Сложение и вычитание десятичных чисел. Дроби

Дата: 25.02.16г. Утверждаю:

Тема: Вычитание десятичных дробей

Цели:

Сформировать у учащихся знания о вычитании десятичных дробей

Развивать у учащихся интеллект и познавательный интерес

Осуществлять трудовое воспитание

Оборудование: учебник, классная доска

Тип урока : комбинированный

Метод: работа с отстающими

Ход урока :

Приветствие

Проверка отсутствующих

Проверка домашнего задания

Фронтальный опрос

Объяснение нового материала:

Также как и сложение, вычитание десятичных дробей производим по правилам натуральных чисел.

Основные правила вычитания десятичных дробей.

Уравниваем количество знаков после запятой.

Записываем десятичные дроби друг под другом так, чтобы запятые были друг под другом.

Выполняем вычитание десятичных дробей, не обращая внимания на запятые, по правилам вычитания в столбик натуральных чисел.

Ставим в ответе запятую под запятыми.

Если вы чувствуете себя уверенно в десятичных дробях и хорошо понимаете, что называется десятыми, сотыми и т.д., предлагаем вам попробовать другой способ вычитания (сложения) десятичных дробей без их записи в столбик. Другой способ вычитания десятичных дробей , как и сложение, основывается на трёх основных правилах.

Вычитают десятичные дроби справа налево . То есть, начиная с самой правой цифры после запятой.

При вычитании большей цифры из меньшей, у соседа слева меньшей цифры занимаем десяток.

Как обычно, рассмотрим пример:

Вычитаем справа налево с самой правой цифры. У нас самая правая цифра в обеих дробях - сотые. 1 - в первом числе, 1 - во втором. Вот их и вычитаем. 1 − 1 = 0. Получилось 0, значит, на месте сотых нового числа пишем ноль.

Десятые вычитаем из десятых. 2 - в первом числе, 3 - во втором числе. Так как из 2 (меньшего) мы не можем вычесть 3 (большее), занимаем десяток у соседа слева для 2. У нас это 5. Теперь мы не из 2 вычитаем 3, а из 12 вычитаем 3.
12 − 3 = 9.
На месте десятых нового числа пишем 9. Не забываем, что после занятия десятка из 5, мы должны вычесть из 5 единицу. Чтобы это не забыть ставим над 5 пустой кружок.

И наконец, вычитаем целые части. 14 - в первом числе (не забудьте, что мы из 5 вычли 1), 8 - во втором числе. 14 − 8 = 6

Запомните!

Во втором числе самая правая цифра это 2 (сотые), а в первом числе сотых нет в явном виде. Поэтому, к первому числу справа от 9 добавляем ноль и вычитаем согласно основным правилам.

Изучаем другие действия, которые можно совершать с десятичными дробями. В этом материале мы узнаем, как правильно подсчитать разность десятичных дробей. Отдельно разберем правила для конечных и бесконечных дробей (как периодических, так и непериодических), а также посмотрим, как считать разность дробей столбиком. Во второй части мы объясним, как вычесть десятичную дробь из натурального числа, обыкновенной дроби, смешанного числа.

Отметим заранее, что в этой статье рассмотрены только случаи, когда меньшая дробь вычитается из большей, т.е. результат этого действия положителен; другие случаи относятся к нахождению разности рациональных и действительных чисел и должны быть объяснены отдельно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Процесс вычисления как конечных, так и бесконечных периодических десятичных дробей можно свести к нахождению разности дробей обыкновенных. Раньше мы говорили о том, что десятичные дроби можно записывать в виде обыкновенных дробей. Исходя из этого правила, разберем несколько примеров нахождения разности.

Пример 1

Найдите разность 3 , 7 - 0 , 31 .

Решение

Переписываем десятичные дроби в виде обыкновенных: 3 , 7 = 37 10 и 0 , 31 = 31 100 .

Что делать потом, мы уже изучали. Мы получили ответ, который переводим обратно в десятичную дробь: 339 100 = 3 , 39 .

Подсчеты, связанные с десятичными дробями, удобно производить столбиком. Как же пользоваться этим методом? Покажем, решив задачу.

Пример 2

Вычислите разность между периодической дробью 0 , (4) и периодической десятичной дробью 0 , 41 (6) .

