Мы определили сложение, умножение, вычитание и деление целых чисел. Эти действия (операции) обладают рядом характерных результатов, которые называются свойствами. В этой статье мы рассмотрим основные свойства сложения и умножения целых чисел, из которых следуют все остальные свойства этих действий, а также свойства вычитания и деления целых чисел.
Навигация по странице.
Для сложения целых чисел характерны еще несколько очень важных свойств.
Одно из них связано с существованием нуля. Это свойство сложения целых чисел утверждает, что прибавление к любому целому числу нуля не изменяет это число . Запишем данное свойство сложения с помощью букв: a+0=a и 0+a=a (это равенство справедливо в силу переместительного свойства сложения), a – любое целое число. Можно услышать, что целое число нуль называют нейтральным элементом по сложению. Приведем пару примеров. Сумма целого числа −78 и нуля равна −78 ; если к нулю прибавить целое положительное число 999 , то в результате получим число 999 .
Сейчас мы дадим формулировку еще одного свойства сложения целых чисел, которое связано с существованием противоположного числа для любого целого числа. Сумма любого целого числа с противоположным ему числом равна нулю . Приведем буквенную форму записи этого свойства: a+(−a)=0 , где a и −a – противоположные целые числа. Например, сумма 901+(−901) равна нулю; аналогично сумма противоположных целых чисел −97 и 97 равна нулю.
Основные свойства умножения целых чисел
Умножению целых чисел присущи все свойства умножения натуральных чисел . Перечислим основные из этих свойств.
Также как нуль является нейтральным целым числом относительно сложения, единица является нейтральным целым числом относительно умножения целых чисел. То есть, умножение любого целого числа на единицу не изменяет умножаемое число . Так 1·a=a , где a – любое целое число. Последнее равенство можно переписать в виде a·1=a , это нам позволяет сделать переместительное свойство умножения. Приведем два примера. Произведение целого числа 556 на 1 равно 556 ; произведение единицы и целого отрицательного числа −78 равно −78 .
Следующее свойство умножения целых чисел связано с умножением на нуль. Результат умножения любого целого числа a на нуль равен нулю , то есть, a·0=0 . Также справедливо равенство 0·a=0 в силу переместительного свойства умножения целых чисел. В частном случае при a=0 произведение нуля на нуль равно нулю.
Для умножения целых чисел также справедливо свойство, обратное к предыдущему. Оно утверждает, что произведение двух целых чисел равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю . В буквенном виде это свойство можно записать так: a·b=0 , если либо a=0 , либо b=0 , либо и a и b равны нулю одновременно.
Распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения
Совместно сложение и умножение целых чисел нам позволяет рассматривать распределительное свойство умножения относительно сложения, которое связывает два указанных действия. Использование сложения и умножения совместно открывает дополнительные возможности, которых мы были бы лишены, рассматривая сложение отдельно от умножения.
Итак, распределительное свойство умножения относительно сложения гласит, что произведение целого числа a на сумму двух целых чисел a и b равно сумме произведений a·b и a·c , то есть, a·(b+c)=a·b+a·c . Это же свойство можно записать в другом виде: (a+b)·c=a·c+b·c .
Распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения вместе с сочетательным свойством сложения позволяют определить умножение целого числа на сумму трех и большего количества целых чисел, а далее – и умножение суммы целых чисел на сумму.
Также заметим, что все остальные свойства сложения и умножения целых чисел могут быть получены из указанных нами свойств, то есть, они являются следствиями указанных выше свойств.
Свойства вычитания целых чисел
Из полученного равенства, а также из свойств сложения и умножения целых чисел вытекают следующие свойства вычитания целых чисел (a , b и c – произвольные целые числа):
- Вычитание целых чисел в общем случае НЕ обладает переместительным свойством: a−b≠b−a .
- Разность равных целых чисел равна нулю: a−a=0 .
