Метод, описанный в этой статье, основывается на равенстве ∫ f (g (x)) d (g (x)) = F (g (x)) + C . Его цель – свести подынтегральную функцию к виду f (g (x)) d (g (x)) . Для его применения важно иметь под рукой таблицу первообразных и таблицу производных основных элементарных функций, записанную в виде дифференциалов.

Таблица первообразных

Пример 1

Найдите неопределенный интеграл ∫ sin (x 2) d (x 2) .

Решение

Мы видим, что в условии подынтегральное выражение уже находится под знаком дифференциала. Согласно таблице первообразных, ∫ sin x d x = - cos x + C , значит, ∫ sin (x 2) d (x 2) = - cos (x 2) + C .

Ответ: ∫ sin (x 2) d (x 2) = - cos (x 2) + C

Пример 2

Найдите множество первообразных функции y = ln 3 x x .

Решение

Для того чтобы найти ответ, нам потребуется вычислить ∫ ln 3 x x d x . Решим задачу с помощью метода подведения под знак дифференциала. Согласно таблице производных, d x x = d ln x , значит, ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) . Используя ту же таблицу, можем сразу записать ответ: ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) = ln 4 x 4 + C .

Здесь требуется небольшое пояснение. Мы можем ввести еще одну переменную z = ln x и получить ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) = ln x = z = ∫ z 3 d z . Тогда, используя таблицу первообразных для степенных функций, можно записать, что ∫ z 3 d z = z 4 4 + C . Теперь вернемся к исходной переменной и получим: z 4 4 + C = z = ln x = ln 4 x 4 + C .

Ответ: ∫ ln 3 x x d x = ln 4 x 4 + C .

С помощью метода подведения под знак дифференциала также можно вычислить первообразные для тангенса и котангенса.

Пример 3

Найдите интеграл тангенса ∫ t g x d x .

Решение

∫ t g x d x = ∫ sin x d x cos x

Поскольку sin x d x = - d (cos x) , то можно подвести ∫ sin x d x cos x = - ∫ d (cos x) cos x . Берем таблицу первообразных и находим, что - ∫ d (cos x) cos x = - ln cos x + C 1 = - ln cos x + C , где C = - C 1 .

Ответ: ∫ t g x d x = - ln cos x + C .

Самым сложным в применении этого метода является определение той части функции, которую нужно подвести под знак дифференциала. Умение быстро делать это приходит с опытом.

Пример 4

Вычислите неопределенный интеграл ∫ x 2 d x 1 + x 6 .

Решение

Согласно таблице производных, d (x 3) = 3 x 2 d x , значит, x 2 d x = 1 3 d (x 3) . Используем таблицу основных интегралов и находим, что ∫ d x 1 + x 2 = a r c r g x + C . Значит, решить задачу методом подведения под знак дифференциала можно так:

∫ x 2 d x 1 + x 6 = ∫ 1 3 d (x 3) 1 + x 3 2 = x 3 = t = = 1 3 ∫ d t 1 + t 2 = 1 3 a r c t g (t) + C = x 3 = t = 1 3 a r c t g (x 3) + C

Ответ: ∫ x 2 d x 1 + x 6 = 1 3 a r c t g (x 3) + C

Пример 5

Вычислите неопределенный интеграл ∫ d x x 2 + 2 x + 4 .

Решение

Начнем с преобразования подкоренного выражения.

x 2 + 2 x + 4 = x 2 + 2 x + 1 - 1 + 4 = x 2 + 2 x + 1 + 3 = x + 1 2 + 3

После этого можно записать, что ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ∫ d x x + 1 2 + 3 .

Поскольку d (x + 1) = d x , то ∫ d x x + 1 2 + 3 = ∫ d x (x + 1) x + 1 2 + 3 = x + 1 = z = ∫ d z z 2 + 3 .

Посмотрим в таблицу первообразных и найдем ответ:

∫ d z z 2 + 3 = ln z + z 2 + 3 + C = z = x + 1 = ln x + 1 + (x + 1) 2 + 3 + C = = ln x + 1 + x 2 + 2 x + 4 + C

Ответ: ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ln x + 1 + x 2 + 2 x + 4 + C

Зачастую предварительные преобразования подынтегрального выражения бывают весьма сложными.

Пример 6

Найдите множество первообразных функции ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 .

Решение

Начнем также с преобразования выражения под интегралом.

∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 = ∫ x d x 4 x 2 1 2 x + 1 4 = ∫ x d x 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 = = 1 2 ∫ x d x x 2 + 1 2 x + 1 16 - 1 16 + 1 4 = 1 2 ∫ x d x x + 1 4 2 + 3 16

Теперь подведем то, что получилось, под знак дифференциала.

Поскольку d x + 1 4 2 + 3 16 = x + 1 4 2 + 3 16 " d x = 2 · x + 1 4 2 d x = 2 x d x + d x 2 ,то:

2 x d x = d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 2 ⇒ x d x = 1 2 d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 4

Следовательно, мы можем записать, что:

1 2 ∫ x d x x + 1 4 2 + 3 16 = 1 2 ∫ 1 2 d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 4 x + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x x + 1 4 2 + 3 16

Исходя из d x = d x + 1 4 , можно преобразовать выражение так:

1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x x + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x + 1 4 x + 1 4 2 + 3 16 = = x + 1 4 2 + 3 16 = z x + 1 4 = t = 1 4 ∫ z - 1 2 d z - 1 8 ∫ d t t 2 + 3 16

В итоге у нас получились два интеграла, значения которых можно взять из таблицы.

