Тема: « Целое уравнение и его корни»
Цели урока:
образовательные: систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний учащихся по решению целых уравнений с одной переменной выше второй степени;
развивающие : развитие личности учащегося через самостоятельную творческую работу, развитие инициативы учащихся; обеспечение устойчивого мотивационного интереса к изучаемой теме; развитие умения обобщать, правильно отбирать способы решения уравнения;
воспитательные: развитие интереса к изучению математики, подготовка учащихся к применению знаний в нестандартной ситуации; воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов
Задачи урока:
образовательные: закрепить умения и навыки решать уравнения высших степеней с использованием разных приемов, в нестандартных ситуациях
развивающие : развить умения в применении знаний в конкретной ситуации; в проблемной ситуации; умение логически мылить, умение обобщать, конкретизировать, правильно излагать мысли;.
воспитательные: воспитать интерес к предмету через содержание учебного материала; умение работать в коллективе; взаимопомощь культуру общения, умение применять преемственность в изучении отдельных тем; воспитать настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в нестандартной ситуации
Оборудование : проектор, презентация, карточки с заданиями.
Ожидаемый результат : Каждый ученик должен знать способы решения целых уравнении с одной переменной выше второй степени и уметь применить для решения уравнений.
Ход урока.
I. Орг. момент. Здравствуйте, ребята. Нам предстоит поработать над очень важной темой: “Решение квадратных уравнений”. Вы уже достаточно знаете и умеете по этой теме, поэтому наша с вами задача: обобщить и сложить в систему все те знания и умения, которыми вы владеете.
Девиз нашего урока: «Чем больше я знаю, тем больше умею.»
Эпигаф урока:
Кто ничего не замечает,
Тот ничего не изучает.
Кто ничего не изучает,
Тот вечно хнычет и скучает.
(поэт Р.Сеф).
Сегодня каждый из вас имеет возможность получить оценку за урок по результатам работы на различных его этапах. Для этого у вас на партах лежат карты результативности , в которые вы будете фиксировать свой успех в баллах. Желаю всем удачи.
Карта результативности.
II . Приступим к работе. Для того чтобы включиться в работу и сконцентрироваться, предлагаю вам небольшую устную разминку . Но вопросы будут не только по теме урока, проверяем ваше внимание и умение переключаться. За каждый правильный ответ в колонку “Разминка” вы по моему указанию ставите 1 балл.
1. Какое название имеет уравнение второй степени?
2. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?
3 Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D больше 0?
4. Очень плохая оценка знаний?
5. Что значит решить уравнение?
6. Как называется квадратное уравнение, у которого первый коэффициент - 1?
7. Сколько раз в году встает солнце?
8. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант меньше 0?
9. Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения?
Попрошу открыть тетради, записать число и тему сегодняшнего урока.
“ Целое уравнение и его корни ”.
Уравнения с давних времен волновали умы человечества. По этому поводу у английского поэта средних веков Чосера есть прекрасные строки,
Посредством уравнений, теорем
Я уйму всяких разрешил проблем.
Квадратные уравнения тоже не исключение. Они очень важны и для математики и для других наук.
Теперь давайте проверим, насколько хорошо вы умеете определять виды квадратных уравнений. Вашему вниманию предлагается тест, в котором записаны пять уравнений. Напротив каждой колонки вы ставите плюс, если оно принадлежит к данному виду.
Тест “Виды квадратных уравнений”
Критерий оценивания :
Нет ошибок - 5 б.
1 - 2 ош. - 4б.
3 - 4 ош. - 3б.
5 - 6 ош. - 2б.
Более 6 ош. - 0 б.
Ребята выполняют работу, а затем меняются листочками и по ключу проверяют ответы, оценивая работу товарища. Результат записывается в колонку “Оценочный балл”, а затем в “Карту результативности”.
Ключ к тесту :
Молодцы. С видами квадратных уравнений мы разобрались. Кстати, а вы знаете, когда появились первые квадратные уравнения?
Очень давно. Их решали в Вавилоне около 2000 лет до нашей эры. Итальянский ученый Леонард Фибоначчи изложил формулы квадратного уравнения. И лишь в 17 веке, благодаря Ньютону, Декарту и другим ученым эти формулы приняли современный вид.
II. Переходим к теории
Что называется уравнением? (Равенство, содержащее неизвестную, значение которой нужно найти, называется уравнением с одной переменной)
Что называется корнем уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.)
