Аберрации оптических систем (от латинского aberratio – отклонение) – искажения, ошибки, или погрешности изображений, формируемых оптическими системами. Причина их возникновения в то, что луч отклоняется от того направления, по которому в близкой к идеалу оптической системе он должен был бы идти. Различные нарушения гомоцентричности (отчетливости, соответствия или окрашенности) в структуре выходящих из оптической системы пучков лучей характеризуют аберрации.
Наиболее распространенными видами аберраций оптических систем можно считать:
1. Сферическую аберрацию. Она характеризуется недостатком изображения. При нем испущенные одной точкой объекта световые лучи, проходящие вблизи оси оптической системы, и лучи, проходящие через отдаленные от оси части системы, не собираются в одной точке.
2. Кому. Так называют аберрацию, которая возникает во время косого прохождения световых лучей через оптическую систему. В результате этого наблюдается нарушение симметрии пучка лучей относительно его оси и изображение точки (которая создается системой) принимает вид несимметричного пятна рассеяния.
3. Астигматизм.
О
б этой аберрации говорят, когда световая волна испытывает деформацию во время прохождения оптической системы. В результате этого, наблюдается деформация, при которой исходящие из одной точки объекта пучки лучей не пересекаются в одной точке, а располагаются в двух взаимно перпендикулярных отрезках на некотором расстоянии друг от друга. Такие пучки получили название астигматических.
4. Дисторсию. Так называется аберрация, характеризующаяся нарушением геометрического подобия между объектом и изображением объекта. Она обуславливается неодинаковостью линейного оптического увеличения на разных участках изображения.
5. Кривизну поля изображения. При этой аберрации наблюдается процесс, когда изображение плоского предмета получается резким на искривленной поверхности, а не на плоскости, как должно было.
Все вышеперечисленные виды аберраций оптических систем называются геометрическими или аберрациями Зейделя. В реальных системах отдельные виды геометрических аберраций можно встретить крайне редко. Куда чаще мы можем наблюдать симбиоз всех аберраций. А метод выделения отдельных видов аберраций является искусственным приемом, призванным облегчить анализ явления.
В то же время существует и хроматическая аберрация. Наблюдается связь этог
о вида аберрации и зависимости показателя преломления оптических сред от длины волны света. Проявления этой аберрации наблюдаются в оптических системах, в которые входят элементы из преломляющих материалов. Как пример, линзы. Отметим также, что зеркалам свойственна ахроматичность.
Проявление хроматических аберраций может наблюдаться при виде постороннего окрашивания изображения, а также, когда у изображения предмета появляются цветные контуры, которых у предмета ранее не наблюдалось. Хроматические аберрации обусловливаются дисперсией оптических сред (зависимость показателя преломления оптических материалов от длины проходящей световой волны). Именно из них образуется оптическая система
К числу этих аберраций можно отнести хроматическую аберрацию или хроматизм положения (ее иногда называют «продольным хроматизмом») и хроматическу аберрацию или хроматизм увеличения.
Хотите узнать больше об аберрациях оптических систем? У вас остались какие-то вопросы или появилось желание получше разобраться в отдельных нюансах? – Мы всегда готовы вам помочь. Просто зарегистрируйтесь на нашем сайте, выберите подходящий тарифный план и вперед!
Остались вопросы? Не знаете, как сделать домашнее задание?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Пусть y - некоторая функция переменной x ; причём, неважно, каким образом эта функция задана: формулой, таблицей или как-то иначе. Важен только сам факт существования этой функциональной зависимости, что записывается следующим образом: y = f (x ). Буква f (начальная буква латинского слова “functio”- функция) не обозначает какой-либо величины, так же как буквы log, sin, tan в записях функций y = log x , y = sin x , y = tan x . Они говорят лишь об определённых функциональных зависимостях y от x . Запись y = f (x ) представляет любую функциональную зависимость. Если две функциональные зависимости: y от x и z от t отличаются одна от другой, то они записываются с помощью различных букв: y = f (x ) и z = F (t ). Если же некоторые зависимости одни и те же, то они записываются одной и той же буквой f : y = f (x ) и z = f (t ). Если выражение для функциональной зависимости y = f (x ) известно, то она может быть записана с использованием обоих обозначений функции. Например, y = sin x или f (x ) = sin x . Обе формы полностью равносильны. Иногда используется и другая форма записи: y (x ). Это означает то же самое, что и y = f (x ).
