Понятие монотонности функции. Монотонность функций

Числовое множество X считается симметричным относительно нуля, если для любого x ЄX значение -х также принадлежит множеству X .

Функция y = f (х X , считается четной X x ЄX , f (х ) = f (-х ).

У четной функции график симметричен относительно оси Оу.

Функция y = f (х ), которая задана на множестве X , считается нечетной , если выполняются следующие условия: а) множество X симметрично относительно нуля; б) для любого x ЄX , f (х ) = -f (-х ).

У нечетной функции график симметричен относительно начала координат.

Функция у = f (x ), x ЄX , называется периодической на X , если найдется число Т (Т ≠ 0) (период функции), что выполняются следующие условия:

  • х - Т и х + Т из множества X для любого х ЄX ;
  • для любого х ЄX , f (х + T ) = f (х - T ) = f (х).

В случае, когда Т - это период функции, то любое число вида mТ , где m ЄZ , m ≠ 0, это также период этой функции. Наименьший из положительных периодов данной функции (если он существует) называется ее главным периодом.

В случае, когда Т - основной период функции, то для построения ее графика можно построить часть графика на любом из промежутков области определения длины Т , а затем сделать параллельный перенос этого участка графика вдоль оси Ох на ±Т , ±2T , ....

Функция y = f (х ), ограниченна снизу на множестве Х А , что для любого х ЄX , А ≤ f (х ). График функции, который ограничен снизу на множестве X , полностью располагается выше прямой у = А (это горизонтальная прямая).

Функция у = f (x ), ограниченна сверху на множестве Х (она при этом должна быть определенной на этом множестве), если есть число В , что для любого х ЄX , f (х ) ≤ В . График функции, который ограничен сверху на множестве X, полностью располагается ниже прямой у = В (это горизонтальная линия).

Функция, считается ограниченной на множестве Х (она при этом должна быть определенной на этом множестве), если она ограничена на этом множестве сверху и снизу, т. е. существуют такие числа А и В , что для любого х ЄX выполняются неравенства A ≤ f (x ) ≤ B . График функции, которая ограничена на множестве X , полностью располагается в промежутке между прямыми у = А и у = В (это горизонтальные прямые).

Функция у = f (х ), считается ограниченной на множестве Х (она при этом должна быть определенной на этом множестве), если найдется число С > 0, что для любого x ЄX , │f (х )│≤ С .

Функция у = f (х ), х ЄX , называется возрастающей (неубывающей) на подмножестве М СX , когда для каждых х 1 и х 2 из М таких, что х 1 < х 2 , справедливо f (х 1) < f (х 2) (f (х 1) ≤ f (х 2)). Или функция у называется возрастающей на множестве К , если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции.

Функция у = f (х ), х ЄX, называется убывающей (невозрастающей) на подмножестве М СX , когда для каждых х 1 и х 2 из М таких, что х 1 < х 2 , справедливо f (х 1) > f (х 2) (f (х 1) ≥ f (х 2)). Или функция у называется убывающей на множестве К , если большему значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значение функции.

Функция у = f (x ), х ЄX , называется монотонной на подмножестве М СX , если она является убывающей (невозрастающей) или возрастающей (неубывающей) на М .

Если функция у = f (х ), х ЄX , является убывающей или возрастающей на подмножестве М СX , то такая функция называется строго монотонной на множестве М .

Число М называют наибольшим значением функции у на множестве К , если это число является значением функции при определенном значении х 0 аргумента из множества К , а при других значениях аргумента из множества К значения функции у не больше числа М .

Число m называют наименьшим значением функции у на множестве К , если это число является значением функции при определенном значении х 0 аргумента из множества К , а при других значениях аргумента х из множества К значения функции у не меньше числа m .

Основные свойства функции , с которых лучше начинать ее изучение и исследование это область ее определения и значения. Следует запомнить, как изображаются графики элементарных функций. Только потом можно переходить к построению более сложных графиков. Тема "Функции" имеет широкие приложения в экономике и других областях знания. Функции изучают на протяжении всего курса математики и продолжают изучать в высших учебных заведениях . Там функции исследуются при помощи первой и второй производных.

Которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной . Монотонная функция - это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Определения

Пусть дана функция Тогда

. . . .

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Другая терминология

Иногда возрастающие функции называют неубыва́ющими , а убывающие функции невозраста́ющими . Строго возрастающие функции тогда зовут просто возрастающими, а строго убывающие просто убывающими.

Свойства монотонных функций

Условия монотонности функции

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль . Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале Точнее имеет место

Аналогично, строго убывает на интервале тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Примеры

См. также


Wikimedia Foundation . 2010 .

  • Слюна
  • Горьковская железная дорога

Смотреть что такое "Монотонная функция" в других словарях:

    Монотонная функция - — функция f(x), которая может быть либо возрастающей на некотором промежутке (то есть, чем больше любое значение аргумента на этом промежутке, тем больше значение функции), либо убывающей (в противоположном случае).… …

    МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ - функция, которая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или хотя бы не убывает), либо всегда убывает (не возрастает) … Большой Энциклопедический словарь

    МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ - (monotonie function) Функция, в которой по мере роста значения аргумента значение функции всегда изменяется в том же направлении. Следовательно, если у=f(x), то либо dy/dx > 0 для всех значений х, и в этом случае у является возрастающей… … Экономический словарь

    Монотонная функция - (от греч. monótonos однотонный) функция, приращения которой Δf(x) = f(x’) f(x) при Δx = x’ x > 0 не меняют знака, т. е. либо всегда неотрицательны, либо всегда неположительны. Выражаясь не совсем точно, М. ф. это функции, меняющиеся в… … Большая советская энциклопедия

    монотонная функция - функция, которая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или хотя бы не убывает), либо всегда убывает (не возрастает). * * * МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ, функция, которая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или… … Энциклопедический словарь

    МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ - функция одного переменного, определенная на нек ром подмножестве действительных чисел, приращение к рой при не меняет знака, т. е. либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если строго больше (меньше) нуля, когда то М. ф. наз.… … Математическая энциклопедия

    МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ - функция, к рая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или хотя бы не убывает), либо всегда убывает (не возрастает) … Естествознание. Энциклопедический словарь

    Монотонная последовательность - это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств.… … Википедия

    функция - Команда или группа людей, а также инструментарий или другие ресурсы, которые они используют для выполнения одного или нескольких процессов или деятельности. Например, служба поддержки пользователей. Этот термин также имеет другое значение:… … Справочник технического переводчика

    Функция - 1. Зависимая переменная величина; 2. Соответствие y=f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение… … Экономико-математический словарь

Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале (a;b) , если для любых x 1 и x 2 x 1 , справедливо f(x 1) Например, функции y=a x , y=log a x при a>1, y=arctg x, y=arcsin x, (nÎN) возрастают на всей своей области определения.

График возрастающей функции

· Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a;b), если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 , справедливо f(x 1)>f(x 2). Например, функции y=a x , y=log a x при 0<a<1, y=arcctg x, y=arccos x убывают на всей своей области определения.

График убывающей функции

· Убывающие и возрастающие функции вместе образуют класс монотонных функций. Монотонные функции обладают рядом специальных свойств.

Функция f(х), монотонная на отрезке [а,b ], ограничена на этом отрезке;

· сумма возрастающих (убывающих) функций является возрастающей (убывающей) функцией;

· если функция f возрастает (убывает) и n – нечетное число, то также возрастает (убывает);

· если f"(x)>0 для всех xÎ(a,b), то функция y=f(x) является возрастающей на интервале (a,b);

· если f"(x)<0 для всех xÎ(a,b), то функция y=f(x) является убывающей на интервале (a,b);

· если f(x) – непрерывная и монотонная функция на множестве Х , то уравнение f(x)=C , где С – данная константа, может иметь на Х не более одного решения;

· если на области определения уравнения f(x)=g(x) функция f(x) возрастает, а функция g(x) убывает, то уравнение не может иметь более одного решения.

Теорема. (достаточное условие монотонности функции). Если непрерывная на отрезке [а, b ] функция у = f (х ) в каждой точке интервала (а, b ) имеет положи­тельную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b ].