Что значит решить уравнение? (Найти все его корни или доказать, что корней нет.)
Я вам предлагаю решить несколько уравнений устно (презентация).
А) x 2 = 0 е) x 3 - 25x = 0
Б) 3x - 6 = 0 ж) x(x - 1)(x + 2) = 0
В) x 2 - 9 = 0 з) x 4 - x 2 = 0
Г) x 2 = 1/36 и) x 2 - 0,01 = 0,03
Д) x 2 = - 25 к) 19 - c 2 = 10
Скажите, что объединяет эти уравнения? (одна переменная, целые уравнения)
Что называется целым уравнением с одной переменной? (Уравнения, в которых левая и правая часть являются целыми выражениями)
Сколько корней может иметь целое уравнение с одной переменной 2-ой, 3-ой, 4-ой,п-ой степени (не более 2, 3, 4, п)
Какие способы решения целых уравнений выше второй степени вы знаете. *Метод разложения на множители. Способ группировки. Введение новой переменной.
IV .Переходим к решению уравнений.
Решите уравнения
1. 9 x³-27x²=0
2. х 4 -6х 2 +5 = 0 (как называют это уравнение- биквадратное)
3. (х²-10)²- 3(х²-10)-4=0
4. х 3 -3х 2 -3х+9=0
V . Самостоятельная работа.
Задания для разно уровневой самостоятельной работы. (1 группа
1. Решить уравнение
а)-3(х+5)=5(х-1)-2
б) х 3 -49х=0
Задания для разно уровневой самостоятельной работы. (2 группа
1.Решить уравнение х 4 -11х 2 +18=0
2.Решить уравнение х 3 +2х 2 -4х-8=0
После выполнения взаимопроверка Учащиеся анализируют свою работу, выражают вслух свои затруднения и обсуждают правильность решения. Учащиеся ставят оценки самостоятельной работе.
VI . Рефлексия.
Цель Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых. По карте результативности выставить оценки. Подведение итогов.
Что вы сегодня делали?
Какую цель вы ставили перед собой?
Вы достигли цели?
VII. . Домашнее задание
Цель Обеспечение понимания детьми содержания и способов выполнения домашнего задания
Тема урока: «Целое уравнение и его корни».
Цели:
рассмотреть способ решения целого уравнения с помощью разложения на множители;
образовательные:
развивающие:
воспитательные:
Класс: 9
Учебник: Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/ [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского.- 16-е изд. – М.: Просвещение, 2010
Оборудование: компьютер с проектором, презентация «Целые уравнения»
Ход урока:
Организационный момент.
Просмотр видеоролика «Всё в твоих руках».
Бывают моменты в жизни, когда руки опускаются и кажется, что ничего не получится. Тогда вспомните слова мудреца "Все в твоих руках:" и пусть эти слова будут девизом нашего урока.
2х + 6 =10, 14х = 7, х 2 – 16 = 0, х – 3 = 5 + 2х, х 2 = 0,
Сообщение темы урока, цели.
Сегодня мы познакомимся с новым видом уравнений – это целые уравнения. Научимся их решать.
Запишем в тетради число, классная работа и тему урока: «Целое уравнение, его корни».
2.Актуализация опорных знаний.
Решите уравнение:
Ответы: а)х = 0; б) х =5/3; в) х = -, ; г) х = 1/6; - 1/6; д) корней нет; е) х = 0; 5; - 5; ж) 0; 1; -2; з)0; 1; - 1; и) 0,2; - 0,2; к) -3; 3.
3.Формирование новых понятий.
Беседа с учениками:
Что такое уравнение? (равенство, содержащее неизвестное число)
Какие виды уравнений вы знаете? (линейные, квадратные)
3.Сколько корней может иметь линейное уравнение?) (один, множество и ни одного корня)
4.Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
Отчего зависит количество корней? (от дискриминанта)
В каком случае квадратное уравнение имеет 2 корня?(Д0)
В каком случае квадратное уравнение имеет 1 корень? (Д=0)
В каком случае квадратное уравнение не имеет корней? (Д0)
Целое уравнение – это уравнение левая и правая часть, которого является целым выражением. (читают вслух).
Из рассмотренных линейных и квадратных уравнений, мы видим, что количество корней не больше его степени.
Как вы думаете, можно ли не решая уравнения, определить количество его корней? (возможные ответы детей)
Познакомимся с правилом определения степени целого уравнения?
