Урок и презентация на тему: "Множество рациональных и иррациональных чисел. Обозначения, свойства и примеры"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Пособие к учебнику Никольского Н.С.
Пособие к учебнику Алимова Ш.А.
Ребята, вы хорошо знаете, что такое натуральные числа. Это числа, которые мы используем при счете: 1, 2, 3 ,… Обозначают множество натуральных чисел символом: N. Множество натуральных чисел бесконечно. Причем для любого натурального числа всегда найдется число, которое больше данного.
Действительные числа
Если к натуральным числам прибавить 0 и все отрицательные числа -1,-2,-3…, то получится множество действительных целых чисел, которое принято обозначать Z. Урок:
"Множество действительных чисел". Ввод отрицательных чисел был необходим для того, чтобы из меньших чисел можно было вычитать большие. Сумма, разность, произведение – снова дают целые числа.
Рациональные числа
А если к множеству целых чисел, добавить множество всех обыкновенных дробей$\frac{2}{3}$, $-\frac{1}{2}$, …?
Подробнее дробям посвящены уроки: "Сложение и вычитание дробей" и "Умножение и деление дробей" . Первое упоминание о дробях появилось еще в древнем Египте. При вычислении длин, веса и площадей люди столкнулись с тем, что не всегда получается целое значение. Вообще дроби, в узком смысле, встречаются практически везде. Когда мы делим пирог на несколько частей, с математической точки зрения мы получаем дроби. Множество дробей принято называть "множеством рациональных чисел" и обозначать Q.
Любое рациональное число может быть представлено в виде:
Если любое целое число мы разделим на натуральное число, то получим рациональное число. Деление на натуральное число в такой записи удобно, в том смысле, что мы исключили операцию деления на ноль. Рациональных чисел бесконечно много, но зато все эти числа можно перенумеровать.
Рассмотрев множества выше, мы видим, что каждое последующее содержит в себе предыдущие:
.
Знак ⊂ обозначает подмножество, то есть множество натуральных чисел содержится в множестве целых чисел и так далее. Подробнее с понятием множества мы с вами познакомимся в девятом классе. "Множества и подмножества рациональных чисел"
Давайте рассмотрим три рациональных числа:
$5$; $0,385$; $\frac{2}{3}$
.Каждое из этих чисел мы можем представить в виде бесконечной десятичной дроби:
$5=5.00000…$
$0,385=0,38500…$
Разделив столбиком 2 на 3, также получим бесконечную десятичную дробь:
$\frac{2}{3}=0.6666…$
Таким образом, любое рациональное число мы можем представить в виде бесконечной дроби. Для теоретической математики это имеет большое значение. Для практики и нам с вами при решении задач большого смысла нет представлять обычную пятерку в виде бесконечной десятичной дроби.
Если в десятичной записи числа повторяются одни и те же числа, то это называется "периодом". В нашем случае для числа
$\frac{2}{3}=0,6666…$
периодом будет число $6$. Обычно период числа принято обозначать в скобках $\frac{2}{3}=0,(6)$. Сама дробь в таком случае называется бесконечной десятичной периодической дробью.
Любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Обратная операция также верна.
Пример.
Представить в виде обыкновенной дроби:
а) $2,(24)$.
б) $1,(147)$.
Решение.
а) Пусть $x=2,(24)$. Помножим наше число так, чтобы запятая передвинулась вправо ровно на период. $100х=224,(24)$.
Выполним следующую операцию:
$100х-х=224,(24)-2,(24)$.
$х=\frac{222}{99}$ – рациональное число.
Б) Поступим также.
$х=1,(147)$, тогда $1000х=1147,(147)$.
$1000х-х=1147,(147)-1,(147)$.
$х=\frac{1146}{999}$.
К сожалению, описать все числа с помощью множества рациональных чисел не удалось. На прошлом уроке "Корень квадратный" мы с вами познакомились с операцией вычисления корня квадратного. Так, длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами равными 1 и 2 равна $\sqrt{5}$. Это число не может быть представлено в виде несократимой дроби, а значит, не является рациональным. Таким образом, нам необходимо расширить наше понимание о множествах чисел.
Иррациональные числа
В математике не принято говорить, что числа не рациональные, обычно говорят, что такие числа иррациональные. По другому говоря, иррациональное число – неразумное число, в некотором смысле непонятное.Любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби, но в отличие от рациональных чисел никакого периода уже тут не будет. То есть выделить порядок в записи хвостика числа не возможно. Вы можете убедиться в этом сами, возьмите калькулятор и вычислите $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{10}$… Калькулятор вычислит приближенное значение, с точностью до того знака, который умещается на экран. Посмотрев на полученные числа, можно убедиться, что после запятой явно ни какого порядка нет.
Иррациональным числом называют бесконечную непериодическую дробь.