Доказательство. Пусть >0 для всех хÎ (а,b ). Рассмотрим два произвольных значения x 2 > x 1 , принадлежащих [а, b ]. По формуле Лагранжа х 1 <с < х 2 . (с ) > 0 и х 2 – х 1 > 0, поэтому >0, откуда > , то есть функция f(х) возрастает на отрезке [а, b ]. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Теорема 3. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке c функция у = f (х ) имеет в этой точке экстремум, то .

Доказательство. Пусть, например, функция у = f (х ) имеет в точке c максимум. Это означает, что существует такая проколотая окрестность точки c, что для всех точек x этой окрестности выполняется f (x ) < f (c ), то есть f (c ) – наибольшее зна­чение функции в этой окрестности. Тогда по теореме Ферма .

Аналогично доказывается случай минимума в точке c.

Замечание. Функция может иметь экстремум в точке, в которой ее производная не существует. Например, функция имеет минимум в точке x = 0, хотя не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю или не сущест­вует, называются критическими точками функции. Однако не во всех критиче­ских точках функция имеет экстремум. Например, функция у = x 3 не имеет экс­тремумов, хотя ее производная =0.

Теорема 4. (достаточный признак существования экстремума). Если непрерывная функция у = f (x ) имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку С (за исключением, может быть, самой этой точки), и если производная при переходе аргумента слева направо через критическую точку С меняет знак с плюса на минус, то функция в точке С имеет максимум, а при перемене знака с минуса на плюс – минимум.

Доказательство. Пусть c – критическая точка и пусть, например, при переходе аргумента через точку c меняет знак с плюса на минус. Это означает, что на некотором интервале(c–e; c) функция возрастает, а на интервале (c; c+e) – убывает (при e >0). Следовательно, в точке с функция имеет максимум. Аналогично доказывается случай минимума.

Замечание. Если производная не меняет знака при переходе аргумента через критическую точку, то функция в этой точке не имеет экстремума.

Так как определения предела и непрерывности для функции нескольких переменных практически совпадает с соответствующими определениями для функции одной переменной, то для функций нескольких переменных сохраняются все свойства пределов и непрерывных функций


©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-12

возрастающей на промежутке \(X\) , если для любых \(x_1, x_2\in X\) , таких что \(x_1

Функция называется неубывающей

\(\blacktriangleright\) Функция \(f(x)\) называется убывающей на промежутке \(X\) , если для любых \(x_1, x_2\in X\) , таких что \(x_1f(x_2)\) .

Функция называется невозрастающей на промежутке \(X\) , если для любых \(x_1, x_2\in X\) , таких что \(x_1

\(\blacktriangleright\) Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными , а невозрастающие и неубывающие - просто монотонными .

\(\blacktriangleright\) Основные свойства:

I. Если функция \(f(x)\) - строго монотонна на \(X\) , то из равенства \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) следует \(f(x_1)=f(x_2)\) , и наоборот.

Пример: функция \(f(x)=\sqrt x\) является строго возрастающей при всех \(x\in \) , поэтому уравнение \(x^2=9\) имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее одно: \(x=-3\) .

функция \(f(x)=-\dfrac 1{x+1}\) является строго возрастающей при всех \(x\in (-1;+\infty)\) , поэтому уравнение \(-\dfrac 1{x+1}=0\) имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее ни одного, т.к. числитель левой части никогда не может быть равен нулю.

III. Если функция \(f(x)\) - неубывает (невозрастает) и непрерывна на отрезке \(\) , причем на концах отрезка она принимает значения \(f(a)=A, f(b)=B\) , то при \(C\in \) (\(C\in \) ) уравнение \(f(x)=C\) всегда имеет хотя бы одно решение.

Пример: функция \(f(x)=x^3\) является строго возрастающей (то есть строго монотонной) и непрерывной при всех \(x\in\mathbb{R}\) , поэтому при любом \(C\in (-\infty;+\infty)\) уравнение \(x^3=C\) имеет ровно одно решение: \(x=\sqrt{C}\) .

Задание 1 #3153

Уровень задания: Легче ЕГЭ

имеет ровно два корня.

