Однородные тригонометрические уравнения 1 и 2 степени. Однородные уравнения

Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя , преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:

`\frac {sin^2 x}{cos^2 x}+\frac{sin x cos x}{cos^2 x} — \frac{2 cos^2 x}{cos^2 x}=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt {a^2+b^2}`:

`\frac a{sqrt {a^2+b^2}} sin x +` `\frac b{sqrt {a^2+b^2}} cos x =` `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}`.

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a{sqrt {a^2+b^2}}=cos \varphi`, ` \frac b{sqrt {a^2+b^2}} =sin \varphi`, `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}=C`, тогда:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt {3^2+4^2}`, получим:

`\frac {3 sin x} {sqrt {3^2+4^2}}+` `\frac{4 cos x}{sqrt {3^2+4^2}}=` `\frac 2{sqrt {3^2+4^2}}`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `\frac {sin x}{1+cos x}=1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {(1-cos x)(1+cos x)}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {1-cos^2 x}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}-` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}=0`

`\frac {sin x-sin^2 x}{1+cos x}=0`

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

Тема урока: "Однородные тригонометрические уравнения"

(10-й класс)

Цель: ввести понятие однородных тригонометрических уравнений I и II степени; сформулировать и отработать алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений I и II степени; научить учащихся решать однородные тригонометрических уравнений I и II степени; развивать умение выявлять закономерности, обобщать; стимулировать интерес к предмету, развивать чувство солидарности и здорового соперничества.

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Форма проведения: работа в группах.

Оборудование: компьютер, мультимедийная установка

Ход урока

Организационный момент

Приветствие учащихся, мобилизация внимания.

На уроке рейтинговая система оценки знаний (учитель поясняет систему оценки знаний, заполнение оценочного листа независимым экспертом, выбранным учителем из числа учащихся). Урок сопровождается презентацией. .

Актуализация опорных знаний.

Домашняя работа проверяется и оценивается независимым экспертом и консультантами до урока и заполняется оценочный лист.

Учитель подводит итог выполнения домашнего задания.

Учитель: Мы продолжаем изучение темы “Тригонометрические уравнения”. Сегодня на уроке мы познакомимся с вами с еще одним видом тригонометрических уравнений и методами их решения и поэтому повторим изученное. Все виды тригонометрических уравнений при решении сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений.

Проверяется индивидуальное домашнее задание, выполняемое в группах. Защита презентации “Решения простейших тригонометрических уравнений”

(Оценивается работа группы независимым экспертом)

Мотивация обучения.

Учитель: нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, которые научимся решать сегодня на уроке.

Вопросы спроецированы на доску. Учащиеся отгадывают, независимый эксперт заносит в оценочный лист баллы отвечающим учащимся.

Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “однородные”.

Усвоение новых знаний.

Учитель: Тема урока “Однородные тригонометрические уравнения”.

Запишем тему урока в тетрадь. Однородные тригонометрические уравнения бывают первой и второй степени.

Запишем определение однородного уравнения первой степени. Я на примере показываю решение такого вида уравнения, вы составляете алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени.

Уравнение вида а sinx + b cosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени.

Рассмотрим решение уравнения, когда коэффициенты а и в отличны от 0.

Пример: sinx + cosx = 0

Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим

Внимание! Делить на 0 можно лишь в том случае, если это выражение нигде не обращается в 0. Анализируем. Если косинус равен 0, то получается и синус будет равен 0, учитывая, что коэффициенты отличны от 0, но мы знаем, что синус и косинус обращаются в нуль в различных точках. Поэтому эту операцию производить можно при решении такого вида уравнения.

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени: деление обеих частей уравнения на cosx, cosx 0

Уравнение вида а sin mx + b cos mx = 0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени и решат также деление обеих частей уравнения на косинус mх.

Уравнение видаa sin 2 x + b sinx cosx + c cos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Пример : sin 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

Коэффициент а отличен от 0 и поэтому как и предыдущем уравнении соsх не равен0 и поэтому можно воспользоваться способом деления обеих частей уравнения на соs 2 х.

