Острый угол между диагоналями параллелограмма. Как найти угол между диагоналями параллелограмма

Пример 6. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и

Решение. Диагоналями параллелограмма являются векторы и (см. рис. 5). Тогда , , , следовательно, – угол между диагоналями равен .

Пример 7. Дано: , , , . Вычислить – длину вектора .

Решение. Из свойства (5) скалярного произведения ; но , , , следовательно, .

Векторным произведением двух векторов называется вектор, который обозначается или и определяется следующим образом:

1) где – длина этого вектора равна произведению длин перемножаемых векторов на синус угла между ними;

2) ` ,` – этот вектор перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов;

3) векторы , , образуют правую тройку.

Из условия (1) следует, что модуль вектора` численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (рис 17): , .

Свойства векторного произведения:

4) , или , или ;

Пример 8. Упростить выражение .

Решение. На основании свойств векторного произведения получим , но , , тогда

Пример 9. В треугольнике с вершинами , , найти длину высоты .

Решение. , откуда , где . Найдем координаты векторов: , .

То есть ;

Следовательно, .

По определению скалярного произведения , где – угол между векторами и . Но – площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а , где – высота параллелепипеда. Таким образом, .

Смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Можно записать: .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

– общее уравнение прямой на плоскости.

- каноническое уравнение прямой, или уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

y0, x0 – заданные координаты данного вектора

, – параметрические уравнения прямой.

– уравнение прямой, проходящей через две данные точки .

Угол между двумя прямыми. Пусть прямые и заданы соответственно уравнениями , , где , . Обозначим угол между прямыми: (рис. 24). Тогда , .

Таким образом,

Если , то , а следовательно, , то есть k 1 = k 2 .

Если , то , не определен, , следовательно, , или .

Если прямые и заданы соответственно уравнениями

Где , – нормальные векторы прямых, то , или .

Если , то , следовательно, .

Если , , то есть .

Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая на плоскости задана уравнением и точка имеет координаты (рис. 25). Обозначим – основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую , , – расстояние от точки до прямой . Тогда , а – нормальный вектор прямой. Рассмотрим скалярное произведение . С одной стороны, , так как , следовательно, угол между ними или . С другой стороны, , но точка , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению , откуда , поэтому . Приравнивая выражения, получим

Тогда или

Пример 12. Прямая задана уравнением . Составить уравнения а) прямой , проходящей через точку параллельно прямой ; б) прямой , проходящей через начало координат перпендикулярно прямой .

Решение. 1-й способ. Из уравнения прямой определим нормальный вектор этой прямой . Этот вектор перпендикулярен и прямой (рис. 26). Таким образом, для известен нормальный вектор и точка . Воспользуемся уравнением (2.12): или – уравнение . Для прямой вектор является направляющим и точка . Воспользуемся уравнением (2.15): , или , или – уравнение .

2-й способ. Запишем уравнение прямой в виде . Найдем угловой коэффициент прямой : . Прямая , следовательно, ее угловой коэффициент ; прямая , поэтому ее угловой коэффициент . Зная угловой коэффициент прямой и координаты точки на этой прямой, можно воспользоваться уравнением (2.18). Получим уравнение прямой : или, умножив обе части на 3, , и уравнение прямой : , то есть .

Пример 13. В треугольнике с вершинами , , составить уравнения медианы , высоты , найти длину высоты (рис. 27).

Решение. – середина отрезка , ее координаты найдем по формулам (2.7): , , то есть . Таким образом, на медиане известны две точки и . Воспользуемся уравнением (2.17): , или – уравнение медианы . Его можно привести к виду . Для составления уравнения высоты найдем – нормальный вектор прямой ВН . Воспользуемся уравнением (2.12): . Разделив на 4 и раскрыв скобки, получим – уравнение . Составим уравнение прямой , используя уравнение (2.15) и рассматривая как направляющий вектор: ; , или . Тогда длину высоты найдем по формуле (2.21) как расстояние от точки до прямой : .

– уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

– общее уравнение плоскости.

– уравнение плоскости в отрезках. Здесь а, в, с – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат

– уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Неполные уравнения плоскостей

Если в уравнении плоскости какие-либо из коэффициентов равны нулю, то получится неполное уравнение плоскости

Пусть, например, Уравнение имеет вид и определяет плоскость, проходящую через начало координат (координаты точки О(0; 0; 0) удовлетворяют уравнению).

Пусть Уравнение имеет вид и определяет плоскость, параллельную оси Оz или проходящую через ось Оz при Действительно, тогда то есть а плоскость

Пусть Уравнение имеет вид и определяет плоскость, параллельную плоскости Оуz или совпадающую с ней при Действительно, то есть а плоскость или

Аналогично можно рассмотреть другие случаи.

