Математика. Теоретическая механика

Найти неопределённый интеграл (множество первообразных или "антипроизводных") означает восстановить функцию по известной производной этой функции. Восстановленное множество первообразных F (x ) + С для функции f (x ) учитывает константу интегрирования C . По скорости перемещения материальной точки (производной) может быть восстановлен закон движения этой точки (первообразная); по ускорению движения точки - её скорость и закон движения. Как видно, интегрирование - широкое поле для деятельности Шерлоков Холмсов от физики. Да и в экономике многие понятия представляются через функции и их производные и поэтому, например, можно по производительности труда в определённый момент времени (производной) восстановить объём продукции, выпущенный в соответствующее время.

Чтобы найти неопределённый интеграл, требуется довольно небольшое количество основных формул интегрирования. Но процесс его нахождения значительно труднее, чем одно лишь применение этих формул. Вся сложность относится не к интегрированию, а к приведению интегрируемого выражения к такому виду, который даёт возможность найти неопределённый интеграл по упомянутым выше основным формулам. Это означает, что для начала практики интегрирования нужно активизировать полученные в средней школе навыки преобразования выражений.

Учиться находить интегралы будем, пользуясь свойствами и таблицей неопределённых интегралов из урока об основных понятиях этой темы (откроется в новом окне).

Существует несколько методов нахождения интеграла, из которых метод замены переменной и метод интегрирования по частям - обязательный джентльменский набор каждого, кто успешно сдал высшую математику. Однако начинать осваивать интегрирование полезнее и приятнее с применением метода разложения, основанном на следующих двух теоремах о свойствах неопределённого интеграла, которые для удобства повторим здесь.

Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.

Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е.

(2)

Кроме того, в интегрировании может пригодиться следующее правило: если выражение подынтегральной функции содержит постоянный множитель, то выражение первообразной домножается на число, обратное постоянному множителю, то есть

(3)

Поскольку этот урок - вводный в решение задач интегрирования, важно отметить две вещи, которые либо уже на самом начальном этапе, либо несколько позже могут вас удивить. Удивление связано с тем фактом, что интегрирование - операция обратная дифференцированию и неопределённый интеграл можно справедливо называть "антипроизводной".

Первая вещь, которой не следует удивляться при интегрировании. В таблице интегралов существуют формулы, которые не имеют аналогов среди формул таблицы производной . Это следующие формулы:

Однако можно убедиться в том, что производные выражений, стоящих в правых частях этих формул, совпадают с соответствующими подынтегральными функциями.

Вторая вещь, которой не следует удивляться при интегрировании . Хотя производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную функцию, неопределённые интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями . Примерами таких интегралов могут быть следующие:

Для выработки техники интегрирования пригодятся следующие навыки: сокращение дробей, деление многочлена в числителе дроби на одночлен в знаменателе (для получения суммы неопределённых интегралов), преобразование корней в степени, умножение одночлена на многочлен, возведение в степень. Эти навыки нужны для преобразований подынтегрального выражения, в результате которых должна получиться сумма интегралов, присутствующих в таблице интегралов.

Находим неопределённые интегралы вместе

Пример 1. Найти неопределённый интеграл

Решение. Видим в знаменателе подынтегрального выражения многочлен, в котором икс в квадрате. Это почти верный признак того, что можно применить табличный интеграл 21 (с арктангенсом в результате). Выносим из знаменателя множитель-двойку (есть такое свойство интеграла - постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, выше оно было упомянуто как теорема 3). Результат всего этого:

Теперь в знаменателе сумма квадратов, а это значит, что можем применить упомянутый табличный интеграл. Окончательно получаем ответ:

Пример 2. Найти неопределённый интеграл

Решение. Вновь применяем теорему 3 - свойство интеграла, на основании которого постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Применяем формулу 7 из таблицы интегралов (переменная в степени) к подынтегральной функции:

Сокращаем получившиеся дроби и перед нами конечный ответ:

Пример 3. Найти неопределённый интеграл

Решение. Применяя сначала теорему 4, а затем теорему 3 о свойствах, найдём данный интеграл как сумму трёх интегралов:

Все три полученные интеграла – табличные. Используем формулу (7) из таблицы интегралов при n = 1/2, n = 2 и n = 1/5, и тогда

объединяет все три произвольные постоянные, которые были введены при нахождении трёх интегралов. Поэтому в аналогичных ситуациях следует вводить только одну произвольную постоянную (константу) интегрирования.