Графическое представление функций.
Чтобы представить функцию y = f (x ) в виде графика, нужно:
1) Записать ряд значений функции и её аргумента в таблицу:
2) Перенести координаты точек функции из таблицы в систему координат,
отметив в соответствии с выбранным масштабом значения абсцисс на
оси Х и значения ординат на оси Y (рис.2). В результате в нашей системе
координат будет построен ряд точек A, B, C, . . . , F .
3) Соединяя точки A, B, C, . . . , F плавной кривой, получаем график заданной
функциональной зависимости.
Такое графическое представление функции даёт наглядное представление о характере её поведения, но достигаемая при этом точность недостаточна. Возможно, что промежуточные точки, не построенные на графике, лежат далеко от проведенной плавной кривой. Хорошие результаты в значительной степени зависят также от удачного выбора масштабов. Поэтому следует определить график функции как геометрическое место точек , координаты которых M (x, y) связаны заданной функциональной зависимостью .
Область определения и область значений функции. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел R . Это значит, что аргумент функции может принимать только те действительные значения, при которых функция определена, т.e. она также принимает только действительные значения. Множество X всех допустимых действительных значений аргумента x , при которых функция y = f (x ) определена, называется областью определения функции . Множество Y всех действительных значений y , которые принимает функция, называется областью значений функции . Теперь можно дать более точное определение функции: правило (закон) соответствия между множествами X и Y , по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией .
План- конспект урока математики в 7 классе
(по учебнику А.Г. Мордковича)
Тема урока: Что означает в математике запись у= f(x). Кусочная функция.
Тип урока: «открытие» нового знания.
Основные цели:
Формировать способность к обобщению;
Повторить и закрепить свойства линейной и квадратичной функций,
графическое решение уравнений.
Этапы урока:
Самоопределение к деятельности (организационный момент).
Здравствуйте, ребята! Сегодня мы продолжим работать с функциями.
Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.
Начнем наше обсуждение с примера.
2.1. Как найти значение функции у=Зх-2 при х=4? (Надо число З умножить на 4 и из этого произведения вычесть 2. Получаем у=10).
Как называется функция у=Зх-2? (Это линейная функция).
функции является прямая линия)
2.2 . Как найти значение функции у= x 2 +З при х=2? (Надо число 2 возвести в квадрат и к полученному результату прибавить З. Получим у=7).
Как называется функция у= х 2 +з? (Это квадратичная функция).
Какая линия является графиком данной функции? (Графиком данной
функции является парабола).
Мы видим, что независимо от вида функции для вычисления величины у по заданному значению х надо выполнить набор определенных действий, операций. Совокупность этих действий, операций (алгоритм вычисления), называют функцией и обозначают символом y=f(x).
Разумеется, функцию y=f(x) можно задавать и несколькими формулами.
2.З Рассмотрим следующее задание
Дана функция у=
а)Вычислим f(-l), f(0), f(2),f(З).
б) Построим график функции y=f(x).
У учащихся возникают затруднения при выполнении задания.
3. Постановка учебной задачи.
Если кто - либо из учащихся верно предложит решение, то учитель попросит его обосновать, как выполнены действия.
Если учащиеся не смогут решить задание, то обсуждение проводится фронтально под руководством учителя.
Что дано в задании?
(Заданы две функции у=5-2х и y =
На каких промежутках определены данные функции? (Функция у=5-2х
определена при х<2, а у= х - при х 2).
Такая функция, которая на разных участках задается разными формулами, называется кусочной функцией.
Как же выполнить задание? (Надо рассмотреть сначала одну функцию, а затем другую, учитывая область определения функции).
Правильно! Значит, это наша гипотеза. Что же нужно сделать, чтобы использовать ее? (доказать в общем виде).
Вы сформулировали цель сегодняшнего урока. А как бы вы назвали тему урока? (Кусочные функции).
Учитель записывает тему урока на доске, а учащиеся - в тетради.