Решение

Переведем записи периодических дробей в обыкновенные и подсчитаем.

0 , 4 (4) = 0 , 4 + 0 , 004 + . . . = 0 , 4 1 - 0 , 1 = 0 , 4 0 , 9 = 4 9 . 0 , 41 (6) = 0 , 41 + (0 , 006 + 0 , 0006 + . . .) = 41 100 + 0 , 006 0 , 9 = = 41 100 + 6 900 = 41 100 + 1 150 = 123 300 + 2 300 = 125 300 = 5 12

Итого: 0 , (4) - 0 , 41 (6) = 4 9 - 5 12 = 16 36 - 15 36 = 1 36

Если нужно, ответ мы можем представить в виде десятичной дроби:

Ответ: 0 , (4) − 0 , 41 (6) = 0 , 02 (7) .

Разберем далее, как найти разность, если у нас в условиях стоят бесконечные непериодические дроби. Такой случай также можно свести к нахождению разности конечных десятичных дробей, для чего понадобится округлить бесконечные дроби до определенного разряда (обычно самого меньшего из возможных).

Пример 3

Найдите разность 2 , 77369 … - 0 , 52 .

Решение

Вторая дробь в условии – конечная, а первая – бесконечная непериодическая. Мы можем округлить ее до четырех знаков после запятой: 2 , 77369 … ≈ 2 , 7737 . После этого можно выполнять вычитание: 2 , 77369 … − 0 , 52 ≈ 2 , 7737 − 0 , 52 .

Ответ: 2 , 2537 .

Вычитание столбиком – быстрый и наглядный способ узнать разность конечных десятичных дробей. Процесс подсчета очень схож с аналогичным для натуральных чисел.

если в указанных десятичных дробях отличается количество знаков после запятой, уравняем его. Для этого допишем к нужной дроби нули;
запишем вычитаемую дробь под уменьшаемой, разместив значения разрядов строго друг под другом, а запятую под запятой;
выполним подсчет столбиком так же, как мы это делаем для натуральных чисел, запятую при этом игнорируем;
в ответе отделим нужное количество чисел запятой так, чтобы она располагалась на том же месте.

Разберем конкретный пример использования этого метода на практике.

Пример 4

Найдите разность 4 452 , 294 - 10 , 30501 .

Решение

Для начала выполним первый шаг – уравняем количество десятичных знаков. Допишем два нуля в первую дробь и получим дробь вида 4 452 , 29400 , значение которой идентично исходной.

Запишем получившиеся числа друг под другом в нужном порядке, чтобы получился столбик:

Считаем как обычно, игнорируя запятые:

В получившемся ответе поставим запятую в нужном месте:

Подсчеты окончены.

Наш результат: 4 452 , 294 − 10 , 30501 = 4 441 , 98899 .

Найти разность между конечной десятичной дробью и натуральным числом легче всего описанным выше способом – столбиком. Для этого число, из которого мы вычитаем, необходимо записать в виде десятичной дроби, в дробной части которой стоят нули.

Пример 5

Вычислите 15 - 7 , 32 .

Запишем уменьшаемое число 15 в виде дроби 15 , 00 , поскольку дробь, которую нам нужно вычесть, имеет два знака после запятой. Далее выполняем подсчет столбиком, как обычно:

Таким образом, 15 − 7 , 32 = 7 , 68 .

Если из натурального числа нам нужно вычесть бесконечную периодическую дробь, то мы опять же сводим эту задачу к аналогичному вычислению. Заменяем периодическую десятичную дробь на обыкновенную.

Пример 6

Вычислите разность 1 - 0 , (6) .

Решение

Указанной в условии периодической десятичной дроби соответствует обычная 2 3 .

Считаем: 1 − 0 , (6) = 1 − 2 3 = 1 3 .

Полученный ответ можно перевести в периодическую дробь 0 , (3) .

Если данная в условии дробь непериодическая, поступаем так же, предварительно округлив ее до нужного разряда.

Пример 7

Отнимите 4 , 274 … от 5 .

Решение

Указанную бесконечную дробь мы округлим до сотых и получим 4 , 274 … ≈ 4 , 27 .