- Свойство вычитания суммы двух целых чисел из данного целого числа: a−(b+c)=(a−b)−c .
- Свойство вычитания целого числа из суммы двух целых чисел: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
- Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b−c)=a·b−a·c и (a−b)·c=a·c−b·c .
- И все другие свойства вычитания целых чисел.
Свойства деления целых чисел
Рассуждая о смысле деления целых чисел , мы выяснили, что деление целых чисел – это действие, обратное умножению. Мы дали такое определение: деление целых чисел – это нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному множителю. То есть, целое число c мы называем частным от деления целого числа a на целое число b , когда произведение c·b равно a .
Данное определение, а также все рассмотренные выше свойства операций над целыми числами позволяют установить справедливость следующих свойств деления целых чисел:
- Никакое целое число нельзя делить на нуль.
- Свойство деления нуля на произвольное целое число a , отличное от нуля: 0:a=0 .
- Свойство деления равных целых чисел: a:a=1 , где a – любое целое число, отличное от нуля.
- Свойство деления произвольного целого числа a на единицу: a:1=a .
- В общем случае деление целых чисел НЕ обладает переместительным свойством: a:b≠b:a .
- Свойства деления суммы и разности двух целых чисел на целое число: (a+b):c=a:c+b:c и (a−b):c=a:c−b:c , где a , b , и c такие целые числа, что и a и b делится на c , и c отлично от нуля.
- Свойство деления произведения двух целых чисел a и b на целое число c , отличное от нуля: (a·b):c=(a:c)·b , если a делится на c ; (a·b):c=a·(b:c) , если b делится на c ; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) , если и a и b делятся на c .
- Свойство деления целого числа a на произведение двух целых чисел b и c (числа a , b и c такие, что деление a на b·c возможно): a:(b·c)=(a:b)·c=(a:c)·b .
- Любые другие свойства деления целых чисел.
Рассмотрим пример, подтверждающий справедливость переместительного свойства умножения двух натуральных чисел. Отталкиваясь от смысла умножения двух натуральных чисел , вычислим произведение чисел 2 и 6 , а также произведение чисел 6 и 2 , и проверим равенство результатов умножения. Произведение чисел 6 и 2 равно сумме 6+6 , из таблицы сложения находим 6+6=12 . А произведение чисел 2 и 6 равно сумме 2+2+2+2+2+2 , которая равна 12 (при необходимости смотрите материал статьи сложение трех и большего количества чисел). Следовательно, 6·2=2·6 .
Приведем рисунок, иллюстрирующий переместительное свойство умножения двух натуральных чисел.
Сочетательное свойство умножения натуральных чисел.
Озвучим сочетательное свойство умножения натуральных чисел: умножить данное число на данное произведение двух чисел – это то же самое, что умножить данное число на первый множитель, и полученный результат умножить на второй множитель . То есть, a·(b·c)=(a·b)·c , где a , b и c могут быть любыми натуральными числами (в круглые скобки заключены выражения, значения которых вычисляются в первую очередь).
Приведем пример для подтверждения сочетательного свойства умножения натуральных чисел. Вычислим произведение 4·(3·2) . По смыслу умножения имеем 3·2=3+3=6 , тогда 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24 . А теперь выполним умножение (4·3)·2 . Так как 4·3=4+4+4=12 , то (4·3)·2=12·2=12+12=24 . Таким образом, справедливо равенство 4·(3·2)=(4·3)·2 , подтверждающее справедливость рассматриваемого свойства.
Покажем рисунок, иллюстрирующий сочетательное свойство умножения натуральных чисел.
В заключении этого пункта отметим, что сочетательное свойство умножения позволяет однозначно определить умножение трех и большего количества натуральных чисел .
Распределительное свойство умножения относительно сложения.
Следующее свойство связывает сложение и умножение. Оно формулируется так: умножить данную сумму двух чисел на данное число – это то же самое, что сложить произведение первого слагаемого и данного числа с произведением второго слагаемого и данного числа . Это так называемое распределительное свойство умножения относительно сложения.