Получим tg 2 x + 2tgx – 3 = 0

Решаем путем введения новой переменной пусть tgx = а, тогда получаем уравнение

а 2 + 2а – 3 = 0

Д = 4 – 4 (–3) = 16

а 1 = 1 а 2 = –3

Возвращаемся к замене

Ответ:

Если коэффициент а = 0, то уравнение примет вид 2sinx cosx – 3cos2x = 0 решаем способом вынесения общего множителя cosx за скобки. Если коэффициент с = 0, то уравнение примет вид sin2x +2sinx cosx = 0 решаем способом вынесения общего множителя sinx за скобки. Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:

Посмотреть, есть ли в уравнении член asin2 x.

Если член asin2 x в уравнении содержится (т.е. а 0), то уравнение решается делением обеих частей уравнения на cos2x и последующим введение новой переменной.

Если член asin2 x в уравнении не содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx. Однородные уравнения вида a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 решаются таким же способом

Алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений записан в учебнике на стр. 102.

Физкультминутка

Формирование навыков решения однородных тригонометрических уравнений

Открываем задачники стр. 53

1-я и 2-я группа решают № 361-в

3-я и 4-я группа решают № 363-в

Показывают решение на доске, объясняют, дополняют. Независимый эксперт оценивает.

Решение примеров из задачника № 361-в
sinx – 3cosx = 0
делим обе части уравнения на cosx 0, получаем

№ 363-в
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
разделим обе части уравнения на cos2x, получим tg2x + tgx – 2 = 0

решаем путем введения новой переменной
пусть tgx = а, тогда получаем уравнение
а2 + а – 2 = 0
Д = 9
а1 = 1 а2 = –2
возвращаемся к замене

Самостоятельная работа.

Решите уравнения.

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

По окончанию самостоятельной работы меняются работами и взаимопроверка. Правильные ответы проецируются на доску.

Потом сдают независимому эксперту.

Решение самостоятельной работы

Подведение итогов урока.

С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились на уроке?

Алгоритм решения тригонометрических уравнений первой и второй степени.

Задание на дом: § 20.3 читать. № 361(г), 363(б), повышенной трудности дополнительно № 380(а).

Кроссворд.

Если вписать верные слова, то получится название одного из видов тригонометрических уравнений.

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство? (Корень)

Единица измерения углов? (Радиан)

Числовой множитель в произведении? (Коэффициент)

Раздел математики, изучающий тригонометрические функции? (Тригонометрия)

Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций? (Окружность)

Какая из тригонометрических функций четная? (Косинус)

Как называется верное равенство? (Тождество)

Равенство с переменной? (Уравнение)

Уравнения, имеющие одинаковые корни? (Равносильные)

Множество корней уравнения? (Решение)

Оценочный лист

№
п\п

Фамилия, имя обучающего

Домашнее задание

Презентация

Познавательная активность
уч-ся

Решение уравнений

Самостоятельная
работа

Домашнее задание – 12 баллов (на дом было задано 3 уравнения 4 х 3 = 12)

Презентация – 1балл

Активность уч-ся – 1ответ – 1 балл (4 балла максимально)

Решение уравнений 1 балл

Самостоятельная работа – 4 балла

Оценка группе:

“5” – 22 балла и более
“4” – 18 – 21 балл
“3” – 12 – 17 баллов

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Определение 1 . Пусть A - некоторое множество пар чисел (x ; y ) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.

Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:

где f (x , y ) – любая функция, отличная от функции

f (x , y ) = ax +by + c ,

где a , b , c – заданные числа.

Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y ) , для которых формула (2) является верным равенством.

Пример 1 . Решить уравнение

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений

решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .

Ответ : (6 ; 3)

Пример 2 . Решить уравнение

Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

(1 + y ; y ) ,

где y – любое число.

линейное

Определение 4 . Решением системы уравнений

называют пару чисел (x ; y ) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное , имеют вид

g (x , y )

Пример 4 . Решить систему уравнений

Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

Решая уравнение

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Следовательно,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное , имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g (x , y ) – функция двух переменных x и y .

