Научный руководитель:
1. Введение 3
2. Исторический очерк 4
3. «Место» ОДЗ при решении уравнений и неравенств 5-6
4. Особенности и опасность ОДЗ 7
5. ОДЗ – есть решение 8-9
6. Нахождение ОДЗ – лишняя работа. Равносильность переходов 10-14
7. ОДЗ в ЕГЭ 15-16
8. Заключение 17
9. Литература 18
1. Введение
Проблема: уравнения и неравенства, в которых нужно находить ОДЗ, не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому я и мои сверстники часто делаем ошибки при решении таких примеров, уделив много времени их решению, забыв при этом об ОДЗ.
Цель: уметь анализировать ситуацию и делать логически корректные выводы в примерах, где нужно учесть ОДЗ.
Задачи:
1. Изучить теоретический материал;
2. Прорешать множество уравнений, неравенств: а) дробно-рациональных; б) иррациональных; в) логарифмических; г) содержащих обратные тригонометрические функции;
3. Применить изученные материалы в ситуации, которая отличается от стандартной;
4. Создать работу по теме «Область допустимых значений: теория и практика»
Работа над проектом: работу над проектом я начала с повторения известных мне функций. Область определения многих из них имеет ограничения.
ОДЗ встречается:
1. При решении дробно-рациональных уравнений и неравенств
2. При решении иррациональных уравнений и неравенств
3. При решении логарифмических уравнений и неравенств
4. При решении уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции
Прорешав множество примеров из различных источников (пособий по ЕГЭ, учебников, справочников), я систематизировала решение примеров по следующим принципам:
· можно решить пример и учесть ОДЗ (самый распространённый способ)
· можно решить пример, не учитывая ОДЗ
· можно только учитывая ОДЗ прийти к правильному решению.
Методы, использованные в работе: 1) анализ; 2) статистический анализ; 3) дедукция; 4) классификация; 5) прогнозирование.
Изучила анализ результатов ЕГЭ за прошедшие годы. Много ошибок было допущено в примерах, в которых нужно учитывать ОДЗ. Это ещё раз подчёркивает актуальность моей темы.
2. Исторический очерк
Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубл. 1679) говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона. Однако термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном его понимании. Г. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696) термин «функция» не употребляется.
Первое определение функции в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция - это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Впрочем, уже Л. Эйлеру не чуждо и современное понимание функции, которое не связывает понятие функции с каким-либо аналитическим её выражением. В его «Дифференциальном исчислении» (1755) говорится: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых».
С начала XIX века уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению» (1797-1802) С. Лакруа говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних». В «Аналитической теории тепла» Ж. Фурье (1822) имеется фраза: «Функция f(x) обозначает функцию совершенно произвольную, то есть последовательность данных значений, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениям x , содержащимся между 0 и какой-либо величиной x ». Близко к современному и определение Н. И. Лобачевского: «…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от x называть число, которое даётся для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе». Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое П. Дирихле (1837), неоднократно предлагалось и до него.
Областью определения (допустимых значений) функции у называется совокупность значений независимой переменной х, при которых эта функция определена, т. е. область изменения независимой переменной (аргумента).
3. «Место» области допустимых значений при решении уравнений и неравенств
1. При решении дробно-рациональных уравнений и неравенств знаменатель не должен равняться нулю.
2. Решение иррациональных уравнений и неравенств.
2.1..gif" width="212" height="51"> .
В данном случае нет необходимости находить ОДЗ: из первого уравнения следует, что при полученных значения х выполняется неравенство: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif" width="107" height="27 src="> является система:
Поскольку в уравнение и входят равноправно, то вместо неравенства , можно включить неравенство https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">
https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">
3. Решение логарифмических уравнений и неравенств.
3.1. Схема решения логарифмического уравнения
Но проверить достаточно только одно условие ОДЗ.
3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">
4. Тригонометрические уравнения вида равносильны системе (вместо неравенства в систему можно включить неравенство https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> равносильны уравнению
4. Особенности и опасность области допустимых значений
На уроках математики от нас требуют нахождения ОДЗ в каждом примере. В то же время по математической сути дела нахождение ОДЗ вовсе не является обязательным, часто не нужно, а иногда и невозможно - и все это без какого бы то ни было ущерба для решения примера. С другой стороны, часто случается такое, что решив пример, школьники забывают учесть ОДЗ, записывают её как конечный ответ, учитывают лишь некоторые условия. Обстоятельство это хорошо известно, но «война» продолжается каждый год и, похоже, будет идти еще долго.
