Есть несколько классов уравнений, которые решаются приведением их к квадратным уравнениям. Одним из таких уравнений являются биквадратные уравнения.
Биквадратные уравнения
Биквадратные уравнения - это уравнения вида a*x^4 + b*x^2 + c = 0, где a не равно 0.
Биквадратные уравнения решаются с помощью подстановки x^2 =t. После такой подстановки, получим квадратное уравнении относительно t. a*t^2+b*t+c=0. Решаем полученное уравнение, имеем в общем случае t1 и t2. Если на этом этапе получился отрицательный корень, его можно исключить из решения, так как мы брали t=x^2, а квадрат любого числа есть число положительное.
Возвращаясь к исходным переменным, имеем x^2 =t1, x^2=t2.
х1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).
Разберем небольшой пример:
9*x^4+5*x^2 - 4 = 0.
Введем замену t=x^2. Тогда исходное уравнение примет следующий вид:
9*t^2+5*t-4=0.
Решаем это квадратное уравнение любым из известных способов, находим:
t1=4/9, t2=-1.
Корень -1 не подходит, так как уравнение x^2 = -1 не имеет смысла.
Остается второй корень 4/9. Переходя к исходным переменным имеем следующее уравнение:
x^2 = 4/9.
x1=-2/3, x2=2/3.
Это и будет решением уравнения.
Ответ: x1=-2/3, x2=2/3.
Еще один из видов уравнений, приводимых к квадратным, являются дробные рациональные уравнения. Рациональные уравнения - это уравнения у которых левая и правые части являются рациональными выражениями. Если в рациональном уравнении левая или правая части будут являться дробными выражениями, то такое рациональное уравнение называется дробным.
Схема решения дробного рационального уравнения
Общая схема решения дробного рационального уравнения.
1. Найти общий знаменатель всех дробей, которые входят в уравнение.
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
3. Решить полученное целое уравнение.
4. Произвести проверку корней, и исключить те из них, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Рассмотрим пример:
Решить дробное рациональное уравнение: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
Будем придерживаться общей схемы. Найдем сначала общий знаменатель всех дробей.
Получим x*(x-5).
Умножим каждую дробь на общий знаменатель и запишем полученное целое уравнение.
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
Упростим полученное уравнение. Получим,
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
Получили простое приведенное квадратное уравнение. Решаем его любым из известных способов, получаем корни x=-2 и x=5. Теперь производим проверку полученных решений. Подставляем числа -2 и 5 в общий знаменатель.
При х=-2 общий знаменатель x*(x-5) не обращается в нуль, -2*(-2-5)=14. Значит число -2 буде являться корнем исходного дробного рационального уравнения.
При х=5 общий знаменатель x*(x-5) становится равным нулю. Следовательно, это число не является корнем исходного дробного рационального уравнения, так как там будет деление на нуль.
Ответ: х=-2.
Открытый урок по алгебре в 9 классе.
Тема: Уравнения, приводимые к квадратным .
Цели урока: 1) обобщение и углубление знаний учащихся по решению квадратных уравнений;
2) способствовать формированию умений применять различные способы решения уравнений;
3) развить творческие способности учащихся путем решения заданий, содержащих модули и параметры.
Ход урока:
Вводная беседа.
При решении уравнений учащиеся нередко совершают ряд преобразований, которые приводят к ошибочным выводам.
Например:
1. РУ х(х+3)=2х
Делим обе части уравнения на х:
При этом решении потеряли корень Х=0. В чем ошибка?
Разделили на Х, а переменная Х может быть равной 0. А на нуль делить нельзя.
Ответ: -1; 0.
Т.к. знаменатели обеих частей одинаковы, то
При таком решении появился посторонний корень Х=1. Где ошибка?
Общий знаменатель не может равняться 0.
Ответ: Х=2.
Чтобы не допустить подобные ошибки, нужно знать правила равносильных переходов при решении уравнений.
Устный опрос.
Какие уравнения называются уравнениями 1 степени?