После этого вычисляем 5 − 4 , 274 … ≈ 5 − 4 , 27 .

Преобразуем 5 в 5 , 00 и запишем столбик:

В итоге 5 − 4 , 274 … ≈ 0 , 73 .

Если перед нами стоит обратная задача – вычесть натуральное число из десятичной дроби, то мы выполняем вычитание из целой части дроби, а дробную часть не трогаем совсем. Мы поступаем так и с конечными, и с бесконечными дробями.

Пример 8

Найдите разность 37 , 505 – 17 .

Решение

Отделяем от дроби целую часть 37 и вычитаем требуемое число из нее. Получаем 37 , 505 − 17 = 20 , 505 .

Эту задачу также необходимо свести к вычитанию обыкновенных дробей – как в случае со смешанными числами, так и с десятичными дробями.

Пример 9

Вычислите разность 0 , 25 - 4 5 .

Решение

Представим 0 , 25 в виде обыкновенной дроби – 0 , 25 = 25 100 = 1 4 .

Теперь нам нужно найти разность между 1 4 и 4 5 .

Считаем: 4 5 − 0 , 25 = 4 5 − 1 4 = 16 20 − 5 20 = 11 20 .

Запишем ответ в виде десятичной записи: 0 , 55 .

Если в условии стоит смешанное число, из которого надо вычесть конечную или периодическую десятичную дробь, то поступаем аналогично.

Пример 10

Условие: отнимите 0 , (18) от 8 4 11 .

Перепишем периодическую дробь в виде обыкновенной. 0 , (18) = 0 , 18 + 0 , 0018 + 0 , 000018 + . . . = 0 , 18 1 - 0 , 01 = 0 , 18 0 , 99 = 18 99 = 2 11

Получается, что 8 4 11 - 0 , (18) = 8 4 11 - 2 11 = 8 2 11 .

В виде десятичной дроби ответ можно записать как 8 , (18) .

Таким же образом мы действуем, когда вычитаем смешанное число или обыкновенную дробь из конечной или периодической дроби.

Пример 11

Подсчитайте 9 40 - 0 , 03 .

Решение

Заменяем дробь 0 , 03 на обыкновенную 3 100 .

У нас получается, что: 9 40 − 0 , 03 = 9 40 − 3 100 = 90 400 − 12 400 = 78 400 = 39 200

Ответ можно оставить так или преобразовать в десятичную дробь 0 , 195 .

Если нам требуется выполнять вычитание с участием бесконечных непериодических дробей, то нам нужно будет свести их к конечным. Со смешанными числами поступаем аналогично. Для этого запишем обыкновенную дробь или смешанное число в виде десятичной дроби и округлим вычитаемую дробь до определенного разряда. Проиллюстрируем нашу мысль примером:

Пример 12

Отнимите 4 , 38475603 … . из 10 2 7 .

Решение

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

В итоге 10 2 7 - 4 , 38475603 . . . = 10 , (285714) - 4 , 38475603 . . . .

Теперь округлим вычитаемые числа до седьмого знака: 10 , (285714) = 10 , 285714285714 … ≈ 10 , 2857143 и 4 , 38475603 … ≈ 4 , 3847560

Тогда 10 , (285714) − 4 , 38475603 … ≈ 10 , 2857143 − 4 , 3847560 .

Единственное, что осталось сделать – вычесть одну конечную десятичную дробь из другой. Выполним подсчет столбиком:

Ответ: 10 2 7 - 4 , 38475603 . . . ≈ 5 , 9009583

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Дробью будем называть одну или несколько равных между собой долей одного целого. Дробь записывается с помощью двух натуральных чисел, которые разделены между собой чертой. Например, 1 / 2 , 14 / 4 , ¾, 5 / 9 и т.д.

Цифра, которая записана сверху над чертой, называется числителем дроби, а цифра записанная под чертой, называется знаменателем дроби.

Для чисел, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000, и т.д. условились записывать число без знаменателя. Для этого сначала пишут целую часть числа, ставят запятую и пишут дробную часть этого числа, то есть числитель дробной части.

Например, вместо 6(7 / 10) пишут 6,7. Такую запись принято называть десятичной дробью .

Разберемся, как выполнять простейшие арифметические действия с десятичными дробями.