Рассмотрим, к примеру, такое неравенство:
Здесь ищется ОДЗ, и неравенство решается. Однако при решении этого неравенства школьники иногда считают, что вполне можно обойтись без поиска ОДЗ, точнее, можно обойтись и без условия
В самом деле, для получения верного ответа необходимо учесть и неравенство , и .
А вот, например, решение уравнения: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">
что равносильно работе с ОДЗ. Однако и в этом примере такая работа излишняя - достаточно проверить выполнение только двух из этих неравенств, причем любых двух.
Напомню, что всякое уравнение (неравенство) может быть сведено к виду . ОДЗ - это просто область определения функции в левой части. То, что за этой областью надо следить, вытекает уже из определения корня как числа из области определения данной функции, тем самым - из ОДЗ. Вот забавный пример на эту тему..gif" width="20" height="21 src="> имеет областью определения множество положительных чисел (это, конечно, договоренность - рассматривать функцию при, , но разумная), а тогда -1 не является корнем.
5. Область допустимых значений – есть решение
И наконец, в массе примеров нахождение ОДЗ позволяет получить ответ без громоздких выкладок, а то и вовсе устно.
1. ОД3 представляет собой пустое множество, а значит, исходный пример не имеет решений.
1)
2) 3) 
2. В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.
1)
, х=3
2)
Здесь в ОДЗ находится только число 1, и после подстановки видно, что оно не является корнем.
3) В ОДЗ находятся два числа: 2 и 3, и оба подходят.
4) > В ОДЗ находятся два числа 0 и 1, и подходит только 1.
Эффективно может использоваться ОДЗ в сочетании с анализом самого выражения.
5) 
< ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.
6) 
Из ОДЗ следует, что, откуда имеем ..gif" width="143" height="24"> Из ОДЗ имеем: . Но тогда и . Так как, то решений нет.
Из ОДЗ имеем:https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, а значит, . Решая последнее неравенство, получим х<- 4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет.
3) ОДЗ: . Так как, то
С другой стороны,https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">
ОДЗ:. Рассмотрим уравнение на промежутке [-1; 0).
На нем выполняются такие неравенства https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src="> и решений нет. При функции и https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">. ОДЗ: х>2..gif" width="233" height="45 src="> Найдём ОДЗ:
Целочисленное решение возможно лишь при х=3 и х=5. Проверкой находим, что корень х=3 не подходит, а значит ответ: х=5.
6. Нахождение области допустимых значений – лишняя работа. Равносильность переходов.
Можно привести примеры, где ситуация ясна и без нахождения ОДЗ.
1. 
Равенство невозможно, ибо при вычитании из меньшего выражения большее должно получатся отрицательное число.
2. 
.
Сумма двух неотрицательных функций не может быть отрицательной.
Приведу также примеры, где нахождение ОДЗ затруднено, а иногда просто невозможно.
И, наконец, поиски ОДЗ являются очень часто просто лишней работой, без которой прекрасно можно обойтись, доказав тем самым понимание происходящего. Тут можно привести громадное число примеров, поэтому я выберу только наиболее типичные. Главным приемом решения являются в этом случае равносильные преобразования при переходе от одного уравнения (неравенства, системы) к другому.
1.
. ОДЗ не нужна, ибо, найдя те значения х, при которых х2=1, мы не можем получить х=0.
2. . ОДЗ не нужна, ибо мы выясняем, когда выполняется равенство подкоренного выражения положительному числу.
3. . ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.
4. 
ОДЗ не нужна, ибо подкоренное выражение равно квадрату некоторой функции, а потому не может быть отрицательным.
5. 
6. ..gif" width="271" height="51"> Для решения достаточно только одного ограничения для подкоренного выражения. В самом деле, из записанной смешанной системы следует, что и другое подкоренное выражение неотрицательно.
8. ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.
9. 
ОДЗ не нужна, так как достаточно, чтобы были положительны два из трех выражений под знаками логарифма, чтобы обеспечить положительность третьего.
10. 
.gif" width="357" height="51"> ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.
Стоит, однако, заметить, что при решении способом равносильных преобразований помогает знание ОДЗ (и свойств функций).
Вот несколько примеров.
