Числа 1, 2, 3 … - натуральные числа Натуральные числа – числа, возникающие естественным образом при счёте. Существуют два подхода к определению натуральных чисел числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …); обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). 2
4
9 Математики Древней Греции более двадцати веков тому назад пришли к выводу, что нет ни целого, ни дробного числа, выражающего диагональ квадрата со стороной 1. Это вызвало кризис в математической науке: диагональ у квадрата есть, а длины у неё нет! Математики нашли выход из этой ситуации: раз имеющегося запаса чисел – целых и дробных – не хватает для выражения длин отрезков, значит, нужны какие-то новые числа. Так появились иррациональные числа.
10 Измерение длин отрезков на координатной прямой Работа с учебником стр.63 – 64 п. 11. Устно ответить на вопросы: 1. Как можно измерить длину любого отрезка? 2. Как можно получить более точный результат (с точностью до 0,1; 0,01 и 0,001? 3. Какие числа окажутся в результате измерений?
11
12
13
Сравним числа 2,36366… и 2,37011… совпадают в разряде сотых у первой дроби число единиц меньше, чем у второй, поэтому 2,36366…
Иррациональные числа Натуральные числа Натуральные числа Целые числа Целые числа Рациональные числа Рациональные числа –6(3) 7, … 345 π π 1,24(53) 21
1. 276, 277, 281 (а, в, д) ,
1.Алгебpа. 8 класс. Учебник. ФГОС. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. Под ред. С.А.Теляковского г. 2.Алгебра, 8 класс, Поурочные планы, Дюмина Т.Ю., Махонина А.А., 2012: CD; 3. html 4. gifhttp://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/4/80/35/ _ _skola1. gif 5. jp jpghttp:// jpg 7. Литература и Интернет–ресурсы: 27
Урок математики в 8 классе
Тема урока: Иррациональные числа. Действительные числа.
Синиченкова Галина Алексеевна
учитель математики
МОУ Грибановская ООШ
Цели: - ввести понятие иррационального числа, действительного числа;- научить находить приближенные значения корней с помощью микрокалькулятора;- познакомить с четырехзначными математическими таблицами;- закрепить навык преобразования обыкновенной дроби в десятичную и десятичной бесконечной периодической дроби в обыкновенную;- развивать память, мышление.Ход урока
I Актуализация опорных знаний.
Проверка домашнего задания:а) Представить в виде десятичной дроби: 38/11 =
б) Представить в виде обыкновенной дроби: 1,(3) = 0,3(17) =
в) Карточка:Представить в виде обыкновенной дроби:1 вариант 2 вариант 3 вариант 7,4(31) 1,3(4) 4,7(13)
II Устные упражнения 1) Прочитайте дроби:0,(5); 3,(24); 15,2(57); -3,51(3)2) Вычислите:
3) Округлите данные числа:3,45; 10,59; 23,263; 0,892А) до единиц;Б) до десятых.
III Изучение нового материала 1. Сообщение темы и целей урока 2. Объяснение учителя Наряду с бесконечными периодическими дробями в математике также рассматриваются бесконечные непериодические дроби. На прошлом уроке вы познакомились с понятием рациональных чисел. И знаете, что любое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби, конечной или бесконечной.Например, дроби0,1010010001…0,123456…2,723614…Бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными числами.
Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.
Арифметические действия и правила сравнения для действительных чисел определяются так, что свойства этих действий, а также свойства равенств и неравенств также как и для рациональных чисел.
Когда же получаются иррациональные числа?
1) При извлечении квадратных корней.В курсе высшей математики доказывается, что из любого неотрицательного числа можно извлечь квадратный корень.
Например
2) Иррациональные числа получаются не только при извлечении корней.
Например
4. Сообщение «Из истории иррациональных чисел»
5. На практике для нахождения приближенных значений корней с требуемой точностью используются таблицы, микрокалькуляторы и другие вычислительные средства. 1). Знакомство с четырехзначными математическими таблицами.(стр. 35)
Для тех, кто интересуется более подробно познакомиться с нахождением квадратных корней с помощью таблицы может почитать пояснения к таблице.