Построение проекта выхода из затруднения («открытие» нового знания)
4.1. Итак, сформулируйте еще раз алгоритм работы с кусочными функциями. (Надо рассмотреть сначала одну функцию, а затем другую, учитывая область определения функции).
Учащимся предлагается в парах в течение 5-7 минут проговорить решение задания и оформить его в тетрадях.
3атем решение оформляется на доске.
Решение:
а) Т.к. х=-1, х=0, х=l удовлетворяют условию х<2, то пользуемся первой формулой f(x)= 5-2х и получаем f(-1)= 5-2*(-1)=7, f(0)= 5-2*0=5,
f(-1)= 5-2* 1=3.
Т.к, х=2 и х=3 удовлетворяют условию х 2, то пользуемся второй формулой
f (x)= и получаем f(2)= 2=1, f(3)= З=1,5.
б) При х< 2 построим прямую y 1 =5-2х и при x 2 строим прямую f (x)= Построенная ломаная линия является графиком данной функции y=f(x).
При этом графиком функции является непрерывная функция.Y 1
Y 2
Первичное закрепление во внешней речи.
Учащиеся выполняют № 39.5 устно, обосновывая свои действия
6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.
6.1. Учащиеся выполняют самостоятельные задания:
1). Постройте график функции
7. Рефлексия деятельности.
Что нового мы узнали на уроке?
Кого вы можете отметить?
Оцените свою работу на уроке. (Учащимся предлагается поднять сигнальные карточки: зеленая - все сделал правильно; желтая- были незначительные затруднения, но во всем разобрался; красная - требуется дополнительная помощь).
8. Домашнее задание: 39.10 (б); 39.15 (а); 39.22.
Дополнительно: построить график функции y=
Многие задачи приводят нас к поиску множества значений функции на некотором отрезке или на всей области определения. К таким задачам можно отнести различные оценки выражений, решение неравенств.
В этой статье дадим определение области значений функции, рассмотрим методы ее нахождения и подробно разберем решение примеров от простых к более сложным. Весь материал снабдим графическими иллюстрациями для наглядности. Так что эта статья является развернутым ответом на вопрос как находить область значений функции.
Определение.
Множеством значений функции y = f(x) на интервале X называют множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех .
Определение.
Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения .
Область значений функции обозначают как E(f) .
Область значений функции и множество значений функции - это не одно и то же. Эти понятия будем считать эквивалентными, если интервал X при нахождении множества значений функции y = f(x) совпадает с областью определения функции.
Не путайте также область значений функции с переменной x для выражения, находящегося в правой части равенства y=f(x) . Область допустимых значений переменной x для выражения f(x) – это есть область определения функции y=f(x) .
На рисунке приведены несколько примеров.
Графики функций показаны жирными синими линиями, тонкие красные линии – это асимптоты, рыжими точками и линиями на оси Оy изображена область значений соответствующей функции.
Как видите, область значений функции получается, если спроецировать график функции на ось ординат. Она может быть одним единственным числом (первый случай), множеством чисел (второй случай), отрезком (третий случай), интервалом (четвертый случай), открытым лучом (пятый случай), объединением (шестой случай) и т.п.
Так что же нужно делать для нахождения области значений функции.
Начнем с самого простого случая: покажем как определять множество значений непрерывной функции y = f(x) на отрезке .
Известно, что непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений . Таким образом, множеством значений исходной функции на отрезке
будет отрезок 
. Следовательно, наша задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке .
Для примера найдем область значений функции арксинуса.
Пример.
Укажите область значений функции y = arcsinx .
Решение.
Областью определения арксинуса является отрезок [-1; 1]
. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.
Производная положительна для всех x
из интервала (-1; 1)
, то есть, функция арксинуса возрастает на всей области определения. Следовательно, наименьшее значение она принимает при x = -1
, а наибольшее при x = 1
.
Мы получили область значений функции арксинуса 
.
Пример.
Найдите множество значений функции 
на отрезке
.
Решение.
Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.
Определим точки экстремума, принадлежащие отрезку
:
Вычисляем значения исходной функции на концах отрезка и в точках 
:
Следовательно, множеством значений функции на отрезке является отрезок 
.
Сейчас покажем, как находить множество значений непрерывной функции y = f(x) промежутках (a; b) , .