Пример 6 . Решить систему уравнений

Решение . Решим однородное уравнение

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = - 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

5y 2 = - 20 ,

которое корней не имеет.

В случае, когда

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

,

корнями которого служат числа y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Ответ : (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)

Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:

Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что

Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему

из которой находим

Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

У системы (16) первое уравнение - линейное , поэтому мы можем выразить из него неизвестное u через неизвестное v и подставить это выражение во второе уравнение системы.

«Величие человека в его способности мыслить».
Блез Паскаль.

Цели урока:

1) Обучающие – познакомить учащихся с однородными уравнениями, рассмотреть методы их решения, способствовать формированию навыков решения ранее изученных видов тригонометрических уравнений.

2) Развивающие – развивать творческую активность учащихся, их познавательную деятельность, логическое мышление, память, умение работать в проблемной ситуации, добиваться умения правильно, последовательно, рационально излагать свои мысли, расширить кругозор учащихся, повышать уровень их математической культуры.

3) Воспитательные – воспитывать стремление к самосовершенствованию, трудолюбие, формировать умение грамотно и аккуратно выполнять математические записи, воспитывать активность, содействовать побуждению интереса к математике.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование:

1. Перфокарты для шести учащихся.
2. Карточки для самостоятельной и индивидуальной работы учащихся.
3. Стенды «Решение тригонометрических уравнений», «Числовая единичная окружность».
4. Электрифицированные таблицы по тригонометрии.
5. Презентация к уроку (Приложение 1) .

Ход урока

1. Организационный этап (2 минуты)

Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид); организация внимания.

Учитель сообщает учащимся тему урока, цели (слайд 2) и поясняет, что во время урока будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах.

2. Повторение теоретического материала (15 минут)

Задания на перфокартах (6 человек). Время работы по перфокартам – 10 мин (Приложение 2)

Решив задания, учащиеся узнают, где применяются тригонометрические вычисления. Получаются такие ответы: триангуляция (техника, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии), акустика, УЗИ, томография, геодезия, криптография.

(слайд 5)

Фронтальный опрос.

1. Какие уравнения называются тригонометрическими?
2. Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете?
3. Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?
4. Какие уравнения называются квадратными тригонометрическими?
5. Сформулировать определение арксинуса числа а.
6. Сформулировать определение арккосинуса числа а.
7. Сформулировать определение арктангенса числа а.
8. Сформулировать определение арккотангенса числа а.

Игра «Отгадайте зашифрованное слово»

Когда-то Блез Паскаль сказал, что математика – наука настолько серьёзная, что нельзя упускать случая, сделать её немного более занимательной. Поэтому я предлагаю поиграть. Решив примеры, определите последовательность цифр, по которой составлено зашифрованное слово. По латыни это слово означает «синус». (слайд 3)

2) arc tg (-√3)

4) tg (arc cos (1/2))

5) tg (arc ctg √3)

Ответ: «Изгиб»

Игра «Рассеянный математик »

На экран проектируются задания для устной работы:

Проверьте правильность решения уравнений. (правильный ответ появляется на слайде после ответа учащегося). (слайд 4)

	Ответы с ошибками	Правильные ответы
	х = ±π/6 +2πn	х = ±π/3 +2πn
	х = π/3 +πn	х = (-1) nπ/3 +πn
tg x = π/4	х = 1 +πn	tg x =1, х = π/4+πn
	х = ±π/6+π n	х = ±π/6 +2π n
	х = (-1)n arcsin1/3+ 2πn	х = (-1)n arcsin1/3+ πn
	х = ±π/6 +2πn	х = ±5π/6 +2πn
cos x = π/3	х = ±1/2 +2πn	cos x = 1/2, х = ±π/3 +2πn

Проверка домашнего задания.

Преподаватель установливает правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; выявляет пробелы в знаниях; совершенствует знания, умения и навыки учащихся в области решения простейших тригонометрических уравнений.

1 уравнение. Учащийся комментирует решение уравнения, строки которого появляются на слайде в порядке следования комментария). (слайд 6)

√3tg2x = 1;

tg2x =1/√3 ;

2х= arctg 1/√3 +πn, n ∈Z.

