Определения и свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций в точке. Доказательства свойств и теорем. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
Определения бесконечно малой и бесконечно большой функции
Пусть x 0 есть конечная или бесконечно удаленная точка: ∞ , -∞ или +∞ .
Определение бесконечно малой функции
Функция α(x)
называется бесконечно малой
при x
стремящемся к x 0
0
,
и он равен нулю:
.
Определение бесконечно большой функции
Функция f(x)
называется бесконечно большой
при x
стремящемся к x 0
,
если функция имеет предел при x → x 0
,
и он равен бесконечности:
.
Свойства бесконечно малых функций
Свойство суммы, разности и произведения бесконечно малых функций
Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x 0 является бесконечно малой функцией при x → x 0 .
Это свойство является прямым следствием арифметических свойств пределов функции .
Теорема о произведении ограниченной функции на бесконечно малую
Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки x 0 , на бесконечно малую, при x → x 0 , является бесконечно малой функцией при x → x 0 .
Свойство о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции
Для того, чтобы функция f(x)
имела конечный предел ,
необходимо и достаточно, чтобы
,
где - бесконечно малая функция при x → x 0
.
Свойства бесконечно больших функций
Теорема о сумме ограниченной функции и бесконечно большой
Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
и бесконечно большой функции, при x → x 0
,
является бесконечно большой функцией при x → x 0
.
Теорема о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую
Если функция f(x)
является бесконечно большой при x → x 0
,
а функция g(x)
- ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то
.
Теорема о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую
Если функция ,
на некоторой проколотой окрестности точки ,
по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом:
,
а функция является бесконечно малой при x → x 0
:
,
и существует проколотая окрестность точки ,
на которой ,
то
.
Свойство неравенств бесконечно больших функций
Если функция является бесконечно большой при :
,
и функции и ,
на некоторой проколотой окрестности точки удовлетворяют неравенству:
,
то функция также бесконечно большая при :
.
Это свойство имеет два частных случая.
Пусть, на некоторой проколотой окрестности точки ,
функции и удовлетворяют неравенству:
.
Тогда если ,
то и .
Если ,
то и .
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями
Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
Если функция является бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .
Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
,
.
Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при ,
то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки ,
то можно записать так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при ,
то пишут:
,
или .
Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
,
,
,
.
Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».
Доказательство свойств и теорем
Доказательство теоремы о произведении ограниченной функции на бесконечно малую
Пусть функция является бесконечно большой при :
.
И пусть имеется проколотая окрестность точки ,
на которой
при .
Возьмем произвольную последовательность ,
сходящуюся к .
Тогда, начиная с некоторого номера N
,
элементы последовательности будут принадлежать этой окрестности:
при .
Тогда
при .
Согласно определению предела функции по Гейне,
.
Тогда по свойству неравенств бесконечно больших последовательностей,
.
Поскольку последовательность произвольная, сходящаяся к ,
то по определению предела функции по Гейне,
.
Свойство доказано.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ VI
§ l48. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
До сих пор, говоря о суммах, мы всегда предполагали, что число слагаемых в этих суммах конечно (например, 2, 15, 1000 и т. д.). Но при решении некоторых задач (особенно высшей математики) приходится сталкиваться и с суммами бесконечного числа слагаемых
S = a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)
Что же представляют из себя такие суммы? По определению суммой бесконечного числа слагаемых a 1 , a 2 , ..., a n , ... называется предел суммы S n первых п чисел, когда п -> ∞ :
S = S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)
Предел (2), конечно, может существовать, а может и не существовать. Соответственно этому говорят, что сумма (1) существует или не существует.
Как же выяснить, существует ли сумма (1) в каждом конкретном случае? Общее решение этого вопроса выходит далеко за пределы нашей программы. Однако существует один важный частный случай, который нам предстоит сейчас рассмотреть. Речь будет идти о суммировании членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Пусть a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ...- бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Это означает, что | q |< 1. Сумма первых п членов этой прогрессии равна
Из основных теорем о пределах переменных величин (см. § 136) получаем:
Но 1 = 1, a q n = 0. Поэтому
Итак, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна первому члену этой прогрести, деленному на единицу минус знаменатель этой прогрессии.