Как решить линейные уравнения?
Сколько решений может иметь линейное уравнение?
Какое уравнение называется уравнением второй степени?
Приведенное квадратное уравнение?
Как решается квадратные уравнения?
Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
если Д 0, то квадратное уравнение имеет 2 корня.
если Д = 0, то один корень.
10.Как разложить на множители квадратный трехчлен?
3. Объяснение новой темы.
Сегодня мы будем решать уравнения, приводимые к квадратным, и уравнения 3 и 4 степеней. В их решении большой вклад внесли итальянские математики 16 века.
Сципион Даль Ферро (1465-1526) и его ученик Фиори
Николо Тарталья (1499-1557)
Историческая справка об этих ученых.
Рассмотрим одно из уравнений итальянских математиков:
Это уравнение можно решить по формуле Кардано для решения уравнений вида , что чревато сложными вычислениями.
Можно решить методом разложения на множители левой части уравнения.
Ответ: 1; -4; 3.
Решим это уравнение различными способами:
метод разложения на множители.
оба значения удовлетворяют условию
Не удовлетворяет условию
Ответ: 0; -2; 2.
графический способ
Строим график функции
и ищем абсциссы точек пересечения графика с осью oх.
3) Метод введения новой переменной.
Пусть , тогда
Это уравнение тоже можно решить несколькими способами.
Введем новую переменную
Тема урока: Решение уравнений, которые сводятся к квадратным.
Цели урока:
образовательная: Познакомить учащихся с биквадратным уравнением, опираясь на предыдущий опыт учащихся по решению квадратных уравнений, закрепить умение решать уравнения, приводимые к квадратным способом подстановки и определять, какую подстановку рациональнее делать.
развивающая: способствовать развитию внимания, логического мышления, умений анализировать, сравнивать и делать выводы.
воспитывающая: развитие умения планировать работу, искать рациональные пути ее выполнения, способности аргументировано отстаивать свое мнение
Ход урока.
1. Организационный момент.
Здравствуйте, ребята.
Среди наук из всех главнейших
Важнейшая всего одна.
Учите алгебру, она глава наукам,
Для жизни очень всем нужна,
Когда достигнешь ты наук высоты,
Познаешь цену знаниям своим,
Поймешь, что алгебры красоты,
Для жизни будут кладом не плохим.
2. Мотивация урока.
Эпиграфом нашего урока являются словаГалилео Галилей «Без упорного умственного труда никто не может далеко продвинуться в математике. Но каждый, кому знакома радость познания, кто увидел красоту математики, не будет жалеть затраченных усилий». Д ля того чтобы успешно решать уравнения, сводящиеся к квадратным, необходимо хорошо знать теорию решения этих самых квадратных уравнений. Поэтому повторим необходимые в дальнейшем понятия и формулы. И. П. Павлов «Изучите азы науки, прежде чем взойти на ее вершины. Никогда не беритесь за последующее, не усвоив предыдущее»
3. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.
Тест «Продолжить фразу» (последующая самопроверка и оценка знаний).
Квадратным уравнением называется уравнение вида …
Корни квадратного уравнения находятся по формуле …
Количество корней квадратного уравнения зависит от …
Приведённым квадратным уравнением называется уравнение вида …
Способы решения квадратных уравнений: …
Какие уравнения называются дробными рациональными?
Алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
Основное свойство пропорции.
Когда дробь равна 0?
Решение уравнения x-8x -9 = 0 известными способами.
4.Изучение нового материала.
Биквадратные уравнения
| Биквадратное уравнение: ax 4 + bx 2 + c = 0 |
||
| Алгоритм решения |
||
| Сделать замену переменной: | x 2 = t |
|
| Получится: | at 2 + bt + c = 0 |
|
| Найти корни квадратного уравнения: | t
1,2
= |
|
| Обратная подстановка: | ||
| Если tk | Корней нет |
|
| Таким образом, биквадратное уравнение может иметь от 0 до 4 решений. |
||
| Вопросы: Покажите общий вид биквадратного уравнения. Приведите алгоритм решения биквадратного уравнения. Сколько корней может иметь биквадратное уравнение? |
||
Рассмотреть решение примера учебника.