2х= π/6 +πn, n ∈Z.

х= π/12 + π/2 n, n ∈Z .

2 уравнение . Решение з аписывается учащимся на доске.

2 sin 2 x + 3 cosx = 0.

3. Актуализация новых знаний (3 минуты)

Учащиеся по просьбе учителя вспоминают способы решения тригонометрических уравнений. Они выбирают те уравнения, которые уже умеют решать, называют способ решения уравнения и получившийся результат. Ответы появляются на слайде. (слайд 7) .

Введение новой переменной:

№1. 2sin 2 x – 7sinx + 3 = 0.

Пусть sinx = t, тогда:

2t 2 – 7t + 3 = 0.

Разложение на множители:

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;

сos4x(3sinx – 1) = 0;

cos4x = 0 или 3 sinx – 1 = 0; …

№3. 2 sinx – 3 cosx = 0,

№4. 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Преподаватель: Последние два вида уравнений вы решать еще не умеете. Оба они одного вида. Их нельзя свести к уравнению относительно функций sinx или cosx. Называются однородными тригонометрическими уравнениями. Но только первое – однородное уравнение первой степени, а второе – однородное уравнение второй степени. Сегодня на уроке предстоит познакомиться с такими уравнениями и научиться их решать.

4. Объяснение нового материала (25 минут)

Преподаватель дает учащимся определения однородных тригонометрических уравнений, знакомит со способами их решения.

Определение. Уравнение вида a sinx + b cosx =0, где a ≠ 0, b ≠ 0 называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени. (слайд 8)

Примером такого уравнения является уравнение №3. Выпишем общий вид уравнения и проанализируем его.

а sinx + b cosx = 0.

Если cosx = 0, то sinx = 0.

– Может ли получиться такая ситуация?

– Нет. Получили противоречие основному тригонометрическому тождеству.

Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cosx:

а · tgx + b = 0

tgx = –b / а – простейшее тригонометрическое уравнение.

Вывод: Однородные тригонометрические уравнения первой степени решаются делением обеих частей уравнения на cosx (sinx).

Например: 2 sinx – 3 cosx = 0,

Т.к. cosx ≠ 0, то

tgx = 3/2;

х = arctg (3/2) +πn, n ∈Z.

Определение. Уравнение вида a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 , где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 называется тригонометрическим уравнением второй степени. (слайд 8)

Примером такого уравнения является уравнение №4. Выпишем общий вид уравнения и проанализируем его.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

Если cosx = 0, то sinx = 0.

Опять получили противоречие основному тригонометрическому тождеству.

Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cos 2 x:

а tg 2 x + b tgx + c = 0 – уравнение, сводящееся к квадратному.

Вывод: О днородные тригонометрические уравнения второй степени решаются делением обеих частей уравнения на cos 2 x (sin 2 x).

Например: 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Т.к. cos 2 x ≠ 0, то

3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (Предложить ученику выйти к доске и дорешать уравнение самостоятельно).

Замена: tgx = у. 3у 2 – 4 у + 1 = 0

D = 16 – 12 = 4

y 1 = 1 или y 2 = 1/3

tgx = 1 или tgx = 1/3

x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z.

х = arctg1 + πn, n ∈Z.

x = π/4 + πn, n ∈Z.

5. Этап проверки понимания учащимися нового материала (1 мин.)

Выберите лишнее уравнение:

sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; sin 2 x – 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.

(слайд 9)

6. Закрепление нового материала (24 мин).

Учащиеся вместе с отвечающими у доски решают уравнения на новый материал. Задания написаны на слайде в виде таблицы. При решении уравнения открывается соответствующая часть картинки на слайде. В результате выполнения 4-х уравнений перед учащимися открывается портрет математика, оказавшего значительное влияние на развитие тригонометрии. (ученики узнают портрет Франсуа Виета – великого математика, внесшего большой вклад в тригонометрию, открывшего свойство корней приведенного квадратного уравнения и занимавшегося криптографией). (слайд 10)

1) √3sinx + cosx = 0,

Т.к. cosx ≠ 0, то

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1/√3;

х = arctg (–1/√3) + πn, n ∈Z.