Сложение десятичных дробей в смешанной форме

Допустим нам нужно сложить десятичные дроби 2,7 и 1,651.

Первым делом необходимо уравнять количество цифр после запятой. Для этого нужно приписать к десятичной дроби 2,7 справа два нуля, получим: 2,7 = 2,700.

2,700 = 2 * (700 / 1000);
1,651 = 1 * (651 / 1000).

Для сложения воспользуемся правилом, целые части складываем отдельно, дробные отдельно, и результаты складываем между собой.

2 + 1 = 3;
700 / 1000 + 651 / 1000 = 1351 / 1000 = 1 * (351 / 1000);
3 + 1 * (351 / 1000) = 4 * (351 / 1000).

А теперь, записываем это число в десятичной форме, имеем: 4,351.

Получаем в итоге, 2,7 + 1,651.= 4,351.

Сложение десятичных дробей в столбик

Еще одним способом сложения десятичных дробей, является сложение чисел в столбик.

Снова, уравниваем количество цифр после запятой, приписывая нули. Записываем одно число над другим и складываем.

3,700
+
2,651
_____
6,351

Со сложением разобрались, теперь найдем разность тех же чисел.

Вычитание десятичных дробей в смешанной форме

Опять, же повторяем первый пункт и уравниваем количество цифр после запятой, дописывая нули.

2,7 = 2,700.

Запишем эти числа в смешанной форме.

2,700 = 2 * (700 / 1000);
1,651 = 1 * (651 / 1000).

Для нахождения разности воспользуемся правилом, работаем отдельно с целыми и с дробными частями, а потом складываем полученные результаты.

2 - 1 = 1;
700 / 1000 - 651 / 1000 = 49 / 1000 = 49 / 1000 ;
1 + 49 / 1000 = 1 * (49 / 1000).

А теперь, записываем это число в десятичной форме, имеем: 1,049.

Получаем в итоге, 2,7 - 1,651.= 1,049.

Вычитание десятичных дробей в столбик

Такой же результат моно было бы получить и при вычитании столбиком.

3,700
-
2,651
_____
1,049

Общее правило сложения и вычитания десятичных дробей

1. Уравнять в дробях количество знаков после запятой

Цели урока:

формирование знаний о правилах сложения и вычитания десятичных дробей и умения применять их в простейших случаях;
развитие умений сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;
воспитание самостоятельности при выполнении заданий.

Оборудование: компьютер, проектор, магнитные доски для учащихся, индивидуальные разноуровневые карточки.

Структура урока:

1. Организационный момент.
2. Активизация ранее полученных знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Первичное закрепление изученного материала.
5. Тест.
6. Постановка домашнего задания.
7. Подведение итогов урока.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Проверяется готовность класса к уроку. Отмечается, что учащиеся недавно познакомились с понятием «десятичная дробь», научились читать и сравнивать десятичные дроби. На уроке будет рассмотрен вопрос о том, как складывать и вычитать десятичные дроби. Записывается тема урока. Слайд 1.

II. Активизация ранее полученных знаний

Коль скоро речь сегодня пойдет о десятичных дробях, давайте вспомним:

Какие из этих дробей можно записать в виде десятичных:

Слайд 2. (Учащиеся называют дроби).

Представьте дроби в виде десятичных. (Учащиеся показывают на магнитных досках) .
Еще раз вспомним, какие дроби можно записать в виде десятичных. (Ученики дают ответ).

Представьте в виде десятичных дробей:

Слайд 3. (На магнитных досках учащиеся показывают записи).

Читаем числа:

0,62; 7,321; 21,0001; 63,01246. Слайд 4.

III. Изучение нового материала

– Ребята, а какой из приведенных примеров касается сегодняшней темы. (Учащиеся отвечают, что последний).
– Давайте запишем этот пример в тетрадь и найдем сумму.

Давайте запишем этот пример в виде десятичных дробей.

Тот же самый результат мы получим, складывая числа в столбик.

– Что мы с вами получили? (Сумму десятичных дробей).
– Давайте проговорим, как мы это сделали. Слайд 6.

– Хорошо!