1 4 ∫ z - 1 2 d z - 1 8 ∫ d t t 2 + 3 16 = 1 4 · 1 - 1 2 + 1 z - 1 2 + 1 - 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 z 1 2 - 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 x + 1 4 2 + 3 16 1 2 - 1 8 ln x + 1 4 + x + 1 4 2 + 3 16 + C = = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

Ответ: ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Итак, продолжаем наше знакомство с основными приёмами интегрирования. В прошлый раз мы научились с вами пользоваться и рассмотрели самые простые самых простых функций. Теперь настала пора двигаться дальше и понемногу расширять наши возможности.

Итак, метод подведения функции под знак дифференциала – в чём его суть? Вообще говоря, данный метод не является самостоятельным методом интегрирования. Это, скорее, частный случай более общего и мощного метода – метода замены переменной . Или метода подстановки . Почему? А потому, что сам процесс интегрирования подведением под дифференциал всё равно сопровождается последующим введением новой переменной. Звучит пока малопонятно, но на примерах всё куда яснее будет.

Что нам потребуется в сегодняшнем материале:

1) Правило раскрытия дифференциала любой функции f (x ). Именно само правило. Строгое определение, что же такое дифференциал, нам здесь не нужно. А правило - вот:

d(f(x)) = f ’(x )dx

Всё просто, как в сказке: считаем производную функции f’(x) и помножаем её на dx (дифференциал аргумента).

2) Таблица производных. Да-да! Я серьёзно. :)

3) Ну, логично. Раз уж мы здесь вовсю интегрируем.) Это тема прошлых двух уроков.

4) Правило дифференцирования сложной функции.

Вот, собственно, и всё.

Когда чаще всего применяется данный метод? Чаще всего он применяется в двух типовых ситуациях:

Случай 1 - Сложная функция от линейного аргумента

Подынтегральная функция имеет вид:

f(kx + b)

В аргументе – линейная конструкция kx + b . Или, по-другому, под интегралом стоит какая-то сложная функция от линейного аргумента kx+b.

Например:

И тому подобные функции. Интегралы от таких функций очень легко сводятся к табличным и берутся в уме буквально через пару-тройку успешно решённых примеров. И мы порешаем.)

Случай 2 - Сложная функция от произвольного аргумента

В данном случае подынтегральная функция представляет собой произведение:

f (g (x ))· g ’(x )

Иными словами, под интегралом тусуется произведение некой сложной функции f (g (x )) и производной от её внутреннего аргумента g ’(x ) . Или интеграл легко сводится к такому виду. Это более сложный случай. О нём - во второй части урока.

Чтобы не томить народ долгими ожиданиями и разглагольствованиями, сразу приступаем к примерам на случай 1 . Будем интегрировать те функции, что я выписал выше. По порядочку.

Как подвести под дифференциал линейную функцию?

И сразу пример в студию.)

Пример 1

Лезем в таблицу интегралов и находим похожую формулу (это 4-я группа):

Всё бы хорошо, но… есть проблемка. :) В таблице интегралов в показателе экспоненты e x стоит просто икс . У нас же в показателе тусуется 3х. Три икс. Не катит… Не годится табличная формула для прямого применения: тройка всё испортила. Доцент! А, доцент! Что делать-то будем? (с)

Чтобы справиться с этим примером, нам придётся "подогнать" данный интеграл под табличную формулу. И сейчас я подробно покажу, как именно происходит подгонка. Для этого давайте-ка вернёмся в самое начала раздела и вспомним самую общую запись неопределённого интеграла. В общем виде. Вот она:

Так вот. Весь фокус состоит в том, что эта самая общая запись неопределённого интеграла будет справедлива не только для переменной икс , но и для любой другой буквы – y, z, t или даже целого сложного выражения . Какого хотим. Важно, чтобы соблюдалось одно единственное требование: в скобочках подынтегральной функции f(…), первообразной функции F(…) и под дифференциалом d(…) стояли одинаковые выражения . Во всех трёх местах! Это важно.

Например:

И так далее.) Какая бы буковка и какое бы сложное выражение ни стояли в этих трёх местах, табличная формула интегрирования всё равно сработает! И это неудивительно: любое сложное выражение мы имеем полное право обозначить одной буквой. И работать целиком со всей конструкцией как с одной буквой . А таблице по барабану, какая там буква стоит – икс, игрек, зэт, тэ… Для неё все буквы равноправны.) Поэтому сама конструкция во всех скобочках может при этом быть совершенно любой. Лишь бы одной и той же. )

Поэтому, для нашей конкретной табличной формулы ∫ e x dx = e x + C , мы можем записать:

А теперь порассуждаем. Для того чтобы в нашем примере у нас появилось право воспользоваться таблицей, нам надо добиться того, чтобы под интегралом образовалась вот такая конструкция:

И в показателе и под дифференциалом должно стоять выражение 3х . А теперь посмотрим ещё раз на наш пример:

С показателем и так всё как надо, там у нас 3х. По условию.) А вот под дифференциалом пока что стоит просто х . Непорядок! Как же нам из dx сделать d(3x) ?

Для достижения этой благородной цели нам надо как-то связать между собой два дифференциала - новый d(3х) и старый dx . В данном случае это очень легко сделать. Если, конечно, знать, как раскрывается дифференциал.)

