Точка х 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х 0 выполняется неравенство)()(0 xfxf
Точка х 1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х 1 выполняется неравенство)()(1 xfxf Значения функции в точках х 0 и х 1 называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции называется экстремумом функции.
На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может быть, что минимум в одной точке больше максимума в другой. Максимум или минимум функции на некотором промежутке не являются в общем случае наибольшим и наименьшим значением функции. Если в некоторой точке хх 00 дифференцируемая функция f(xf(x)) имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполняется теорема Ферма и производная функции в этой точке равна нулю: 0)(0 xf
Однако, функция может иметь экстремум в точке, в которой она не дифференцируема. Например, функцияxy имеет минимум в точке 0 x но она в этой точке не дифференцируема.
Для того, чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке х 0 , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.
Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, называются критическими или стационарными. Т. об. , если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка является критической. Но критическая точка не обязательно является точкой экстремума.
Применим необходимое условие экстремума: xxy 2)(2 002 xприxy 0 0 y x — критическая точка
Применим необходимое условие экстремума: 23 3)1(xxy 003 2 xприxy 1 0 y x — критическая точка
Если при переходе через точку х 0 производная дифференцируемой функции y=f(x) меняет знак с плюса на минус, то х 0 есть точка максимума, а если с минуса на плюс, то х 0 есть точка минимума.
Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т. е. на некотором интервале 0 ; xa 0)(xf а на некотором интервале bx; 0 0)(xf Тогда функция y=f(x) будет возрастать на 0 ; xa
и будет убывать на bx; 0 По определению возрастающей функции 00 ;)()(xaxвсехдляxfxf Для убывающей функции bxxвсехдляxfxf;)()(00 0 x -точка максимума. Аналогично доказывается для минимума.
1 Найти производную функции)(xfy 2 Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует.
3 Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки. 4 Найти экстремум функции.
Применим схему исследования функции на экстремум: 1 Находим производную функции: 233)1(3)1())1((xxxxxy)14()1()31()1(22 xxxxx
3 Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки: x 4 1 1 y y В точке х=1 х=1 экстремума нет.
Если первая производная дифференцируемой функции y=f(x) в точке х 0 равна нулю, а вторая производная в этой точке положительна, то х 0 есть точка минимума, а если вторая производная отрицательна, то х 0 есть точка максимума.
Пусть 0)(0 xf следовательно 0)(0 xf и в некоторой окрестности точки х 00 , т. е. 0)()(xfxf
функцияba; будет возрастать на)(xf содержащем точку х 00. . Но Но 0)(0 xf на интервале 0 ; xa 0)(xf а на интервале bx; 0 0)(xf
Таким образом, функция при переходе через точку х 00 меняет знак с минуса на плюс, следовательно эта точка является точкой минимума.)(xf Аналогично доказывается случай для максимума функции.
Схема исследования функции на экстремум в этом случае аналогична предыдущей, но третий пункт следует заменить на: 3 Найти вторую производную и определить ее знак в каждой критической точке.
Из второго достаточного условия следует, что если в критической точке вторая производная функции не равна нулю, то эта точка является точкой экстремума. Обратное утверждение не верно: если в критической точке вторая производная функции равна нулю, то эта точка также может являться точкой экстремума. В этом случае для исследования функции необходимо использовать первое достаточное условие экстремума.
Это довольно-таки занятный раздел математики, с которым сталкиваются абсолютно все ученики выпускных классов и студенты. Тем не менее далеко не каждому нравится матан. Некоторые не могут понять даже элементарных вещей наподобие, казалось бы, стандартного исследования функции. Данная статья призвана исправить подобную оплошность. Хотите поподробнее узнать об анализе функции? Желаете узнать, что такое точки экстремума и как их найти? Тогда данная статья для вас.
Исследование графика функции
Для начала стоит понять, зачем вообще необходимо анализировать график. Существуют простые функции, начертить которые не составит труда. Ярким примером подобной функции может служить парабола. Начертить ее график не составит труда. Все что необходимо, так это с помощью простого преобразования найти числа, при которых функция принимает значение 0. И в принципе это все что знать для того, чтобы начертить график параболы.