2). В настоящее время чаще всего для нахождения приближенных значений корней пользуются микрокалькулятором.
Пример
IV Закрепление изученного материала
№322(1,3,5) Разбирают и записывают на доске.
6. Работа по карточкам
Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,001
7. Геометрически действительные числа изображаются точками числовой оси Стр. 89 (рис.30)
V Усвоение изученного материала Самостоятельная работа
Вариант 1
- Сравнить числа
Вариант 2
- Сравнить числа
VI Домашнее задание : п.21, №322(2,4,6), №323, дополнительное задание (карточки)
VII Итог урока и выставление оценок. - Какие числа называются иррациональными?- Какие числа образуют множество действительных чисел?
? Ю.Н.Макарычев Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений-М.: Просвещение, 2014 г.
? Н.Г. Миндюк Дидактические материалы. Алгебра. 8 класс-М.: Просвещение, 2014г.
? Н.Г. Миндюк Рабочая тетрадь. Часть 1 Алгебра. 8 класс-М.: Просвещение, 2014г.
- Проектор
- Компьютер
Ход урока
- Организационный момент
- Устная работа
- m / n , где m-целое число, n-натуральное. Пример 3/5 можно представить разными способами: 3/5=6/10=9/15=…….)
- Какие множества вы уже знаете? (натуральные -N, целые-Z, рациональные - Q,
- Задание на доске: Определите к какому множеству принадлежит каждое из чисел? Заполните таблицу. ; 0,2020020002…; -p.
Натуральные -N
Рациональные - Q
7; 19; 235; -90
7; 19; 3/8; -5,7; 235; -90; -1(4/11)
А эти числа 0,2020020002…; -p куда следует отнести?
«НЕ» заменим приставкой «ИР».
Иррациональное число - десятичная бесконечная периодическая дробь.
где т - целое число, п - натуральное.
Вернемся к нашей таблице. (Допишем в 4-ю колонку иррациональные числа и 0,2020020002…; -p
Закрепление
1-я - задания на определение принадлежности к различным числовым множествам.
2-я - задания на сравнение действительных чисел.
Тест с последующей проверкой
13) Число p является действительным.
14) Число 3,1(4) меньше числа p.
15 правильных ответов - оценка «5»
12-14 правильных ответов - оценка «4»
Рефлексия
Домашнее задание
№278; 281; 282
Оценки за урок.
Спасибо за урок!
«План»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Тургеневская СОШ»
Учитель: Лойко Галина Алексеевна
План урока по теме
«Иррациональные числа»
«Числа не управляют миром,
ЦЕЛИ УРОКА:
Цели обучения:
развитие познавательного интереса через применение занимательных задач и примеров.
2. Цель воспитания:
воспитание осознанных мотивов учения и положительного отношения к знаниям.
Учебно-методическое обеспечение
● Ю.Н.Макарычев Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений-М.: Просвещение, 2014 г.
●Н.Г. Миндюк Дидактические материалы. Алгебра. 8 класс-М.: Просвещение, 2014г.
● Н.Г. Миндюк Рабочая тетрадь. Часть 1 Алгебра. 8 класс-М.: Просвещение, 2014г.
Необходимое оборудование и материалы для занятий :
Проектор
Компьютер
Ход урока
Какую тему мы изучили на прошлом уроке? (Рациональные числа)
Какие числа называются рациональными? (Числа, которые можно представить в виде дроби m / n , где m -целое число, n -натуральное. Пример 3/5 можно представить разными способами: 3/5=6/10=9/15=……..)
Какие множества вы уже знаете? (натуральные –N , целые-Z , рациональные – Q ,
Задание на доске: Определите к какому множеству принадлежит каждое из чисел? Заполните таблицу. -7; 19; 3/8; -5,7; 235; -90; -1(4/11); 0,2020020002…; -.
Организационный момент
Устная работа
| Натуральные –N | Целые-Z | Рациональные – Q | |
| 7; 19; 235; -90 | 7; 19; 3/8; -5,7; 235; -90; -1(4/11) |
А эти числа 0,2020020002…; - куда следует отнести?