Получим:

Отлично! Значит, связь между старым и новым дифференциалами будет вот такой:

Dx = d(3x)/3.

Что? Не помните, как раскрывать дифференциал? Это вопрос к первому семестру. К дифференциальному исчислению.)

А теперь что делаем? Правильно! Подставляем вместо старого дифференциала dx новое выражение d(3x)/3 в наш пример. Тройка в знаменателе нам уже не помеха: мы её того… наружу. За знак интеграла.)

Что получим:

Вот и отлично. В показателе экспоненты и под дифференциалом образовалось совершенно одинаковое выражение 3х. Чего мы, как раз, так усиленно добивались.) И с выражением 3х теперь можно работать целиком, как с одной новой буквой . Пусть t, например. Тогда после замены выражения 3x на t наш интеграл станет выглядеть вот так:

А новый интеграл по переменной t - уже так нужный нам табличный! И теперь можно с чистой совестью воспользоваться табличной формулой и твёрдой рукой записать:

Но расслабляться рано. Это пока ещё не ответ: нам икс нужен, а не t. Осталось лишь вспомнить, что t = 3x и выполнить обратную замену . И теперь наш ответ полностью готов! Вот он:

Вот всё и получилось.) Ну что, проверим? А вдруг, напортачили где-то? Дифференцируем результат:

Нет. Всё гуд.)

Пример 2

В таблице интегралов функции cos (x +4) нету. Есть просто косинус икс. Но! Если мы как-то организуем выражение х+4 и под дифференциалом d ( x +4) , то выйдем на табличный интеграл:

∫ cos x dx = sin x + C

Итак, связываем наш требуемый новый дифференциал d(x+4) со старым dx:

d (x +4) = (х+4)’· dx = 1· dx = dx

Ух ты, как хорошо! Оказывается, наш новый дифференциал d(x+4) это то же самое, что и просто dx! И безо всяких дополнительных коэффициентов. Халява сплошная!)

Да.) Так и есть. Смело заменяем dx на d(x+4), работаем со скобкой (x+4) как с новой буквой и с чистой совестью пользуемся таблицей.

В этот раз решение запишу чуть компактнее:

Проверяем результат интегрирования обратным дифференцированием:

(sin(x+4)+C)’ = (sin(x+4))’ + C’ = cos(x+4)∙(x+4)’+0 = cos(x+4)∙1 = cos(x+4)

Всё в шоколаде.)

Ну как, хлопотно? Согласен, хлопотно. Каждый раз выписывать дифференциалы, связывать один с другим, выражать старый дифференциал через новый… Не отчаивайтесь! Есть хорошая новость! Так обычно и не делают. :) Я так подробно расписал решение чисто для понимания сути алгоритма. На практике же поступают гораздо проще. Давайте ещё разок выпишем наши связи между старыми и новыми дифференциалами из обоих примеров:

Что можно заметить из этих записей? Два очень важных факта!

Запоминаем:

1) Любой ненулевой числовой коэффициент k (k≠0) можно внести под дифференциал, для компенсации разделив полученный результат на этот коэффициент:

2) Любое постоянное слагаемое b можно внести под дифференциал без последствий:

Строго доказывать данные факты не буду. Ибо просто это. Из примеров и так всё понятно, надеюсь.) Если хотите строгости – ради бога. Упрощайте правые части обоих равенств, раскрывая дифференциалы. И там и там получите просто dx. :)

Данные два факта можно легко объединить в один, более универсальный.

Любую линейную конструкцию kx+b можно внести под дифференциал dx по правилу:

Подобная процедура носит название подведение функции под знак дифференциала . В данном случае под дифференциал подводится линейная конструкция kx + b . Мы искусственно превращаем неудобный нам дифференциал dx в удобный d (kx + b ) .

И зачем нам такие ужасающие возможности - спросите вы? Просто так – незачем. Но зато с помощью такого искусного манёвра очень многие нетабличные интегралы теперь будут щёлкаться буквально в уме. Как орешки.)

Смотрите!

Пример 3

Этот пример будем сводить к табличному интегралу от степенной функции:

Для этого подведём под дифференциал нашу линейную конструкцию 2х+1, стоящую под квадратом. То есть, вместо dx пишем d(2x+1). Так нам надо. Но математике надо, чтобы от наших действий суть примера не изменилась! Поэтому идём на компромисс и, согласно нашему правилу, домножаем дополнительно всю конструкцию на коэффициент 1/2 (у нас k = 2, поэтому 1/k = 1/2).

Вот так:

И теперь считаем:

Готово дело.) А вот тут у некоторых читателей может возникнуть вопрос. Очень хороший вопрос, между прочим!

Мы ведь могли и не подводить выражение 2х+1 под дифференциал, не вводить никакую новую переменную, а просто взять и тупо возвести скобки в квадрат по школьной формуле квадрата суммы

(2х+1) 2 = 4х 2 +4х+1 ,

После чего почленно (в уме!) проинтегрировать каждое слагаемое. Можно так делать? Конечно! А почему – нет? Попробуйте! И сравните полученные результаты. Будет вам там сюрприз! Подробности – в конце урока. :)

А мы пока движемся дальше. Оставшиеся примеры распишу уже без особых комментариев… Подводим линейный аргумент kx+b под дифференциал, а образовавшийся коэффициент 1/k выносим за знак интеграла. И срабатываем по таблице. Окончательные ответы выделены жирным шрифтом.