Если уравнение с одной переменной записано в виде Р(х)=0, где Р(х)- многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения. Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида Р(х)=0, где Р(х)- многочлен стандартного вида.
Уравнение n ой степени имеет не более n корней.
Целое уравнение можно решить несколькими способами:
способы решения целых уравнений
разложение на множители графический введение новой
переменной
(Записывают схему в тетрадь)
Сегодня мы рассмотрим один из них: разложение на множители на примере следующего уравнения:х 3 – 8х 2 –х +8 = 0.(на доске объясняет учитель, ученики записывают в тетрадь решение уравнения)
Как называется способ разложения на множители, с помощью которого можно левую часть уравнения разложить на множители? (способ группировки). Разложим левую часть уравнения на множители, а для этого сгруппируем слагаемые, стоящие в левой части уравнения.
Когда произведение множителей равно нулю? (когда хотя бы один из множителей равен нулю). Приравняем к нулю каждый множитель уравнения.
Решим полученные уравнения
Сколько корней мы получили? (запись в тетради)
х 2 (х – 8) – (х – 8) = 0
(х – 8) (х 2 – 1) = 0
(х – 8)(х – 1)(х + 1) = 0
х 1 = 8, х 2 = 1, х 3 = - 1.
Ответ: 8; 1; -1.
4.Формирование умений и навыков. Практическая часть.
работа по учебнику №265(запись в тетради)
Какова степень уравнения и сколько корней имеет каждое из уравнений:
Ответы: а) 5, б) 6, в) 5, г) 2, д) 1, е) 1
№ 266(а) (решение у доски с объяснением)
Решите уравнение:
5.Итог урока:
Закрепление теоретического материала:
Какое уравнение с одной переменной называется целым? Приведите пример.
Как найти степень целого уравнения? Сколько корней имеет уравнение с одной переменной первой, второй степени, n –ой степени?
6.Рефлексия
Дайте оценку своей работе. Поднимите руку, кто…
1) понял тему на отлично
2) понял тему на хорошо
пока испытываю трудности
7.Домашнее задание:
п.12(с.75-77 пример 1)№267(а, б).
«лист контроля ученика»
Лист контроля ученика
| Этапы работы Оценка | Итого |
|||||
| Устный счёт | Решите уравнение | Решение квадратных уравнений | Решение кубических уравнений | |||
Лист контроля ученика
Класс______ Фамилия Имя ___________________
| Этапы работы Оценка | Итого |
|||||
| Устный счёт | Решите уравнение | Какова степень знакомых уравнений | Решение квадратных уравнений | Решение кубических уравнений | ||
Лист контроля ученика
Класс______ Фамилия Имя ___________________
| Этапы работы Оценка | Итого |
|||||
| Устный счёт | Решите уравнение | Какова степень знакомых уравнений | Решение квадратных уравнений | Решение кубических уравнений | ||
Просмотр содержимого документа
«раздаточный материал»
1.Решите уравнения:
а) x 2 = 0 е) x 3 – 25x = 0
а) x 2 = 0 е) x 3 – 25x = 0
б) 3x – 5 = 0 ж) x(x – 1)(x + 2) = 0
в) x 2 –5 = 0 з) x 4 – x 2 = 0
г) x 2 = 1/36 и) x 2 –0,01 = 0,03
д) x 2 = – 25 к) 19 – c 2 = 10
3. Решите уравнения:
x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0
4. Решите уравнения:
I вариант II вариант III вариант
x 3 -1=0 x 3 - 4x=0 x 3 -12x 2 +36x=0
«тест »
Здравствуйте! Сейчас Вам будет предложен тест по математике из 4 вопросов. Нажимайте на кнопки на экране под вопросами, в которых, по Вашему мнению, записан верный ответ. Нажмите кнопку «далее», чтобы начать тестирование. Желаю удачи!
1. Решите уравнение:
3х + 6 = 0
Правильного
ответа нет
Корней
Правильного
ответа нет
Корней
4. Решите уравнение: 0 х = - 4
Корней
Много
корней
Просмотр содержимого презентации
«1»
- Решите уравнение:
- УСТНАЯ РАБОТА
Цели:
образовательные:
- обобщить и углубить сведения об уравнениях; ввести понятие целого уравнения и его степени, его корней; рассмотреть способ решения целого уравнения с помощью разложения на множители.
- обобщить и углубить сведения об уравнениях;
- ввести понятие целого уравнения и его степени, его корней;
- рассмотреть способ решения целого уравнения с помощью разложения на множители.