Но что делать, если функция, график которой нам нужно начертить, намного сложнее? Поскольку свойства сложных функций довольно-таки неочевидны, необходимо проводить целый анализ. Только после этого можно изобразить функцию графически. Как же это сделать? Ответ на этот вопрос вы сможете найти в данной статье.
План анализа функции
Первое, что необходимо сделать, так это провести поверхностное исследование функции, в ходе которого мы найдем область определения. Итак, начнем по порядку. Область определения - это совокупность тех значений, которыми функция задается. Проще говоря, это те числа, которые можно использовать в функции вместо х. Для того чтобы определить область определения, необходимо просто взглянуть на запись. К примеру, очевидно, что у функции у (х) = х 3 + х 2 - х + 43 область определения - множество действительных чисел. Ну а с функцией наподобие (х 2 - 2х)/х все немного иначе. Поскольку число в знаменателе не должно равняться 0, то областью определения данной функции будут все действительные числа, помимо нуля.
Далее необходимо найти так называемые нули функции. Это те значения аргумента, при которых вся функция принимает значения ноль. Для этого необходимо приравнять функцию к нулю, подробно ее рассмотреть и совершить некоторые преобразования. Возьмём уже знакомую нам функцию у(х) = (х 2 - 2х)/х. Из школьного курса мы знаем, что дробь равна 0 тогда, когда числитель равен нулю. Поэтому знаменатель мы отбрасываем и начинаем работать с числителем, приравнивая его к нулю. Получаем х 2 - 2х = 0 и выносим х за скобочки. Отсюда х (х - 2) = 0. В итоге получаем, что наша функция равна нулю тогда, когда х равняется 0 или же 2.
Во время исследования графика функции многие сталкиваются с проблемой в виде точек экстремума. И это странно. Ведь экстремумы - это довольно-таки простая тема. Не верите? Убедитесь сами, прочитав данную часть статьи, в которой мы поговорим о точках минимума и максимума.
Для начала стоит разобраться в том, что собой представляет экстремум. Экстремум - это предельное значений, которое достигает функция на графике. Отсюда получается, что существует два крайних значения - максимум и минимум. Для наглядности можно посмотреть на картинку, что расположена выше. На исследованной области точка -1 является максимумом функции у (х) = х 5 - 5х, а точка 1, соответственно, минимумом.
Также не стоит путать между собой понятия. Точки экстремума функции - это те аргументы, при которых заданная функция приобретает крайние значения. В свою очередь, экстремумом называют значение минимумов и максимумов функции. К примеру, вновь рассмотрим рисунок выше. -1 и 1 - это точки экстремума функции, а 4 и -4 - это сами экстремумы.
Нахождение точек экстремума
Но как все-таки найти точки экстремума функции? Все довольно-таки просто. Первое, что необходимо сделать - найти производную уравнения. Допустим, мы получили задание: "Найдите точки экстремума функции y (x), x - аргумент. Для наглядности возьмем функцию у (х) = х 3 + 2х 2 + х + 54. Проведем дифференцирование и получим следующее уравнение: 3х 2 + 4х + 1. В итоге мы получили стандартное квадратное уравнение. Все, что необходимо сделать дальше - приравнять его к нулю и найти корни. Поскольку дискриминант больше нуля (D = 16 - 12 = 4), данное уравнение определяется двумя корнями. Находим их и получаем два значения: 1/3 и -1. Это и будут точки экстремума функции. Однако как все-таки определить, кто есть кто? Какая точка является максимумом, а какая минимумом? Для этого нужно взять соседнюю точку и узнать ее значение. К примеру, возьмем число -2, которое находится слева по координатной прямой от -1. Подставляем это значение в наше уравнение у(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. В итоге мы получили положительное число. Это значит, что на промежутке от 1/3 до -1 функция возрастает. Это, в свою очередь, обозначает, что на промежутках от минус бесконечности до 1/3 и от -1 до плюс бесконечности функция убывает. Таким образом, можно сделать вывод, что число 1/3 - точка минимума функции на исследованном промежутке, а -1 - точка максимума.
Также стоит отметить, что на ЕГЭ требуют не просто найти точки экстремума, Но и провести с ними какую-то операцию (прибавить, умножить и т.д.). Именно по этой причине стоит обратить особое внимание на условия задачи. Ведь из-за невнимательности можно потерять баллы.
