Расстояние между кодовыми словами. Описание алгоритма HEngine для статической задачи

Cтраница 1

Расстояние Хемминга между двумя последовательностями равной длины соответствует числу позиций, занятых несовпадающими элементами. В случае последовательностей различной длины расстояние Хэмминга определяется как минимальное число позиций, занятых несовпадающими элементами при.

Расстояние Хемминга d (u, v) между двумя словами и и v одинаковой длины равно числу несовпадающих разрядов этих слов. Оно используется в теории блочных кодов (В.

С использованием метрических свойств расстояния Хемминга непосредственно проверяется, что / л является метрикой на Хц, но не является метрикой на множестве смешанно-периодических последовательностей.

Эта функция близости эквивалентна расстоянию Хемминга.

Метрика р в алгоритме KLOP задана расстоянием Хемминга.

Если процедура поиска сможет найти положение, где расстояние Хемминга равно нулю, задача будет решена.

Сопоставление нечетких подмножеств В и В3, степеней нечеткости, а также расстояния Хемминга показывает, что рассматриваемые нечеткие подмножества отличаются. Однако если в качестве рассчитанного значения принимать элемент м2 G Uz, степень принадлежности которого полученному нечеткому подмножеству максимальна, то применение нечеткого отношения R, вычисленного таким способом, может быть оправдано. Наряду с тем, что при данном подходе удается описать нелинейность связи между максимальной температурой во второй зоне реактора и показателем текучести расплава полиэтилена, этот способ не учитывает нестационарность процесса получения ПЭВД, которая связана с изменением характеристик технологического процесса.

Передаточная функция этого кода указывает на то, что имеется единственный путь с расстоянием Хемминга d - от пути из одних нулей, который сливается с путем из одних нулей при данном узле. Из диаграммы состояний, показанной на рис. 8.2.6, или решетчатой диаграммы, показанной на рис. 8.2.5, видно, что путь с d6 это acbe. Снова из диаграммы состояний или решетки мы видим, что этими путями являются acdbe и acbcbe. Третье слагаемое в (8.1.2) указывает, что есть четыре пути с расстоянием d 0 и так далее. Таким образом, передаточная функция дает нам дистанционные свойства сверточного кода.

Этот результат согласуется с наблюдением, что путь из одних нулей (/ 0) имеет расстояние Хемминга d3 от принимаемой последовательности, в то время как путь с / 1 имеет расстояние Хемминга d5 от принимаемого пути. Таким образом, расстояние Хемминга является эквивалентной метрикой для декодирования с жестким решением.

На множестве двоичных слов длины m расстоянием d(a,b) между словами a и b называют число несовпадающих позиций этих слов, например: расстояние между словами a = 01101 и b = 00111 равно 2.

Определенное таким образом понятие называется расстоянием Хемминга.

Оно удовлетворяет следующим аксиомам расстояний:

1) d(a,b)  0 и d(a,b)=0 тогда и только тогда, когда a = b;

2) d(a,b) = d(b,a) ;

3) d(a,b) + d(b,c)  d(a,c) (неравенство треугольника).

Весом w(a) слова a называют число единиц среди его координат. Тогда расстояние между словами a и b есть вес их суммы a b: d(a,b)=w(a b) , где символом  обозначена операция покоординатного сложения по модулю 2. Интуитивно понятно, что код тем лучше приспособлен к обнаружению и исправлению ошибок, чем больше различаются кодовые слова. Понятие расстояния Хемминга позволяет это уточнить.

Теорема Для того, чтобы код позволял обнаруживать ошибки в k (или менее) позициях, необходимо и достаточно, чтобы наименьшее расстояние между кодовыми словами было  k + 1.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству следующего утверждения.

Теорема. Для того, чтобы код позволял исправлять все ошибки в k (или менее) позициях, необходимо и достаточно, чтобы наименьшее расстояние между кодовыми словами было  2k + 1.

32. Теорема о корректирующей способности кодов.