1) Сумма геометрической прогрессии 1, 1 / 3 , 1 / 9 , 1 / 27 , ... равна
а сумма геометрической прогрессии 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... равна
2) Простую периодическую дробь 0,454545 ... обратить в обыкновенную.
Для решения этой задачи представим данную дробь в виде бесконечной суммы:
Правая часть этого равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой равен 45 / 100 , а знаменатель 1 / 100 . Поэтому
Описанным способом может быть получено и общее правило обращения простых периодических дробей в обыкновенные (см. гл. II, § 38):
Для обращения простой периодической дроби в обыкновенную нужно поступить следующим образом: в числителе поставить период десятичной дроби, а в знаменателе - число, состоящее из девяток, взятых столько раз, сколько знаков в периоде десятичной дроби.
3) Смешанную периодическую дробь 0,58333 .... обратить в обыкновенную.
Представим данную дробь в виде бесконечной суммы:
В правой части этого равенства все слагаемые, начиная с 3 / 1000 , образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен 3 / 1000 , а знаменатель 1 / 10 . Поэтому
Описанным способом может быть получено и общее правило обращения смешанных периодических дробей в обыкновенные (см. гл. II, § 38). Мы сознательно не приводим его здесь. Запоминать это громоздкое правило нет необходимости. Гораздо полезнее знать, что любую смешанную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и некоторого числа. А формулу
для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии нужно, конечно, помнить.
В качестве упражнения предлагаем вам, помимо приведенных ниже задач № 995-1000, еще раз обратиться к задаче № 301 § 38 .
Упражнения
995. Что называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии?
996. Найти суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий:
997. При каких значениях х прогрессия
является бесконечно убывающей? Найти сумму такой прогрессии.
998. В равносторонний треугольник со стороной а вписан посредством соединения середин его сторон новый треугольник; в этот треугольник тем же способом вписан новый треугольник и так далее до бесконечности.
а) сумму периметров всех этих треугольников;
б) сумму их площадей.
999. В квадрат со стороной а вписан путем соединения середин его сторон новый квадрат; в этот квадрат таким же образом вписан квадрат и так далее до бесконечности. Найти сумму периметров всех этих квадратов и сумму их площадей.
1000. Составить бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, такую, чтобы сумма ее равнялась 25 / 4 , а сумма квадратов ее членов равнялась 625 / 24 .
Для того, чтобы вычислить сумму ряда , нужно просто сложить элементы ряда, заданное количество раз. Например:
В приведённом выше примере это удалось сделать очень просто, поскольку суммировать пришлось конечное число раз. Но что делать, если верхний предел суммирования бесконечность? Например, если нам нужно найти сумму вот такого ряда:
По аналогии с предыдущим примером, мы можем расписать эту сумму вот так:
Но что делать дальше?! На этом этапе необходимо ввести понятие частичной суммы ряда . Итак, частичной суммой ряда (обозначается S n ) называется сумма первых n слагаемых ряда. Т.е. в нашем случае:
Тогда сумму исходного ряда можно вычислить как предел частичной суммы:
Таким образом, для вычисления суммы ряда , необходимо каким-либо способом найти выражение для частичной суммы ряда (S n ). В нашем конкретном случае ряд представляет собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 1/3. Как известно сумма первых n элементов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
здесь b 1 - первый элемент геометрической прогрессии (в нашем случае это 1) и q - это знаменатель прогрессии (в нашем случае 1/3). Следовательно частичная сумма S n для нашего ряда равна:
Тогда сумма нашего ряда (S ) согласно определению, данному выше, равна:
Рассмотренные выше примеры являются достаточно простыми. Обычно вычислить сумму ряда гораздо сложнее и наибольшая трудность заключается именно в нахождении частичной суммы ряда. Представленный ниже онлайн калькулятор, созданный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет вычислять сумму довольно сложных рядов. Более того, если калькулятор не смог найти сумму ряда, вероятно, что данный ряд является расходящимся (в этом случае калькулятор выводит сообщение типа "sum diverges"), т.е. данный калькулятор также косвенно помогает получить представление о сходимости рядов.
Для нахождения суммы Вашего ряда, необходимо указать переменную ряда, нижний и верхний пределы суммирования, а также выражение для n -ого слагаемого ряда (т.е. собственно выражение для самого ряда).
Сумма всех натуральных чисел может быть записана с использованием следующего числового ряда
Этот, на первый взгляд, совершенно противоречащий интуиции результат, тем не менее может быть строго доказан. Но прежде, чем говорить о доказательстве, нужно сделать отступление и вспомнить основные понятия.
Начнём с того, что «классической» суммой ряда называется предел частичных сумм ряда, если он существует и конечен. Подробности можно найти в википедии и соответствующей литературе. Если конечный предел не существует, то ряд называется расходящимся.
Например, частичная сумма первых k членов числового ряда 1 + 2 + 3 + 4 +… записывается следующим образом
Нетрудно понять, что эта сумма неограниченно растёт при стремлении k к бесконечности. Следовательно, исходный ряд является расходящимся и, строго говоря, не имеет суммы. Существует, однако, множество способов присвоить конечное значение расходящимся рядам.
Ряд 1+2+3+4+… далеко не единственный из расходящихся рядов. Возьмём, например, ряд Гранди
Который тоже расходится, но известно, что метод суммирования Чезаро позволяет присвоить этому ряду конечное значение 1/2. Суммирование по Чезаро заключается в оперировании не частичными суммами ряда, а их арифметическими средними. Позволив себе порассуждать в вольном стиле, можно сказать, что то частичные суммы ряда Гранди осцилируют между 0 и 1, в зависимости от того какой член ряда является последним в сумме (+1 или -1), отсюда и значение 1/2, как арифметическое среднее двух возможных значений частичных сумм.
Другим интересным примером расходящегося ряда является знакопеременный ряд 1 - 2 + 3 - 4 +... , частичные суммы которого также осцилируют. Суммирование методом Абеля позволяет присвоить данному ряду конечное значение 1/4. Отметим, что метод Абеля является, своего рода, развитием метода суммирования по Чезаро, поэтому результат 1/4 несложно осмыслить с точки зрения интуиции.
Здесь важно отметить, что методы суммирования не являются трюками, которые придумали математики, чтобы как-то совладать с расходящимися рядами. Если вы примените суммирование по Чезаро или метод Абеля к сходящемуся ряду, то ответ, который дают эти методы, равен классической сумме сходящегося ряда.
Ни суммирование по Чезаро, ни метод Абеля, однако, не позволяют работать с рядом 1 + 2 + 3 + 4 +..., т. к. средние арифметические частичных сумм, равно как и средние арифметические средних арифметических, расходятся. Кроме того, если значения 1/2 или 1/4 ещё как-то можно принять и соотнести с соответствующими рядами, то -1/12 сложно связать с рядом 1 + 2 + 3 + 4 +..., представляющим собой бесконечную последовательность положительных целых чисел.
Существует несколько способов прийти к результату -1/12. В этой заметке я лишь кратко остановлюсь на одном из них, а именно регуляризации дзета-функцией . Введём дзета-функцию
Подставляя s = -1 , получим исходный числовой ряд 1+2+3+4+…. Проделаем над этой функцией ряд несложных математических действий
Где является эта-функцией Дирихле
При значении s = -1 эта-функция становится уже знакомым нам рядом 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -… «сумма» которого равна 1/4. Теперь мы можем легко решить уравнение
Интересно, что этот результат находит своё применение в физике. Например, в теории струн. Обратимся к стр. 22 книги Joseph Polchinski «String Theory»:
Если для кого-то теория струн не является убедительным примером в силу отсутствия доказательств множества следствий этой теории, то можно также упомянуть, что похожие методы фигурируют в квантовой теории поля при попытке рассчитать эффект Казимира .
Чтобы два раза не ходить, ещё пара интересных примеров с дзета-функцией
Для тех, кто захочет получить больше информации по теме отмечу, что написать данную заметку я решил после перевода соответствующей статьи на википедии , где в разделе «Ссылки» вы сможете найти массу дополнительного материала, в основном на английском языке.
Дэвид Берман, Марианна Фрейбергер
Недавно обсуждался очень странный результат. Утверждается, что, когда вы сложите все натуральные числа
то сумма будет равна . Данная идея демонстрируется в видео Numberphile , где утверждается, что результат доказан, а также рассказывается, что он повсеместно используется в физике. Данная идея так поразила людей, что она даже попала в “Нью-Йорк Таймс’’ . Итак, что же все это значит?