Пример 4

Легко!

Пример 5

Без проблем!

И, наконец, последний пример.

Пример 6

И тут всё проще простого!

Ну как? Понравилось? И теперь такие примеры вы можете щёлкать в уме! Заманчивая возможность, правда?) Более того, сами подобные интегралы частенько бывают отдельными слагаемыми в более накрученных примерах.

Кстати сказать, после определённого навыка работы с таблицей первообразных, со временем полностью отпадает необходимость вводить новую промежуточную переменную t. За ненадобностью.

Например, очень скоро, вы сразу в уме на подобные примеры будете давать готовый ответ:

И даже в один присест расправляться с монстрами типа:

А вы попробуйте вычислить данный интеграл "в лоб", через возведение в 1000-ю степень по формуле бинома Ньютона! Придётся почленно интегрировать 1001 слагаемое, да… А вот с помощью подведения под дифференциал - в одну строчку!

Так, ну хорошо! С линейной функцией всё предельно ясно. Как именно подводить её под дифференциал – тоже. И тут я слышу закономерный вопрос: а только ли линейную функцию можно подвести под дифференциал?

Разумеется, нет! Любую функцию f(x) можно подвести под дифференциал! Ту, которая удобна в конкретном примере. А уж какая там удобна – от конкретного примера зависит, да… Просто на примере линейной функции очень просто демонстрировать саму процедуру подведения. На пальцах, что называется.) А теперь мы плавненько подходим к более общему случаю 2 .

Как подвести под дифференциал любую произвольную функцию?

Речь пойдёт о случае, когда подынтегральная функция имеет вот такой вид:

f (g (x ))· g ’(x ) .

Или, что то же самое, подынтегральное выражение имеет вид:

f (g (x ))· g ’(x )dx

Ничего особенного. Просто dx приписал.)

Одним словом, речь пойдёт об интегралах вида:

Не пугаемся всяких штрихов и скобочек! Сейчас всё куда яснее станет.)

В чём здесь суть. Из исходной подынтегральной функции можно выделить сложный аргумент g (x ) и его производную g ’(x ) . Но не просто выделить, а расписать именно в виде произведения некой сложной функции f (g (x )) от этого самого аргумента на его производную g ’(x ) . Что и выражается записью:

f (g (x ))· g ’(x )

Перефразируем теперь всё в терминах дифференциала: подынтегральное выражение можно представить в виде произведения некой сложной функции f (g (x )) и дифференциала её аргумента g ’(x ) dx .

И тогда, стало быть, всё наше подынтегральное выражение можно расписать вот так:

Говоря по-русски, мы вносим промежуточную функцию g (x ) под знак дифференциала . Было dx, а стало d(g(x)). И зачем нам эти метаморфозы? А затем, что, если сейчас ввести новую переменную t = g(x) , то наш интеграл существенно упростится:

И, если новый интеграл по новой переменной t вдруг (!) окажется табличным, то всё в шоколаде. Празднуем победу!)

"Многа букафф", да. Но на примерах сейчас всё куда понятнее будет. :) Итак, вторая часть пьесы!

Пример 7

Это классика жанра. Под интегралом дробь. Напрямую таблицей не воспользуешься, никакими школьными формулами ничего не преобразуешь. Только подведение под дифференциал и спасает, да.) Для этого распишем нашу подынтегральную дробь в виде произведения. Хотя бы вот такого:

А теперь разбираемся. С логарифмом в квадрате всё ясно. Он и в Африке логарифм… А что такое 1/x? Вспоминаем нашу незабвенную таблицу производных… Да! Это производная логарифма!

Вставляем теперь в подынтегральную функцию вместо 1/х выражение (ln x) ’ :

Вот мы и представили исходную подынтегральную функцию в нужном нам виде f (g (x ))· g ’(x ) . Превратили её в произведение некой функции от логарифма f(ln x) и производной от этого самого логарифма (ln x) ’ . А именно - в произведение ln 2 x и (ln x) ’.

А теперь давайте подробно расшифруем, какие же именно действия у нас скрываются за каждой буковкой.

Ну, с функцией g(x) всё ясно. Это логарифм: g(x) = ln x .

А что же скрывается под буквой f? Не всех осеняет сразу… А под буквой f у нас скрывается действие - возведение в квадрат :

Вот и вся расшифровка.)

А всё подынтегральное выражение можно теперь переписать вот так:

И какую же функцию мы внесли под дифференциал в данном примере? В данном примере мы внесли под дифференциал логарифмическую функцию ln x!

Готово дело.) Для того чтобы убедиться в правильности результата, всегда можно (и нужно) продифференцировать ответ:

Ура! Всё ОК.)

А теперь обратите внимание, как именно мы дифференцируем окончательный ответ всех примеров этого урока. Неужели до сих пор не уловили закономерность? Да! Как сложную функцию! Оно и естественно: дифференцирование сложной функции и подведение функции под знак дифференциала – это два взаимно обратных действия. :)

Это был довольно несложный пример. Чтобы разобраться, что к чему. Теперь пример посолиднее.)

Пример 8

Опять же, впрямую ничего не решается. Попробуем метод подведения под дифференциал с последующей заменой. Вопрос – что подводить и заменять будем? А вот тут уже задачка.)

