Формула дополнительного (вспомогательного) аргумента

Рассмотрим выражение вида

в котором числа и не равны нулю одновременно. Домножим и поделим каждое из слагаемых на и вынесем общий множитель за скобки:

Нетрудно проверить, что

а значит по Теореме 2 существует такой вещественный угол, что

Таким образом, используя формулу синуса суммы, получаем

где такой угол, что и, носит название формулы вспомогательного аргумента и используется при решении неоднородных линейных уравнений и неравенств.

Обратные тригонометрические функции

Определения

До сих пор мы решали задачу определения тригонометрических функций заданных углов. А что если стоит обратная задача: зная какую-либо тригонометрическую функцию определить соответствующий ей угол.

Арксинус

Рассмотрим выражение, где - известное вещественное число. По определению синуса это есть ордината точки пересечения луча, образующего угол с осью абсцисс и тригонометрической окружности. Таким образом, для решения уравнения надо найти точки пересечения прямой и тригонометрической окружности.

Очевидно, что при прямая и окружность не имеют общих точек, а значит и уравнение не имеет решений. То есть нельзя найти угол, синус которого был бы по модулю больше 1.

При прямая и окружность имеют точки пересечения, например, и (см. рис.). Таким образом, заданный синус будут иметь, и все углы, отличающиеся от них на целое количество полных оборотов, т.е. , - бесконечное множество углов. Как выбрать один угол среди этого бесконечного множества?

Чтобы однозначно определить угол, соответствующий числу, приходится требовать выполнения дополнительного условия: этот угол должен принадлежать отрезку. Такой угол называют арксинусом числа. угол тригонометрическая функция тождество

Арксинусом действительного числа называется действительное число, синус которого равен. Такое число обозначают.

Арккосинус

Рассмотрим теперь уравнение вида. Для его решения необходимо найти на тригонометрической окружности все точки, имеющие абсциссу, т.е. точки пересечения с прямой. Как и в предыдущем случае при рассматриваемое уравнение не имеет решений. А если, имеются точки пересечения прямой и окружности, соответствующие бесконечному множеству углов, .

Чтобы однозначно определить угол, соответствующий данному косинусу, вводят дополнительное условие: этот угол должен принадлежать отрезку; такой угол называют арккосинусом числа.

Арккосинусом действительного числа называется действительное число, косинус которого равен. Такое число обозначают.

Арктангенс и арккотангенс

Рассмотрим выражение. Для его решения надо найти на окружности все точки пересечения с прямой, угловой коэффициент которой равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. Такая прямая при всех действительных значениях пересекает тригонометрическую окружность в двух точках. Эти точки симметричны относительно начала координат и соответствуют углам, .

Для однозначного определения угла с заданным тангенсом его выбирают из интервала.

Арктангенсом произвольного действительного числа называется действительное число, тангенс которого равен. Такое число обозначают.

Для определения арккотангенса угла используются аналогичные рассуждения, с той лишь разницей, что рассматривается пересечение окружности с прямой и угол выбирается из интервала.

Арккотангенсом произвольного действительного числа называется действительное число, котангенс которого равен. Такое число обозначают.

Свойства обратных тригонометрических функций

Область определения и область значения

Четность/нечетность

Преобразование обратных тригонометрических функций

Для преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции, часто используются свойства, следующие из определения этих функций:

Для любого действительного числа выполняется

и наоборот:

Аналогично для любого действительного числа выполняется

и наоборот:

Графики тригонометрических и обратных тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций

Начнем с построения графика функции на отрезке. Для этого воспользуемся определением синуса на тригонометрической окружности. Разделим тригонометрическую окружность на (в данном случае 16) равных частей и разместим рядом систему координат, где отрезок на оси также разделен на равных частей. Проводя прямые линии параллельно оси через точки деления окружности, мы на пересечении этих прямых с перпендикулярами, восстановленными из соответствующих точек деления на оси, получаем точки, координаты которых по определению равны синусам соответствующих углов. Проводя через эти точки плавную кривую, получим график функции для. Для получения графика функции на всей числовой прямой используют периодичность синуса: , .