С помощью букв распределительное свойство умножения относительно сложения записывается как (a+b)·c=a·c+b·c (в выражении a·c+b·c сначала выполняется умножение, после чего – сложение, подробнее об этом написано в статье ), где a , b и c – произвольные натуральные числа. Отметим, что силу переместительного свойства умножения, распределительное свойство умножения можно записать в следующем виде: a·(b+c)=a·b+a·c .
Приведем пример, подтверждающий распределительное свойство умножения натуральных чисел. Проверим справедливость равенства (3+4)·2=3·2+4·2 . Имеем (3+4)·2=7·2=7+7=14 , а 3·2+4·2=(3+3)+(4+4)=6+8=14 , следовательно, равенство (3+4)·2=3·2+4·2 верно.
Покажем рисунок, соответствующий распределительному свойству умножения относительно сложения.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания.
Если придерживаться смысла умножения, то произведение 0·n
, где n
– произвольное натуральное число, большее единицы, представляет собой сумму n
слагаемых, каждое из которых равно нулю. Таким образом, 
. Свойства сложения позволяют нам утверждать, что последняя сумма равна нулю.
Таким образом, для любого натурального числа n выполняется равенство 0·n=0 .
Чтобы оставалось справедливым переместительное свойство умножения примем также справедливость равенства n·0=0 для любого натурального числа n .
Итак, произведение нуля и натурального числа равно нулю , то есть 0·n=0 и n·0=0 , где n – произвольное натуральное число. Последнее утверждение представляет собой формулировку свойства умножения натурального числа и нуля.
В заключении приведем пару примеров, связанных с разобранным в этом пункте свойством умножения. Произведение чисел 45 и 0 равно нулю. Если умножить 0 на 45 970 , то тоже получим нуль.
Теперь можно смело начинать изучение правил, по которым проводится умножение натуральных чисел .
Список литературы.
- Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
- Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.
(4 урока, №113–135)
Урок 1 (113–118)
Цель – познакомить учащихся с сочетательным свой_
ством умножения.
На первом уроке полезно вспомнить, какие свойства
арифметических действий уже известны детям. Для этого
ражений, при выполнении которых школьники будут
пользоваться тем или иным свойством. Например, можно
ли утверждать, что значения выражений в данном столби_
ке одинаковы:
875 + (78 + 284)
(875 + 78) + 284
875 + (284 + 78)
(875 + 284) + 78
Имеет смысл предложить выражения, значения кото_
рых дети вычислить не могут, в этом случае они будут вы_
нуждены сделать вывод на основе рассуждений.
Сравнивая, например, первое и второе выражения, они
отмечают их сходство и различие; вспоминают сочетатель_
ное свойство сложения (два соседних слагаемых можно
заменить их суммой), откуда следует, что значения выра_
жений будут одинаковыми. Третье выражение целесооб_
разно сравнить с первым и, используя переместительное
свойство сложения, сделать вывод. Четвертое выражение
можно сравнить со вторым.
– Какие же свойства сложения применимы для вычис_
ления значений данных выражений? (Переместительное
и сочетательное.)
– Какими свойствами обладает умножение?
Ребята вспоминают, что им известно переместительное
свойство умножения. (Оно находит отражение на с. 34 учеб_
ника «Постарайся запомнить!»)
– Сегодня на уроке мы познакомимся еще с одним свой_
ством умножения!
На доске рисунок, данный в задании 113 . Учитель
ратов различными способами. Предложения детей обсуж_
даются. Если возникают трудности, то можно обратиться
к анализу способов, предложенных Мишей и Машей.
(6 · 4) · 2: в одном прямоугольнике 6 квадратов, умно_
жая 6 на 4, Маша узнает, сколько квадратиков содержат
прямоугольники в одном ряду. Умножая полученный ре_
зультат на 2, она выясняет, сколько квадратиков содержат
прямоугольники в двух рядах, т. е. сколько всего малень_
ких квадратиков на рисунке.