Нам надо попробовать подынтегральную функцию x·cos(x 2 +1) как-то представить в виде произведения функции от чего-то на производную этого самого чего-то :

Ну, произведение у нас и так уже есть - икса и косинуса.) Чутьё подсказывает, что функцией g(x), которую мы и будем подводить под дифференциал, будет выражение x 2 +1 , которое сидит внутри косинуса. Прямо таки напрашивается:

Всё чётко. Внутренняя функция g - это x 2 +1, а внешняя f - это косинус.

Хорошо. А теперь давайте проверим, не связан ли как-то оставшийся множитель x с производной выражения x 2 +1 , которое мы выбрали в качестве кандидата на подведение под венец дифференциал.

Дифференцируем:

Да! Связь налицо! Если 2x = (x 2 +1)’ , то для одинарного икса мы можем записать:

Или, в виде дифференциалов:

Всё. Кроме x 2 +1, никаких других выражений с иксом у нас больше нигде в примере нет. Ни в подынтегральной функции, ни под знаком дифференциала. Чего мы и добивались.

Переписываем теперь наш пример с учётом этого факта, заменяем выражение x 2 +1 новой буквой и – вперёд! Правда, это… Коэффициент 1/2 ещё вылез… Не беда, мы его наружу, наружу! :)

Вот и всё. Как мы видим, в предыдущем примере под дифференциал вносилась логарифмическая функция, а здесь - квадратичная.

Рассмотрим теперь более экзотический пример.

Пример 9

На вид ужас-ужас! Однако, горевать рано. Самое время вспомнить нашу горячо любимую таблицу производных.) А чуть конкретнее – производную арксинуса.

Вот она:

Тогда, если подвести этот самый арксинус под дифференциал, то этот злой пример решается в одну строчку:

И все дела!

А теперь, давайте на данном примере проанализируем весь наш увлекательный процесс подведения функции арксинус под дифференциал. Что нам пришлось сделать, чтобы успешно справиться с этой задачей? Нам пришлось опознать в выражении

производную другого выражения – арксинуса! Иными словами, сначала вспомнить (по таблице производных), что

И затем сработать справа налево. Вот так:

А вот это уже посложнее, чем простое дифференцирование, согласитесь! Точно так же, как и, например, извлекать квадратный корень сложнее, чем возводить в квадрат.) Нам приходится подбирать нужную функцию. По таблице производных.

Поэтому, помимо прямого дифференцирования, в интегрировании нам ещё надо будет постоянно проводить обратную операцию - распознавать в функциях производные других функций . Здесь чёткого алгоритма нет. Тут практика рулит.) Рецепт здесь один – решать примеры! Как можно больше. Прорешаете хотя бы 20-30 примеров – и такие замены вы будете замечать и проделывать достаточно быстро и легко. На автомате, я бы даже сказал. И обязательно надо знать таблицу производных! Наизусть.)

Я даже не поленюсь и самые популярные конструкции сведу в отдельную таблицу дифференциалов .

Этой небольшой сводной таблички уже вполне достаточно, чтобы успешно расправляться с большей частью примеров, решаемых методом подведения функции под знак дифференциала! Имеет смысл разобраться. :)

Скажу отдельно, что конструкция dx/x и соответствующий ей табличный интеграл ln|x| – одни из самых популярных в интегрировании!

К этой табличной формуле с логарифмом сводятся все интегралы от дробей, числитель которых является производной знаменателя . Смотрите сами:

Например, даже безо всякой замены, по этому правилу можно в одну строчку проинтегрировать тангенс, к примеру. Кто-то тут как-то спрашивал про тангенс? Пожалуйста!

И даже такие гиганты тоже интегрируются в одну строчку!

Забавно, правда? :)

Возможно, у особо глазастых возник вопрос, почему в первых трёх случаях я под логарифмом написал модуль, а в последнем случае – не написал?

Ответ: выражение e x +1 , стоящее под логарифмом в последнем примере, положительно при любом действительном x . Поэтому логарифм от выражения e x +1 всегда определён, и в данном случае вместо модуля можно использовать обычные скобки. :)

А зачем вообще под логарифмом в табличном интеграле стоит модуль? Ведь, в таблице производных у логарифма никакого модуля нету и при дифференцировании мы спокойненько пишем:

(ln x)’ = 1/х

А при интегрировании функции 1/x ещё и модуль зачем-то пишем…

На этот вопрос отвечу позже. В уроках, посвящённых определённому интегралу . Связан этот модуль с областью определения первообразной .

Заметьте: мы, как фокусники в цирке, по правде говоря, просто осуществляем какой-то набор махинаций с функциями, превращая их друг в друга по некой табличке. :) А с областью определения пока что вообще никак не паримся. И, по правде говоря, зря. Ведь мы работаем всё-таки с функциями! А область определения – важнейшая часть любой функции, между прочим! :) В том числе и тех функций, с которыми мы здесь работаем – подынтегральной f(x) и первообразной F(x) . Так что про область определения мы ещё вспомним. В специальном уроке.) Терпение, друзья!

Вот мы и рассмотрели с вами типовые примеры интегралов, решаемых подведением функции под знак дифференциала.) Сложно? Поначалу - да. Но после определённой тренировки и выработки навыка такие интегралы вам будут казаться одними из самых простых!