Для получения графика функции воспользуемся формулой приведения. Таким образом, график функции получается из графика функции путем параллельного переноса влево на отрезок длиной.

Использование графиков тригонометрических функций дает еще один простой способ получения формул приведения. Рассмотрим несколько примеров.

Упростим выражение. На оси обозначим угол и обозначим его синус и косинус за и соответственно. Найдем на оси угол и восстановим перпендикуляр до пересечения с графиком синуса. Из рисунка очевидно, что.

Задание: упростить выражение.

Перейдем к построению графика функции. Сначала вспомним, что для угла тангенсом является длина отрезка АВ . По аналогии с построением графика синуса, разбивая правую полуокружность на равные части и откладывая получившиеся значения тангенсов получаем график, изображенный на рисунке. Для остальных значений график получается с использованием свойства периодичности тангенса, .

Пунктирными линиями на графике изображены асимптоты. Асимптотой кривой называется прямая, к которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность, но не пересекает ее.

Для тангенса асимптотами являются прямые, появление которых связано с обращением в этих точках в ноль.

С использованием аналогичных рассуждений получается график функции. Для него асимптотами являются прямые, . Этот график можно получить и воспользовавшись формулой приведения, т.е. преобразованием симметрии относительно оси и сдвигом на вправо.

Свойства тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций

Сначала введем понятие обратной функции.

Если функция монотонно возрастает или убывает, то для нее существует обратная функция . Для построения графика обратной функции график следует подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой. На рисунки приведен пример получения графика обратной функции.

Поскольку функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс являются обратными к функция синус, косинус, тангенс и котангенс соответственно, их графики получаются описанным выше преобразованием. Графики исходных функций на рисунках закрашены.

Из приведенных выше рисунков очевидно одно из основных свойств обратных тригонометрических функций: сумма ко-функций одного и того же числа дает.

Лемма . Если сумма квадратов двух действительных чисел равна единице, то одно из этих чисел можно рассматривать как косинус, а другое как синус некоторого угла.

Другими словами, если а 2 + b 2 = 1 , то существует угол φ , такой, что

а = cos φ; b = sin φ.

Прежде чем доказывать эту лемму, поясним ее на следующем примере:

$$ (\frac{\sqrt3}{2})^2 + (\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1 $$

Поэтому существует угол φ , такой, что \(\frac{\sqrt3}{2} \) = cos φ ; 1 / 2 = sin φ .

В качестве φ в данном случае можно выбрать любой из углов 30°, 30° ± 360°, 30° ± 2 360° и т. д.

Доказательство леммы:

Рассмотрим вектор \(\vec{0А}\) с координатами (а, b ). Поскольку а 2 + b 2 = 1 , длина этого вектора равна 1. Но в таком случае его координаты должны быть равны cos φ и sin φ , где φ - угол, который образует данный вектор с осью абсцисс.

Итак, а = cos φ; b =sin φ , что и требовалось доказать.

Доказанная лемма позволяет преобразовать выражение a sin х + b cos х к более удобному для изучения виду.

Прежде всего вынесем за скобки выражение \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

$$ a sinx + b cosx = \sqrt{a^2 + b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}sinx + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}cosx) $$

Поскольку

$$ (\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}})^2 + (\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}})^2 = 1 $$

первое из чисел \(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) и \(\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) можно рассматривать как косинус некоторого угла φ , а второе - как синус того же угла φ :

$$ \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = cos\phi, \;\; \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = sin\phi $$

Но в таком случае

a sin х + b cos х = \(\sqrt{a^2 + b^2}\)(cos φ sin х + sin φ cos х) = \(\sqrt{a^2 + b^2}\) sin (x + φ)

a sin х + b cos х = \(\sqrt{a^2 + b^2}\) sin (x + φ) , где угол φ определяется из условий

$$ sin\phi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \;\; cos\phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

Примеры.