Пример 4. Найти неопределённый интеграл

Решение. Когда в знаменателе подынтегральной дроби - одночлен, можем почленно разделить числитель на знаменатель. Исходный интеграл превратился в сумму двух интегралов:

Чтобы применить табличный интеграл, преобразуем корни в степени и вот уже окончательный ответ:

Продолжаем находить неопределённые интегралы вместе

Пример 7. Найти неопределённый интеграл

Решение. Если мы преобразуем подынтегральную функцию, возведя двучлен в квадрат и разделив почленно числитель на знаменатель, то исходный интеграл станет суммой трёх интегралов.

А можно ли под знак дифференциала подводить нелинейную функцию? Да, если подынтегральное выражение представляет собой произведение двух множителей: один множитель — сложная функция от какой-то нелинейной функции, а другой множитель есть производная от этой нелинейной функции. Рассмотрим сказанное на примерах.

Найти неопределенные интегралы.

Пример 1 . ∫(2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 dx = ∫(x 2 + x + 2) 5 d (x 2 + x + 2) =(x²+x+2) 6 : 6 + C.

Что представляет собой данное подынтегральное выражение? Произведение степенной функции от (х 2 + х + 2) и множителя (2х + 1), который равен производной от основания степени: (х 2 + х + 2)" = 2х + 1.

Это и позволило нам подвести (2х + 1) под знак дифференциала:

∫u 5 du=u 6 : 6+ C. (Формула 1). )

Проверка. (F (x)+ C)" =((x²+x+2) 6 : 6 + C)′=1/6 · 6 (x 2 + x + 2) 5 · (x 2 + x + 2)" =

=(x 2 + x + 2) 5 · (2x + 1) = (2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 = f (x).

Пример 2. ∫(3x 2 – 2x + 3)(x 3 - x 2 + 3x + 1) 5 dx = ∫(x 3 – x 2 + 3x + 1) 5 d (x 3 – x 2 + 3x + 1) =

=(x³- x²+3x+1) 6 : 6 + C

И чем этот пример отличается от примера 1? Да ничем! Та же пятая степень с основанием (х 3 – х 2 + 3х + 1) умножается на трехчлен (3х 2 – 2х + 3), который является производной основания степени: (х 3 – х 2 + 3х + 1)" = 3х 2 – 2х + 3. Это основание степени мы и подвели под знак дифференциала, от чего значение подынтегрального выражения не изменилось, а затем применили ту же формулу 1). (Интегралы )

Пример 3.

Здесь производная от (2х 3 – 3х) даст (6х 2 – 3), а у нас

имеется (12х 2 – 6), то есть выражение в 2 раза большее, значит, подведем (2х 3 – 3х) под знак дифференциала, а перед интегралом поставим множитель 2 . Применим формулу 2) (лист ).

Вот что получится:

Сделаем проверку, учитывая, что:

Примеры. Найти неопределенные интегралы.

1. ∫(6х+5) 3 dx. Как будем решать? Смотрим в лист и рассуждаем примерно так: подынтегральная функция представляет собой степень, а у нас есть формула для интеграла степени (формула 1) ), но в ней основание степени u и переменная интегрирования тоже u.

А у нас переменная интегрирования х , а основание степени (6х+5) . Сделаем замену переменной интегрирования: вместо dx запишем d (6х+5). Что изменилось? Так как, то, что стоит после знака дифференциала d, по умолчанию, дифференцируется,

то d (6x+5)=6dx, т.е. при замене переменной х на переменную (6х+5) подынтегральная функция возросла в 6 раз, поэтому перед знаком интеграла ставим множитель 1/6. Записать эти рассуждения можно так:

Итак, мы решили этот пример введением новой переменной (переменную х заменили на переменную 6х+5). А куда записали новую переменную (6х+5)? Под знак дифференциала. Поэтому, данный метод введения новой переменной часто называют методом (или способом) подведения (новой переменной) под знак дифференциала .

Во втором примере мы вначале получили степень с отрицательным показателем, а затем подвели под знак дифференциала (7х-2) и использовали формулу интеграла степени 1) (Интегралы ).

Разберем решение примера 3.

Перед интегралом стоит коэффициент 1/5. Почему? Так как d (5x-2)=5dx, то, подведя под знак дифференциала функцию u=5x-2, мы увеличили подынтегральное выражение в 5 раз, поэтому, чтобы значение данного выражения не изменилось — надо было разделить на 5, т.е. умножить на 1/5. Далее, была использована формула 2) (Интегралы) .

Все простейшие формулы интегралов будут иметь вид:

∫f (x) dx=F (x)+C , причем, должно выполняться равенство:

(F (x)+C)"=f (x).

Формулы интегрирования можно получить обращением соответствующих формул дифференцирования.

Действительно,

Показатель степени n может быть и дробным. Часто приходится находить неопределенный интеграл от функции у=√х. Вычислим интеграл от функции f (x)=√x, используя формулу 1) .

Запишем этот пример в виде формулы 2) .