А теперь – обещанный сюрприз! :)

Давайте вновь вернёмся к примеру №3 . Там, подводя выражение 2х+1 под дифференциал, мы получили вот такой ответ:

Это правильный ответ. Продифференцируйте на бумажке, как сложную функцию, и убедитесь сами. :)

А теперь рассмотрим другой способ решения этого же примера. Не будем ничего подводить под дифференциал, а просто тупо раскроем квадрат суммы и почленно проинтегрируем каждое слагаемое. Имеем полное право!

Получим:

И это тоже правильный ответ!

Вопрос: первый и второй ответы к одному и тому же интегралу – одинаковы или различны?

Ведь, по логике, ответы к одному и тому же примеру, полученные двумя разными способами, должны совпадать, не так ли? Сейчас узнаем! Преобразуем первый результат, раскрыв куб суммы по формуле сокращённого умножения (a + b ) 3 = a 3 +3 a 2 b +3 ab 2 + b 3 .

Что получим:

А теперь сравниваем оба результата:

И… что-то тут не так! Откуда же в первом результате взялась "лишняя" дробь 1/6? Получается, что к одному и тому же интегралу получены два разных ответа!

Парадокс? Мистика?

Спокойствие! Разгадка тайны кроется в . Вспоминаем самый первый урок по интегрированию. :) Там зачем-то приведена оч-чень важная фраза: две первообразные одной и той же функции F 1 ( x ) и F 2 ( x ) отличаются друг от друга на константу.

А теперь вновь всматриваемся в наши результаты. И... видим, что в нашем случае так и есть: полученные двумя разными путями ответы как раз и отличаются на константу. На одну шестую. :)

F 1 (x) – F 2 (x) = 1/6

Вот и весь секрет. Так что никакого противоречия нет. :)

А его вообще можно взять аж... тремя различными способами! Не верите? Смотрите cами! :)

Способ №1 . Синус двойного угла не трогаем, а просто подводим аргумент 2x под дифференциал (как, собственно, уже делали в процессе разбора):

Способ №2 . Раскрываем синус двойного угла, под дифференциал подводим sin x :

Способ №3 . Снова раскрываем синус двойного угла, но под дифференциал подводим cos x:

А теперь дифференцируем все три ответа и удивляемся дальше:

Чудеса, да и только! Получилось три разных ответа! Причём в этот раз даже внешне не похожих друг на друга. А производная - одна и та же! :) Неужели дело опять в интегральной константе, и каждая из трёх функций отличается от другой на константу? Да! Как это ни странно, но это именно так.) А вы поисследуйте эти три функции самостоятельно! Не сочтите за труд. :) Преобразуйте каждую функцию к одному виду - либо к sin 2 x , либо к cos 2 x . И да помогут вам школьные формулы тригонометрии! :)

К чему я рассмотрел эти сюрпризы и вообще затеял все эти светские беседы про интегральную константу?

А дело вот в чём. Как вы видите, даже небольшое различие в интегральной константе способно, в принципе, сильно изменить внешний вид ответа, да... Но фишка в том, что от этого ответ не перестаёт быть правильным! И, если в сборнике задач вы, вдруг, увидите ответ, не совпадающий с вашим, то огорчаться рано. Ибо этот факт вовсе не означает, что ваш ответ неверен! Возможно, что вы просто пришли к ответу иным путём, чем предполагал автор примера. Так бывает.) А убедиться в правильности ответа всегда поможет самая надёжная проверка, основанная на . Какая? Правильно! Дифференцирование окончательного ответа! Получили подынтегральную функцию - значит, всё ОК.

Ну как, прочувствовали теперь, насколько важен значок dx под интегралом? Во многих примерах только он и спасает, да. Мощная штука! Так что теперь не пренебрегаем им! :)

А теперь – тренируемся! Поскольку тема не самая простая, то и примеров для тренировки в этот раз будет больше обычного.

Методом подведения функции под знак дифференциала найти неопределённые интегралы:

Ответов в этот раз давать не буду. Так будет неинтересно. :) Не ленитесь дифференцировать результат! Получили подынтегральную функцию – ОК. Нет – ищите, где накосячили. Все примеры очень простые и решаются в одну (максимум две) строчки. Кому позарез нужны ответы, все примеры взяты из сборника задач по матанализу Г.Н. Бермана. Скачивайте, ищите свой пример, сверяйтесь. :) Успехов!

Интегралы, которые мы будем рассматривать, похожи на интегралы предыдущего параграфа, они имеют вид: или

(коэффициенты a , b и f не равны нулю).

То есть, в числителе у нас появилась линейная функция. Как решать такие интегралы?

Пример 14

Найти неопределенный интеграл

Пожалуйста, будьте внимательны, сейчас мы рассмотрим типовой алгоритм.

1) Когда дан интеграл вида

Или

(где коэффициенты a , b и f не равны нулю), то первое, что мы делаем, это… берём черновик. Дело в том, что сейчас нам предстоит выполнить небольшой подбор.

2) Сформируем числитель подынтегрального выражения тождественными преобразованиями (выразим числитель через знаменатель). Для этого пока просто заключаем выражение, которое находится в данном примере в знаменателе (неважно – под корнем или без корня), под знак дифференциала: .

3) Раскрываем дифференциал:

Смотрим на числитель нашего интеграла:

Немного разные вещи получились…. А теперь нам нужно подобрать множитель для дифференциала , такой, чтобы при его раскрытии получилось, как минимум, 3x . В данном случае с подходящим множителем получится:

4) Для самоконтроля снова раскрываем наш дифференциал:

Снова смотрим на числитель нашего интеграла:

Уже ближе, но у нас получилось не «то» слагаемое (+2), а другое: (+3/2).