1) \(sin x + cos x = \sqrt2 (\frac{1}{\sqrt2} sin x + \frac{1}{\sqrt2}cos x) = \sqrt2 (cos\frac{\pi}{4}sin x + sin\frac{\pi}{4}cos x) =\\= \sqrt2(sinx + \frac{\pi}{4}) \)

Полученную формулу sin x + cos x = \(\sqrt2(sinx + \frac{\pi}{4})\) полезно запомнить.

2) Если одно из чисел а и b положительно, а другое отрицательно, то выражение
a sin х + b cos х удобнее преобразовывать не к синусу суммы, а к синусу разности двух углов. Так,

$$ 3sinx - 4cosx = \sqrt{9+16}(\frac{3}{\sqrt{9+16}}sinx - \frac{4}{\sqrt{9+16}}cosx) =\\= 5(sinx\cdot\frac{3}{5} - cosx\cdot\frac{4}{5}) = 5sin(x - \phi), $$

где под φ можно подразумевать любой угол, удовлетворяющий условиям:

cos φ = 3 / 5 , sin φ = 4 / 5

В частности, можно положить φ = arctg 4 / 3 . Тогда получим:

3 sin х - 4 cos x = 5 sin (x - arctg 4 / 3).

На уроках алгебры учителя рассказывают, что существует небольшой (на самом деле — очень даже большой) класс тригонометрических уравнений, которые не решаются стандартными способами — ни через разложение на множители, ни через замену переменной, ни даже через однородные слагаемые. В этом случае в дело вступает принципиально другой подход — метод вспомогательного угла.

Что это за метод и как его применять? Для начала вспомним формулы синуса суммы/разности и косинуса суммы/разности:

\[\begin{align}& \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end{align}\]

Думаю, эти формулы хорошо знакомы вам — из них выводятся формулы двойного аргумента, без которых в тригонометрии вообще никуда. Но давайте теперь рассмотрим простое уравнение:

Разделим обе части на 5:

Заметим, что ${{\left(\frac{3}{5} \right)}^{2}}+{{\left(\frac{4}{5} \right)}^{2}}=1$, а это значит, что обязательно найдётся такой угол $\alpha $, для которого эти числа являются соответственно косинусом и синусом. Поэтому наше уравнение перепишется следующим образом:

\[\begin{align}& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left(\alpha +x \right)=1 \\\end{align}\]

А это уже легко решается, после чего останется лишь выяснить, чему равен угол $\alpha $. Как это выяснить, а также как правильно подбирать число для деления обеих частей уравнения (в данном простом примере мы делили на 5) — об этом в сегодняшнем видеоуроке:

Сегодня мы будем разбирать решение тригонометрических уравнений, а, точнее, один-единственный прием, который называется «метод вспомогательного угла». Почему именно этот метод? Просто потому, что за последние два-три дня, когда я занимался с учениками, которым рассказывал о решении тригонометрических уравнений, и мы разбирали, в том числе, метод вспомогательного угла, и все ученики как один допускают одну и ту же ошибку. А ведь метод вообщем-то несложный и, более того, это один из основных приемов в тригонометрии. Поэтому многие тригонометрические задачи иначе как методом вспомогательного угла вообще не решаются.

Поэтому сейчас для начала мы рассмотрим пару простеньких задач, а потом перейдем к задачам посерьезней. Однако все эти они так или иначе потребуют от нас применение метода вспомогательного угла, суть которого я расскажу уже в первой конструкции.

Решение простых тригонометрических задач

Пример № 1

\[\cos 2x=\sqrt{3}\sin 2x-1\]

Немного преобразуем наше выражение:

\[\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x=-1\left| \left(-1 \right) \right.\]

\[\sqrt{3}\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]

Как мы будем решать его? Стандартный прием состоит в том, чтобы раскрыть $\sin 2x$ и $\cos 2x$ по формулам двойного угла, а затем переписать единицу как ${{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x$, получить однородное уравнение, привести его к тангенсам и решить. Однако это долгий и нудный путь, который требует большого объема вычислений.