Ученикам предлагается найти сумму десятичных дробей, у которых разное количество цифр после запятой 6,23 + 173,3. Учащимся задается вопрос: «Как действовать в этом случае?». (Учащиеся отвечают, что в слагаемых разное количество знаков после запятой).

– Как же быть? (Нужно уравнять, дописав нуль справа у второго слагаемого).

6,32 + 173,7 = 6,32 + 173,70

А теперь можно записать числа в столбик и найти сумму.

Алгоритм сложения десятичных дробей дополняется и выглядит следующим образом:

– А как найти разность двух десятичных дробей? (Точно так же).

Алгоритм дополняется и выглядит так:

– Итак, как сложить или вычесть десятичные дроби?

Алгоритм повторяется учащимися и появляется на экране.

IV. Первичное закрепление полученных знаний

1. Вычислим устно (примеры учащимся предлагаются на табличках, а ответы – на магнитных досках):

2. Решение упражнений.

№1213 (а, г, б), №1214 (а, д, е), №1219 (в, е, л).

Примеры решаются у доски с комментариями . Слайд 7.

V. Тест

– Итак, а сейчас мы проверим, как вы запомнили правила сложения и вычитания десятичных дробей.
Устно повторяется еще раз алгоритм.
Учащимся предлагаются карточки трех типов (Приложение 3 )
Ответы учащиеся демонстрируют на табличках. При успешном выполнении заданий у всех учащихся на табличках должно быть написано слово «плюс». Слайд 8.

VI. Подведение итогов урока

– Что вам понравилось на сегодняшнем уроке?
– Что не понравилось?
– Чему мы с вами научились на уроке? (Складывать и вычитать десятичные дроби).
– Какой способ нам позволит это сделать быстро? (Сложение и вычитание «в столбик»).
– А как это сделать?

Учащиеся проговаривают алгоритм.

VII. Постановка домашнего задания

– Пользуясь этим алгоритмом дома, вы выполните следующие задания: № 1255 (а, г, е), №1256 (е, з), а также ознакомитесь с пунктом параграфом 32 учебника. Сравните алгоритм, предложенный в учебнике, с нашим.
– Урок окончен.

Для начала нужно уравнять число знаков после запятой.
Дальше необходимо записать десятичные дроби друг под другом таким образом, чтобы запятые были друг под другом. Это самая важная часть!
Далее, выполнить вычитание десятичных дробей, без учета запятых, по правилам вычитания в столбик натуральных чисел.
И последнее, поставить в ответе запятую под запятыми.

Второй вариант вычитания десятичных дробей :

Если вы хорошо разбираетесь в десятичных дробях, в том, что такое десятые, сотые и др., то вам будет интересен этот вариант.

Правила вычитания десятичных дробей в строчку:

Вычитаем десятичные дроби справа налево. Т.е., начиная с крайнего правого числа после запятой.
Вычитаем поразрядно. Целые из целых, десятые из десятых, сотые из сотых, тысячные из тысячных и так далее.
При вычитании большей цифры из меньшей, у соседа слева меньшей цифры занимаем десяток.

Например:

Крайняя правая цифра в заданных дробях - сотого разряда. 1 - 1 = 0 . Получаем ноль, то есть, в разряде сотых разности записываем 0 .

Десятые вычитаем из десятых. 2 - в уменьшаемом, 3 - вычитаемом. Т.к. из 2 (меньшего) нельзя вычитать 3 (большее), то нужно занять десяток у левой цифры для 2. Здесь это 5. 2 + 10 = 12. Таким образом, 3 вычитаем не из 2 , а из 12 .

12 - 3 = 9

Записываем 9 в разность. Так как мы из 5 вычли 1 десяток, в уменьшаемом остается не 15 , а 14 , чтобы это не забыть ставим над 5 пустой кружок или точку, как удобнее.

Вычитаем из 14 8:

14 - 8 = 6

Обратите внимание! Десятые можно вычитать только из десятых, сотые из сотых, тысячные из тысячных и так далее. Если в одной из дробей, отсутствует цифра соответствующего разряда, вместо неё записываем 0 .

Во втором числе крайняя правая цифра это два (сотый разряд), а в первом числе сотых не видно. Значит, к первому числу справа от 9 дописываем 0 и далее производим вычитание опираясь на основные правила.

Третий вариант вычитания десятичных дробей :