Урок математики в 8Б классе
Тема урока: Иррациональные числа.
Ляпустина Наталия Юрьевна
учитель математики
МОБУ Лицей №:6
Цели:
Ввести понятие иррационального числа;
Научить находить приближенные значения корней с помощью микрокалькулятора;
Познакомить с четырехзначными математическими таблицами;
Закрепить навык преобразования обыкновенной дроби в десятичную и десятичной бесконечной периодической дроби в обыкновенную;
Развивать память, мышление.
Ход урока
I Актуализация опорных знаний.
Проверка домашнего задания:
а) Представить в виде десятичной дроби: 38/11 = 3,(45)
б) Представить в виде обыкновенной дроби: 1,(3) = 4/3 0,3(17) = 157/495
II Устные упражнения (презентация)
1) Дать определение квадратного корня и выполнить задания. Записать на доске
2) Прочитайте дроби:
0,(5); 3,(24); 15,2(57); 3,51(3)
4) Округлите данные числа:
3,45; 10,59; 23,263; 0,892
А) до единиц;
Б) до десятых.
III Изучение нового материала
1. Сообщение темы и целей урока
2. Объяснение учителя
Наряду с бесконечными периодическими дробями в математике также рассматриваются бесконечные непериодические дроби. На прошлом уроке вы познакомились с понятием рациональных чисел. И знаете, что любое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби, конечной или бесконечной периодической.
Бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными числами.
Например, дроби
Когда же получаются иррациональные числа?
1) При извлечении квадратных корней.
В курсе высшей математики доказывается, что из любого неотрицательного числа можно извлечь квадратный корень.
Например:
рациональные числа
Иррациональные числа
2) Иррациональные числа получаются не только при извлечении корней.
Например:
3) Сообщение «Из истории иррациональных чисел» Вавилонский способ.
Можно узнать любую n -ую цифру после запятой для любого иррационального числа
4) . На практике для нахождения приближенных значений корней с требуемой точностью используются таблицы, микрокалькуляторы и другие вычислительные средства.
Для тех, кто интересуется более подробно познакомиться с нахождением квадратных корней с помощью таблицы может почитать пояснения к таблице.
2)В настоящее время чаще всего для нахождения приближенных значений корней пользуются микрокалькулятором.
Пример работы с калькулятором
3. Устно решают №321
Какие числа называются иррациональными? (чтение ответа из учебника)
4. Закрепление изученного материала
Решить уравнение: по определению квадратного корня.
11.2(а,в)
11.5 (а,б)
Разбирают и записывают на доске.
5. Работа по карточкам
Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,001
Числа 1, 2, 3 … - натуральные числа Натуральные числа – числа, возникающие естественным образом при счёте. Существуют два подхода к определению натуральных чисел числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …); обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). 2
3
4
,
9 Математики Древней Греции более двадцати веков тому назад пришли к выводу, что нет ни целого, ни дробного числа, выражающего диагональ квадрата со стороной 1. Это вызвало кризис в математической науке: диагональ у квадрата есть, а длины у неё нет! Математики нашли выход из этой ситуации: раз имеющегося запаса чисел – целых и дробных – не хватает для выражения длин отрезков, значит, нужны какие-то новые числа. Так появились иррациональные числа.
10 Измерение длин отрезков на координатной прямой Работа с учебником стр.63 – 64 п. 11. Устно ответить на вопросы: 1. Как можно измерить длину любого отрезка? 2. Как можно получить более точный результат (с точностью до 0,1; 0,01 и 0,001? 3. Какие числа окажутся в результате измерений?