Предлагаю задуматься вот на чем. У нас есть $\sin $ и $\cos $. Вспомним формулу косинуса и синуса суммы и разности:

\[\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]

Вернемся к нашему примеру. Все сведем к синусу разности. Но для начала уравнение необходимо немного преобразовать. Найдем коэффициент:

$\sqrt{l}$ — это тот самый коэффициент, на который необходимо разделить обе части уравнения, чтобы перед синусом и косинусом появились числа, которые сами по себе являются синусами и косинусами. Давайте разделим:

\[\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin 2x-\frac{1}{2}\cdot \cos 2x=\frac{1}{2}\]

Посмотрим на то, что у нас получилось слева: существует ли такой $\sin $ и $\cos $, чтобы $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\sin \alpha =\frac{1}{2}$? Очевидно существует: $\alpha =\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}$. Поэтому мы можем переписать наше выражение следующим образом:

\[\cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}\cdot \sin 2x-\sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}\cdot \cos 2x=\frac{1}{2}\]

\[\sin 2x\cdot \cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}-\cos 2x\cdot \sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}=\frac{1}{2}\]

Теперь перед нами формула синуса разности. Мы можем написать так:

\[\sin \left(2x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}} \right)=\frac{1}{2}\]

Перед нами простейшая классическая тригонометрическая конструкция. Напомню:

Это и запишем для нашего конкретного выражения:

\[\left[ \begin{align}& 2x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}=2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\& 2x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\\end{align} \right.\]

\[\left[ \begin{align}& 2x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\& 2x=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\\end{align} \right.\]

\[\left[ \begin{align}& x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\& x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\\end{align} \right.\]

Нюансы решения

Итак, что нужно делать, если вам попалось подобный пример:

1. Преобразовать конструкцию, если нужно.
2. Найти поправочный коэффициент, взять из него корень и разделить обе части примера на него.
3. Смотрим, какие значения синуса и косинуса получаются у чисел.
4. Раскладываем уравнение по формулам синуса или косинуса разности или суммы.
5. Решаем простейшее тригонометрическое уравнение.

В связи с этим у внимательных учеников наверняка возникнет два вопроса.

Что нам мешает на этапе нахождения поправочного коэффициента записать $\sin $ и $\cos $? — Нам мешает основное тригонометрическое тождество. Дело в том, что полученные $\sin $ и $\cos $, как любые другие при одном и том же аргументе, должны при возведении в квадрат в сумме давать ровно «единицу». В процессе решения нужно быть очень внимательным и не потерять «двойку» перед «иксами».

Метод вспомогательного угла — это инструмент, который помогает свести «некрасивое» уравнение к вполне адекватному и «красивому».

Пример № 2

\[\sqrt{3}\sin 2x+2{{\sin }^{2}}x-1=2\cos x\]

Мы видим, что у нас есть ${{\sin }^{2}}x$, поэтому давайте воспользуемся выкладками понижения степеней. Однако прежде чем ними воспользоваться, давайте их выведем. Для этого вспомним, как найти косинус двойного угла:

\[\cos 2x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=2{{\cos }^{2}}x-1=1-2{{\sin }^{2}}x\]

Если мы запишем $\cos 2x$ в третьем варианте, то получим:

\[\cos 2x=1-2{{\sin }^{2}}x\]

\[{{\sin }^{2}}x=\frac{1-{{\cos }^{2}}x}{x}\]

Я выпишу отдельно:

\[{{\sin }^{2}}x=\frac{1-\cos 2x}{2}\]

То же самое можно сделать и для ${{\cos }^{2}}x$:

\[{{\cos }^{2}}x=\frac{1+\cos 2x}{2}\]

Нам потребуется только первые выкладки. Давайте приступим к работе над задачей:

\[\sqrt{3}\cdot \sin 2x+2\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}-1=2\cos x\]

\[\sqrt{3}\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]

\[\sqrt{3}\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]