5) К нашему дифференциалу

приписываем слагаемое, которое у нас изначально было в подынтегральной функции:

– Вычитаем (в данном случае – вычитаем, иногда нужно, наоборот, прибавлять)

наше «не то» слагаемое:

– Обе константы берем в скобки и приписываем справа значок дифференциала:

– Вычитаем (в некоторых примерах нужно сложить) константы:

.

6) Выполняем проверку:

У нас получился в точности числитель подынтегральной функции, значит, подбор выполнен успешно.

Чистовое оформление решения выглядит примерно так:

(1) Выполняем на черновике подбор числителя согласно вышерассмотренному алгоритму. Обязательно выполняем проверку, правильно ли выполнен подбор. При определенном опыте решения интегралов подбор нетрудно выполнить и в уме.

(2) Почленно делим числитель на знаменатель. В практическом решении задач данный шаг можно опускать

(3) Используя свойство линейности, разделяем интегралы. Все константы целесообразно вынести за знаки интегралов.

(4) Первый интеграл фактически является табличным, используем формулу (константу C припишем позже, когда возьмем второй интеграл). Во втором интеграле выделяем полный квадрат (такой тип интегралов мы рассмотрели в предыдущем параграфе). Остальное дело техники.

И, на закуску, пара примеров для самостоятельного решения – один проще, другой сложнее.

Пример 15

Найти неопределенный интеграл

Пример 16

Найти неопределенный интеграл

Для решения Примеров 15 и 16 будет полезен частный случай интегрирования степенной функции, которого нет в нашей справочной таблице:

.

Пример 15: Решение:

Пример 16: Решение:

.

Подведение числителя под знак дифференциала

Это заключительная часть урока, тем не менее, интегралы такого типа встречаются довольно часто! Если накопилась усталость, может, оно, лучше завтра почитать? ;)

Интегралы, которые мы будем рассматривать, похожи на интегралы предыдущего параграфа, они имеют вид: или (коэффициенты , и не равны нулю).

То есть, в числителе у нас появилась линейная функция. Как решать такие интегралы?

Пример 14

Пожалуйста, будьте внимательны, сейчас мы рассмотрим типовой алгоритм.

1) Когда дан интеграл вида или (коэффициенты , и не равны нулю), то первое, что мы делаем, это… берём черновик. Дело в том, что сейчас нам предстоит выполнить небольшой подбор.

2) Заключаем выражение, которое находится в знаменателе (неважно – под корнем или без корня) под знак дифференциала, в данном примере:

3) Раскрываем дифференциал:

Смотрим на числитель нашего интеграла:

Немного разные вещи получились…. А теперь нам нужно подобрать множитель для дифференциала , такой, чтобы при его раскрытии получилось, как минимум, . В данном случае подходящим множителем является:

4) Для самоконтроля снова раскрываем наш дифференциал:

Снова смотрим на числитель нашего интеграла: .
Уже ближе, но у нас не то слагаемое:

5) К нашему дифференциалу :
– приписываем слагаемое, которое у нас изначально было в подынтегральной функции:

– Вычитаем (в данном случае – вычитаем, иногда нужно, наоборот, прибавлять) наше «не то» слагаемое:
– Обе константы берем в скобки и приписываем справа значок дифференциала:

– Вычитаем (в некоторых примерах нужно сложить) константы:

6) Выполняем проверку:

У нас получился в точности числитель подынтегральной функции, значит, подбор выполнен успешно.

Чистовое оформление решения выглядит примерно так:

(1) Выполняем на черновике подбор числителя согласно вышерассмотренному алгоритму. Обязательно выполняем проверку, правильно ли выполнен подбор. При определенном опыте решения интегралов подбор нетрудно выполнить и в уме.

(2) Почленно делим числитель на знаменатель. В практическом решении задач данный шаг можно опускать

(3) Используя свойство линейности, разделяем интегралы. Все константы целесообразно вынести за знаки интегралов.

(4) Первый интеграл фактически является табличным, используем формулу (константу припишем позже, когда возьмем второй интеграл). Во втором интеграле выделяем полный квадрат (такой тип интегралов мы рассмотрели в предыдущем параграфе).

Остальное дело техники.

И, на закуску, пара примеров для самостоятельного решения – один проще, другой сложнее.

Пример 15

Найти неопределенный интеграл:

Пример 16

Найти неопределенный интеграл:

Для решения данных примеров будет полезен частный случай интегрирования степенной функции, которого нет в моей таблице:

Как видите, интегрирование дробей - дело кропотливое, часто приходится применять искусственные приемы и подборы. Но что делать…

Существуют и другие виды дробей, так называемые дробно-рациональные функции, они решаются методом неопределенных коэффициентов. Но это уже тема урока Интегрирование дробно рациональных функций .

§ 5. Интегралы и их приложения

.

5.1. Основные определения и формулы. Функция F (x ) является первообразной функции f (x ), если на некотором множестве X выполняется равенство F  (x )= f (x ). Совокупность всех первообразных для f (x ) называется неопределенным интегралом и обозначается . При этом, если F (x ) – какая-либо из первообразных f (x ), то
, константа C пробегает все множество действительных чисел. В таблице 2 приводятся основные формулы, в которых u = u (x ).