х = –π/6 + πn, n ∈Z.

2) sin 2 x – 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0.

Т.к. cos 2 x ≠ 0, то tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0

Замена: tgx = у.

у 2 – 10 у + 21 = 0

у 1 = 7 или у 2 = 3

tgx = 7 или tgx = 3

х = arctg7 + πn, n ∈Z

х = arctg3 + πn, n ∈Z

3) sin 2 2x – 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

Т.к. cos 2 2x ≠ 0, то 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

Замена: tg2x = у.

3у 2 – 6у + 5 = 0

D = 36 – 20 = 16

у 1 = 5 или у 2 = 1

tg2x = 5 или tg2x = 1

2х = arctg5 + πn, n ∈Z

х = 1/2 arctg5 + π/2 n, n ∈Z

2х = arctg1 + πn, n ∈Z

х = π/8 + π/2 n, n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx – sin 2 x – cos 2 x = 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx – cos 2 x = 0.

Т.к. cos 2 x ≠0, то 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

Замена: tg x = у.

5у 2 + 4у – 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

у 1 = 1/5 или у 2 = –1

tg x = 1/5 или tg x = –1

х = arctg1/5 + πn, n ∈Z

х = arctg(–1) + πn, n ∈Z

х = –π/4 + πn, n ∈Z

Дополнительно (на карточке):

Решить уравнение и, выбрав один вариант из четырех предложенных, отгадать имя математика, который вывел формулы приведения:

2sin 2 x – 3 sinx cosx – 5cos 2 x = 0.

Варианты ответов:

х = arctg2 + 2πn, n ∈Z х = –π/2 + πn, n ∈Z – П.Чебышев

х = arctg 12,5 + 2πn, n ∈Z х = –3π/4 + πn, n ∈Z – Евклид

х = arctg 5 + πn, n ∈Z х = –π/3 + πn, n ∈Z – Софья Ковалевская

х = arctg2,5 + πn, n ∈Z х = –π/4 + πn, n ∈Z – Леонард Эйлер

Правильный ответ: Леонард Эйлер.

7. Дифференцированная самостоятельная работа (8 мин.)

Великий математик и философ более 2500 лет назад подсказал способ развития мыслительных способностей. «Мышление начинается с удивления» – сказал он. В правильности этих слов мы сегодня неоднократно убеждались. Выполнив самостоятельную работу по 2-м вариантам, вы сможете показать, как усвоили материал и узнать имя этого математика. Для самостоятельной работы используйте раздаточный материал, который находится у вас на столах. Вы можете сами выбрать одно из трех предложенных уравнений. Но помните, что решив уравнение, соответствующее желтому цвету, вы сможете получить только «3»,решив уравнение, соответствующее зеленому цвету – «4», красному цвету – «5». (Приложение 3)

Какой бы уровень сложности не выбрали учащиеся, после правильного решения уравнения у первого варианта получается слово «АРИСТ», у второго – «ОТЕЛЬ». На слайде получается слово: «АРИСТ-ОТЕЛЬ». (слайд 11)

Листочки с самостоятельной работой сдаются на проверку. (Приложение 4)

8. Запись домашнего задания (1 мин)

Д/з: §7.17. Составить и решить 2 однородных уравнения первой степени и 1 однородное уравнение второй степени (используя для составления теорему Виета). (слайд 12)

9. Подведение итогов урока, выставление оценок (2 минуты)

Учитель еще раз обращает внимание, на те типы уравнений и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их.

Учащиеся отвечают на вопросы:

1. С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились?
2. Как решаются эти уравнения?

Учитель отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, выставляет отметки.

Последняя деталь, как решать задания С1 из ЕГЭ по математике - решение однородных тригонометрических уравнений. Как их решать мы расскажем в этом завершающем уроке.

Что же представляют из себя эти уравнения? Давайте запишем их в общем виде.