Угол между двумя плоскостями

Пусть плоскости a 1 и a 2 заданы соответственно уравнениями где и – нормальные векторы этих плоскостей (рис. 45). Очевидно, тогда косинус угла между плоскостями

(доказывается аналогично (2.21)).

§ 14. Прямая в пространстве Прямую в пространстве можно задать уравнениями, аналогичными уравнениям прямой на плоскости:

– параметрические уравнения прямой;

(2.36)

– уравнения прямой, проходящей через две данные точки М 1 (х 1 , у 1 , z 1) и М 2 (х 2 , у 2 , z 2).

Прямую в пространстве можно задать также как линию пересечения двух плоскостей. Если уравнения этих плоскостей и где – их нормальные векторы, то уравнения прямой (их линии пересечения) имеют вид

(2.37)

(2.37) – общие уравнения прямой в пространстве.

Для нахождения какой-нибудь точки на этой прямой достаточно придать одной из переменных конкретное числовое значение (например, х = 0), подставить его в систему (2.37) и решить ее относительно двух оставшихся переменных.

Направляющий вектор прямой (2.37) можно найти как векторное произведение нормальных векторов пересекающихся плоскостей:

Пример 21 . Записать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями

Решение. Найдем точку на прямой. Пусть, например, z = 0. Система примет вид Сложив уравнения, получим Тогда из второго уравнения Точка на прямой А(1; -2; 0). Найдем направляющий вектор этой прямой: Получим канонические уравнения прямой (2.39) . Используем параметрические уравнения прямой

Дата публикования: 2014-12-08 ; Прочитано: 1688 | Нарушение авторского права страницы | Заказать написание работы

сайт - Студопедия.Орг - 2014-2017 год. (0.055 с) ...

Прежде чем искать решение поставленной задачи, следует выбрать наиболее подходящий метод ее решения. Геометрический метод требует тдополнительных построений и их обоснования, поэтому в данном случае наиболее удобным представляется использование векторной методики. Для этого используются направленные отрезки - векторы.

Вам понадобится

Бумага;
- ручка;
- линейка.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти угол между диагоналями параллелограмма" Как найти углы четырёхугольника Как вычислить вектор Как найти угол между медианой и стороной

Инструкция

Пусть параллелограмм задан векторами двух его сторон (остальные две попарно равны) в соответствии с рис. 1. Вообще-то равных векторов на плоскости сколь угодно много. Для этого требуется равенство их длин (точнее модулей – |a|) и направления, которое задается наклоном к какой-либо оси (в декартовых координатах это ось 0Х). Поэтому для удобства в задачах подобного типа векторы, как правило, задают их радиус-векторами r=а, у которых начало всегда лежит в начале координат. Для нахождения угла между сторонами параллелограмма понадобится вычислить геометрическую сумму и разность векторов, а также их скалярное произведение (a,b). По правилу параллелограмма геометрическая сумма векторов a и b равна некоторому вектору с=а+b, который построен и лежит на диагонали параллелограмма AD. Разность a и b – вектор d=b-a, построенный на второй диагонали BD. Если векторы заданы координатами, а угол между ними составляет ф, тогда их скалярное произведение – это число, равное произведению модулей векторов и cosф (см. рис1): (a, b) = |a||b|cos ф В декартовых координатах если а={x1, y1} и b={x2, y2}, то (a, b) = x1y2 +x2y1. При этом скалярный квадрат вектора (а,а)=|a|^2=x1^2 +x2^2. Для вектора b – аналогично. Тогда: |a||b|cos ф = x1y2 +x2y1. Следовательно cosф=(x1y2 +x2y1)/(|a||b|).

Таким образом алгоритм решения задачи состоит в следующем:

Нахождение координат векторов диагоналей параллелограмма как векторов суммы и разности векторов его сторон с=а+b и d=b-a. При этом соответствующие координаты a и b просто складываются или вычитаются. c= a+ b ={x3, y3}= { x1+x2, y1+y2},
d= b-a ={x4, y4}={ x2 –x1, y2-y1}.
2. Нахождение косинуса угла между векторами диагоналей (назовем его фД) по приведенному общему правилу cosфд=(x3y3 +x4y4)/(|c||d|) Пример. Найти угол между диагоналями параллелограмма, заданного векторами своих сторон a={1, 1} и b ={1, 4}.

Решение. Согласно приведенному алгоритму вам необходимо найти векторы диагоналей c={1+1, 1+4}={2, 5} и d={1-1, 4-1}={0, 3}.
Теперь вычислите cosфд =(0+15)/(sqrt(4+25)sqrt9)= 15/3sqrt29=0,92.
Ответ: фд= arcos(0,92).