Теперь воспользуемся выкладками косинуса разности. Но для начала посчитаем поправку $l$:

Перепишем с учетом этого факта:

\[\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin 2x-\frac{1}{2}\cdot \cos 2x=\cos x\]

В этом случае мы можем записать, что $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$, а $\frac{1}{2}=\cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$. Перепишем:

\[\sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{3}}\cdot \sin 2x-\cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{3}}\cdot \cos 2x=\cos x\]

\[-\cos \left(\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{3}}+2x \right)=\cos x\]

Внесем «минус» в скобку хитрым способом. Для этого заметим следующее:

\[\cos \left(\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{3}}+2x \right)=\cos \left(\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ +}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{3}}+2x \right)=\]

\[=\cos \left(\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+2x \right)=\cos \left(\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+\varphi \right)=-\cos \varphi \]

Возвращаемся к нашему выражению и вспоминаем, что в роли $\varphi $ у нас выражение $-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+2x$. Поэтому запишем:

\[-\left(-\cos \left(-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+2x \right) \right)=\cos x\]

\[\cos \left(2x-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right)=\cos x\]

Чтобы решить подобною задачу, нужно вспомнить такое:

\[\cos \alpha =\cos \beta \]

\[\left[ \begin{align}& \alpha =\beta +2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\& \alpha =-\beta +2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\\end{align} \right.\]

Разберемся с нашим примером:

\[\left[ \begin{align}& 2x-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}=x+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\& 2x-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}=-x+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\\end{align} \right.\]

Давайте посчитаем каждое из этих уравнений:

И вторую:

Запишем окончательный ответ:

\[\left[ \begin{align}& x=\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\& x=\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{9}+\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n}{3} \\\end{align} \right.\]

Нюансы решения

На самом деле, это выражение решается множеством различных способов, однако именно метод вспомогательного угла является в данном случае оптимальным. Кроме того, на примере данной конструкции хотелось бы обратить ваше внимание еще на несколько интересных приемов и фактов:

• Формулы понижения степеней. Эти формулы не нужно запоминать, однако нужно знать, как их выводить, о чем я вам сегодня и рассказал.
• Решение уравнений вида $\cos \alpha =\cos \beta $.
• Добавление «нуля».

Но и это еще не все. До сих пор $\sin $ и $\cos $, которые мы выводили в качестве дополнительного аргумента, мы считали, что они должны быть положительными. Поэтому сейчас мы решим более сложные задачи.

Разбор более сложных задач

Пример № 1

\[\sin 3x+4{{\sin }^{3}}x+4\cos x=5\]

Преобразуем первое слагаемое:

\[\sin 3x=\sin \left(2x+x \right)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]

\[=2\left(1-\cos 2x \right)\cdot \sin x\]

А теперь подставим все это в нашу исходную конструкцию:

\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin 2x\cos x-\operatorname{cosx}-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin \left(2x-x \right)+2\sin x+4\cos x=5\]

Давайте введем нашу поправку:

Записываем:

\[\frac{3}{5}\sin x+\frac{4}{5}\cos x=1\]

Таких $\alpha $, для которых $\sin $ или $\cos $ был бы равен $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{5}$ в тригонометрической таблице нет. Поэтому давайте просто так и напишем и сведем выражение к синусу суммы:

\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]

\[\sin \left(x+\varphi \right)=1\]

Это частный случай, простейшая тригонометрическая конструкция:

Осталось найти, чему равен $\varphi $. Именно в этом месте многие ученики ошибаются. Дело в том, что на $\varphi $ накладываются два требования:

\[\left\{ \begin{align}& \cos \varphi =\frac{3}{5} \\& \sin \varphi =\frac{4}{5} \\\end{align} \right.\]

Начертим радар и посмотрим, где такие значения встречаются:

Возвращаясь к нашему выражению, мы напишем следующее:

Но и эту запись можно немного оптимизировать. Поскольку мы знаем следующее:

\[\alpha:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}},\]