Решение № 733(1, 2, 4)
Метод введения новой переменной
Предложите способы решения следующего уравнения:
Составление алгоритма решения уравнений, сводящихся к квадратным.
Алгоритм решения:
Ввести замену переменной
Составить квадратное уравнение с новой переменной
Решить новое квадратное уравнение
В этой статье я покажу вам алгоритмы решения семи типов рациональных уравнений , которые с помощью замены переменных сводятся к квадратным. В большинстве случаев преобразования, которые приводят к замене, весьма нетривиальны, и самостоятельно о них догадаться достаточно трудно.
Для каждого типа уравнений я объясню, как в нем делать замену переменной, а затем в соответствующем видеоуроке покажу подробное решение.
У вас есть возможность продолжить решение уравнений самостоятельно, а затем сверить свое решение с видеоуроком.
Итак, начнем.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Заметим, что в левой части уравнения стоит произведение четырех скобок, а в правой - число.
1. Сгруппируем скобки по две так, чтобы сумма свободных членов была одинаковой.
2. Перемножим их.
3. Введем замену переменной.
В нашем уравнении сгруппируем первую скобку с третьей, а вторую с четвертой,так как (-1)+(-4)=(-7)+2:
В этом месте замена переменной становится очевидной:
Получаем уравнение 
Ответ:
2 .
Уравнение этого типа похоже на предыдущее с одним отличием: в правой части уравнения стоит произведение числа на . И решается оно совсем по-другому:
1. Группируем скобки по две так, чтобы произведение свободных членов было одинаковым.
2. Перемножаем каждую пару скобок.
3. Из каждого множителя выносим за скобку х.
4. Делим обе части уравнения на .
5. Вводим замену переменной.
В этом уравнении сгруппируем первую скобку с четвертой, а вторую с третьей, так как :
Заметим, что в каждой скобке коэффициент при и свободный член одинаковые. Вынесем из каждой скобки множитель :
Так как х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим обе части уравнения на . Получим:
Получим уравнение: 
Ответ:
3
. 
Заметим, что в знаменателях обоих дробей стоят квадратные трехчлены, у которых старший коэффициент и свободный член одинаковые. Вынесем, как и в уравнении второго типа х за скобку. Получим:
Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:
Теперь можем ввести замену переменной:
Получим уравнение относительно переменной t:
4 .
Заметим, что коэффициенты уравнения симметричны относительно центрального. Такое уравнение называется возвратным .
Чтобы его решить,
1. Разделим обе части уравнения на (Мы можем это сделать, так как х=0 не является корнем уравнения.) Получим:
2. Сгруппируем слагаемые таким образом:
3. В каждой группе вынесем за скобку общий множитель:
4. Введем замену:
5. Выразим через t выражение :
Отсюда 
Получим уравнение относительно t:
Ответ:
5. Однородные уравнения.
Уравнения, имеющие структуру однородного, могут встретиться при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, поэтому ее нужно уметь распознавать.
Однородные уравнения имеют такую структуру:
В этом равенстве А, В и С - числа, а квадратиком и кружочком обозначены одинаковые выражения. То есть в левой части однородного уравнения стоит сумма одночленов, имеющих одинаковую степень (в данном случае степень одночленов равна 2), и свободный член отсутствует.
Чтобы решить однородное уравнение, разделим обе части на
Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.
Пойдем первым путем. Получим уравнение:
Теперь мы вводим замену переменной:
Упростим выражение и получим биквадратное уравнение относительно t:
Ответ: или
7
. 
Это уравнение имеет такую структуру:
Чтобы его решить, нужно в левой части уравнения выделить полный квадрат.
Чтобы выделить полный квдарат, нужно прибавить или вычесть удовоенное произведение. Тогда мы получим квадрат суммы ли разности. Для удачной замены переменной это имеет определяющее значение.