Сначала определяем точки экстремума, экстремумы функции, промежутки возрастания и убывания функции на данном интервале. Далее вычисляем на концах интервала и (или) пределы на бесконечности (то есть, исследуем поведение функции на границах интервала или на бесконечности). Этой информации достаточно, чтобы найти множество значений функции на таких промежутках.
Пример.
Определите множество значений функции на интервале (-2; 2) .
Решение.
Найдем точки экстремума функции, попадающие на промежуток (-2; 2)
:
Точка x = 0
является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус при переходе через нее, а график функции от возрастания переходит к убыванию.
есть соответствующий максимум функции.
Выясним поведение функции при x
стремящемся к -2
справа и при x
стремящемся к 2
слева, то есть, найдем односторонние пределы:
Что мы получили: при изменении аргумента от -2 к нулю значения функции возрастают от минус бесконечности до минус одной четвертой (максимума функции при x = 0 ), при изменении аргумента от нуля к 2 значения функции убывают к минус бесконечности. Таким образом, множество значений функции на интервале (-2; 2) есть .
Пример.
Укажите множество значений функции тангенса y = tgx на интервале .
Решение.
Производная функции тангенса на интервале положительна 
, что указывает на возрастание функции. Исследуем поведение функции на границах интервала:
Таким образом, при изменении аргумента от к значения функции возрастают от минус бесконечности к плюс бесконечности, то есть, множество значений тангенса на этом интервале есть множество всех действительных чисел .
Пример.
Найдите область значений функции натурального логарифма y = lnx .
Решение.
Функция натурального логарифма определена для положительных значений аргумента 
. На этом интервале производная положительна 
, это говорит о возрастании функции на нем. Найдем односторонний предел функции при стремлении аргумента к нулю справа, и предел при x
стремящемся к плюс бесконечности:
Мы видим, что при изменении x от нуля к плюс бесконечности значения функции возрастают от минус бесконечности к плюс бесконечности. Следовательно, областью значений функции натурального логарифма является все множество действительных чисел.
Пример.
Решение.
Эта функция определена для всех действительных значений x
. Определим точки экстремума, а также промежутки возрастания и убывания функции.
Следовательно, функция убывает при , возрастает при , x = 0
- точка максимума, 
соответствующий максимум функции.
Посмотрим на поведение функции на бесконечности:
Таким образом, на бесконечности значения функции асимптотически приближаются к нулю.
Мы выяснили, что при изменении аргумента от минус бесконечности к нулю (точке максимума) значения функции возрастают от нуля до девяти (до максимума функции), а при изменении x от нуля до плюс бесконечности значения функции убывают от девяти до нуля.
Посмотрите на схематический рисунок.
Теперь хорошо видно, что область значений функции есть .
Нахождение множества значений функции y = f(x) на промежутках требует аналогичных исследований. Не будем сейчас подробно останавливаться на этих случаях. В примерах ниже они нам еще встретятся.
Пусть область определения функции y = f(x) представляет собой объединение нескольких промежутков. При нахождении области значений такой функции определяются множества значений на каждом промежутке и берется их объединение.
Пример.
Найдите область значений функции .
Решение.
Знаменатель нашей функции не должен обращаться в ноль, то есть, .
Сначала найдем множество значений функции на открытом луче .
Производная функции 
отрицательна на этом промежутке, то есть, функция убывает на нем.
Получили, что при стремлении аргумента к минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к единице. При изменении x от минус бесконечности до двух значения функции убывают от одного до минус бесконечности, то есть, на рассматриваемом промежутке функция принимает множество значений . Единицу не включаем, так как значения функции не достигают ее, а лишь асимптотически стремятся к ней на минус бесконечности.
Действуем аналогично для открытого луча .
На этом промежутке функция тоже убывает.
Множество значений функции на этом промежутке есть множество .
Таким образом, искомая область значений функции есть объединение множеств и .
Графическая иллюстрация.
Отдельно следует остановиться на периодических функциях. Область значений периодических функций совпадает с множеством значений на промежутке, отвечающем периоду этой функции.
Пример.
Найдите область значений функции синуса y = sinx .
Решение.
Эта функция периодическая с периодом два пи. Возьмем отрезок и определим множество значений на нем.
Отрезку принадлежат две точки экстремума и .