Если $n≠k^2$, где $n,kϵN$, то есть $n$ не является точным квадратом другого натурально числа, то $\sqrt{n}$ - иррациональное число.
Иррациональные числа
встречаются довольно таки часто. Одним из самых ярких примеров является знаменитое и важное число π. Если рассмотреть совершенно любую окружность и разделить ее длину на диаметр то всегда, получается π. Было доказано, что это число иррациональное.
Операции над иррациональными числами проводить довольно таки сложно. Даже в современной математике остались вопросы о роде многих чисел. Многие математики, занимающиеся теорией чисел, бьются над известными проблемами иррациональных в течение сотен лет.
Но мы можем подвести некоторый итог:
1. Если складывать, вычитать, умножать, делить (кроме деления на 0) рациональные числа, то в ответе получится рациональное число.
2. Арифметические операции над иррациональными числами могут привести как к иррациональному числу, так и рациональному.
3. Если в арифметической операции участвуют как рациональные, так и иррациональные числа, то в результате получится иррациональное число.
Тема: Иррациональные числа
На координатной оси с единичным отрезком ОЕ
отмечена точка D
. Является ли длина отрезка OD
рациональным числом?
Измерим длину OD
при помощи единичного отрезка.
Получим остаток – отрезок FD
, длина которого меньше единичного отрезка. Можно сказать, округлив до целых, что длина отрезка OD
приблизительно равна 3, OD
≈ 3.
Чтобы измерить длину OD
возьмем за единицу измерения десятую часть единичного отрезка – длину отрезка OE 1
.
От точки F
отложим OE 1
дважды при этом получится остаток F 1 D
, длина которого меньше длины отрезка OE 1
, выбранного единичным отрезком. Можно сказать, округлив до десятых, что длина отрезка OD
приблизительно равна 3,2, OD
≈ 3,2.
Чтобы измерить длину отрезка OD
ещё точнее, будем выбирать меньшие единицы измерения – сотую, тысячную, десятитысячную, стотысячную части единичного отрезка и так далее. В результате измерения возможны два варианта.
Иррациональными называются числа, не являющиеся рациональными, то есть числа, которые не могут быть представлены в виде дроби m /n , где m – целое число, а n – натуральное. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.
Приведем пример такого числа.
Построим квадрат со стороной, равной длине единичного отрезка OE
. Проведем диагональ ОВ
. Теперь построим новый квадрат, стороной которого будет диагональ ОВ
. Обратим внимание, что новый квадрат в два раза больше старого. Значит площадь его S
в два раза больше, S
= 2. Выходит, что длина стороны нового квадрата ОВ
равна числу, квадрат которого равен двум.
Измерим длину стороны нового квадрата ОВ
при помощи единичного отрезка, как мы делали вначале. Длина единичного отрезка OE"
укладывается в отрезок OB
один раз, при этом получается остаток – E"B
. Округлив до целых, получим, что длина стороны OB
приблизительно равна одному. OB
≈1.
Чтобы измерить длину отрезка ОВ
точнее будем выбирать меньшие единичные отрезки – десятую, сотую, тысячную части единичного отрезка ОЕ
и так далее. На одном из шагов получим число: OB
≈1,41421356… – иррациональное число.
Эта десятичная дробь не является периодической. Если бы на каком-то шаге измерения был определен период дроби, то данное число было бы рациональным, то есть его можно было бы представить в виде дроби m
/n
, где m
– целое число, а n
– натуральное. Однако не существует такого рационального числа, квадрат которого равен двум.
Таким образом, длина отрезка OB
выражена бесконечной десятичной непериодической дробью, или иррациональным числом.
Любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Множество иррациональных чисел обозначается буквой – I
.
I – множество иррациональных чисел.
Десятичное измерение длин отрезков каждой точке координатной оси ставит в соответствие бесконечную десятичную дробь, модуль которой равен длине измеряемого отрезка.
|OD
| = 3,2300980107...
Точке D
соответствует число 3,2300980107...
|OG
| = 1,72 = 1,72000… = 1,72(0)
Точке G
соответствует число −1,72(0) или −1,72
Знак дроби зависит от расположения точки – справа от начальной точки О
– положительные числа, слева – отрицательные.
Обратное утверждение также верно: взяв произвольную десятичную бесконечную дробь, мы всегда найдем на координатной оси справа или слева от точки О
такую точку А
, что длина отрезка ОА
выражается модулем этой дроби. Знак дроби соответствует расположению точки А
.
|OA
| = 2,2(0)
Точке A
соответствует число 2,2(0) или 2,2.
Любой точке координатной оси ставится в соответствие бесконечная десятичная дробь: если дробь периодическая, то данной точке соответствует рациональное число, если дробь непериодическая, то – иррациональное число.
Множество рациональных и иррациональных чисел вместе составляют множество действительных чисел (R ).
Таким образом, каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной оси, и наоборот: каждой точке координатной оси соответствует единственное действительное число.