Начнем с нахождения удвоенного произведения. Именно оно будет ключиком для замены переменной. В нашем уравнении удвоенное произведение равно
Теперь прикинем, что нам удобнее иметь - квадрат суммы или разности. Рассмотрим, для начала сумму выражений:
Отлично! это выражении в точности равно удвоенному произведению. Тогда, чтобы в скобках получить квадрат суммы, нужно прибавить и вычесть удвоенное произведение:
Государственное бюджетное профессиональное общеобразовательное учреждение
«Невинномысский энергетический техникум»
Методическая разработка открытого занятия по дисциплине «Математика»
Тема занятия :
Уравнения, приводящиеся к квадратным
уравнениям.
Преподаватель математики:
Скрыльникова Валентина Евгеньевна
Невинномысск 2016 год.
Цели урока: Слайд №2
Обучающие: способствовать организации деятельности учащихся по восприятию,
осмыслению и первичному запоминанию новых знаний (метод введения новой переменной, определение биквадратного уравнения) и способов
действий (научить решать уравнения методом введения новой
переменной), помочь учащимся осознать социальную и личностную
значимость учебного материала;
Развивающие: способствовать повышению вычислительной способности учащихся;
развитию устной математической речи; создать условия для
формирования навыков самоконтроля и взаимоконтроля,
алгоритмической культуры учащихся;
Воспитательные: способствовать воспитанию доброжелательного отношения
друг к другу.
Тип урока: изучение нового материала,.
Методы: словесный, наглядный, практический, поисковый
Формы работы : индивидуальная, парная, коллективная
Оборудование: интерактивная доска, презентация
Ход урока.
I. Организационный момент.
Отметить отсутствующих, проверить готовность класса к уроку.
Преподаватель: Ребята, мы начинаем изучение новой темы. Тему урока пока не записываем, вы ее сформулируете сами чуть попозже. Скажу лишь, что речь пойдет об уравнениях.
Слайд № 3.
Посредством уравнений, теорем
Он уйму всяких разрешил проблем.
И засуху предсказал, и ливни –
Поистине его познанья дивны.
Госер.
Вы, ребята, уже решили не один десяток уравнений, Задачи с помощью уравнений можете решать. С помощью уравнений можно описать различные явления в природе, физические, химические явления, даже рост населения в стране описывается уравнением. Сегодня на уроке мы с вами познаем еще одну истину, истину, касающуюся метода решения уравнений.
II. Актуализация знаний.
Но для начала, давайте вспомним:
Вопросы: Слайд4
Какие уравнения называются квадратными? (Уравнение вида, где х – переменная, - некоторые числа, причем а≠0.)
Среди данных уравнений выберите те, которые являются квадратными?
1) 4х – 5 = х + 11
2) х 2 +2х = 3
3) 2х + 6х 2 = 0
4) 2х 3 – х 2 – 4 = 8
5) 4х 2 – 1х + 7 = 0 Ответ:(2,3,5)
Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями? (Уравнения, в которых хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0.)
Среди данных уравнений выберите те, которые являются неполными квадратными уравнениями.(3)
Тест-прогноз
1) 3х-5х 2 +2=0
2) 2х 2 +4х-6=0
3) 8х 2 -16=0
4) х 2 -4х+10=0
5) 4х 2 +2х=0
6) –2х 2 +2=0
7) -7х 2 =0
8) 15-4х 2 +3х=0
1вариант
1) Выпишите номера полных квадратных уравнений.
2) Выпишите коэффициенты а, в, с в уравнении 8.
3) Выпишите номер неполного квадратного уравнения, имеющего один корень.
4) Выпишите коэффициенты а, в, с в уравнении 6.
5) Найдите Д в уравнении 4 и сделайте вывод о количестве корней.
2вариант
1)Выпишите номера неполных квадратных уравнений.
2)Выпишите коэффициенты а, в, с в уравнении 1.