Коды, в которых возможно автоматическое исправление ошибок, называются самокорректирующимися. Для построения самокорректирующегося кода, рассчитанного на исправление одиночных ошибок, одного контрольного разряда недостаточно. Как видно из дальнейшего, количество контрольных разрядов k должно быть выбрано так, чтобы удовлетворялось неравенство 2k≥k+m+1или k≥log2(k+m+1), где m - количество основных двоичных разрядов кодового слова. В настоящее время наибольший интерес представляют двоичные блочные корректирующие коды. При использовании таких кодов информация передаётся в виде блоков одинаковой длины и каждый блок кодируется и декодируется независимо друг от друга. Почти во всех блочных кодах символы можно разделить на информационные и проверочные.

Основными характеристиками самокорректирующихся кодов являются:

1. Число разрешенных и запрещенных комбинаций. Если n - число символов в блоке, r - число проверочных символов в блоке, k - число информационных символов, то 2n - число возможных кодовых комбинаций, 2k - число разрешенных кодовых комбинаций, 2n−2k - число запрещенных комбинаций.

2. Избыточность кода. Величину rn называют избыточностью корректирующего кода.

3. Минимальное кодовое расстояние. Минимальным кодовым расстоянием d называется минимальное число искаженных символов, необходимое для перехода одной разрешенной комбинации в другую.

4. Число обнаруживаемых и исправляемых ошибок. Если g - количество ошибок, которое код способен исправить, то необходимо и достаточно, чтобы d≥2g+1

5. Корректирующие возможности кодов.

33. Матричное кодирование. Групповые коды.

При явном задании схемы кодирования в (m, n)-коде следует указать 2 m кодовых слов, что весьма неэффективно.

Одним из экономных способов описания схемы кодирования является методика матричного кодирования.

Ранее каждая схема кодирования описывалась таблицами, задающими кодовое слово длины n для каждого исходного слова длины m. Для блоков большой длины этот способ требует большого объема памяти и поэтому непрактичен. Например, для (16, 33 )-кода потребуется 33 * 2 16 = 2 162 688 бит.

Гораздо меньшего объема памяти требует матричное кодирование. Пусть E матрица размерности m × n , состоящая из элементов e ij , где i - это номер строки, а j - номер столбца. Каждый из элементов матрицы e ij может быть либо 0, либо 1. Кодирование реализуется операцией b = аЕ или где кодовые слова рассматриваются как векторы, т.е как матрицы-строки размера 1 × n.

Кодирование не должно приписывать одно и то же кодовое слово разным исходным сообщениям. Простой способ добиться этого состоит в том, чтобы m столбцов матрицы образовывали единичную матрицу. При умножении любого вектора на единичную матрицу получается этот же самый вектор, следовательно, разным векторам-сообщениям будут соответствовать разные вектора систематического кода.

Матричные коды называют также линейными кодами. Для линейных (n − r, n )-кодов с минимальным расстоянием Хэмминга d существует нижняя граница Плоткина (Plotkin) для минимального количества контрольных разрядов r при n³ 2d − 1 ,

Двоичный (m, n)-код называется групповым, если его кодовые слова образуют группу.

Заметим, что множество всех двоичных слов длины m образует коммутативную группу с операцией покоординатного сложения по модулю 2, в которой выполняется соотношение a a. Следовательно, множество слов-сообщений a длины m есть коммутативная группа.

Блочный код называется групповым, если его кодовые слова образуют группу.

Если код является групповым, то наименьшее расстояние между двумя кодовыми словами равно наименьшему весу ненулевого слова.

Это следует из соотношения d(b i , b j ) = w(b i + b j ).

При использовании группового кода незамеченными остаются те и только те ошибки, которые отвечают строкам ошибок, в точности равным кодовым словам.

Такие строки ошибок переводят одно кодовое слово в другое.

Следовательно, вероятность того, что ошибка останется необнаруженной, равна сумме вероятностей всех строк ошибок, равных кодовым словам.

Множество всех двоичных слов a = a 1 ... a m длины m образует абелеву (коммутативную) группу относительно поразрядного сложения.

Пусть E - кодирующая m × n -матрица, у которой есть m ×m- подматрица с отличным от нуля определителем, например, единичная. Тогда отображение a → a E переводит группу всех двоичных слов длины m в группу кодовых слов длины n.

Предположим, что Тогда для получаем

т. е.Следовательно, взаимно-однозначное отображение группы двоичных слов длины m при помощи заданной матрицы E сохраняет свойства групповой операции, что означает, что кодовые слова образуют группу.