11
12
13
16
Сравним числа 2,36366… и 2,37011… совпадают в разряде сотых у первой дроби число единиц меньше, чем у второй, поэтому 2,36366…
20
Иррациональные числа Натуральные числа Натуральные числа Целые числа Целые числа Рациональные числа Рациональные числа –6(3) 7, … 345 π π 1,24(53) 21
1. 276, 277, 281 (а, в, д) ,
1.Алгебpа. 8 класс. Учебник. ФГОС. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. Под ред. С.А.Теляковского г. 2.Алгебра, 8 класс, Поурочные планы, Дюмина Т.Ю., Махонина А.А., 2012: CD; 3. html 4. gifhttp://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/4/80/35/ _ _skola1. gif 5. jp jpghttp:// jpg 7. Литература и Интернет–ресурсы: 27
Тема: Иррациональные числа
На координатной оси с единичным отрезком ОЕ
отмечена точка D
. Является ли длина отрезка OD
рациональным числом?
Измерим длину OD
при помощи единичного отрезка.
Получим остаток – отрезок FD
, длина которого меньше единичного отрезка. Можно сказать, округлив до целых, что длина отрезка OD
приблизительно равна 3, OD
≈ 3.
Чтобы измерить длину OD
возьмем за единицу измерения десятую часть единичного отрезка – длину отрезка OE 1
.
От точки F
отложим OE 1
дважды при этом получится остаток F 1 D
, длина которого меньше длины отрезка OE 1
, выбранного единичным отрезком. Можно сказать, округлив до десятых, что длина отрезка OD
приблизительно равна 3,2, OD
≈ 3,2.
Чтобы измерить длину отрезка OD
ещё точнее, будем выбирать меньшие единицы измерения – сотую, тысячную, десятитысячную, стотысячную части единичного отрезка и так далее. В результате измерения возможны два варианта.
Иррациональными называются числа, не являющиеся рациональными, то есть числа, которые не могут быть представлены в виде дроби m /n , где m – целое число, а n – натуральное. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.
Приведем пример такого числа.
Построим квадрат со стороной, равной длине единичного отрезка OE
. Проведем диагональ ОВ
. Теперь построим новый квадрат, стороной которого будет диагональ ОВ
. Обратим внимание, что новый квадрат в два раза больше старого. Значит площадь его S
в два раза больше, S
= 2. Выходит, что длина стороны нового квадрата ОВ
равна числу, квадрат которого равен двум.
Измерим длину стороны нового квадрата ОВ
при помощи единичного отрезка, как мы делали вначале. Длина единичного отрезка OE"
укладывается в отрезок OB
один раз, при этом получается остаток – E"B
. Округлив до целых, получим, что длина стороны OB
приблизительно равна одному. OB
≈1.
Чтобы измерить длину отрезка ОВ
точнее будем выбирать меньшие единичные отрезки – десятую, сотую, тысячную части единичного отрезка ОЕ
и так далее. На одном из шагов получим число: OB
≈1,41421356… – иррациональное число.
Эта десятичная дробь не является периодической. Если бы на каком-то шаге измерения был определен период дроби, то данное число было бы рациональным, то есть его можно было бы представить в виде дроби m
/n
, где m
– целое число, а n
– натуральное. Однако не существует такого рационального числа, квадрат которого равен двум.
Таким образом, длина отрезка OB
выражена бесконечной десятичной непериодической дробью, или иррациональным числом.
Любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Множество иррациональных чисел обозначается буквой – I
.
I – множество иррациональных чисел.
Десятичное измерение длин отрезков каждой точке координатной оси ставит в соответствие бесконечную десятичную дробь, модуль которой равен длине измеряемого отрезка.
|OD
| = 3,2300980107...
Точке D
соответствует число 3,2300980107...
|OG
| = 1,72 = 1,72000… = 1,72(0)
Точке G
соответствует число −1,72(0) или −1,72
Знак дроби зависит от расположения точки – справа от начальной точки О
– положительные числа, слева – отрицательные.
Обратное утверждение также верно: взяв произвольную десятичную бесконечную дробь, мы всегда найдем на координатной оси справа или слева от точки О
такую точку А
, что длина отрезка ОА
выражается модулем этой дроби. Знак дроби соответствует расположению точки А
.
|OA
| = 2,2(0)
Точке A
соответствует число 2,2(0) или 2,2.