1. . ОД3 , откуда следует положительность выражения в правой части, и возможно записать уравнение, равносильное данному, в таком виде https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" width="112" height="27"> ОДЗ: . Но тогда , и при решении этого неравенства не надо рассматривать случай, когда правая часть меньше 0.
3. . Из ОДЗ следует, что , а потому случай, когда https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Переход в общем виде выглядит так:
https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">
Возможны два случая: 0
Значит, исходное неравенство равносильно следующей совокупности систем неравенств:
Первая система не имеет решений, а из второй получаем: x<-1 – решение неравенства.
Понимание условий равносильности требует знания некоторых тонкостей. Например, почему равносильны такие уравнения:
Или 
И наконец, возможно, самое существенное. Дело в том, что равносильность гарантирует правильность ответа, если совершаются какие-то преобразования самого уравнения, но не используется при преобразованиях только в одной из частей. Сокращение, использование различных формул в одной из частей не попадают под действие теорем о равносильности. Некоторые примеры такого вида я уже приводила. Рассмотрим еще примеры.
1. Такое решение естественно. В левой части по свойству логарифмической функции перейдём к выражению ..gif" width="111" height="48">
Решив эту систему, мы получим результат (-2 и 2), который, однако, не является ответом, так как число -2 не входит в ОДЗ. Так что же, нам необходимо установить ОДЗ? Нет, конечно. Но раз мы в решении использовали некое свойство логарифмической функции, то мы обязаны обеспечить те условия, при которых оно выполняется. Таким условием является положительность выражений под знаком логарифма..gif" width="65" height="48">.
2. 
..gif" width="143" height="27 src="> таким способом подстановке подлежат числа 
. Кому охота делать такие нудные выкладки?.gif" width="12" height="23 src="> добавить условие , и сразу видно, что этому условию отвечает только число https://pandia.ru/text/78/083/images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) продемонстрировали 52% сдающих. Одной из причин таких низких показателей является тот факт, что многие выпускники не произвели отбор корней, полученных из уравнения после его возведения в квадрат.
3) Рассмотрим, например, решение одной из задач С1: "Найдите все значения x, для которых точки графика функции 
лежат выше соответствующих точек графика функции ". Задание сводится к решению дробного неравенства, содержащего логарифмическое выражение. Приемы решения таких неравенств нам известны. Самым распространенным из них является метод интервалов. Однако при его применении сдающие допускают разнообразные ошибки. Рассмотрим наиболее распространенные ошибки на примере неравенства:
X < 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.
8. Заключение
Подводя некоторый итог, можно сказать, что универсального метода решения уравнения и неравенств нет. Каждый раз, если хочешь понять, что делаешь, а не действовать механически, возникает дилемма: а какой способ решения выбрать, в частности искать ОДЗ или не надо? Я думаю, что полученный мною опыт поможет мне решить эту дилемму. Я перестану делать ошибки, научившись правильно использовать ОДЗ. Получится ли у меня это, покажет время, точнее ЕГЭ.
9. Литература
И др. «Алгебра и начала анализа 10-11» задачник и учебник, М.: «Просвещение», 2002. «Справочник по элементарной математике». М.: «Наука», 1966. Газета «Математика» №46,Газета «Математика» №Газета «Математика» № «История математики в школе VII-VIII классы». М.: «Просвещение», 1982. и др. «Самое полное издание вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2009/ФИПИ» - М.: «Астрель», 2009. и др. «ЕГЭ. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся/ФИПИ» - М.: «Интеллект-центр», 2009. и др. «Алгебра и начала анализа 10-11». М.: «Просвещение», 2007. , «Практикум по решению задач школьной математики (практикум по алгебре)». М.: Просвещение, 1976. «25000 уроков математики». М.: «Просвещение», 1993. «Готовимся к олимпиадам по математике». М.: «Экзамен», 2006. «Энциклопедия для детей «МАТЕМАТИКА»» том 11, М.: Аванта +; 2002. Материалы сайтов www. *****, www. *****.
Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая.
Функция это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у.
Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).
НАПРИМЕР у=5+х
1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3
2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)
Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).
НАПРИМЕР.
1.у=1/х. (наз.гипербола)
2. у=х^2. (наз. парабола)
3.у=3х+7. (наз. прямая)
4. у= √ х. (наз. ветвь параболы)
Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции.
Область определения функции
Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается D (f) или D (y).
Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.
1. D (у)= (∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.
2. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
3. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
4. D (у)= }