Затем обсуждаем способ Миши: 6 · (4 · 2). Сначала вы_
полняем действие в скобках – 4 · 2, т. е. узнаем, сколько
всего прямоугольников в двух рядах. В одном прямоуголь_
нике 6 квадратиков. Умножив 6 на полученный результат,
отвечаем на поставленный вопрос. Таким образом, и то, и
другое выражение обозначает, сколько всего маленьких
квадратиков на рисунке.
Значит, (6 · 4) · 2 = 6 · (4 · 2).
Аналогичная работа проводится с заданием 114 . Пос_
ле этого дети знакомятся с формулировкой сочетательного
свойства умножения и сравнивают ее с формулировкой
сочетательного свойства сложения.
Цель заданий 115–117 – выяснить, понятна ли детям
формулировка сочетательного свойства умножения.
При выполнении задания 116 рекомендуем использо_
вать калькулятор. Это позволит учащимся повторить ну_
мерацию трехзначных чисел.
Задачу 118 лучше решить на уроке.
Если дети будут затрудняться в самостоятельном реше_
нии задачи 118 , то учитель может использовать прием об_
суждения готовых решений или объяснения выражений,
записанных по условию данной задачи. Например:
10 · 5 8 · 10 8 · 5
(8 · 10) · 5 8 · (10 · 5)
(2_й столбец), а также задания 48, 54, 55 ТПО № 1.
Урок 2 (119–125)
Цель
умножения при вычислениях; вывести правило умноже_
ния числа на 10.
Работа с заданием 119 организуется в соответствии с
данными в учебнике указаниями:
а) дети используют переместительное свойство умноже_
ния, переставляя множители в произведении 4 · 10 = 10 · 4,
находят значение произведения 10 · 4, складывая десятки.
В тетрадях выполняются записи:
4 · 10 = 40;
6 · 10 = 60 и т. д.
б) дети действуют так же, как при выполнении зада_
ния а). В тетрадях записывают те равенства, которых нет
в задании а): 5 · 10 = 50; 7 · 10 = 70; 9 · 10 = 90;
в) анализируют и сравнивают записанные равенства,
делают вывод (при умножении числа на 10 надо приписать
к первому множителю нуль и полученное число записать в
результате);
г) проверяют сформулированное правило на калькуля_
торе.
Применение сочетательного свойства умножения и пра_
вила умножения на 10 позволяет учащимся умножать
«круглые» десятки на однозначное число, используя на_
выки табличного умножения (90 · 3, 70 · 4 и т. д.).
С этой целью выполняются задания 120, 121, 123, 124.
При выполнении задания 120 дети сначала расставля_
ют карандашом скобки в учебнике, а затем комментируют
свои действия. Например: (5 · 7) · 10 = 35 · 10 – здесь произ_
ведение первого и второго множителей заменили его зна_
чением. Полезно сразу выяснить, чему равно значение про_
изведения 35 · 10; 5 · (7 · 10) = 5 · 70 – здесь произведение
второго и третьего множителей заменили его значением.
При вычислении значения произведения 5 · 70 дети
могут рассуждать так: воспользуемся переместительным
свойством умножения – 5 · 70 = 70 · 5. Теперь 7 дес. можно
повторить 5 раз, получим 35 дес.; это число 350.
При объяснении некоторых равенств в задании 121
школьники сначала пользуются переместительным свой_
ством умножения, а затем – сочетательным. Например:
4 · 6 · 10 = 40 · 6
(4 · 10) · 6 = 40 · 6
каждом равенстве слева и справа.
