC, следовательно, P∆EDO = OE + ED + DO, но OE = BE, OD = DC, тогда P∆EDO = BE + ED + DC = BC. VII. Подведение итогов урока. Выставление оценок. VIII. Задание на дом: повторить п.30 – п. 32 учебника, № 337, 338. Литература. ТРЕУГОЛЬНИКИ. § 30. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА. Теорема 1.
Против большей стороны в треугольнике лежит и больший угол
. Пусть в /\
АВС сторона АВ больше стороны ВС. Докажем, что угол С, лежащий против большей стороны АВ, больше угла А, лежащего против меньшей стороны ВС (черт. 164). Отложим на стороне АВ от точки В отрезок ВD, равный стороне ВС, и соединим отрезком, точки D и С. Треугольник DВС равнобедренный. Угол ВDС равен углу ВСD, так как они лежат против равных сторон в треугольнике. Угол ВDС - внешний угол треугольника АDС, поэтому он больше угла А. Так как /
ВСD = /
ВDС, то и угол ВСD больше угла А: /
ВСD > /
A. Но угол ВСD составляет только часть всего угла С, поэтому угол С будет и подавно больше угла A. Доказать самостоятельно ту же теорему по чертежу 165, когда ВD = АВ. В § 18 мы доказали, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, т. е. в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Докажем теперь обратные теоремы. Теорема 2
. Против равных углов в треугольнике лежат и равные стороны.
Пусть в /\
AВС /
A = /
С (черт. 166). Докажем, что AВ = ВС, т. е. треугольник АBС равнобедренный. Между сторонами АВ и ВС может быть только одно из трёх следующих соотношений: 1) АВ > ВС; Если бы сторона AВ была больше ВС, то угол С был бы больше угла A, но это противоречит условию теоремы, следовательно, АВ не может быть больше ВС. Точно так же АВ не может быть меньше ВС, так как в этом случае угол С был бы меньше угла A. Следовательно, возможен только третий случай, т. е. Итaк, мы доказали: против равных углов в треугольнике лежат и равные стороны. Теорема 3
. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона.
Пусть в треугольнике АВС (черт. 167) /
C >/
B Докажем, что АВ > АС. Здесь также может быть одно из трёх следующих соотношений: 1) АВ = АС; Если бы сторона АВ была равна стороне АС, то /
С был бы равен /
В. Но это противоречит условию теоремы. Значит, АВ не может равняться АС Точно так же АВ не может быть меньше АС, так как в этом случае угол С был бы меньше угла B, что также противоречит данному условию. Следовательно, возможен только один случай, а именно: Мы доказали: против большего угла в треугольнике лежит и большая сторона. Следствие.
В прямоугольном треугольнике. гипотенуза больше любого из его катетов.
Теорема: В треугольнике 1. Дано: АВ>АС Доказать: ∠С>∠В. Доказательство: Отложим отрезок AD равный отрезку АС и тогда точка D будет лежать между точек А и В. Луч CD рассечёт угол АСВ на два угла, при этом ∠1=∠2. ΔАСВ состоит из углов ∠1 и ∠3. ∠2 - внешний для треугольника CDB, значит он больше угла В. Рис. 1. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника
∠1=∠2<∠ACB ∠2=∠B+∠3>∠B ∠ACB>∠B, что и требовалось доказать. 2. Дано: ∠С>∠В Доказать: ∠АВ>∠AC Рис. 2. Обратная теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника
Ещё раз сформулируем теорему и распространим её на все углы треугольника. Теорема: В треугольнике 1. Против большей стороны лежит больший угол 2. Обратно, против большего угла лежит большая сторона. Рис. 3. Чертёж к теореме
Если АВ>AC>BC, то ∠C>∠B>∠A. Если ∠C>∠B>∠A, то АВ>AC>BC. Следствие 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. Доказательство: Рис. 4. Чертёж к следствию 1
∠А+∠В+90=180, ∠А+∠В=90=∠С. Отсюда следует, что ∠А<90, ∠В<90. Значит, СВ<АВ, СА<АВ. Гипотенуза АВ больше одного катета и больше другого катета. Следствие доказано. Следствие 2: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника). Дано: ∠В=∠С Доказать: АС=АВ Доказательство: Докажем методом от противного. Рис. 5. Чертёж к следствию 2
АВ>АС ∠С>∠В, то есть АВ=АС. Следствие доказано. Обсудим следствие 2. Треугольник называется равнобедренным, если его две стороны равны. Из этого вытекает его свойство: углы при основании равны. А теперь у нас есть признак, что если углы при какой-либо стороне равны, то треугольник равнобедренный. Мы имеем признак равнобедренного треугольника. Пример 1: Сравните углы треугольника и выясните, может ли быть угол А тупым, если АВ=АС<ВС. Рис. 6. Чертёж к примеру 1
АВ=АС ∠С=∠В. АС<ВС ÐВ<ÐА. Мы получили соотношение между углами: ∠С=∠В ∠А=180-(∠В+∠С). Пример: ∠В=∠С=10, тогда ∠А=180-(10+10)=160. Ответ: 1) ∠В=∠С<∠А 2) ∠А может быть тупым. На сегодняшнем уроке мы рассмотрели теорему об отношении между сторонами и углами треугольника. На следующем уроке мы рассмотрим тему о неравенстве треугольников.
2) АВ < ВС;
3) АВ = ВС.
2) АВ < АС;
3) АВ > АС.
, но ∠С>∠В по условию, следовательно, остается только случай, если АВ>АС, что и требовалось доказать.