Так как (х+С)"=1, то ∫dx=x+C.

3) ∫dx=x+C.

Заменяя 1/х² на х -2 , вычислим интеграл от 1/х².

А можно было получить этот ответ обращением известной формулы дифференцирования:

Запишем наши рассуждения в виде формулы 4).

Умножив обе части полученного равенства на 2, получим формулу 5).

Найдем интегралы от основных тригонометрических функций, зная их производные: (sinx)"=cosx; (cosx)"=-sinx; (tgx)"=1/cos²x; (ctgx)"=-1/sin²x. Получаем формулы интегрирования 6) — 9).

6) ∫cosxdx=sinx+C;

7) ∫sinxdx=-cosx+C;

После изучения показательной и логарифмической функций, добавим еще несколько формул.

Основные свойства неопределенного интеграла.

I. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

(∫f (x) dx)"=f (x).

II. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

d∫f (x) dx=f (x) dx.

III. Неопределенный интеграл от дифференциала (производной) некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной С.

∫dF (x)=F (x)+C или ∫F"(x) dx=F (x)+C.

Обратите внимание: в I, II и III свойствах знаки дифференциала и интеграла (интеграла и дифференциала) «съедают» друг друга!

IV. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла.

∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx, где k - постоянная величина, не равная нулю.

V. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx.

VI. Если F (x) есть первообразная для f (x), а k и b — постоянные величины, причем, k ≠0, то (1/k)·F (kx+b) есть первообразная для f (kx+b). Действительно, по правилу вычисления производной сложной функции имеем:

Можно записать:

Для каждого математического действия существует обратное ему действие. Для действия дифференцирования (нахождения производных функций) тоже существует обратное действие — интегрирование. Посредством интегрирования находят (восстанавливают) функцию по заданной ее производной или дифференциалу. Найденную функцию называют первообразной .

Определение. Дифференцируемая функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство: F′(x)=f (x) .

Примеры. Найти первообразные для функций: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) Так как (х²)′=2х, то, по определению, функция F (x)=x² будет являться первообразной для функции f (x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Если обозначить f (x)=3cos3x и F (x)=sin3x, то, по определению первообразной, имеем: F′(x)=f (x), и, значит, F (x)=sin3x является первообразной для f (x)=3cos3x.

Заметим, что и (sin3x+5 )′=3cos3x , и (sin3x-8,2 )′=3cos3x , ... в общем виде можно записать: (sin3x+С )′=3cos3x , где С — некоторая постоянная величина. Эти примеры говорят о неоднозначности действия интегрирования, в отличие от действия дифференцирования, когда у любой дифференцируемой функции существует единственная производная.

Определение. Если функция F (x) является первообразной для функции f (x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид:

F (x)+C , где С — любое действительное число.

Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом ∫ (знак интеграла). Записывают: ∫f (x) dx=F (x)+C .

Выражение ∫f (x) dx читают: «интеграл эф от икс по дэ икс».

f (x) dx — подынтегральное выражение,

f (x) — подынтегральная функция,

х — переменная интегрирования.

F (x) — первообразная для функции f (x) ,

С — некоторая постоянная величина.

Теперь рассмотренные примеры можно записать так:

1) ∫ 2хdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Что же означает знак d?

d — знак дифференциала — имеет двойное назначение: во-первых, этот знак отделяет подынтегральную функцию от переменной интегрирования; во-вторых, все, что стоит после этого знака диференцируется по умолчанию и умножается на подынтегральную функцию.

Примеры. Найти интегралы: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) После значка дифференциала d стоит х х , а р

∫ 2хрdx=рх²+С. Сравните с примером 1).

Сделаем проверку. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) После значка дифференциала d стоит р . Значит, переменная интегрирования р , а множитель х следует считать некоторой постоянной величиной.

∫ 2хрdр=р²х+С. Сравните с примерами 1) и 3).

Сделаем проверку. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Страница 1 из 1 1

Интегральное исчисление.

Первообразная функция.

Определение: ФункцияF(x) называетсяпервообразной функцией функцииf(x) на отрезке , если в любой точке этого отрезка верно равенство:

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F 1 (x) =F 2 (x) +C.

Неопределенный интеграл.

Определение: Неопределенным интегралом функцииf(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

Пример:

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

Интеграл	Значение	Интеграл	Значение

	lnsinx+ C



	ln

Методы интегрирования.

Рассмотрим три основных метода интегрирования.

Непосредственное интегрирование.

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования
можно сделать вывод, что искомый интеграл равен
, где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны
. Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

Способ подстановки (замены переменных).

Теорема: Если требуется найти интеграл
, но сложно отыскать первообразную, то с помощью заменыx=(t) иdx=(t)dtполучается:

Доказательство : Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:

f (x ) dx = f [  (t )]  (t ) dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

Пример. Найти неопределенный интеграл
.