Определение. Точки максимума и минимума функции называютсяточками экстремума.
Теорема. (необходимое условие существования экстремума)Если функция f (x ) дифференцируема в точке х = х 1 и точка х 1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.
Доказательство. Предположим, что функцияf(x) имеет в точке х = х 1 максимум.
Тогда при достаточно малых положительных х>0 верно неравенство:
По определению:
Т.е. если х0, нох<0, тоf(x 1)0, а еслих0, нох>0, тоf(x 1)0.
А возможно это только в том случае, если при х0f(x 1) = 0.
Для случая, если функция f(x) имеет в точке х 2 минимум теорема доказывается аналогично.
Теорема доказана.
Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х 3 , производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.
Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.
Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.
Пример:
f(x) =xПример:
f(x) =
y
y
В точке х = 0 функция имеет минимум, но В точке х = 0 функция не имеет ни
не имеет производной. максимума, ни минимума, ни произ-
Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.
Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)
Пусть функция f (x ) непрерывна в интервале (a , b ), который содержит критическую точку х 1 , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х 1 ).
Если при переходе через точку х 1 слева направо производная функции f (x ) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х 1 функция f (x ) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.
Доказательство.
Пусть
По теореме Лагранжа:
f
(x
)
–
f
(x
1
)
=
f
(
)(x
–
x
1
),
гдеx< Тогда: 1) Если х < x 1 ,
то f(x)
–f(x 1)<0
илиf(x) 2) Если х > x 1 ,
то>x 1 f()<0;f()(x–x 1)<0, следовательно f(x)
–f(x 1)<0
илиf(x) Т. к. ответы совпадают,
то можно сказать, что f(x)
Доказательство теоремы
для точки минимума производится
аналогично. Теорема
доказана. На
основе вышесказанного можно выработать
единый порядок действий при нахождении
наибольшего и наименьшего значения
функции на отрезке: Найти критические
точки функции. Найти значения
функции в критических точках. Найти значения
функции на концах отрезка. Выбрать среди
полученных значений наибольшее и
наименьшее. Исследование функции на экстремум с
помощью
производных
высших порядков.
Пусть в точке х = х 1 f(x 1)
= 0 иf(x 1)
существует и непрерывна в некоторой
окрестности точки х 1 . Теорема.
Если
f
(x
1
)
= 0, то функция
f
(x
)
в точке х = х
1
имеет максимум,
если
f
(x
1
)<0
и минимум, если
f
(x
1
)>0.
Доказательство.
Пусть f(x 1)
= 0 иf(x 1)<0.
Т.к. функцияf(x)
непрерывна, тоf(x 1)
будет отрицательной и в некоторой малой
окрестности точки х 1 . Т.к.
f(x)
= (f(x))< 0, тоf(x)
убывает на отрезке, содержащем точку
х 1 , ноf(x 1)=0,
т.е.f(x)
> 0 при х Для
случая минимума функции теорема
доказывается аналогично. Если
f(x)
= 0, то характер критической точки
неизвестен. Для его определения требуется
дальнейшее исследование. Выпуклость и вогнутость кривой.
Точки перегиба.
Определение.
Кривая обращена выпуклостьювверх
на интервале (а,b), если
все ее точки лежат ниже любой ее
касательной на этом интервале. Кривая,
обращенная выпуклостью вверх, называетсявыпуклой
, а кривая, обращенная
выпуклостью вниз – называетсявогнутой
. На рисунке показана
иллюстрация приведенного выше определения. Теорема 1.
Если во всех точках интервала (a
,
b
) вторая производная
функции
f
(x
)
отрицательна, то кривая
y
=
f
(x
)
обращена выпуклостью вверх (выпукла).
Доказательство.
Пусть х 0 (a,b). Проведем касательную
к кривой в этой точке. Уравнение кривой: y=f(x); Уравнение касательной:
Следует доказать, что
. По теореме Лагранжа
для f(x) –f(x 0):
,x 0 По теореме Лагранжа
для
Пусть х > x 0 тогдаx 0 Пусть x Аналогично доказывается,
что если f(x)
> 0 на интервале (a,b),
то криваяy=f(x)
вогнута на интервале (a,b). Теорема
доказана. Определение.