Вычисляем значения функции в этих точках и на границах отрезка, выбираем наименьшее и наибольшее значение:
Следовательно, 
.
Пример.
Найдите область значения функции 
.
Решение.
Мы знаем, что областью значений арккосинуса является отрезок от нуля до пи, то есть, 
или в другой записи . Функция 
может быть получена из arccosx
сдвигом и растяжением вдоль оси абсцисс. Такие преобразования на область значений не влияют, поэтому, 
. Функция 
получается из растяжением втрое вдоль оси Оy
, то есть, 
. И последняя стадия преобразований – это сдвиг на четыре единицы вниз вдоль оси ординат. Это нас приводит к двойному неравенству
Таким образом, искомая область значений есть 
.
Приведем решение еще одного примера, но без пояснений (они не требуются, так как полностью аналогичны).
Пример.
Определите область значений функции 
.
Решение.
Запишем исходную функцию в виде 
. Областью значений степенной функции является промежуток . То есть, . Тогда
Следовательно, 
.
Для полноты картины следует поговорить о нахождении области значений функции, которая не является непрерывной на области определения. В этом случае, область определения разбиваем точками разрыва на промежутки, и находим множества значений на каждом из них. Объединив полученные множества значений, получим область значений исходной функции. Рекомендуем вспомнить
>>Математика:Что означает в математике запись у = f(x)
Что означает в математике запись у = f(x)
Изучая какой-либо реальный процесс, обычно обращают внимание на две величины, участвующие в процессе (в более сложных процессах участвуют не две величины, а три, четыре и т.д., но мы пока такие процессы не рассматриваем): одна из них меняется как бы сама по себе, независимо ни от чего (такую переменную мы обозначили буквой х), а другая величина принимает значения, которые зависят от выбранных значений переменной х (такую зависимую переменную мы обозначили буквой у). Математической моделью реального процесса как раз и является запись на математическом языке зависимости у от х, т.е. связи между переменными х и у. Еще раз напомним, что к настоящему моменту мы изучили следующие математические модели: у = b, у = kx, y = kx + m, у = х 2 .
Есть ли у этих математических моделей что-либо общее? Есть! Их структура одинакова: у = f(x).
Эту запись следует понимать так: имеется выражение f(x) с переменной х, с помощью которого находятся значения переменной у.
Математики предпочитают запись у = f(x) не случайно. Пусть, например, f(x) = х 2 , т. е. речь идет о функции у = х 2 . Пусть нам надо выделить несколько значений аргумента и соответствующих значений функции. До сих пор мы писали так:
если х = 1, то у = I 2 = 1;
если х = - 3, то у = (- З) 2 = 9 и т. д.
Если же использовать обозначение f(x) = х 2 , то запись становится более экономной:
f(1) = 1 2 =1;
f(-3) = (-3) 2 = 9.
Итак, мы познакомились еще с одним фрагментом математического языка : фраза «значение функции у = х 2 в точке х = 2 равно 4» записывается короче:
«если у = f(x), где f(x) = x 2 , то f(2) = 4».
А вот образец обратного перевода:
Если у = f(x), где f(x) = x 2 , то f(- 3) = 9. По-другому - значение функции у = х 2 в точке х = - 3 равно 9.
П р и м е р 1. Дана функция у = f(x), где f(x) = х 3 . Вычислить:
а) f(1); б) f(- 4); в) f(о); г) f(2а);
д) f(а-1); е) f(3х); ж) f(-х).
Решение. Во всех случаях план действий один и тот же: нужно в выражении f(x) подставить вместо х то значение аргумента, которое указано в скобках, и выполнить соответствующие вычисления и преобразования. Имеем:
Замечание. Разумеется, вместо буквы f можно использовать любую другую букву (в основном, из латинского алфавита): g(x), h (х), s (х) и т. д.
Пример 2. Даны две функции: у = f(x), где f(x) = х 2 , и у = g (х), где g (х) = х 3 . Доказать, что:
а) f(-x) = f(x); b) g(-x)= -g(x).
Р е ш е н и е. а) Так как f(x) = х 2 , то f(- х) = (- х) 2 = х 2 . Итак, f(x) = х 2 , f(- х) = х 2 , значит, f(- x) =f (x)
б) Так как g{x) = х 3 , то g(- x) = -x 3 , т.e. g(-x) = -g(x).