Наших знаний не хватает, чтобы что-то сказать о них. И вот сейчас мы переходим к изучению нового материала, а тема урока «Иррациональные числа», узнаете какие числа называются иррациональными и приведем примеры.
Рассмотрим бесконечную десятичную дробь
Данная бесконечная десятичная дробь по определению не является рациональным.
Значит эта дробь «не рациональное» число.
«НЕ» заменим приставкой «ИР».
Получим «иррациональное» число.
Иррациональное число
Рассмотрим примеры иррациональных чисел.
Иррациональное нельзя представить в виде дроби
где
т –
целое число,
п
– натуральное.
Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить, сравнивать.
Вернемся к нашей таблице. (Допишем в 4-ю колонку иррациональные числа и 0,2020020002…; -
Обобщим знания о всех множествах чисел
Закрепление
Все задания из учебника можно разбить на 2 группы.
1-я – задания на определение принадлежности к различным числовым множествам.
2-я – задания на сравнение действительных чисел.
Выполним номера: №276, 277, 279, 287.(устно)
Выполним номера: № 280, 283, 288 (у доски)
Тест с последующей проверкой
«+» - согласен с утверждением; «-» - не согласен с утверждением.
1) Всякое целое число является натуральным.
2) Всякое натуральное число является рациональным.
3) Число -7 является рациональным.
4) Сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.
5) Разность двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.
6) Произведение двух целых чисел всегда является целым числом.
7) Частное двух целых чисел всегда является целым числом.
8) Сумма двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.
9) Частное двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.
10) Всякое иррациональное число является действительным.
11) Действительное число не может быть натуральным.
12) Число 2,7(5) является иррациональным.
15) Число - 10 принадлежит одновременно множеству целых, рациональных и действительных чисел.
8-11 правильных ответов - оценка «3»
менее 8 следует подучить теорию.
Рефлексия
Какие числа называются рациональными, иррациональными?
Из каких чисел состоит множество действительных чисел?
Домашнее задание
№278; 281; 282
Оценки за урок.
Спасибо за урок!
Просмотр содержимого документа
«Тест с последующей проверкой»
Тест с последующей проверкой
«+» - согласен с утверждением;
«-» - не согласен с утверждением.
1) Всякое целое число является натуральным.
2) Всякое натуральное число является рациональным.
3) Число -7 является рациональным.
4) Сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.
5) Разность двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.
6) Произведение двух целых чисел всегда является целым числом.
7) Частное двух целых чисел всегда является целым числом.
8) Сумма двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.
9) Частное двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.
10) Всякое иррациональное число является действительным.
11) Действительное число не может быть натуральным.
12) Число 2,7(5) является иррациональным.
13) Число является действительным.
14) Число 3,1(4) меньше числа .
15) Число - 10 принадлежит одновременно множеству целых, рациональных и действительных чисел.
Ответы
| «Иррациональные числа» «Числа не управляют миром, но они показывают, как управлять им»  ЦЕЛИ УРОКА 1 Цели обучения:
2. Цель воспитания:
 Рассмотрим бесконечную десятичную дробь Данная бесконечная десятичная дробь по определению не является рациональным. Значит эта дробь «не рациональное» число. «НЕ» заменим приставкой «ИР» . Получим «иррациональное» число. Иррациональное число – десятичная бесконечная периодическая дробь.  Рассмотрим примеры иррациональных чисел. Иррациональное нельзя представить в виде дроби где т – целое число, п – натуральное.  Действительные числа Рациональные числа Иррациональные числа Дробные числа Бесконечные непериодические дроби Целые числа Отрицательные числа Обыкновенные дроби Нуль Десятичные дроби Положительные числа Конечные Бесконечные периодические  Ключ к тесту  Оценка 15 правильных ответов – оценка «5» 12-14 правильных ответов – оценка «4» 8-11 правильных ответов - оценка «3» менее 8 следует подучить теорию.  Домашнее задание. № 278 № 281 № 282  |
Тема: Иррациональные числа
На координатной оси с единичным отрезком ОЕ
отмечена точка D
. Является ли длина отрезка OD
рациональным числом?
Измерим длину OD
при помощи единичного отрезка.