Свойство группового кода: минимальное кодовое расстояние между кодовыми векторами равно минимальному весу ненулевых векторов. Вес кодового вектора равен числу единиц в кодовой комбинации.

Групповые коды удобно задавать при помощи матриц, размерность которых определяется параметрами k и n. Число строк равно k, а число столбцов равно n = k+m.

Коды, порождаемые этими матрицами, называются (n, k)-кодами, а соответствующие им матрицы порождающими (образующими, производящими).

Расстояние Хемминга

Американский математик Хемминг исследовал, от чего зависит данный код, будет ли он обнаруживать ошибки и когда может их исправлять. Интуитивно ясно, что это зависит от того, как разнесены между собой кодовые слова и сколько ошибок может появиться в передаваемом слове. M ы сейчас формализуем следующую идею. При кодировании надо согласовывать число возможных ошибок в передаваемом слове так, чтобы при изменении передаваемого кодового слова оно оставалось более близким к исходному кодовому слову, чем к любому другому кодовому слову.

Определение 13.1. Рассмотрим на множестве всех двоичных слов в алфавите В = {0,1} длины т расстояние d (x , у ), которое равно числу несовпадающих позиций этих слов. Например, Для слов х = 011101, у = 101010 расстояние равно d (x , y ) = 5. Это расстояние носит название расстояние Хемминга .

Можно показать, что расстояние Хемминга удовлетворяет аксиомам метрического пространства:

1) d (x , у ) ≥ 0, d (x , у ) = 0 тогда и только тогда, когда х = у;

2) d (x , y ) = d (y , x );

3) d (x , у ) ≤ d (x , z ) + d (z , у ) - неравенство треугольника.

Теорема 13.1 (об обнаруживающем коде ). Код является обнаруживающим в случае, когда в передаваемом слове имеется не более чем k

d (b 1, b 2) ≥ k + 1.

Теорема 13.2 (об исправляющем коде .). Код является исправляющим все ошибки в случае, когда в передаваемом слове имеется не более k ошибок, тогда и только тогда, когда наименьшее расстояние между кодовыми словами

d (b 1, b 2) ≥ 2k + 1.

Доказательство . Доказательства этих теорем аналогичны. Поэтому докажем только последнюю теорему.

Достаточность . Пусть для любых кодовых слов имеем d (b 1, b 2) ≥ 2k + 1. Если при передаче кодового слова b 1произошло не более k ошибок, то для принятого слова с имеем d (b 1, c ) ≤ k . Но из неравенства треугольника для любого другого кодового слова b 2имеем d (b 1, с ) + d (c , b 2) ≥ d (b 1, b 2) ≥ 2 k + 1. Следовательно, от принятого слова до любого другого кодового слова расстояние d (c , b 2) ≥ k + 1, т. е. больше, чем до b 1. Поэтому по принятому слову с можно однозначно найти ближайшее кодовое слово b 1и далее декодировать его.

Необходимость . От противного. Предположим, что минимальное расстояние между кодовыми словами меньше, чем 2 k + 1. Тогда найдутся два кодовых слова, расстояние между которыми будет d (b 1, b 2) ≤ 2 k . Пусть при передаче слова b 1принятое слово с находится на отрезке между словами b 1, b 2и имеет ровно k ошибок. Тогда d (c , b 1) = k , d (c , b 2) = d (b 1, b 2) – d (c , b 1) ≤ k . Тем самым по слову с нельзя однозначно восстановить кодовое слово, которое было передано, b 1или b 2. Пришли к противоречию.

Пример 13 .3 . Рассмотрим следующие пятиразрядные коды слов длиной 2 в алфавите В = {0,1}:

b 1= K (00) = 00000, b 2= K (01) = 01011,

b 3= K (10) = 10101, b 4= k (11) =11110.

Минимальное расстояние между различными кодовыми словами равно d (bi , bj ) = 3. В силу первой теоремы об обнаруживающем коде, этот код способен обнаруживать не более двух ошибок в слове. В силу второй теоремы, код способен исправлять не более одной ошибки в слове.