Вычисляя значения выражений, записанных слева,
ребята обращаются к таблице умножения и затем увели_
чивают полученный результат в 10 раз:
(4 · 6) · 10 = 24 · 10
В задании 123 полезно рассмотреть различные спосо_
бы обоснования ответа. Например, можно во втором выра_
жении заменить произведение его значением, и мы полу_
чим первое выражение:
4 · (7 · 10) = 4 · 70
В третьем выражении нужно в этом случае сначала
воспользоваться сочетательным свойством умножения:
(4 · 7) · 10 = 4 · (7 · 10), а затем заменить произведение его
значением.
Но можно поступить по_другому, ориентируясь не на
первое, а на второе выражение. В этом случае число 70 в пер_
вом выражении нужно представить в виде произведения:
4 · 70 = 4 · (7 · 10)
А в третьем выражении воспользоваться для преобра_
зования сочетательным свойством:
(4 · 7) ·10 = 4 · (7 ·10)
Организуя обсуждение различных способов действий
в задании 123 , учитель может ориентироваться на диалог
Миши и Маши, который приведен в задании 124 .
тям обозначить на схеме известные и неизвестные вели_
чины. В итоге схема имеет вид:
Для вычислительных упражнений на уроке рекомен_
дуем задание 125, а также задания 59, 60 из ТПО № 1 .
Урок 3 (126– 132)
Цель – учиться применять сочетательное свойство
умножения для вычислений, совершенствовать умение
решать задачи.
Задание 126 выполняется устно. Его цель – совершен_
ствование вычислительных навыков и умения применять
сочетательное свойство умножения. Например, сравнивая
выражения а) 45 · 10 и 9 · 50, учащиеся рассуждают: число
45 можно представить в виде произведения 9 · 5, а затем
произведение чисел 5 · 10 заменить его значением.
Задание 128 также относится к вычислительным
упражнениям, где необходимо активное использование
анализа и синтеза, сравнения, обобщения. Формулируя пра_
вило построения каждого ряда, большинство детей исполь_
зуют понятие «увеличить на…». Например: для ряда – 6,
12, 18, ... – «каждое следующее число увеличивается на 6»;
для ряда – 4, 8, 12, ... – «каждое следующее число увели_
чивается на 4» и т. д.
Но возможен и такой вариант: «Для получения вто_
рого числа в каждом ряду первое число ряда увеличили
в 2 раза, для получения третьего числа в ряду первое
число ряда увеличили в 3 раза, четвертого – в 4 раза,
пятого – в 5 раз и т. д.
Выстраивая ряды по этому правилу, ученики факти_
чески повторяют все случаи табличного умножения.
чтения учащиеся могут либо самостоятельно нарисовать
схему, либо «оживить» ту схему, которую учитель заранее
изобразит на доске.
Решение задачи дети запишут в тетрадь самостоятельно.
В случае затруднений при решении задачи 129 реко_
мендуем использовать прием обсуждения готовых реше_
ний или объяснения выражений, записанных по условию
данной задачи:
10 · 3 3 · 4 10 · 4 (10 · 3) · 4 10 · (3 · 4)
Задачу 133 также желательно обсудить на уроке.
(1) 14 + 7 = 21 (д.) 2) 21 · 2 = 42 (д.))
задания 61, 62 ТПО № 1 .
Урок 4 (134–135)
Цель – проверить усвоение навыков табличного умно_
жения и умения решать задачи.
134, 135 .
Цель задания 134 – обобщить знания детей о таблице
умножения, которую можно представить в виде таблицы
Пифагора. Поэтому после того, как задание будет выпол_
нено, полезно выяснить:
а) В какие клетки таблицы можно вставить одинако_
вые числа и почему? (Эти клетки находятся в нижней стро_
ке и в правом столбике, что обусловлено переместительным
свойством умножения.)
б) Можно ли, не выполняя вычислений, сказать, на
сколько следующее число больше предыдущего в каждой
строке (столбце) таблицы? (В верхней (первой) строке –
на 1, во второй – на 2, в третьей – на 3 и т. д.) Это обуслов_
лено определением: «умножение – это сложение одина_
ковых слагаемых».