Математика
Прежде всего, бесконечная сумма всех натуральных чисел не равна . Вы можете легко убедиться в этом, посчитав на калькуляторе частичные суммы
и так далее. становится все больше и больше с ростом , то есть с увеличением количества складываемых натуральных чисел. На самом деле, выбрав достаточно большим, вы можете сделать столь большой, как вам хочется. Например, при вы получите
А при вы получите
Поэтому математики говорят, что данный ряд расходится. Или, выражаясь более свободно, что сумма равна бесконечности.
Сриниваса Рамануджан
Так откуда же берется ? В действительности неправильный результат появился в работе знаменитого индийского математика Сринивасы Рамануджана в 1913 году. Но Рамануджан знал, что он делает, и у него была причина написать это. Он изучал так называемую дзета-функцию Эйлера. Чтобы понять, что это такое, рассмотрим сначала бесконечную сумму
Можно заметить, что эта сумма получается, когда вы складываете числа, обратные квадратам натуральных чисел:
Теперь эта сумма не расходятся. Если рассмотреть последовательность частичных сумм, как мы это делали выше,
то результаты, которые получаются, будут сколь угодно близкими к числу , но никогда его не превысят. Математики говорят, что ряд сходится к , или более свободно, что сумма ряда равна .
Теперь посмотрим, что произойдет, если вместо того, чтобы возводить натуральные числа в знаменателе в квадрат, возвести их в какую-нибудь другую степень ? Оказывается, что соответствующая сумма
сходится к конечному значению, если степень — число, большее . Для каждого title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> сумма имеет определенное конечное значение. — это то, что называется функцией, и эта функция называется дзета-функцией Эйлера в честь выдающегося математика XVII века Леонарда Эйлера.
До сих пор все хорошо. Но что произойдет, если рассмотреть числа, меньшие ? Например, что будет, если взять ? Давайте посмотрим.
Таким образом, мы получили нашу исходную сумму, которая, как мы знаем, расходится. То же самое верно для любых других значений меньше либо равных : сумма расходится.
Замечание. Продолжение дзета-функции Эйлера. Рассмотренная дзета-функция Эйлера определена для вещественных чисел , больших . Вещественные числа — это часть большего семейства чисел, называемых комплексными числами. И в то время как вещественные числа соответствуют всем точках числовой прямой, комплексные числа соответствуют всем точкам на плоскости, содержащей вещественную числовую прямую. Это плоскость называется комплексной плоскостью. Так же, как определяются функции, аргументами которых являются вещественные числа, можно определить функции, аргументами которых являются комплексные числа.
Одним удивительным фактом, относящимся к функциям комплексных переменных, является то, что если вы знаете значения функции на некотором множестве данных, то (с точностью до некоторых технических деталей) вы можете узнать значение функции в любой точке комплексной плоскости. Этот метод расширения области определения функции известен как аналитическое продолжение. Дзета-функция Эйлера определена для вещественных чисел, больших . Поскольку вещественные числа являются комплексными числами, мы можем рассматривать эту функцию как комплексную функцию, а затем использовать аналитическое продолжение для получения новой функции, определенной на всей плоскости, но согласованную с дзета-функцией Эйлера для вещественных чисел, больших . Это дзета-функция Римана.
Есть еще одна вещь, которую можно сделать. Используя мощную математику (комплексный анализ см. замечание), можно расширить область определения дзета-функции Эйлера так, чтобы для чисел меньше или равных эта функция принимала конечные значения. Другими словами, есть способ определения новой функции, назовем ее , так что для title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">
И для функция принимала бы определенные конечные значения. Этот метод называется аналитическим продолжением, и новая функция, которая при этом получается, называется дзета-функцией Римана в честь математика XVIII века Бернхарда Римана. (Создание этой новой функции, принимающей конечные значения для состоит в вычитании из расходящегося ряда другого расходящегося ряда, так что бесконечность, получающаяся из первой расходящейся суммы минус бесконечность, которую дает вторая расходящаяся сумма, равна чему-то конечному.)
Хорошо. Теперь у нас есть функция, которая для title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> принимает те же значения, что и дзета-функция Эйлера . И для дзета-функция Римана принимает конечные значения. Какое значение вы получите, когда подставите в дзета-функцию? Вы угадали:
И если вы сделаете ошибку, считая, что для , то вы получите (неправильное) равенство
Это объясняет, почему Рамануджан записал данное таинственное выражение.