развивающие:
- развитие математического и общего кругозора, логического мышления, умение анализировать, делать вывод;
- развитие математического и общего кругозора, логического мышления, умение анализировать, делать вывод;
воспитательные:
- воспитывать самостоятельность, четкость и аккуратность в действиях.
- воспитывать самостоятельность, четкость и аккуратность в действиях.
- Психологическая установка
- Продолжаем обобщать и углублять сведения об уравнениях;
- знакомимся с понятием целого уравнения,
с понятием степени уравнения;
- формируем навыки решения уравнений;
- контролируем уровень усвоения материала;
- На уроке можем ошибаться, сомневаться, консультироваться.
- Каждый учащийся сам себе дает установку.
- Какие уравнения называются целыми?
- Что называется степенью уравнения?
- Сколько корней имеет уравнение n-й степени?
- Методы решения уравнений первой, второй и третьей степеней.
- План урока
а) x 2 = 0 е) x 3 – 25x = 0 в) x 2 –5 = 0 з) x 4 – x 2 = 0 г) x 2 = 1/36 и) x 2 –0,01 = 0,03 д) x 2 = – 25 к) 19 – c 2 = 10
Решите уравнения:
Например:
X²=x³-2(x-1)
- Уравнения
Если уравнение с одной переменной
записано в виде
P(x) = 0, где P(x)- многочлен стандартного вида,
то степень этого многочлена называют
степенью данного уравнения
2x³+2x-1=0 (5-я степень)
14x²-3=0 (4-я степень)
Например:
Какова степень знакомых нам уравнений?
- а) x 2 = 0 е) x 3 – 25x = 0
- б) 3x – 5 = 0 ж) x(x – 1)(x + 2) = 0
- в) x 2 – 5 = 0 з) x 4 – x 2 = 0
- г) x 2 = 1/36 и) x 2 – 0,01 = 0,03
- д) x 2 = – 25 к) 19 – c 2 = 10
- Решите уравнения:
- 2 ∙х + 5 =15
- 0∙х = 7
Сколько корней может иметь уравнение I степени?
Не более одного!
0, D=-12, D x 1 =2, x 2 =3 нет корней x=6. Сколько корней может иметь уравнение I I степени (квадратное) ? Не более двух!" width="640"
- Решите уравнения:
- x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0
- D=1, D0, D=-12, D
x 1 =2, x 2 =3 нет корней x=6.
Сколько корней может иметь уравнение I I степени (квадратное) ?
Не более двух!
Решите уравнения:
- I вариант II вариант III вариант
x 3 -1=0 x 3 - 4x=0 x 3 -12x 2 +36x=0
- x 3 =1 x(x 2 - 4)=0 x(x 2 -12x+36)=0
x=1 x=0, x=2, x= -2 x=0, x=6
1 корень 3 корня 2 корня
- Сколько корней может иметь уравнение I I I степени?
Не более трех!
- Как вы думаете сколько корней может иметь уравнение
IV, V , VI, VII, n -й степени?
- Не более четырёх, пяти, шести, семи корней!
Вообще не более n корней!
ax²+bx+c=0
Квадратное уравнение
ax + b = 0
Линейное уравнение
Нет корней
Нет корней
Один корень
Разложим левую часть уравнения
на множители:
x²(x-8)-(x-8)=0
Ответ:=1, =-1.
- Уравнение третьей степени вида: ax³+bx²+cx+d=0
Путем разложения на множители
(8x-1)(2x-3)-(4x-1)²=38
Раскроем скобки и приведем
16x²-24x-2x+3-16x²+8x-138=0
Ответ: x=-2
МОУ «Л-Конобеевская СШ»
Целое уравнение
и его корни.
Конспект урока алгебры в 9 классе с использованием компьютерной презентации и компьютерного тестирования.
Разработала учитель математики Закурдаева Наталья Сергеевна
Цели урока :
Образовательная: усвоить понятия «целое уравнение», «степень уравнения»; научиться решать биквадратные уравнения.
Воспитательная : воспитывать внимательность, наблюдательность, самостоятельность, умение выражать свои мысли.
Развивающая: развивать умение логически мыслить, рассуждать, делать выводы, анализировать.
Тип урока: объяснение нового материала
Ход урока:
Оргмомент.