Действительные числа, записанные с помощью бесконечных десятичных дробей можно сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить (на число, отличное от нуля). Эти действия будут выполняться по тем же правилам, что и действия над рациональными числами.
Найдем приближенное значение разности чисел:
3/11 – 0,12230071000134…
3/11=0,(27) ≈ 0,27
0,12230071000134…≈ 0,12
3/11 – 0,12230071000134… ≈ 0,27 – 0,12 = 0,15
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.
Урок математики в 8Б классе
Тема урока: Иррациональные числа.
Ляпустина Наталия Юрьевна
учитель математики
МОБУ Лицей №:6
Цели:
Ввести понятие иррационального числа;
Научить находить приближенные значения корней с помощью микрокалькулятора;
Познакомить с четырехзначными математическими таблицами;
Закрепить навык преобразования обыкновенной дроби в десятичную и десятичной бесконечной периодической дроби в обыкновенную;
Развивать память, мышление.
Ход урока
I Актуализация опорных знаний.
Проверка домашнего задания:
а) Представить в виде десятичной дроби: 38/11 = 3,(45)
б) Представить в виде обыкновенной дроби: 1,(3) = 4/3 0,3(17) = 157/495
II Устные упражнения (презентация)
1) Дать определение квадратного корня и выполнить задания. Записать на доске
2) Прочитайте дроби:
0,(5); 3,(24); 15,2(57); 3,51(3)
4) Округлите данные числа:
3,45; 10,59; 23,263; 0,892
А) до единиц;
Б) до десятых.
III Изучение нового материала
1. Сообщение темы и целей урока
2. Объяснение учителя
Наряду с бесконечными периодическими дробями в математике также рассматриваются бесконечные непериодические дроби. На прошлом уроке вы познакомились с понятием рациональных чисел. И знаете, что любое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби, конечной или бесконечной периодической.
Бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными числами.
Например, дроби
Когда же получаются иррациональные числа?
1) При извлечении квадратных корней.
В курсе высшей математики доказывается, что из любого неотрицательного числа можно извлечь квадратный корень.
Например:
рациональные числа
Иррациональные числа
2) Иррациональные числа получаются не только при извлечении корней.
Например:
3) Сообщение «Из истории иррациональных чисел» Вавилонский способ.
Можно узнать любую n -ую цифру после запятой для любого иррационального числа
4) . На практике для нахождения приближенных значений корней с требуемой точностью используются таблицы, микрокалькуляторы и другие вычислительные средства.
Для тех, кто интересуется более подробно познакомиться с нахождением квадратных корней с помощью таблицы может почитать пояснения к таблице.
2)В настоящее время чаще всего для нахождения приближенных значений корней пользуются микрокалькулятором.
Пример работы с калькулятором
3. Устно решают №321
Какие числа называются иррациональными? (чтение ответа из учебника)
4. Закрепление изученного материала
Решить уравнение: по определению квадратного корня.
11.2(а,в)
11.5 (а,б)
Разбирают и записывают на доске.
5. Работа по карточкам
Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,001
Числа 1, 2, 3 … - натуральные числа Натуральные числа – числа, возникающие естественным образом при счёте. Существуют два подхода к определению натуральных чисел числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …); обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). 2
4
9 Математики Древней Греции более двадцати веков тому назад пришли к выводу, что нет ни целого, ни дробного числа, выражающего диагональ квадрата со стороной 1. Это вызвало кризис в математической науке: диагональ у квадрата есть, а длины у неё нет! Математики нашли выход из этой ситуации: раз имеющегося запаса чисел – целых и дробных – не хватает для выражения длин отрезков, значит, нужны какие-то новые числа. Так появились иррациональные числа.
10 Измерение длин отрезков на координатной прямой Работа с учебником стр.63 – 64 п. 11. Устно ответить на вопросы: 1. Как можно измерить длину любого отрезка? 2. Как можно получить более точный результат (с точностью до 0,1; 0,01 и 0,001? 3. Какие числа окажутся в результате измерений?
11
12
13
Сравним числа 2,36366… и 2,37011… совпадают в разряде сотых у первой дроби число единиц меньше, чем у второй, поэтому 2,36366…
Иррациональные числа Натуральные числа Натуральные числа Целые числа Целые числа Рациональные числа Рациональные числа –6(3) 7, … 345 π π 1,24(53) 21
1. 276, 277, 281 (а, в, д) ,
1.Алгебpа. 8 класс. Учебник. ФГОС. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. Под ред. С.А.Теляковского г. 2.Алгебра, 8 класс, Поурочные планы, Дюмина Т.Ю., Махонина А.А., 2012: CD; 3. html 4. gifhttp://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/4/80/35/ _ _skola1. gif 5. jp jpghttp:// jpg 7. Литература и Интернет–ресурсы: 27