Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол - это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол - меньший 90 градусов.
Тупой угол - больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» - не оскорбление, а математический термин:-)
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
Угол обозначается соответствующей греческой буквой .
Гипотенуза прямоугольного треугольника - это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты - стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим .
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
Давайте докажем некоторые из них.
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов - свое соотношение, для сторон - свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс - их еще называют тригонометрическими функциями угла - дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .
Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
1. В треугольнике угол равен , . Найдите .
Задача решается за четыре секунды.
Поскольку , .
2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .
Найдем по теореме Пифагора.
Задача решена.
Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!
Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы .
Треугольник с углами и - равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников - то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника . Об этом - в следующей статье.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Глава 5. Решение треугольников
5.1. Прямоугольный треугольник
Аксиомы 1.4 и 2.1 позволяли приписывать отрезкам и углам числа, равные их мерам, то есть измерять отрезки и углы. До сих пор не было связи между величинами углов и длинами отрезков. С введением треугольников появляется возможность связать величины градусных мер углов треугольника и длин его сторон. Рассмотрим соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
1
Рисунок 5.1.1.
Прямоугольный треугольник.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Пусть угол (BAC) – искомый острый угол. Так, например, для угла BAC (рис. 5.1.1)
Теорема 5.1.
Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.
Доказательство
Пусть ABC и A1B1C1 – два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при вершинах A и A1, равным α . Построим треугольник AB2C2, равный треугольнику A1B1C1, как показано на рис. 5.1.2. Это возможно по аксиоме 4.1. Так как углы A и A1 равны, то B2 лежит на прямой AB. Прямые BC и B2C2 перпендикулярны прямой AC, и по следствию 3.1 они параллельны. По теореме 4.13
2
Рисунок 5.1.2.
К теореме 5.1.
Но по построению AC2 = A1C1; AB2 = A1B1, следовательно,
Что и требовалось доказать.
Теорема 5.2.
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Модель 5.2. Доказательство теоремы Пифагора.
На рисунке 5.1.3 изображен прямоугольный треугольник. BC и AC – его катеты, AB – гипотенуза. По теореме BC2 + AC2 = AB2.
Доказательство
Пусть ABC – данный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине C.
3
Рисунок 5.1.3.
К доказательству теоремы Пифагора.
Проведем высоту CD из вершины C. По определению из треугольника ACD и из треугольника ABC. По теореме 5.1 и, следовательно, . Аналогично из Δ CDB, из Δ ACB, и Отсюда AB · BD = BC2. Складывая полученные равенства и, замечая, что AD + BD = AB, получаем AC2 + BC2 = AB · AD + AB · BD = AB (AD + BD) = AB2. Теорема доказана.
В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. Косинус любого острого угла меньше единицы.
Пусть – перпендикуляр, опущенный из точки B на прямую a, и A – любая точка этой прямой, отличная от C. Отрезок AB называется наклонной, проведенной из точки B к прямой a. Точка C называется основанием наклонной. Отрезок AC называется проекцией наклонной.
С помощью теоремы Пифагора можно показать, что если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то
любая наклонная больше перпендикуляра,
равные наклонные имеют равные проекции,
из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. По определению
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла (BAC) прямоугольного треугольника, изображенного на рис. 5.1.1, имеем
Так же как и косинус, синус угла и тангенс угла зависят только от величины угла.
4
Рисунок 5.1.4.
Из данных определений получаем следующие соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника: если α – острый угол прямоугольного треугольника, то
катет, противолежащий углу α , равен произведению гипотенузы на sin α;
катет, прилежащий к углу α , равен произведению гипотенузы на cos α;
катет, противолежащий углу α , равен произведению второго катета на tg α.
Тригонометрическими функциями острого угла называются числовые значения взаимного отношения любых двух сторон прямоугольного треугольника. В зависимости от того, отношения каких сторон прямоугольного треугольника рассматриваются, тригонометрические функции носят названия: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg) и др.
Синусом острого угла называется числовое значение отношения длины противолежащего катета к длине гипотенузы:
(31)
Косинусом острого угла называется числовое значение отношения длины прилежащего катета к длине гипотенузы:
(32)
Тангенсом острого угла называется числовое значение отношения длины противолежащего катета к длине прилежащего катета:
(33)
Котангенсом острого угла называется числовое значение отношения длины прилежащего катета к длине противолежащего катета:
(34)
Функции острых углов играют важную роль при решении многих математических и топогеодезических задач, однако их использование ограничено пределами изменений острых углов от 0(0-00) до 90(30-00). При топогеодезической привязке в системе определения дирекционных углов используются углы (направления) с пределами измерений до 360(60-00). Поэтому возникает необходимость распространения понятия тригонометрических функций на углы любой величины.
Тригонометрические функции любого произвольного угла можно выразить через значения тригонометрических функций острого угла (углаIчетверти, смотри рисунок 23). Учитывая такие преобразования, составлена "Таблица натуральных значений тригонометрических функций синусов и косинусов"(Приложение 6). По таблице можно определить тригонометрические функции синуса и косинуса, не приводя угол кIчетверти.
Решение треугольника.
С решением треугольника связаны все виды засечек. Решить треугольник, – это значит, определить неизвестные значения угловых и линейных элементов. Для решения треугольника необходимо знать значения трех любых его элементов, из них должна быть хотя бы одна сторона.
В практике топогеодезических работ привязка элементов боевого порядка засечками сводится к вычислению по известным двум углам и одной стороне третьего угла и двух других сторон или к вычислению по известным двум сторонам и углу между ними третьей стороны и двух углов.
Решение треугольника осуществляют по формулам соотношений его элементов, известных из курса тригонометрии.
Обозначив
в треугольнике АВС
(рис. 17) стороны
через
,
и
а углы через
А, В
и
С,
запишем
основные соотношения:
(теорема суммы углов); (35)
(теорема
синусов); (36)
(теорема косинусов); (37)
(теорема
тангенсов). (38)