Следует также обратить внимание учащихся на то, что
вся таблица содержит 81 клетку. Это соответствует числу,
которое должно быть записано в ее нижней правой клетке.
Для проверки знаний, умений и навыков учащихся
Шмырева Г.Г. Контрольные работы. 3 класс. – Смоленск,
Ассоциация XXI век, 2004.
Начертим на листке в клетку прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см. Разобьем его на квадраты со стороной 1 см (рис. 143 ). Подсчитаем количество клеток, расположенных в прямоугольнике. Это можно сделать, например, так.
Количество квадратов со стороной 1 см равно 5 * 3 . Каждый такой квадрат состоит из четырех клеток. Поэтому общее число клеток равно (5 * 3 ) * 4 .
Эту же задачу можно решить иначе. Каждый из пять столбцов прямоугольника состоит из трех квадратов со стороной 1 см. Поэтому в одном столбце содержится 3 * 4 клеток. Следовательно, всего клеток будет 5 * (3 * 4 ).
Подсчет клеток на рисунке 143 двумя способами иллюстрирует сочетательное свойство умножения для чисел 5, 3 и 4 . Имеем: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 ).
Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.
(ab)c = a(bc)
Из переместительного и сочетательно свойств умножения следует, что при умножении нескольких чисел множители можно менять местами и заключать в скобки, тем самым определяя порядок вычислений .
Например, верны равенства:
abc = cba,
17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).
На рисунке 144 отрезок AB делит рассмотренный выше прямоугольник на прямоугольник и квадрат.
Подсчитаем количество квадратов со стороной 1 см двумя способами.
С одной стороны, в образовавшемся квадрате их содержится 3 * 3, а в прямоугольнике − 3 * 2 . Всего получим 3 * 3 + 3 * 2 квадратов. С другой стороны, в каждой из трех строчек данного прямоугольника находится 3 + 2 квадрата. Тогда их общее количество равно 3 * (3 + 2 ).
Равенсто 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 иллюстрирует распределительное свойство умножения относительно сложения .
Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
В буквенном виде это свойство записывают так:
a(b + c) = ab + ac
Из распределительного свойства умножения относительно сложения следует, что
ab + ac = a(b + c).
Это равенство позволяет формулу P = 2 a + 2 b для нахождения периметра прямоугольника записать в таком виде:
P = 2 (a + b).
Заметим, что распределительное свойство справедливо для трех и более слагаемых. Например:
a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.
Также справедливо распределительное свойство умножения относительно вычитания: если b > c или b = c, то
a(b − c) = ab − ac
Пример 1 . Вычислите удобным способом:
1 ) 25 * 867 * 4 ;
2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .
1 ) Используем переместительное, а затме сочетательное свойства умножения:
25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .
2 ) Имеем:
329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .
Пример 2 . Упростите выражение:
1 ) 4 a * 3 b;
2 ) 18 m − 13 m.
1 ) Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, получаем:
4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.
2 ) Используя распределительное свойство умножения относительно вычитания, получаем:
18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.
Пример 3 . Запишите выражение 5 (2 m + 7 ) так, чтобы оно не содержало скобок.
Согласно распределительному свойству умножения относительно сложения имеем:
5 (2 m + 7 ) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35 .
Такое преобразование называют раскрытием скобок .
Пример 4 . Вычислите удобным способом значение выражения 125 * 24 * 283 .
Решение. Имеем:
125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .
Пример 5 . Выполните умножение: 3 сут 18 ч * 6 .
Решение. Имеем:
3 сут 18 ч * 6 = 18 сут 108 ч = 22 сут 12 ч.
При решении примера было использовано распределительное свойство умножения относительно сложения:
3 сут 18 ч * 6 = (3 сут + 18 ч) * 6 = 3 сут * 6 + 18 ч * 6 = 18 сут + 108 ч = 18 сут + 96 ч + 12 ч = 18 сут + 4 сут + 12 ч = 22 сут 12 ч.