Любой точке координатной оси ставится в соответствие бесконечная десятичная дробь: если дробь периодическая, то данной точке соответствует рациональное число, если дробь непериодическая, то – иррациональное число.
Множество рациональных и иррациональных чисел вместе составляют множество действительных чисел (R ).
Таким образом, каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной оси, и наоборот: каждой точке координатной оси соответствует единственное действительное число.
Действительные числа, записанные с помощью бесконечных десятичных дробей можно сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить (на число, отличное от нуля). Эти действия будут выполняться по тем же правилам, что и действия над рациональными числами.
Найдем приближенное значение разности чисел:
3/11 – 0,12230071000134…
3/11=0,(27) ≈ 0,27
0,12230071000134…≈ 0,12
3/11 – 0,12230071000134… ≈ 0,27 – 0,12 = 0,15
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.
Урок математики в 8 классе
Тема урока: Иррациональные числа. Действительные числа.
Синиченкова Галина Алексеевна
учитель математики
МОУ Грибановская ООШ
Цели: - ввести понятие иррационального числа, действительного числа;- научить находить приближенные значения корней с помощью микрокалькулятора;- познакомить с четырехзначными математическими таблицами;- закрепить навык преобразования обыкновенной дроби в десятичную и десятичной бесконечной периодической дроби в обыкновенную;- развивать память, мышление.Ход урока
I Актуализация опорных знаний.
Проверка домашнего задания:а) Представить в виде десятичной дроби: 38/11 =
б) Представить в виде обыкновенной дроби: 1,(3) = 0,3(17) =
в) Карточка:Представить в виде обыкновенной дроби:1 вариант 2 вариант 3 вариант 7,4(31) 1,3(4) 4,7(13)
II Устные упражнения 1) Прочитайте дроби:0,(5); 3,(24); 15,2(57); -3,51(3)2) Вычислите:
3) Округлите данные числа:3,45; 10,59; 23,263; 0,892А) до единиц;Б) до десятых.
III Изучение нового материала 1. Сообщение темы и целей урока 2. Объяснение учителя Наряду с бесконечными периодическими дробями в математике также рассматриваются бесконечные непериодические дроби. На прошлом уроке вы познакомились с понятием рациональных чисел. И знаете, что любое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби, конечной или бесконечной.Например, дроби0,1010010001…0,123456…2,723614…Бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными числами.
Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.
Арифметические действия и правила сравнения для действительных чисел определяются так, что свойства этих действий, а также свойства равенств и неравенств также как и для рациональных чисел.
Когда же получаются иррациональные числа?
1) При извлечении квадратных корней.В курсе высшей математики доказывается, что из любого неотрицательного числа можно извлечь квадратный корень.
Например
2) Иррациональные числа получаются не только при извлечении корней.
Например
4. Сообщение «Из истории иррациональных чисел»
5. На практике для нахождения приближенных значений корней с требуемой точностью используются таблицы, микрокалькуляторы и другие вычислительные средства. 1). Знакомство с четырехзначными математическими таблицами.(стр. 35)
Для тех, кто интересуется более подробно познакомиться с нахождением квадратных корней с помощью таблицы может почитать пояснения к таблице.
2). В настоящее время чаще всего для нахождения приближенных значений корней пользуются микрокалькулятором.
Пример
IV Закрепление изученного материала
№322(1,3,5) Разбирают и записывают на доске.
6. Работа по карточкам
Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,001
7. Геометрически действительные числа изображаются точками числовой оси Стр. 89 (рис.30)
V Усвоение изученного материала Самостоятельная работа
Вариант 1
- Сравнить числа
Вариант 2
- Сравнить числа
VI Домашнее задание : п.21, №322(2,4,6), №323, дополнительное задание (карточки)
VII Итог урока и выставление оценок. - Какие числа называются иррациональными?- Какие числа образуют множество действительных чисел?