Групповые коды

Рассмотрим подробнее коды слов в алфавите В = {0, 1}. Если для слов длиной т используются кодовые слова длиной n , то такие коды будем называть (т , п )-коды. Всего слов длиной m равно 2 m . Чтобы задать (т , п )-код, можно перечислить кодовые слова для всех возможных слов длиной m , как в предыдущем примере. Более экономным способом задания кодовых слов является матричное задание.

В этом случае задается порождающая матрица G = ∣∣ gij ∣∣ порядка т × п из 0 и 1. Кодовые слова определяются каждый раз по слову а = а 1a 2... ат путем умножения этого слова слева, как вектора, на порождающую матрицу

Здесь сложение определяется по модулю 2. Для того чтобы разным словам соответствовали разные кодовые слова, достаточно иметь в матрице G единичный базисный минор порядка т , например крайний левый.

Пример 13 .4 . Рассмотрим порождающую матрицу

Эта матрица задает (3, 4)-код. При этом три первые символа в кодовом слове информационные, а четвертый - контрольный. Он равен 0, если четное число единиц в исходном слове, и 1, если нечетное число единиц. Например, для слова а = 101 кодом будет b = aG = 1010. Минимальное расстояние Хемминга между кодовыми словами равно d (bi , bj ) = 2. Поэтому это - код, обнаруживающий однократную ошибку.

Определение 13.2. Код называется групповым , если множество всех кодовых слов образует группу. Число единиц в слове а называется весам слова и обозначается Если b - кодовое слово и принятое в канале связи слово с = b + е , то слово е называется вектором ошибок .

Теорема 13.3. Пусть имеется групповой (т , п )-код. Тогда коммутативная группа К всех кодовых слов является подгруппой коммутативной группы С всех слов длины п , которые могут быть приняты в канале связи. Наименьшее расстояние между кодовыми словами равно наименьшему весу ненулевого кодового слова и

Рассмотрим фактор-группу С / K . Смежные классы здесь будут определяться сдвигом е + b , b ∈ K .

В качестве представителя смежного класса выберем элемент с наименьшим весом. Будем такие элементы называть лидерами смежного класса .

Если лидеры трактовать как векторы ошибок, то каждый смежный класс - множество искаженных слов в канале связи с фиксированным вектором ошибок, в частности при е = 0 имеем смежный класс слов без искажений, т. е. множество всех кодовых слов. Процесс коррекции и декодирования слова с заключается в поиске того смежного класса, к которому относится слово с = е + b . Вектор ошибок е определяет число и локализацию ошибок, кодовое слово b определяет коррекцию принятого слова.

Чтобы облегчить поиск смежного класса и тем самым вектора ошибок, Хемминг предложил использовать групповые коды со специальными порождающими матрицами.

Хемминговы коды

Рассмотрим построение хеммингова (т , п )-кода с наименьшим весом кодового слова равным 3, т. е. кода, исправляющего одну ошибку.

Положим п = 2 r – 1 и пусть в каждом кодовом слове будут r символов контрольными, а т символов (т = п – r = 2 r – 1– r ) - информационными, r ≥ 2, например (1, 3)-код, (4, 7)-код и т. д. При этом в каждом кодовом слове b = b 1b 2... b п символы с индексами, равными степени 2, будут контрольными, а остальные информационными. Например, для (4, 7)-кода в кодовом слове b = b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7 символы b 1b 2b 4будут контрольными, а символы b 3b 5b 6b 7- информационными. Чтобы задать порождающую матрицу G хеммингова (т , п )-кода, рассмотрим вспомогательную матрицу М порядка r × п , где п = 2 r – 1, такую, что в каждом j столбце матрицы М будут стоять символы двоичного разложения числа j , например для (4, 7)-кода матрица М будет 3 × 7:

Множество всех кодовых слов зададим как множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений вида

b МТ = 0.

Например, для (4, 7)-кода такая система будет:

Выберем естественный базисный минор системы b МТ = 0, стоящий в столбцах с номерами, равными степени 2. Тем самым переменные разделим на базисные (кодовые) и свободные (информационные). Теперь, задав свободные переменные, легко получить базисные. Найдем фундаментальную систему m = п – r решений этой однородной системы. Тогда любое решение системы есть линейная комбинация этих m решений. Поэтому, выписав построчно m решений фундаментальной системы в виде матрицы G размером m × п , получим порождающую матрицу хеммингова группового (т , п )-кода, например для (4, 7)-кода фундаментальной системой решений будут 4 = 7 – 3 следующих решения однородной системы:

g 1= 1110000, g 2= 1001100, g 3= 0101010, g 4= 1101001.