3)Выпишите номер неполного квадратного уравнения, имеющего один корень 0.
4)Выпишите коэффициенты а, в, с в уравнении 3.
5)Найдите Д в уравнении 3и сделайте вывод о количестве корней.
Учащиеся меняются тетрадями, выполняют взаимопроверку и выставляют оценки.
1в.
1,2,4,8
а=-4, в=3,с=15
а=-2, в=0,с=2
24, Д<0, корней нет
2в.
3,5,6,7
а=-5, в=3,с=2
а=8, в=0,с=-16
Д>0, 2корня.
Игра «Угадай слово».
А теперь вы должны угадать слово, которое записано на доске. Для этого вам необходимо решить уравнения и найти для них правильные ответы. Каждому ответу соответствует буква, а каждой букве соответствует номер карточки и номер в таблице которому соответствует данная буква. На доске изображены таблица №1 полностью и таблица, №2 в которой, записаны только цифры, буквы по мере решения примеров вписывает преподаватель. Преподаватель раздает карточки с квадратными уравнениями каждому студенту. Каждая карточка пронумерована. Студент решает квадратное уравнение и получает ответ -21. В таблице находит свой ответ и узнает, какая буква соответствует его ответу. Это буква А. Затем говорит преподавателю, какая у него буква и называет номер карточки. Номер карточки соответствует месту буквы в таблице №2. Например ответ -21 буква А номер карточки 5. Преподаватель в таблице №2 под цифрой 5 записывает букву А и т.д. пока выражение не будет полностью записано.
х 2 -5х+6=0 (2;3) Б
х 2 -2х-15=0 (-3;5) И
х 2 +6х+8=0 (-4;-2) К
х 2 -3х-18=0 (-3;6) В
х 2- 42х+441=0 -21 А
х 2 +8х+7=0 (-7;-1) Д
х 2 -34х+289=0 17 Р
х 2 -42х+441=0 -21 А
х 2 +4х-5=0 (-5;1) Т
2х 2 +3х+1=0 (-1;-) Н
3х 2 -3х+4=0 Корней нет О
5х 2 -8х+3=0 (;1) Е
х 2 -8х+15=0 (3;5) У
х 2 -34х+289=0 17 Р
х 2 -42х+441=0 -21 А
х 2 -3х-18=0 (-3;6) В
2х 2 +3х+1=0 (-1;-) Н
5х 2 -8х+3=0 (;1) Е
2х 2 +3х+1=0 (-1;-) Н
х 2 -2х-15=0 (-3;5) И
5х 2 -8х+3=0 (;1) Е
Таблица 1.
(;1)(-3;5)
(-4;-2)
(-1;-)
Корней нет
(-5;1)
(3;5)
Соответствующая ему буква
Таблица 2
Итак, мы с вами таким образом сформулировали тему сегодняшнего занятия.
«Биквадратное уравнение.»
III. Изучение нового материала
Вы уже знаете способы решения квадратных уравнений различных видов. Сегодня на уроке мы переходим к рассмотрению уравнений, приводящихся к решению квадратных уравнений. Одним из таких видов уравнений является биквадратное уравнение.
Опр. Уравнения вид ax 4 +bx 2 +c= 0 , где а 0, называется биквадратным уравнением .
БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ – от би – два и латинского quadratus – квадратный, т.е. дважды квадратные.
Пример 1. Решим уравнение
Решение. Решение биквадратных уравнений приводится к решению квадратных уравнений подстановкой у = х 2 .
Для нахождения х возвращаемся к замене:
x 1 = 1; x 2 = -1 x 3 =; x 4 = - Ответ:-1; -1
Из рассмотренного примера видно, что для приведения уравнения четвертой степени к квадратному ввели другую переменную - у . Такой метод решения уравнений называют методом введения новых переменных.