Точка, отделяющая выпуклую часть кривой
от вогнутой, называетсяточкой перегиба
. Очевидно, что в точке
перегиба касательная пересекает кривую. Теорема 2.
Пусть кривая определяется уравнением
y
=
f
(x
).
Если вторая производная
f
(a
)
= 0 или
f
(a
)
не существует и при переходе через точку
х = а
f
(x
)
меняет знак, то точка кривой с абсциссой
х = а является точкой перегиба.
Доказательство.
1) Пустьf(x)
< 0 при х x Пусть f(x)
> 0 приx Теорема
доказана. Асимптоты.
При исследовании
функций часто бывает, что при удалении
координаты х точки кривой в бесконечность
кривая неограниченно приближается к
некоторой прямой. Определение.
Прямая называетсяасимптотой
кривой,
если расстояние от переменной точки
кривой до этой прямой при удалении точки
в бесконечность стремится к нулю. Следует отметить, что
не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты
могут быть прямые и наклонные. Исследование
функций на наличие асимптот имеет
большое значение и позволяет более
точно определить характер функции и
поведение графика кривой. Вообще говоря, кривая,
неограниченно приближаясь к своей
асимптоте, может и пересекать ее, причем
не в одной точке, как показано на
приведенном ниже графике функции
Рассмотрим подробнее
методы нахождения асимптот кривых. Вертикальные
асимптоты.
Из определения
асимптоты следует, что если Например, для функции
Наклонные
асимптоты.
Предположим, что
кривая y=f(x)
имеет наклонную асимптотуy=kx+b. Рассмотрим следующий рисунок. На нем изображен график функции y = x^3 – 3*x^2. Рассмотрим некоторый интервал содержащий точку х = 0, например от -1 до 1. Такой интервал еще называют окрестностью точки х = 0. Как видно на графике, в этой окрестности функция y = x^3 – 3*x^2 принимает наибольшее значение именно в точке х = 0. В таком случае, точку х = 0 называют точкой максимума функции. По аналогии с этим, точку х = 2 называют точкой минимума функции y = x^3 – 3*x^2. Потому что существует такая окрестность этой точки, в которой значение в этой точке будет минимальным среди всех других значений из этой окрестности. Точкой максимума
функции f(x) называется точка x0, при условии, что существует окрестность точки х0 такая, что для всех х не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x0). Точкой минимума
функции f(x) называется точка x0, при условии, что существует окрестность точки х0 такая, что для всех х не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) > f(x0). В точках максимума и минимума функций значение производной функции равно нулю. Но это не достаточное условие для существования в точке максимума или минимума функции. Например, функция y = x^3 в точке х = 0 имеет производную равную нулю. Но точка х = 0 не является точкой минимума или максимума функции. Как известно функция y = x^3 возрастает на всей числовой оси. Таким образом, точки минимума и максимума всегда будут находиться среди корне уравнения f’(x) = 0. Но не все корни этого уравнения будут являться точками максимума или минимума. Точки, в которых значение производной функции равно нулю, называются стационарными точками. Точки максимума или минимума могут иметься и вточках, в которых производной у функции вообще не существует. Например, у = |x| в точке х = 0 имеет минимум, но производной в этой точке не существует. Эта точка будет являться критической точкой функции. Критическими точками функции называются точки, в которых производная равна нулю, либо производной в этой точке не существует, то есть функция в этой точке недифференцируема. Для того чтобы найти максимум или минимум функции необходимо выполнение достаточного условия. Пусть f(x) некоторая дифференцируемая на интервале (a;b) функция. Точка х0 принадлежит этому интервалу и f’(x0) = 0. Тогда: 1. если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «плюса» на «минус», тогда точка х0 является точкой максимума функции. 2. если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «минуса» на «плюс», тогда точка х0 является точкой минимума функции.
у
,
следовательно,
.
то
.
.
Ее наклонная асимптота у = х.
или
или
,
то прямая х = а – асимптота кривойy=f(x).
прямая х = 5 является вертикальной
асимптотой.
Максимум и минимум функции
Стационарные и критические точки