Любая линейная комбинация этих решений будет решением, т. е. кодовым словом. Составим из этих фундаментальных решений порождающую матрицу

Теперь по любому слову а длиной т = 4 легко вычислить кодовое слово b длиной п = 7 при помощи порождающей матрицы b = aG . При этом символы b 3, b 5, b 6, b 7будут информационными. Они совпадают с а 1, а 1, а 3, а 4.Символы b 1, b 2, b 4 будут контрольными.

Вывод . Хемминговы коды удобны тем, что при декодировании легко определяются классы смежности. Пусть принятое по каналу связи слово будет с = е + b , где е - ошибка, b - кодовое слово. Тогда умножим его на вспомогательную матрицу сМТ = (е + b )МТ = еМ T . Если еМ T = 0, то слово с - кодовое и считаем: ошибки нет. Если еМ T ≠ 0, то слово е определяет ошибку.

Напомним, что построенный хеммингов (т , п )-код определяет одну ошибку. Поэтому вектор ошибки е содержит одну единицу в i позиции. Причем номер i позиции получается в двоичном представлении как результат еМ T , совпадающий с i столбцом матрицы М . Осталось изменить символ i в принятом по каналу слове с, вычеркнуть контрольные символы и выписать декодированное слово.

Например, пусть принятое слово будет с = 1100011 для (4, 7)-кода Хемминга. Умножим это слово на матрицу М T . Получим

(1100011}М T =(010).

Следовательно, есть ошибка во втором символе. Поэтому кодовое слово будет b = 1000011. Вычеркнем контрольные символы b 1, b 2, b 4.Декодированное слово будет а = 0011.

Конечно, если ошибка была допущена более чем в одном символе, то этот код ее не исправит.

) в векторном пространстве кодовых последовательностей, в этом случае расстоянием Хэмминга между двумя двоичными последовательностями (векторами) и длины называется число позиций, в которых они различны - в такой формулировке расстояние Хэмминга вошло в Словарь алгоритмов и структур данных Национального Института Стандартов США (англ. NIST Dictionary of Algorithms and Data Structures ).

Так, расстояние Хэмминга между векторами 0 011 1 и 1 010 1 равно 2 (красным отмечены различающиеся биты). В дальнейшем метрика была обобщена на q-ичные последовательности: для пары строк «вы боры » и «за бора » расстояние Хэмминга равно трём.

В общем виде расстояние Хэмминга для объектов и размерности задаётся функцией:

Расстояние Хэмминга обладает свойствами метрики, удовлетворяя следующим условиям:

Расстояние Хэмминга в биоинформатике и геномике

Литература

Richard W. Hamming . Error-detecting and error-correcting codes, Bell System Technical Journal 29(2):147-160, 1950.
Ричард Блейхут . Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. М., «Мир», 1986

Ссылки

Ричард Хэмминг и начало теории кодирования // Виртуальный компьютерный музей

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Расстояние Хемминга" в других словарях:

расстояние Хемминга - хемминговское расстояние Расстояние d (u,v) между двумя кодовыми последовательноаями u и v одинаковой длины, равное числу символов, в которых они отличаются. Блочный код с минимальным хемминговским расстоянием d позволяет обнаружить (d 1) и… …

кодовое расстояние - Минимум расстояния Хемминга, взятый по всем ларам различных кодовых слов в равномерном коде. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 94. Теория передачи информации. Академия наук СССР. Комитет технической терминологии. 1979 г.] Тематики теория… … Справочник технического переводчика

В области математики и теории информации линейный код это важный тип блокового кода, использующийся в схемах определения и коррекции ошибок. Линейные коды, по сравнению с другими кодами, позволяют реализовывать более эффективные алгоритмы… … Википедия

Обнаружение ошибок в технике связи действие, направленное на контроль целостности данных при записи/воспроизведении информации или при её передаче по линиям связи. Исправление ошибок (коррекция ошибок) процедура восстановления… … Википедия