Перепишем уравнение в виде: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\] Рассмотрим функцию \(f(t)=t^3+t\) . Тогда уравнение перепишется в виде: \ Исследуем функцию \(f(t)\) . \ Следовательно, функция \(f(t)\) возрастает при всех \(t\) . Значит, каждому значению функции \(f(t)\) соответствует ровно одно значение аргумента \(t\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно: \ Чтобы полученное уравнение имело два корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным: \

Ответ:

\(\left(-\infty;\dfrac1{12}\right)\)

Задание 2 #2653

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при которых уравнение \

имеет два корня.

(Задача от подписчиков.)

Сделаем замену: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Тогда уравнение примет вид: \ Рассмотрим функцию \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Тогда наше уравнение примет вид: \

Найдем производную \ Заметим, что при всех \(w\ne 0\) производная \(f"(w)>0\) , т.к. \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . Заметим также, что сама функция \(f(w)\) определена при всех \(w\) . Т.к. к тому же \(f(w)\) непрерывна, то мы можем сделать вывод, что \(f(w)\) возрастает на всем \(\mathbb{R}\) .
Значит, равенство \(f(t)=f(u)\) возможно тогда и только тогда, когда \(t=u\) . Вернемся к изначальным переменным и решим полученное уравнение:

\ Для того, чтобы данное уравнение имело два корня, оно должно быть квадратным и его дискриминант должен быть положительным:

\[\begin{cases} a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Ответ:

\((-\infty;1)\cup(1;2)\)

Задание 3 #3921

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все положительные значения параметра \(a\) , при которых уравнение

имеет как минимум \(2\) решения.

Перенесем все слагаемые, содержащие \(ax\) , влево, а содержащие \(x^2\) – вправо, и рассмотрим функцию
\

Тогда исходное уравнение примет вид:
\

Найдем производную:
\

Т.к. \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos{2t} \geqslant 0\) , то \(f"(t)\geqslant 0\) при любых \(t\in \mathbb{R}\) .

Причем \(f"(t)=0\) , если \((t-2)^2=0\) и \(1+\cos{2t}=0\) одновременно, что не выполняется ни при каких \(t\) . Следовательно, \(f"(t)> 0\) при любых \(t\in \mathbb{R}\) .

Таким образом, функция \(f(t)\) строго возрастает при всех \(t\in \mathbb{R}\) .

Значит, уравнение \(f(ax)=f(x^2)\) равносильно уравнению \(ax=x^2\) .

Уравнение \(x^2-ax=0\) при \(a=0\) имеет один корень \(x=0\) , а при \(a\ne 0\) имеет два различных корня \(x_1=0\) и \(x_2=a\) .
Нам нужно найти значения \(a\) , при которых уравнение будет иметь не менее двух корней, учитывая также то, что \(a>0\) .
Следовательно, ответ: \(a\in (0;+\infty)\) .

Ответ:

\((0;+\infty)\) .

Задание 4 #1232

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \

имеет единственное решение.

Домножим правую и левую части уравнения на \(2^{\sqrt{x+1}}\) (т.к. \(2^{\sqrt{x+1}}>0\) ) и перепишем уравнение в виде: \

Рассмотрим функцию \(y=2^t\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(t+2)}\) при \(t\geqslant 0\) (т.к. \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\) ).

Производная \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9{(t+2)}\right)"=-\dfrac{2^t}{\ln9}\cdot \left(\ln 2\cdot \ln{(t+2)}+\dfrac{1}{t+2}\right)\) .

Т.к. \(2^t>0, \ \dfrac{1}{t+2}>0, \ \ln{(t+2)}>0\) при всех \(t\geqslant 0\) , то \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Следовательно, при \(t\geqslant 0\) функция \(y\) монотонно убывает.

Уравнение можно рассматривать в виде \(y(t)=y(z)\) , где \(z=ax, t=\sqrt{x+1}\) . Из монотонности функции следует, что равенство возможно только в том случае, если \(t=z\) .

Значит, уравнение равносильно уравнению: \(ax=\sqrt{x+1}\) , которое в свою очередь равносильно системе: \[\begin{cases} a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end{cases}\]

При \(a=0\) система имеет одно решение \(x=-1\) , которое удовлетворяет условию \(ax\geqslant 0\) .