Сделаем замену t = sinx , dt = cosxdt .

Пример.

Замена
Получаем:

Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv)=uv+vu

где uиv– некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) =udv+vdu

Проинтегрировав, получаем:
, а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

или
;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Пример.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Пример.

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.

Пример.

Интегрирование элементарных дробей.

Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

I.
III.

II.
IV.

m,n– натуральные числа (m2,n2) иb 2 – 4ac<0.

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t=ax+b.

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.

Интеграл дроби вида IIIможет быть представлен в виде:

Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида IIIк двум табличным интегралам.

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

Пример.

Вообще говоря, если у трехчлена ax 2 +bx+cвыражениеb 2 – 4ac>0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

Пример .

Пример.

Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IVтипа.

Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N= 1.

Тогда интеграл вида
можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить в виде
. Сделаем следующее преобразование:

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

Обозначим:

Для исходного интеграла получаем:

Полученная формула называетсярекуррентной. Если применить ееn-1 раз, то получится табличный интеграл
.

Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IVв общем случае.

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u 2 + s приводится к табличному, а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степеньюn , а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

Пример :

Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование рациональных дробей.

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Теорема: Если
- правильная рациональная дробь, знаменательP(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде:P (x ) = (x - a )  …(x - b )  (x 2 + px + q )  …(x 2 + rx + s )  ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где A i ,B i ,M i ,N i ,R i ,S i – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величинA i ,B i ,M i ,N i ,R i ,S i применяют так называемыйметод неопределенных коэффициентов , суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Пример.

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

Пример.

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x– 7 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 – 12x 2 – 51x +18

20x 2 – 25x – 25

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:

3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6x- 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x- 2

Таким образом 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6 = (x– 3)(3x 2 + 5x– 2) = (x– 3)(x+ 2)(3x– 1). Тогда:

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемыйметод произвольных значений . Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

Окончательно получаем:

Пример.

Найдем неопределенные коэффициенты:

Тогда значение заданного интеграла:

Интегрирование некоторых тригонометрических

функций.

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интеграл вида
.

Здесь R– обозначение некоторой рациональной функции от переменныхsinxиcosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки
. Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

Тогда

Таким образом:

Описанное выше преобразование называетсяуниверсальной тригонометрической подстановкой.

Пример.

Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

Пример.

Интеграл вида
если

функция R cosx .

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx .

Функция
может содержатьcosxтолько в четных степенях, а, следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительноsinx.

Пример.

Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

Интеграл вида
если

функция R является нечетной относительно sinx .

По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx .

Пример.

Интеграл вида

функция R четная относительно sinx и cosx .

Для преобразования функции Rв рациональную используется подстановка

t = tgx.

Пример.

Интеграл произведения синусов и косинусов

различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

Пример.

Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.

Пример.

Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.

Пример.

Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

Интеграл вида
где n - натуральное число.

С помощью подстановки
функция рационализируется.

Пример.

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Проиллюстрируем это на примере.

Пример.

Интегрирование биноминальных дифференциалов.

Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение

x m (a + bx n ) p dx

где m , n , иp – рациональные числа.

Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки

, где- общий знаменательm иn .

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a; b), если f(x) для всех x (a; b) выполняется равенство F (x) = f(x). 2

Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f(x) на (a; b), то F(x) + C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a; b). Доказательство: (F + C) = F + C = f + 0 = f 3

Докажем две вспомогательные теоремы: Если функция g(x) постоянна на (a; b), то g (x) = 0. Если g (x) = 0 при всех x (a; b), то g(x) = C на (a; b). 4

Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a; b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a; b), то G = F + C, где C – число. 5

Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a; b) называется неопределенным интегралом и обозначается интегралом f(x)dx. dx Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием 6

Если функция f(x) непрерывна, а функция (t) имеет непрерывную производную (t), то имеет место формула: f((t)) (t) dt = f(x) dx, где x = (t). 8

Пусть u(x) и v(x) - дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда (uv) = u v + v u Отсюда следует (uv) dx = (u v + v u)dx = = u v dx + v u dx или uv dx = uv – u v dx. 10

Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям: интегрирования по частям u(x)dv(x) = u(x) v(x) – v(x)du(x) 11

Определенным интегралом от функции по промежутку называется предел, к которому стремится интегральная сумма при этом процессе, если предел существует: 13

Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b верхним интегрирования пределом интегрирования На рисунке 2 криволинейная трапеция выделена штриховкой. Площадь S этой трапеции определяется формулой 14

Пусть функция f(t) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число определив тем самым на промежутке функцию I(x), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом 17

Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x. 18

Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на полубесконечном промежутке }