Хитрость
Итак, как же люди в видео “доказали’’, что сумма всех натуральных чисел равна ? На самом деле они этого не сделали. Смотреть данное видео — это как смотреть на фокусника и пытаться определить, когда кролика опускают в шляпу. Первый шаг “доказательства’’ пытается убедить вас в довольно глупой вещи, а именно в том, что бесконечная сумма
Видео долго не останавливается на этом и, кажется, подразумевает, что это очевидно. Но давайте посмотрим на это внимательнее, чтобы понять, имеет ли это смысл вообще. Пусть сумма равна конечному числу, назовем его . Прибавив к себе, получим бесконечную сумму
Но это всего лишь исходная сумма, откуда
Так как , то , что неверно. Таким образом, утверждение, что бесконечную сумму можно считать равной , не является правильным. На самом деле вы можете получить разные результаты, используя бесконечные суммы, которые расходятся. Это хитрость!
Физика
Но как этот любопытный неправильный результат попал в учебник физики, как показано в видео? Вот где все действительно становится интересным. Предположим, вы возьмете две проводящих металлических пластины и расположите их в вакууме так, чтобы они были параллельны друг другу. Согласно классической физике, не должно быть никакой силы, действующей между этими двумя пластинами.
Эффект Казимира
Но классическая физика не считается со странными эффектами, которые вы наблюдаете, когда смотрите на мир при очень малых масштабах. Чтобы их учесть, нужна квантовая физика, которая утверждает многие очень странные вещи. Одной из них является то, что вакуум не пуст, в нем кипит деятельность. Все время в нем появляются и исчезают так называемые виртуальные частицы. Эта деятельность дает так называемую нулевую энергию: наименьшая энергия, которую что-либо может иметь, никогда не равна нулю. Когда вы пытаетесь вычислить общую плотность энергии между двумя пластинами, используя математику или квантовую физику, вы получаете бесконечную сумму
Это бесконечная сумма является также тем, что вы получите, когда подставите значение в дзета-функцию Эйлера:
Это прискорбно, потому что данная сумма расходится (она делает это даже быстрее, чем ), что будет означать бесконечную плотность энергии. Это, очевидно, ерунда. Но что если вы нахально предположите, что бесконечная сумма равна дзета-функции Римана, а не дзета-функции Эйлера, при ? Ну, тогда вы получите конечную плотность энергии. Это означает, что должна быть сила притяжения между металлическими пластинами, что тоже кажется смешным, так как классическая физика предполагает, что не должно быть никаких сил.
Но вот сюрприз. Когда физики поставили эксперимент, они обнаружили, что сила действительно существует, и она соответствует плотности энергии, в точности равной !
Этот удивительный физический результат известен как эффект Казимира , названный в честь голландского физика Хендрика Казимира.
Найдите минутку, чтобы оценить это. Квантовая физика говорит, что плотность энергии должна быть равна
Это нонсенс, но эксперименты показывают, что если вы (ошибочно) считаете эту сумму равной значению дзета-функции при , вы получите правильный ответ. Так что, похоже, природа следует идеям Рамануджана. Она продлила дзета-функцию Эйлера, чтобы включить значения , которые меньше , искусно вычитая бесконечность, и так получилось конечное значение. Это замечательно!
Причина, по которой мы видим и в видео Numberphile, и в учебнике физики и , а не и в том, что когда вы представляете себе эффект Казимира происходящим в одном измерении (вдоль линии, а не в 3D), плотность энергии, которую вы считаете, равна , а не .
Так почему же люди из Numberphile пропагандируют этот странный “результат’’? Они, конечно, знают об аналитическом продолжении, которое делает функцию вполне определенной, но это слишком технические вещи для их видео. Зная аналитический метод продолжения, который делает окончательный результат разумным, скрывая его в заднем кармане, они ловко пошли вперед. При этом они получили более миллиона просмотров, и мир начал говорить о дзета-функции и математике. С этим их можно поздравить. Математика дзета-функции является фантастической, и то, что мы описали здесь — только начало длинного списка удивительных математических свойств. Когда мы популяризуем математику и физику, мы всегда должны делать выбор: что мы не рассказываем, а что объясняем. Где мы проводим эту черту, остается на нашей совести.