Для решения уравнений, приводящихся к решению квадратных уравнений методом введения новой переменной, можно составить следующий алгоритм:
1) Ввести замену переменной: пусть х 2 = у
2) Составить квадратное уравнение с новой переменной: ау 2 + ву + с = 0
3) Решить новое квадратное уравнение
4) Вернуться к замене переменной
5) Решить получившиеся квадратные уравнения
6) Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения
7) Записать ответ
Решение не только биквадратных, но и некоторых других видов уравнений сводится к решению квадратных уравнений.
Пример 2. Решим уравнение
Решение. Введем новую переменную
корней нет.
Корней нет
Ответ:
-
IV. Первичное закрепление
Мы с вами учились вводить новую переменную, вы устали, поэтому немного отдохнем.
Физминутка
1. Зажмурить глаза. Открыть глаза (5 раз).
2. Круговые движения глазами. Головой не вращать (10 раз).
3. Не поворачивая головы, отвести глаза как можно дальше влево. Не моргать. Посмотреть прямо. Несколько раз моргнуть. Закрыть глаза и отдохнуть. То же самое вправо (2-3 раза).
4. Смотреть на какой-либо предмет, находящийся перед собой, и поворачивать голову вправо и влево, не отрывая взгляда от этого предмета (2-3 раза).
5. Смотреть в окно вдаль в течение 1 минуты.
6. Поморгать 10-15 с.
Отдохнуть, закрыв глаза.
Итак, мы открыли новый метод решения уравнений, однако успешность решения уравнений этим методом зависит от правильности составления уравнения с новой переменной, давайте остановимся на этом этапе решения уравнений более подробно. Научимся вводить новую переменную и составлять новое уравнение, карточка № 1
Карточка у каждого ученика
КАРТОЧКА № 1
Запишите уравнение, полученное в результате введения новой переменной
х 4 -13х 2 +36=0
пусть у= ,
тогда
х 4 +3х 2 -28 = 0
пусть у=
тогда
(3х–5) 2 – 4(3х–5)=12
пусть у=
тогда
(6х+1) 2 +2(6х+1) –24=0
пусть у=
тогда
х 4 – 25х 2 + 144 = 0
пусть у=
тогда
16х 4 – 8х 2 + 1 = 0
пусть у=
тогда
Проверка знаний:
х 4 -13х 2 +36=0
пусть у= х 2 ,
тогда у 2 -13у+36=0
х 4 +3х 2 -28 = 0
пусть у=х 2 ,
тогда у 2 +3у-28=0
(3х–5) 2 – 4(3х–5)=12
пусть у=3х-5,
тогда у 2 -4у-12=0
(6х+1) 2 +2(6х+1) –24=0
пусть у= 6х+1,
тогда у 2 +2у-24=0
х 4 – 25х 2 + 144 = 0
пусть у= х 2 ,
тогда у 2 -25у+144=0
16х 4 – 8х 2 + 1 = 0
пусть у= х 2 ,
тогда 16у 2 -8у+1=0
Решение примеров у доски:
(t 2 -2 t ) 2 -2(t 2 -2 t )-3=0 Ответ: -1;1;3.
(2х 2 +х-1)(2х 2 +х-4)=40 Ответ: -3;2
Самостоятельная работа:
Вариант 1 Вариант 2
1)х 4 -5х 2 -36=0 1) х 4 -6х 2 +8=0
2)(2х 2 +3) 2 -12(2х 2 +3)+11=0 2) (х 2 +3) 2 -11(х 2 +3)+28=0
Ответы:
Вариант 1 Вариант 2
1) -3;3 1) -;-2;2
2) -2;2 2) -1;1;-2;2.
V. Итоги урока
Чтобы подвести итог урока, сделать выводы, что удалось или не удалось прошу закончить предложения на листах.
- Было интересно, потому что..
- Я бы хотел(а) похвалить себя за то, что…
- Урок я бы оценил(а) на…
VI. Домашнее задание :
(2х 2 +х-1)(2х 2 +х-4)+2=0
(х 2 -4х) 2 +9(х 2 -4х)+20=0
(х 2 +х)(х 2 +х-5)=84