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

где `a` и `b` - некоторые константы. Это уравнение называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

Однородное тригонометрическое уравнение первой степени

Чтобы решить такое уравнение, нужно поделить его на `\cos x`. Тогда оно примет вид

$$\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}} a \tg x + b = 0.$$

Ответ такого уравнения легко записывается через арктангенс.

Обратите внимание, что `\cos x ≠0`. Чтобы убедиться в этом, подставим в уравнение вместо косинуса ноль и получим, что синус тоже должен быть равен нулю. Однако одновременно нулю они равны быть не могут, значит, косинус - не ноль.

Некоторые задания реального экзамена этого года сводились к однородному тригонометрическому уравнению. Перейдите по ссылке, чтобы . Мы же возьмем чуть упрощенный вариант задачи.

Первый пример. Решение однородного тригонометрического уравнения первой степени

$$\sin x + \cos x = 0.$$

Разделим на `\cos x`.

$$\tg x + 1 = 0,$$

$$x = -\frac{\pi}{4}+\pi k.$$

Повторюсь, подобное задание было на ЕГЭ:) конечно, нужно еще выполнить отбор корней, но это тоже не должно вызвать особых трудностей.

Давайте теперь перейдем к следующему типу уравнений.

Однородное тригонометрическое уравнение второй степени

В общем виде оно выглядит так:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

где `a, b, c` - некоторые константы.

Такие уравнения решаются делением на `\cos^2 x` (который вновь не равен нулю). Давайте сразу разберем пример.

Второй пример. Решение однородного тригонометрического уравнения второй степени

$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$

Разделим на `\cos^2 x`.

$${\tg}^2 x - 2\tg x -3 =0.$$

Заменим `t = \tg x`.

$$t^2 - 2t -3 = 0,$$

$$t_1 = 3, \ t_2 = -1.$$

Обратная замена

$$\tg x = 3, \text{ или } \tg x = -1,$$

$$x = \arctan{3}+\pi k, \text{ или } x= -\frac{\pi}{4}+ \pi k.$$

Ответ получен.

Третий пример. Решение однородного тригонометрического уравнения второй степени

$$-\sin^2 x + \frac{2\sqrt{2}}{3}\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$

Все бы ничего, но это уравнение не однородное - нам мешает `-2` в правой части. Что делать? Давайте воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и распишем с его помощью `-2`.

$$-\sin^2 x + \frac{2\sqrt{2}}{3}\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x),$$

$$-\sin^2 x + \frac{2\sqrt{2}}{3}\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0,$$

$$\sin^2 x + \frac{2\sqrt{2}}{3}\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$

Разделим на `\cos^2 x`.

$${\tg}^2 x + \frac{2\sqrt{2}}{3} \tg x - 1 = 0,$$

Замена `t= \tg x`.

$$t^2 + \frac{2\sqrt{2}}{3} t - 1 = 0,$$

$$t_1 = \frac{\sqrt{3}}{3},\ t_2 = -\sqrt{3}.$$

Выполнив обратную замену, получим:

$$\tg x = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ или } \tg x = -\sqrt{3}.$$

$$x =-\frac{\pi}{3} + \pi k,\ x = \frac{\pi}{6}+ \pi k.$$

Это последний пример в этом уроке.

Как обычно, напомню: тренировка, это наше все. Каким бы гениальным ни был человек, без тренировки навыки не разовьются. На экзамене это черевато волнением, ошибками, потерей времени (продолжите этот список самостоятельно). Обязательно занимайтесь!

Тренировочные задания

Решите уравнения:

• `10^{\sin x} = 2^{\sin x} \cdot 5^{-\cos x}`. Это задание из реального ЕГЭ 2013. Знание свойств степеней никто не отменял, но если забыли, подсмотреть ;
• `\sqrt{3} \sin x + \sin^2 \frac{x}{2} = \cos^2 \frac{x}{2}`. Пригодится формула из седьмого урока .
• `\sqrt{3} \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.

На этом все. И как обычно напоследок: задаем вопросы в комментариях, ставим лайки, смотрим видео, учимся решать ЕГЭ.