Как просто

Другие новости по теме:

Вектор – это направленный отрезок, задающийся следующими параметрами: длиной и направлением (углом) к заданной оси. Кроме этого положение вектора ничем не ограничено. Равными считаются те векторы, которые сонаправлены и обладают равными длинами. Вам понадобится - бумага; - ручка. Спонсор

Площадь параллелограмма, построенного на векторах, вычисляется как произведение длин этих векторов на синус угла между ними. Если известны только координаты векторов, то для вычисления нужно применять координатные методы, в том числе и для определения угла между векторами. Вам понадобится - понятие

Решение задачи по отысканию угла между сторон некоторой геометрической фигуры следует начинать с ответа на вопрос: с какой фигурой вы имеете дело, то есть определиться многогранник перед вами или многоугольник. В стереометрии рассматривается «плоский случай» (многоугольник). Каждый многоугольник

Угол между двумя векторами, выходящими из одной точки, это кратчайший угол, на который необходимо повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения второго вектора. Определить градусную меру этого угла можно, если известны координаты векторов. Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как

Задача по нахождению угла многоугольника при известных нескольких его параметров достаточно проста. В случае определения угла между медианой треугольника и одной из сторон удобно использовать векторный способ. Для того чтобы задать треугольник, достаточно двух векторов его сторон. Спонсор

Обозначьте через альфа, бета и гамма углы, образованные вектором а с положительным направлением координатных осей (см. рис.1). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора а. Вам понадобится - бумага; - ручка. Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти направляющие

Вам понадобится

- бумага;
- ручка;
- линейка.

Инструкция

Для нахождения угла между сторонами параллелограмма понадобится вычислить геометрическую сумму и разность векторов, а также их скалярное произведение (a,b). По правилу параллелограмма геометрическая сумма векторов a и b равна некоторому вектору с=а+b, который построен и лежит на диагонали параллелограмма AD. Разность a и b – вектор d=b-a, построенный на второй диагонали BD. Если векторы заданы координатами, а угол между ними составляет ф, тогда их скалярное произведение – это число, равное произведению модулей векторов и cosф (см. рис1): (a, b) = |a||b|cos ф

В декартовых координатах если а={x1, y1} и b={x2, y2}, то (a, b) = x1y2 +x2y1. При этом скалярный квадрат вектора (а,а)=|a|^2=x1^2 +x2^2. Для вектора b – аналогично. Тогда: |a||b|cos ф = x1y2 +x2y1. Следовательно cosф=(x1y2 +x2y1)/(|a||b|). Таким образом алгоритм решения задачи состоит в следующем:1. Нахождение координат векторов диагоналей параллелограмма как векторов суммы и разности векторов его сторон с=а+b и d=b-a. При этом соответствующие координаты a и b просто складываются или вычитаются. c= a+ b ={x3, y3}= { x1+x2, y1+y2},d= b-a ={x4, y4}={ x2 –x1, y2-y1}. 2. Нахождение косинуса угла между векторами диагоналей (назовем его фД) по приведенному общему правилу cosфд=(x3y3 +x4y4)/(|c||d|)

Пример. Найти угол между диагоналями параллелограмма , заданного векторами своих сторон a={1, 1} и b ={1, 4}. Решение. Согласно приведенному алгоритму вам необходимо найти векторы диагоналей c={1+1, 1+4}={2, 5} и d={1-1, 4-1}={0, 3}. Теперь вычислите cosфд =(0+15)/(sqrt(4+25)sqrt9)= 15/3sqrt29=0,92. Ответ: фд= arcos(0,92).

Внимание, только СЕГОДНЯ!

Все интересное

Под модулем вектора понимают его длину. Если нет возможности измерить ее линейкой, ее можно вычислить. В том случае, когда вектор задан декартовыми координатами применяется специальная формула. Важно уметь вычислить модуль вектора при нахождении…

Математика – наука сложная и точная. Подход к ней нужен грамотный и не терпящий спешки. Естественно, без абстрактного мышления тут не обойтись. Как и без ручки с бумагой для визуального упрощения расчетов. Инструкция 1Отметьте углы с помощью букв…

Вектор, как направленный отрезок, зависит не только от абсолютной величины (модуля), которая равна его длине. Еще одна важная характеристика – направление вектора. Оно может определяться как координатами, так и углом между вектором и осью координат.…

Для решения этой задачи методами векторной алгебры, вам необходимо знать следующие понятия: геометрическая векторная сумма и скалярное произведение векторов, а также следует помнить свойство суммы внутренних углов четырехугольника. Вам…

Операции с векторами нередко вызывают сложности у школьников. Несмотря на наличие ограниченного ряда формул, с которыми нужно оперировать, некоторые задачи вызывают сложности и проблемы с решением. В частности, не все учащиеся старших классов…

Решение задачи по отысканию угла между сторон некоторой геометрической фигуры следует начинать с ответа на вопрос: с какой фигурой вы имеете дело, то есть определиться многогранник перед вами или многоугольник.
В стереометрии рассматривается…

Обозначьте через альфа, бета и гамма углы, образованные вектором а с положительным направлением координатных осей (см. рис.1). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора а. Вам понадобится- бумага;- ручка.Инструкция 1 Так…