Рассмотрим случай \(a\ne 0\) . Дискриминант первого уравнения системы \(D=1+4a^2>0\) при всех \(a\) . Следовательно, уравнение всегда имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\) , причем они разных знаков (т.к. по теореме Виета \(x_1\cdot x_2=-\dfrac{1}{a^2}<0\) ).

Это значит, что при \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) условию подходит положительный корень. Следовательно, система всегда имеет единственное решение.

Значит, \(a\in \mathbb{R}\) .

Ответ:

\(a\in \mathbb{R}\) .

Задание 5 #1234

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \

имеет хотя бы один корень из отрезка \([-1;0]\) .

Рассмотрим функцию \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) при некотором фиксированном \(a\) . Найдем ее производную: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2+(x-1)^2)\) .

Заметим, что \(f"(x)\geqslant 0\) при всех значениях \(x\) и \(a\) , причем равна \(0\) только при \(x=a=1\) . Но при \(a=1\) :
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\) уравнение \(2(x-1)^3=0\) имеет единственный корень \(x=1\) , не удовлетворяющий условию. Следовательно, \(a\) не может быть равно \(1\) .

Значит, при всех \(a\ne 1\) функция \(f(x)\) является строго возрастающей, следовательно, уравнение \(f(x)=0\) может иметь не более одного корня. Учитывая свойства кубической функции, график \(f(x)\) при некотором фиксированном \(a\) будет выглядеть следующим образом:


Значит, для того, чтобы уравнение имело корень из отрезка \([-1;0]\) , необходимо: \[\begin{cases} f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a(a^2+3)\leqslant 0\\ (a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end{cases} \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Таким образом, \(a\in [-2;0]\) .

Ответ:

\(a\in [-2;0]\) .

Задание 6 #2949

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2})=0\]

имеет корни.

(Задача от подписчиков)

ОДЗ уравнения: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно, чтобы хотя бы одно из уравнений \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad {\small{\text{или}}}\quad \sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0\] имело решения на ОДЗ.

1) Рассмотрим первое уравнение \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=2a+2\\ &\sin x=3\\ \end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Данное уравнение должно иметь корни на \(\) . Рассмотрим окружность:

Таким образом, мы видим, что для любых \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) уравнение будет иметь одно решение, а для всех остальных – не будет иметь решений. Следовательно, при \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\) уравнение имеет решения.

2) Рассмотрим второе уравнение \[\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt{x-x^2}=-a\]

Рассмотрим функцию \(f(x)=8x\sqrt{x-x^2}\) . Найдем ее производную: \ На ОДЗ производная имеет один ноль: \(x=\frac34\) , который к тому же является точкой максимума функции \(f(x)\) .
Заметим, что \(f(0)=f(1)=0\) . Значит, схематично график \(f(x)\) выглядит так:

Следовательно, для того, чтобы уравнение имело решения, нужно, чтобы график \(f(x)\) пересекался с прямой \(y=-a\) (на рисунке изображен один из подходящих вариантов). То есть нужно, чтобы \ . При этих \(x\) :

Функция \(y_1=\sqrt{x-1}\) является строго возрастающей. Графиком функции \(y_2=5x^2-9x\) является парабола, вершина которой находится в точке \(x=\dfrac{9}{10}\) . Следовательно, при всех \(x\geqslant 1\) функция \(y_2\) также строго возрастает (правая ветвь параболы). Т.к. сумма строго возрастающих функций есть строго возрастающая, то \(f_a(x)\) – строго возрастает (константа \(3a+8\) не влияет на монотонность функции).

Функция \(g_a(x)=\dfrac{a^2}{x}\) при всех \(x\geqslant 1\) представляет собой часть правой ветви гиперболы и является строго убывающей.

Решить уравнение \(f_a(x)=g_a(x)\) - значит найти точки пересечения функций \(f\) и \(g\) . Из их противоположной монотонности следует, что уравнение может иметь не более одного корня.

При \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0. Следовательно, уравнение будет иметь единственное решение в том случае, если:


\\cup

Ответ:

\(a\in (-\infty;-1]\cup}