II
. Устные упражнения. (слайд №1)
1. Решите уравнение:
а) х 2 = 9; б) х 2 = 3; в) х 2 + 4 = 0;
2. Каков знак дискриминанта квадратного уравнения, если оно:
а) имеет один корень,
б) имеет два корня;
в) не имеет корней?
3. Какова степень многочлена:
а) х 2 - Зх 5 + 2 ;
б) 4х – 8 – 2х(3х + 6) - 21;
4. Представьте х 4 в виде квадрата
5. Чему равен х 4 , если х 2 = a
6. Если сегодня в 12.00 пойдёт дождь, можете ли вы утверждать, что через 72 часа будут светить солнце?
7. Вспомните, какие выражения называют целыми?
8. Что называют корнем уравнения?
9. Что значит решить уравнение?
III
. Объяснение нового материала.
- Сегодня мы с вами узнаем, какие уравнения называются целыми, как определить степень уравнения, а также познакомимся с новым видом уравнений – биквадратными уравнениями.
Итак, запишем тему урока: «Целое уравнение и его корни». (слайд №2 )
Посмотрите внимательно на эти два уравнения. Из каких выражений они состоят?
(Из целых )
Такие уравнения называются целыми
Опр. Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.
Что мы можем сделать с этими уравнениями?
(раскрыть скобки, привести подобные слагаемые – упростить )
Т.е. можем привести их к виду P (x )=0, где P (x
У любого многочлена стандартного вида вы умеете определять степень. Степень можно определить и у уравнения.
Итак, (слайд № 3 )
Опр. Если уравнение с одной переменной записано в виде P (x )=0, где P (x ) - многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения. Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида P (x )=0, где P (x ) - многочлен стандартного вида.
Рассмотрим пример
Пример: определим степень уравнения
Выполним необходимые преобразования (слайд №3 )
Степень данного уравнения равна 7
Выполнив необходимые преобразования в заданном уравнении можно (слайд №4 )
Уравнение первой степени можно привести к виду
Уравнение второй степени можно привести к виду
Уравнение третьей степени можно привести к виду
Уравнение четвёртой степени можно привести к виду
и т. д.
Уравнение первой степени по-другому называется… (линейным )
Уравнение второй степени … (квадратным ). От чего зависит количество корней квадратного уравнения? (от дискриминанта )
Учёными доказано, что целое уравнение 2-й степени имеет не более 2-х корней, уравнение 3-й степени имеет не более 3-х корней, уравнение n -ой степени имеет не более n корней.
Для уравнений 3-й и 4-й степени известны формулы нахождения корней, в школьном курсе они не изучаются, но желающие могут с ними познакомиться дополнительно и подготовить небольшое сообщение.
Сделаем небольшой экскурс в историю. (слайд №5, №6 )
Норвежский математик Нильс Абель впервые доказал, что для уравнений пятой степени и более высоких степеней нет общих формул нахождения корней.
Французский математик Эварист Галуа нашёл необходимое и достаточное условие, которому удовлетворяет алгебраическое уравнение, разрешимое в радикалах.
На следующем уроке мы послушаем более подробно сообщение об этих учёных, Серёжа и Света подготовят доклады.
А пока мы вернёмся к уравнениям.
Рассмотрим уравнение вида (слайд №7 )
, 
На какое уравнение оно похоже? (на квадратное )
Верно, оно является квадратным относительно х 2 . Такие уравнения называют биквадратными . (слайд №7 )
Опр. Уравнение вида , ,
являющееся квадратным относительно х 2 , называют биквадратным.
- Такие уравнения легко решить методом введения новой переменной.
Пример: Решим уравнение(слайд №7)
Введём новую переменную, х 2 = t , Чему равно х 4 ? (t 2 )
Получим квадратное уравнение
Самостоятельная работа
А сейчас вам предстоит выполнить небольшой тест. Садитесь на свои места за компьютером. Приступайте.
(Обучающий тест из трёх заданий.)
Рефлексия
Что нового вы узнали сегодня на уроке?
Какое уравнение называется целым?
Как определить степень уравнения?
Какие уравнения называются биквадратными? Каким способом они решаются?
Домашнее задание.
Стр. 72 – 75 (теоретический материал)
Стр. 76 – 77 № 266 (в, г), 278 (г, д, е)
Стр.78. № 286, 287 (задания на повторение)
Прочитайте домашнее задание. Какие у вас возникли вопросы? (пояснение домашнего задания)
Рассмотрим уравнение.