то в нашем случае можно записать так:

Пример № 2

Здесь потребуется еще более глубокое понимание методик решения стандартных задач без тригонометрии. Но для решения этого примера мы также используем метод вспомогательного угла.\[\]

Первое, что бросается в глаза — здесь нет степеней выше первой и поэтому ничего нельзя разложить по формулам разложения степеней. Воспользуется обратными выкладками:

Зачем я разложил $5$. Вот смотрите:

Единицу по основному тригонометрическому тождеству мы можем расписать как ${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x$:

Что дает нам такая запись? Дело в том, что в первой скобке стоит точный квадрат. Свернем его и получим:

Предлагаю ввести новую переменную:

\[\sin x+\cos x=t\]

В этом случае мы получим выражение:

\[{{t}_{1}}=\frac{5+1}{4}=\frac{3}{2}\]

\[{{t}_{2}}=\frac{5-1}{4}=1\]

Итого мы получаем:

\[\left[ \begin{align}& \sin x+\cos x=\frac{3}{2} \\& \sin x+\cos x=1 \\\end{align} \right.\]

Разумеется, знающие ученики сейчас скажут, что такие конструкции легко решаются с помощью сведения к однородному. Однако мы решим каждое уравнение методом вспомогательного угла. Для этого сначала посчитаем поправку $l$:

\[\sqrt{l}=\sqrt{2}\]

Разделим все на $\sqrt{2}$:

\[\left[ \begin{align}& \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{3}{2\sqrt{2}} \\& \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2} \\\end{align} \right.\]

Все сведем к $\cos $:

\[\cos x\cdot \cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\sin x\sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}\]

\[\left[ \begin{align}& \cos \left(x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} \right)=\frac{3}{2\sqrt{2}} \\& \cos \left(x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \\\end{align} \right.\]

Разбираемся с каждым из этих выражений.

Первое уравнение корней не имеет, и для доказательства этого факта нам поможет иррациональность в знаменателе. Заметим следующее:

\[\sqrt{2}<1,5\]

\[\frac{3}{2\sqrt{2}}>\frac{3}{3\cdot 1,5}=\frac{3}{3}=1\]

Итого мы четко доказали, что требуется, чтобы $\cos \left(x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right)$ был равен числу, которое большее «единицы» и, следовательно, у этой конструкции корней нет.

Разбираемся со вторым:

Решаем эту конструкцию:

В принципе, можно оставить ответ таким, а можно его расписать:

Важные моменты

В заключение хотел бы еще раз обратить ваше внимание на работу с «некрасивыми» аргументами, т.е. когда $\sin $ и $\cos $ не являются табличными значениями. Проблема состоит в том, что если мы утверждаем, что в нашем уравнении $\frac{3}{5}$ — это $\cos $, а $\frac{4}{5}$ — это $\sin $, то в итоге, после того как мы решим конструкцию, нужно учитывать оба этих требования. Мы получаем систему из двух уравнений. Если мы не будем это учитывать, то получим следующую ситуацию. В этом случае мы получим две точки и на месте $\varphi $ у нас окажется два числа: $\arcsin \frac{4}{5}$ и $-\arcsin \frac{4}{5}$, однако последний нас ни в коем случае не устраивает. То же самое будет и с точкой $\frac{3}{5}$.

Такая проблема возникает только тогда, когда речь идет о «некрасивых» аргументах. Когда у нас табличные значения, то ничего такого нет.

Надеюсь, сегодняшний урок помог вам разобраться, что такое метод вспомогательного угла и как его применять на примерах разного уровня сложности. Но это не единственный урок, посвященный решению задач методом вспомогательного угла. Поэтому оставайтесь с нами!

Тема урока: Метод введения вспомогательного угла при решении тригонометрических уравнений.

Актуализация.

Учитель.

Ребята! Мы познакомились с различными видами тригонометрических уравнений и научились их решать. Сегодня обобщим знания методов решения тригонометрических уравнений различных видов. Для этого я прошу провести работу по классификации предложенных вам уравнений (см. уравнения №№ 1-10 в Приложении — в конце конспекта в PDF виде)

Заполните таблицу: укажите вид уравнения, метод его решения и сопоставьте номера уравнений виду, к которому они принадлежат.

Ученики. Заполняют таблицу.

Вид уравнения	Метод решения	Уравнения
Простейшие	Формулы корней	№1
Приводимые к квадратным	Метод замены переменной	№2,3
Сложный тригонометрический вид	Упростить до известного вида с помощью формул тригонометрии	№4,5
Однородные первой степени	Разделить уравнение почленно на косинус переменной	№6
Однородные второй степени	Разделить уравнение почленно на квадрат косинуса переменной	№7

Проблематизация.

Заполняя таблицу, учащиеся сталкиваются с проблемой. Они не могут определить вид и метод решения трех уравнений: №8,9,10.

Учитель. Все ли уравнения вам удалось классифицировать по форме и методу решения?

Ответ учащихся. Нет, три уравнения не удалось поместить в таблицу.

Учитель. Почему?

Ответ учащихся. Они не похожи на известные виды. Метод решения неясен.

Целеполагание.

Учитель. Как же тогда мы сформулируем цель нашего занятия?

Ответ учащиеся . Определить обнаруженный новый тип уравнений и найти метод их решения.

Учитель . Можно ли сформулировать тему занятия, если мы не знаем вида обнаруженных уравнений и метода их решения?

Ответ учащихся . Нет, но можно это сделать позже, когда разберемся, с чем имеем дело.

Планирование деятельности.

Учитель. Давайте спланируем нашу деятельность. Обычно мы определяем тип, а затем ищем метод решения тригонометрических уравнений. В нашей сегодняшней ситуации возможно ли дать определенное название виду обнаруженных уравнений? И вообще, принадлежат ли они одному виду?

Ответ учащихся. Это трудно сделать.

Учитель. Тогда подумайте, может что-то их объединяет, или они похожи на какой-то тип?

Ответ учащихся. Левая часть этих уравнений такая же, как у однородных, но правая их часть не равна нулю. А значит, деление на косинус только усложнит решение.

Учитель. Может быть, начнем с поиска метода решения, а затем определим типаж уравнения? Какое уравнение из 3-х кажется вам наиболее простым?

Учащиеся отвечают , но единства мнений нет. Возможно, кто-то догадается, что коэффициенты в уравнении №8 следует выразить как синус и косинус табличного угла. И тогда класс определит уравнение, которое можно решить первым. Если нет, то учитель предлагает рассмотреть дополнительное уравнение (см. уравнение № 11 в Приложении — в конце конспекта в PDF виде) . В нем коэффициенты равны синусу и косинусу известного угла и ученики должны это заметить.

Учитель предлагает очередность пунктов деятельности. (Cм. уравнения в Приложении — в PDF виде, в конце конспекта).

1. Решить первое уравнение (№11), заменив коэффициенты значениями синуса и косинуса известного угла и применив формулу синуса суммы.
2. Попытаться преобразовать другие уравнения к виду первого и применить тот же метод. (см. уравнение № 8,9, 12 )
3. Обобщить и распространить метод на любые коэффициенты и сконструировать общий алгоритм действий (см. уравнение №10).
4. Применить метод к решению других уравнений того же типа. (см. уравнения №№ 12,13, 14).

Реализация плана.

Учитель . Ну что ж, план мы составили. Приступим к его реализации.

У доски ученик решает уравнение № 11.

Второй ученик решает следующее уравнение №8, предварительно поделив его на постоянное число и, тем самым, сведя ситуацию к уже найденному способу решения.

Учитель предлагает решить уравнения № 9,12 самостоятельно. Проверяет правильность преобразований и множество решений.

Учитель. Ребята, как можно назвать угол, который появляется вместо коэффициентов уравнения и помогает нам выйти на решение?

Ответ учащихся. Дополнительный. (Вариант: вспомогательный).

Учитель. Не всегда легко подобрать такой вспомогательный угол. Можно ли его найти, если коэффициенты не есть синус и косинус известных углов? Какому тождеству должны удовлетворять такие коэффициенты, если мы хотим их представить как синус и косинус вспомогательного угла?

Ответ. Основному тригонометрическому тождеству.

Учитель. Молодец! Правильно! Значит перед нами задача — получить такие коэффициенты, чтобы сумма их квадратов была равна единице! Постарайтесь придумать число, на которое нужно поделить уравнение так, чтобы выполнялось указанное нами условие.

Ученики думают и, возможно, предложат поделить все на корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов уравнения. Если нет, то учитель подводит их к этой мысли.

Учитель. Нам остается выбрать, какой из новых коэффициентов обозначить синусом вспомогательного угла, а какой – косинусом. Возможны два варианта. От выбора зависит переход к простейшему уравнению с синусом, либо косинусом.

Ученики предлагают вариант решения, и учитель его завершает, обращая внимание на форму записи рассуждений и ответа. Решают уравнение № 10.

Учитель . Мы открыли для себя метод решения нового типа уравнений? Как назовем этот тип?

Ответ. Мы работали методом поиска вспомогательного угла. Может быть уравнения нужно назвать уравнениями, которые решаются с помощью вспомогательных углов?

Учитель. Конечно можно. А можно придумать формулу их вида? Это будет короче.

Ответ. Да. Уравнения с коэффициентами А, В и С.

Учитель. Давайте обобщим метод для произвольных коэффициентов.

Учитель обсуждает и записывает на доске формулы синуса и косинуса вспомогательного угла для обобщенных коэффициентов. Затем с их помощью решает уравнения №13 и 14.

Учитель. Достаточно ли хорошо мы овладели методом?

Ответ. Нет. Нужно прорешать подобные уравнения и закрепить умение пользоваться методом вспомогательного угла.

Учитель. Как мы поймем, что метод усвоили?

Ответ. Если самостоятельно решим несколько уравнений.

Учитель. Давайте установим качественную шкалу усвоения метода.

Познакомьтесь с характеристиками уровней и расположите их на шкале, отражающей уровень владения этим умением. Соотнесите характеристику уровня и балл (от 0 до 3)

• Умею решать уравнения с различными коэффициентами
• Не умею решать уравнения
• Умею решать уравнения повышенной сложности
• Умею решать уравнения с табличными коэффициентами

Учитель. (После ответа учеников) Итак, наша шкала оценок такова:

По такому же принципу оценим самостоятельную работу по теме на следующем уроке.

А сейчас, решите, пожалуйста, уравнения № 1148 г, 1149 г, 1150 г и определите свой уровень усвоения темы.

Не забудьте завершить записи в таблице и назвать тему: «Введение вспомогательного угла при решении тригонометрических уравнений».

Рефлексия способа достижения цели.

Учитель. Ребята, достигли ли мы поставленной цели занятия?

Ответы учащихся . Да, мы научились распознавать новый тип уравнений.

Нашли метод их решения с использованием вспомогательного угла.

Научились применять метод на практике.

Учитель. А как мы действовали? Как пришли к пониманию того, что нам нужно делать?

Ответ. Мы рассмотрели несколько частных случаев уравнений с «узнаваемыми» коэффициентами и эту логику распространили на любые значения А, В и С.

Учитель. Это индуктивный путь размышления: мы на основе нескольких случаев вывели способ и применили его в аналогичных случаях.

Перспектива. Где мы можем применить подобный путь размышления? (ответы учеников)

Вы хорошо поработали сегодня на уроке. Дома ознакомьтесь с описанием метода вспомогательного угла в учебнике и решите №№ 1148 (а, б, в), 1149 (а, б, в), 1150 (а, б, в). Я надеюсь, что на следующем уроке вы все прекрасно будете использовать этот метод при решении тригонометрических уравнений.

Спасибо за работу на уроке!