Получим остаток – отрезок FD
, длина которого меньше единичного отрезка. Можно сказать, округлив до целых, что длина отрезка OD
приблизительно равна 3, OD
≈ 3.
Чтобы измерить длину OD
возьмем за единицу измерения десятую часть единичного отрезка – длину отрезка OE 1
.
От точки F
отложим OE 1
дважды при этом получится остаток F 1 D
, длина которого меньше длины отрезка OE 1
, выбранного единичным отрезком. Можно сказать, округлив до десятых, что длина отрезка OD
приблизительно равна 3,2, OD
≈ 3,2.
Чтобы измерить длину отрезка OD
ещё точнее, будем выбирать меньшие единицы измерения – сотую, тысячную, десятитысячную, стотысячную части единичного отрезка и так далее. В результате измерения возможны два варианта.
Иррациональными называются числа, не являющиеся рациональными, то есть числа, которые не могут быть представлены в виде дроби m /n , где m – целое число, а n – натуральное. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.
Приведем пример такого числа.
Построим квадрат со стороной, равной длине единичного отрезка OE
. Проведем диагональ ОВ
. Теперь построим новый квадрат, стороной которого будет диагональ ОВ
. Обратим внимание, что новый квадрат в два раза больше старого. Значит площадь его S
в два раза больше, S
= 2. Выходит, что длина стороны нового квадрата ОВ
равна числу, квадрат которого равен двум.
Измерим длину стороны нового квадрата ОВ
при помощи единичного отрезка, как мы делали вначале. Длина единичного отрезка OE"
укладывается в отрезок OB
один раз, при этом получается остаток – E"B
. Округлив до целых, получим, что длина стороны OB
приблизительно равна одному. OB
≈1.
Чтобы измерить длину отрезка ОВ
точнее будем выбирать меньшие единичные отрезки – десятую, сотую, тысячную части единичного отрезка ОЕ
и так далее. На одном из шагов получим число: OB
≈1,41421356… – иррациональное число.
Эта десятичная дробь не является периодической. Если бы на каком-то шаге измерения был определен период дроби, то данное число было бы рациональным, то есть его можно было бы представить в виде дроби m
/n
, где m
– целое число, а n
– натуральное. Однако не существует такого рационального числа, квадрат которого равен двум.
Таким образом, длина отрезка OB
выражена бесконечной десятичной непериодической дробью, или иррациональным числом.
Любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Множество иррациональных чисел обозначается буквой – I
.
I – множество иррациональных чисел.
Десятичное измерение длин отрезков каждой точке координатной оси ставит в соответствие бесконечную десятичную дробь, модуль которой равен длине измеряемого отрезка.
|OD
| = 3,2300980107...
Точке D
соответствует число 3,2300980107...
|OG
| = 1,72 = 1,72000… = 1,72(0)
Точке G
соответствует число −1,72(0) или −1,72
Знак дроби зависит от расположения точки – справа от начальной точки О
– положительные числа, слева – отрицательные.
Обратное утверждение также верно: взяв произвольную десятичную бесконечную дробь, мы всегда найдем на координатной оси справа или слева от точки О
такую точку А
, что длина отрезка ОА
выражается модулем этой дроби. Знак дроби соответствует расположению точки А
.
|OA
| = 2,2(0)
Точке A
соответствует число 2,2(0) или 2,2.
Любой точке координатной оси ставится в соответствие бесконечная десятичная дробь: если дробь периодическая, то данной точке соответствует рациональное число, если дробь непериодическая, то – иррациональное число.
Множество рациональных и иррациональных чисел вместе составляют множество действительных чисел (R ).
Таким образом, каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной оси, и наоборот: каждой точке координатной оси соответствует единственное действительное число.
Действительные числа, записанные с помощью бесконечных десятичных дробей можно сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить (на число, отличное от нуля). Эти действия будут выполняться по тем же правилам, что и действия над рациональными числами.
Найдем приближенное значение разности чисел:
3/11 – 0,12230071000134…
3/11=0,(27) ≈ 0,27
0,12230071000134…≈ 0,12
3/11 – 0,12230071000134… ≈ 0,27 – 0,12 = 0,15
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.