Таблица 2

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

Очевидно, что формулы 10), 12) и 14) являются частными случаями формул 11), 13) и 15) соответственно.

Если f (x ) – функция, непрерывная на отрезке [ a ; b ], то существует определенный интеграл от этой функции, который можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница :

, (5.1)

где F (x ) – какая-либо первообразная для f (x ). В отличие от неопределенного интеграла (представляющего собой множество функций) определенный интеграл – некоторое число.

И неопределенный, и определенный интегралы обладают свойством линейности (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла):

.

Пример 5.1 . Найти: а)
; б)
.

Решение. В задании а) подынтегральную функцию сначала упрощаем, разделив почленно каждое слагаемое из числителя на знаменатель, затем используем свойство линейности и «табличные» формулы 1)-3):

В задании б), помимо линейности и «табличных» формул 3), 9), 1), используем формулу Ньютона-Лейбница (5.1):

5.2. Внесение под знак дифференциала и замена переменной. Можно заметить, что иногда часть подынтегральной функции образует дифференциал некоторого выражения, что позволяет применять табличные формулы.

Пример 5.2 Найти: а)
; б)
.

Решение. В примере а) можно заметить, что
, а затем воспользоваться формулой 5) при u =lnx :

В случае б)
, а потому в силу 11) при
получим:

Замечание 1. При внесении под знак дифференциала полезно, наряду с использованными выше, учитывать следующие соотношения:

;
;
; ; ;

;
;
;
.

Замечание 2. Интегралы из примера 5.2. можно было найти и с помощью замены переменной. При этом в определенном интеграле следует менять и пределы интегрирования. Преобразования в 5.2.б) выглядели бы, например, так:

В общем случае выбор замены определяется видом подынтегральной функции. В некоторых случаях рекомендуются специальные замены. Например, если в выражении присутствует иррациональность вида
, то можно положить
или
.

Пример 5.3 Найти: а)
; б)
.

Решение. В случае а) имеем

(после замены применили табличную формулу 11 )).

При решении б) обязательно проводим замену пределов интегрирования.

5.3. Интегрирование по частям. В ряде случаев помогает «формула интегрирования по частям». Для неопределенного интеграла она имеет вид

, (5.2)

для определенного

, (5.3)

При этом важно учитывать следующее.

1) Если подынтегральная функция содержит произведение многочлена от x на функции
, то в качестве u выбирается многочлен, а оставшееся под знаком интеграла выражение относится к dv .

2) Если подынтегральная функция содержит обратные тригонометрические ( ) или логарифмические (
) функции, то в качестве u выбирается одна из них.

Пример 5.4. Найти: а)
; б)
.

Решение. В случае а) применяем формулу (5.2) и второе правило . Именно, полагаем
. Тогда
. Далее,
, а потому
. Следовательно, . В полученном интеграле выделим целую часть подынтегральной функции (так поступают, когда степень числителя не меньше степени знаменателя):

.

Окончательно решение выглядит так:

В примере б) используем (5.3) и первое из правил .

5.4. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен . Основные идеи заключаются в выделении в квадратном трехчлене полного квадрата и в проведении линейной замены, позволяющей свести исходный интеграл к табличным вида 10 )-16 ).

Пример 5.5. Найти: а)
; б)
; в)
.

Решение. В случае а) действуем следующим образом:

поэтому (с учетом 13) )

При решении примера б) потребуются дополнительные преобразования, связанные с присутствием переменной в числителе подынтегральной функции. Выделив полный квадрат в знаменателе (), получим:

Для второго из интегралов в силу 11) (табл.2) имеем:
. В первом интеграле проведем внесение под знак дифференциала:

Таким образом, собирая все вместе и возвращаясь к переменной x , получаем:

В примере в) также предварительно выделяем полный квадрат:

5.5. Интегрирование простейших тригонометрических функций. При интегрировании выражений вида
(где m и n – натуральные числа) рекомендуется принимать во внимание следующие правила.

1) Если обе степени четные, то применяются формулы «понижения степени»: ; .

2) Предположим, что какое-либо из чисел m и n – нечетное. Например, n =2 k +1. В этом случае одну из степеней функции cosx «отщепляют», чтобы внести под знак дифференциала (т.к. ). В оставшемся выражении
с помощью основного тригонометрического тождества
выражают через
(). После преобразования подынтегрального выражения (и с учетом свойства линейности) получается алгебраическая сумма интегралов вида
, каждый из которых можно найти с помощью формулы 2) из таблицы 2:
.

Кроме того, в некоторых случаях полезны также формулы

Пример 5.6. Найти: а)
; б)
; в)
.

Решение. а) В подынтегральную функцию входит нечетная (5-я) степень sinx , поэтому действуем по второму правилу , учитывая, что .

В примере б) воспользуемся формулой (5.4 ), линейностью неопределенного интеграла, равенством
и табличной формулой 4):

В случае в) последовательно понижаем степень , учитываем линейность, возможность внесения константы под знак дифференциала и нужные табличные формулы:

5.6. Приложения определенного интеграла. Как известно, криволинейной трапецией, соответствующей неотрицательной и непрерывной на отрезке [ a ; b ] функции f (x ), называется область, ограниченная графиком функции y = f (x ), осью OX и двумя вертикальными прямыми x = a , x = b . Коротко это можно записать так: (см. рис.3 ). и, где