31x
3 – 10x
= (x
– 5) 2 + 6x
2
И левая и правая части уравнения являются целыми выражениями.
Напомним, что подобные уравнения называются целыми уравнениями.
Вернёмся к нашему изначальному уравнению и раскроем скобки, используя формулу квадрата разности.
Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные члены.
Выражения «минус десять икс» и «плюс десять икс» взаимно уничтожаются.
После приведения подобных членов получаем уравнение, в левой части которого стоит многочлен стандартного вида (в общем виде будем называть его «Пэ от икс»), а в правой части - нуль.
Чтобы определить степень целого уравнения, необходимо привести его к виду пэ от икс равно нулю, то есть к уравнению, в левой части которого стоит многочлен стандартного вида, а в правой - нуль.
После этого необходимо определить степень многочлена пэ от икс. Это и будет степенью уравнения.
Рассмотрим пример. Попробуем определить степень данного уравнения.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы.
Далее перенесём все члены уравнения в левую часть и приведём подобные члены.
Итак, мы получили уравнение, в левой части которого многочлен стандартного вида второй степени, а в правой нуль. Это значит, что степень данного уравнения – вторая.
От степени уравнения зависит сколько корней оно имеет.
Можно доказать, что уравнение первой степени имеет один корень, уравнение второй степени имеет не более двух корней, уравнение третьей степени – не более трёх корней и так далее.
Степень уравнения также подсказывает нам, каким образом можно это уравнение решить.
Например, уравнение первой степени мы приводим к виду а икс плюс бэ равно цэ, где а не равно нулю.
Уравнение второй степени мы приводим к равносильному уравнению, в левой части которого квадратный трёхчлен, а в правой - нуль. Такое уравнение решается с помощью формулы корней квадратного уравнения или теоремы Виета.
Для решения уравнений более высоких степеней универсального способа нет, но есть основные методы, которые мы рассмотрим на примерах.
Решим уравнение третьей степени икс в третьей степени минус восемь икс во второй степени минус икс плюс восемь равно нулю.
Чтобы решить данное уравнение разложим его левую часть на множители способом группировки и воспользовавшись формулой разности квадратов.
Далее необходимо вспомнить, что произведение равно нули, когда один из множителей равен нулю. На основании этого делаем вывод, что либо икс минус 8 равно нулю, либо икс минус 1 равно нулю, либо икс плюс один равно нулю. Следовательно, корнями уравнения будут числа минус один, один и восемь.
Иногда для решения уравнений степени выше второй удобно использовать введение новой переменной.
Рассмотрим подобный пример.
Если раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в левую часть, привести подобные члены и представить левую часть уравнения в виде многочлена стандартного вида, то ни один из известных нам способов не поможет решить это уравнение. В таком случае стоит обратить внимание на то, что в обеих скобках есть одинаковые выражения.
Именно это выражение мы и обозначим новой переменной игрик.
Тогда наше уравнение сведётся к уравнению с переменной игрек..
Далее просто раскроем скобки и перенесём все члены уравнения в левую часть.
Приведём подобные члены и получим уже знакомое нам квадратное уравнение.
Нетрудно найти корни этого уравнения. Игрик один равен шести, игрик два равен минус шестнадцати.
Теперь вернёмся к изначальному уравнению, выполнив обратную замену.
Изначально за игрик мы принимали выражение два икс в квадрате минус икс. А так как у нас два значения переменной игрек, мы получаем два уравнения. В каждом уравнении переносим все члены в левую часть, решаем получившиеся два квадратных уравнения. Корнями первого уравнения являются числа минус одна целая пять десятых и два, а второе уравнение корней не имеет, так как его дискриминант меньше нуля.
Итак, решением данного уравнения четвёртой степени являются числа минус одна целая пять десятых и два.
Особое место в классификации целых уравнений имеет уравнение вида а икс в четвёртой степени плюс бэ икс во второй степени плюс цэ равно нулю. Уравнения такого вида называют биквадратными уравнениями.
Решать подобные уравнения можно с помощью замены переменной.
Рассмотрим на примере.
В данном уравнении обозначим икс квадрат через игрик. При этом стоит обратить внимание, что переменная игрик не может принимать отрицательные значения.
Получим квадратное уравнение, корнями которого являются числа одна двадцать пятая и один.
Выполним обратную замену.
Корни первого уравнения: одна пятая и минус одна пятая, а корни второго: один и минус один.
Таким образом, мы нашли четыре корня исходного биквадратного уравнения.