Использование математической модели вида у = f(x) оказывается удобным во многих случаях, в частности, тогда, когда реальный процесс описывается различными формулами на разных промежутках изменения независимой переменной.
Опишем с помощью построенного на рисунке 68 графика некоторые свойства функции у - f(x) - такое описание свойств обычно называют чтением графика.
Чтение графика - это своеобразный переход от геометрической модели (от графической модели) к словесной модели (к описанию свойств функции). А
построение графика - это переход от аналитической модели (она представлена в условии примера 4) к геометрической модели.
Итак, приступаем к чтению графика функции у = f(x) (см. рис. 68).
1. Независимая переменная х пробегает все значения от - 4 до 4. Иными словами, для каждого значения х из отрезка [- 4, 4] можно вычислить значение функции f(x). Говорят так: [-4, 4] - область определения функции.
Почему при решении примера 4 мы сказали, что найти f(5) нельзя? Да потому, что значение х = 5 не принадлежит области определения функции.
2. y наим = -2 (этого значения функция достигает при х = -4); У нанб. = 2 (этого значения функция достигает в любой точке полуинтервала (0, 4].
3. у = 0, если 1 = -2 и если х = 0; в этих точках график функции y = f(x) пересекает ось х.
4. у > 0, если х є (-2, 0) или если x є (0, 4]; на этих промежутках график функции y = f(x) расположен выше оси х.
5. у < 0, если же [- 4, - 2); на этом промежутке график функции у = f(x) расположен ниже оси х.
6. Функция возрастает на отрезке [-4, -1], убывает на отрезке [-1, 0] и постоянна (ни возрастает, ни убывает) на полуинтервале (0,4].
По мере того как мы с вами будем изучать новые свойства функций, процесс чтения графика будет становиться более насыщенным, содержательным и интересным.
Обсудим одно из таких новых свойств. График функции, рассмотренной в примере 4, состоит из трех ветвей (из трех «кусочков»). Первая и вторая ветви (отрезок прямой у = х + 2 и часть параболы) «состыкованы» удачно: отрезок заканчивается в к точке (-1; 1), а участок параболы начинается в той же точке. А вот вторая и третья ветви менее удачно «состыкованы»: третья ветвь («кусочек» горизонтальной прямой) начинается не в точке (0; 0), а в точке (0; 4). Математики говорят так: «функция у = f(x) претерпевает разрыв при х = 0 (или в точке х = 0)». Если же функция не имеет точек разрыва, то ее называют непрерывной. Так, все функции, с которыми мы познакомились в предыдущих параграфах (у = b, y = kx, y = kx + m, y = x2) - непрерывные.
Пример 5
. Дана функция . Требуется построить и прочитать ее график.
Решение. Как видите, здесь функция задана достаточно сложным выражением. Но математика - единая и цельная наука, ее разделы тесно связаны друг с другом. Воспользуемся тем, что мы изучали в главе 5, и сократим алгебраическую дробь
справедливо лишь при ограничении Следовательно, мы можем переформулировать задачу так: вместо функции у = х 2
будем рассматривать функцию у = х 2 , где Построим на координатной плоскости хОу параболу у = х 2 .
Прямая х = 2 пересекает ее в точке (2; 4). Но по условию , значит, точку (2; 4) параболы мы должны исключить из рассмотрения, для чего на чертеже отметим эту точку светлым кружком.
Таким образом, график функции построен - это парабола у = х 2 с «выколотой» точкой (2; 4) (рис. 69).
Перейдем к описанию свойств функции у = f (x), т. е. к чтению ее графика:
1. Независимая переменная х принимает любые значения, кроме х = 2. Значит, область определения функции состоит из двух открытых лучей (- 0 о, 2) и
2. у наим = 0 (достигается при х = 0), у наиб _ не существует.
3. Функция не является непрерывной, она претерпевает разрыв при х = 2 (в точке х = 2).
4. у = 0, если х = 0.
5. у > 0, если х є (-оо, 0), если х є (0, 2) и если х є (B,+оо).
6. Функция убывает на луче (- со, 0], возрастает на полуинтервале .
Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки