Цели :

1. Ввести понятие арифметической прогрессии.
2. Рассмотреть основные типы задач на применение формулы n-ого члена арифметической прогрессии.
3. Использовать на уроке элементы развивающего обучения.
4. Развивать аналитическое мышление учащихся.

Ход урока

Учитель. На предыдущем уроке мы ввели понятие бесконечной числовой последовательности, как функции, определенной на множестве натуральных чисел и выяснили, что последовательности бывают бесконечными и конечными, возрастающими и убывающими, а также узнали о способах их задания. Перечислите их.

Учащиеся .

1. Аналитический (с помощью формулы).
2. Словесный (задание последовательности описанием).
3. Рекуррентный (когда любой член последовательности, начиная с некоторого, выражается через предыдущие члены).

Задание 1. Укажите, если возможно, 7-й член каждой последовательности.

(а n): 6; 10; 14; 18; 22; 26;…
(b n): 49; 25; 81; 4; 121; 64...
(c n): 22; 17; 12; 7; 2; -3…
(x n): -3,8; -2,6; -1,4; -0,2; 1; 2,2…
(y n): -12; 7; 8; 14; -23; 41…

Учитель . Почему для последовательностей b n и y n ответить на вопрос нельзя?

Учащиеся . В данных последовательностях нет определенной закономерности, хотя (b n) состоит из квадратов натуральных чисел, но взяты они в произвольном порядке, а (y n) представляет собой произвольный ряд чисел, поэтому на седьмом месте может стоять любое число.

Учитель. Для последовательностей (а n); (c n); (x n) все вы смогли правильно найти 7-й член.

Задание 2. Придумайте свой подобный пример такой последовательности. Укажите 4 первых ее члена. Обменяйтесь тетрадями с соседом по парте и определите 5-й член данной последовательности.

Учитель. Каким общим свойством обладают подобные последовательности?

Учащееся . Каждый последующий член отличается от предыдущего на одно и то же число.

Учитель. Последовательности такого типа называются арифметическими прогрессиями. Они и будут предметом нашего сегодняшнего изучения. Сформулируйте тему урока.

(Первую часть темы учащееся легко формулируют. Вторую часть учитель может сформулировать сам)

Учитель . Сформулируйте цели урока, исходя из данной темы.

(Важно, чтобы учащиеся как можно более полно и точно сформулировали учебные цели, тогда они принимают их и стремятся достичь)

Учащиеся.

1. Дать определение арифметической прогрессии.
2. Вывести формулу n-ого члена арифметической прогрессии.
3. Научиться решать задачи по теме (рассмотреть различные типы задач).

Затем полезно спроецировать на экран цели, поставленные учителем перед учащимися, чтобы они убедились в том, что цели у них общие.

Учитель. Немного истории. Термин «прогрессия» происходит от латинского progression, что означает «движение вперед», был введен римским автором Боэцием в 6 в.н.э. и получил дальнейшее развитие в трудах Фибоначчи, Шюке, Гаусса и других ученых.

Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d.

(a n): a 1 ; a 2 ; a 3 ; …a n … арифметическая прогрессия.
d = a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = … = a n+1 - a n

Задание 3. Пусть a 1 = 7; d = 0.

Назовите следующие 3 члена последовательности.

Учащиеся . 7; 7; 7

Учитель . Такие последовательности называются постоянными или стационарными.

Пусть a 1 = -12; d = 3. Назовите 3 члена данной последовательности.

Учащееся. -9; -6; -3

Учитель . Буду ли я права, если назову числа: -15; -18; -21 ?

Как правило большинство учащихся считают, что это правильно. Тогда следует попросить их определить номер каждого члена. Так как номер члена последовательности должен быть выражен натуральным числом, то в данной последовательности названные числа присутствовать не могут.

Задание 4. В арифметической прогрессии a 1 ; a 2 ; 6; 4; а 5 найдите a 1 ; a 2 ; а 5 .

Задание выполняется в парах, один ученик по желанию выполняет его с обратной стороны доски.

Решение:

d = 4 – 6 = -2
а 5 = а 4 + d = 4 – 2 = 2
а 2 = а 3 – d = 6 – (-2) = 8
а 1 = а 2 – d = 8 – (-2) = 10

Укажите для данной последовательности а 8 и а 126

Учащиеся . а 8 = -4 а 126 указать можно, но слишком долго считать.

Учитель. Значит необходимо найти такой способ, который позволит нам быстро отыскивать любой член последовательности. Попробуйте вывести формулу n-ого члена арифметической прогрессии.

К доске можно вызвать сильного ученика и путем четко поставленных вопросов и помощи класса вывести формулу.

Вывод формулы :

а 2 = а 1 + d
а 3 = а 2 + d = а 1 + 2d
а 4 = а 3 + d = а 1 + 3d
и т.д.

а n = а 1 + (n – 1) d - формула n-ого члена арифметической прогрессии.

Учитель . Итак, что необходимо знать для определения любого члена арифметической прогрессии?

Учащиеся . а 1 и d

Учитель. Пользуясь этой формулой, найдите а 126 .

Учащиеся. а 126 = а 1 + 125d = 10 = 125 ∙ (- 2) = 10 – 250 = - 240

Задание 5 . Пусть (b n): арифметическая прогрессия, в которой b 1 - первый член, а d – разность. Найдите ошибки:

b 4 = b 1 + 3d		b 2k = b 1 + (2k – 1)∙d
b 9 = b 1 + 10d		b k-4 = b 1 + (k – 3)∙d
b -3 = b 1 - 4d		b k+7 = b 1 + (k – 6)∙d

Задание 6. Рассмотрим формулу n-ого члена арифметической прогрессии. Выясним, какие типы задач с использованием этой формулы можно решать. Сформулируйте прямую задачу.

Учащиеся. По заданным значениям а 1 и d найти а n .

Учитель. Какие обратные задачи можно поставить?

Учащиеся.

1. Дано а 1 и а n . Найти d.
2. Дано d и а n . Найти а 1 .
3. Дано а 1 , d и а n . Найти n.

Задание 7 . Найдите разность арифметической прогрессии, в которой у 1 = 10; у 5 = 22

Решение у доски:

у 5 = у 1 + 4d
22 = 10 + 4d
4d = 12
d = 3

Задание 8 . Содержит ли арифметическая прогрессия 2; 9; … число 156 ?

Анализ : путем рассуждений приходим к выводу о том, что т.к. у каждого числа в последовательности имеется свой номер, выраженный натуральным числом, то необходимо найти номер члена последовательности и выяснить, принадлежит ли он множеству натуральных чисел. Если принадлежит, то последовательность содержит данное число, в противном случае – нет.

Решение у доски :

а n = а 1 + (n – 1) d
156 = 2 + 7 (n – 1)
7 (n – 1) = 154
n – 1 = 22
n = 23

Ответ: а 23 = 156

Задание 9. Найдите первые три члена арифметической прогрессии, в которой

а 1 + а 5 = 24;
а 2 ∙а 3 =60

Задание анализируем, составляем систему уравнений, которую предлагается решить дома.

а 1 + а 1 + 4d = 24;
(а 1 + d)∙(а 1 + 4d)= 60.

Подведение итога урока.

Что нового вы узнали сегодня на уроке? Чему научились?

Домашнее задание . Ознакомиться с материалом п. 25 учебника. Выучить определение арифметической прогрессии и формулу n-ого члена. Уметь выражать из формулы все входящие в нее величины. Решить систему к заданию 9. Выполнить по учебнику № 575 (а,б); 576; 578(а); 579(а).

Задание на дополнительную оценку : пусть a 1 ; a 2 ; a 3 ; …a n … арифметическая прогрессия. Докажите, что a n+1 = (а n + a n+2) : 2

Инструкция

Арифметическая прогрессия - это последовательность вида a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Число d шагом прогрессии .Очевидно, что общая произвольного n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: An = A1+(n-1)d. Тогда зная один из членов прогрессии , член прогрессии и шаг прогрессии , можно , то есть номер члена прогресси. Очевидно, он будет определяться по формуле n = (An-A1+d)/d.

Пусть теперь известен m-ый член прогрессии и -то другой член прогрессии - n-ый, но n , как и в предыдущем случае, но известно, что n и m не совпадают.Шаг прогрессии может быть вычислен по формуле: d = (An-Am)/(n-m). Тогда n = (An-Am+md)/d.

Если известна сумма нескольких элементов арифметической прогрессии , а также ее первый и последний , то количество этих элементов тоже можно определить.Сумма арифметической прогрессии будет равна: S = ((A1+An)/2)n. Тогда n = 2S/(A1+An) - чденов прогрессии . Используя тот факт, что An = A1+(n-1)d, эту формулу можно переписать в виде: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Из этой можно выразить n, решая квадратное уравнение.

Арифметической последовательностью называют такой упорядоченный набор чисел, каждый член которого, кроме первого, отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Эта постоянная величина называется разностью прогрессии или ее шагом и может быть рассчитана по известным членам арифметической прогрессии.

Инструкция

Если из условий задачи известны значения первого и второго или любой другой пары соседних членов , для вычисления разности (d) просто отнимите от последующего члена предыдущий. Получившаяся величина может быть как положительным, так и отрицательным числом - это зависит от того, является ли прогрессия возрастающей . В общей форме решение для произвольно взятой пары (aᵢ и aᵢ₊₁) соседних членов прогрессии запишите так: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Для пары членов такой прогрессии, один из которых является первым (a₁), а другой - любым другим произвольно выбранным, тоже можно составить формулу нахождения разности (d). Однако в этом случае обязательно должен быть известен порядковый номер (i) произвольного выбранного члена последовательности. Для вычисления разности сложите оба числа, а полученный результат разделите на уменьшенный на единицу порядковый номер произвольного члена. В общем виде эту формулу запишите так: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Если кроме произвольного члена арифметической прогрессии с порядковым номером i известен другой ее член с порядковым номером u, измените формулу из предыдущего шага соответствующим образом. В этом случае разностью (d) прогрессии будет сумма этих двух членов, поделенная на разность их порядковых номеров: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Формула вычисления разности (d) несколько усложнится, если в условиях задачи дано значение первого ее члена (a₁) и сумма (Sᵢ) заданного числа (i) первых членов арифметической последовательности. Для получения искомого значения разделите сумму на количество составивших ее членов, отнимите значение первого числа в последовательности, а результат удвойте. Получившуюся величину разделите на уменьшенное на единицу число членов, составивших сумму. В общем виде формулу вычисления дискриминанта запишите так: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Общий член последовательности имеет вид $u_n=n^2$. Подставляя $n=1$, получим:

$$ u_1=1^2=1. $$

Это и есть первый член последовательности. Подставляя $n=2$ в $u_n=n^2$, получим второй член последовательности:

$$ u_2=2^2=4. $$

Если подставить $n=3$, то получим третий член последовательности:

$$ u_3=3^2=9. $$

Точно так же находим четвёртый, пятый, шестой и иные члены последовательности. Вот так и получаем соответствующие числа:

$$ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ldots $$

Также стоит иметь в виду члены последовательности $u_n=n^3$. Вот несколько первых её членов:

\begin{equation}1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \end{equation}

Кроме того, для формирования общего члена ряда частенько используется последовательность $u_n=n!$, несколько первых членов которой таковы:

\begin{equation}1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ldots \end{equation}

Запись "n!" (читается "эн факториал") обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n, т.е.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

По определению полагается, что $0!=1!=1$. Для примера найдём 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Часто используются также арифметическая и геометрическая прогрессии. Если первый член арифметической прогрессии равен $a_1$, а разность равна $d$, то общий член арифметической прогрессии записывается с помощью такой формулы:

\begin{equation}a_n=a_1+d\cdot (n-1) \end{equation}

Что такое арифметическая прогрессия? показать\скрыть

Арифметическая прогрессия - последовательность чисел, в которой разность между последующим и предыдущим членами неизменна. Эта постоянная разность называется разностью прогрессии

$$ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \ldots $$

Обратите внимание, что какую бы пару соседних элементов мы не взяли, разность между последующим и предыдущим членами всегда будет постоянной и равной 7:

\begin{aligned} & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots \end{aligned}

Это число, т.е. 7, и есть разность прогрессии. Обычно её обозначают буквой $d$, т.е. $d=7$. Первый элемент прогрессии $a_1=3$. Общий член этой прогрессии запишем с помощью формулы . Подставляя в неё $a_1=3$ и $d=7$, будем иметь:

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$

Для наглядности найдём по формуле $a_n=7n-4$ несколько первых членов арифметической прогрессии:

\begin{aligned} & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4=7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \end{aligned}

Подставляя в формулу $a_n=7n-4$ любое значение номера $n$, можно получить любой член арифметической прогрессии.

Стоит также отметить геометрическую прогрессию. Если первый член прогрессии равен $b_1$, а знаменатель равен $q$, то общий член геометрической прогрессии задаётся такой формулой:

\begin{equation}b_n=b_1\cdot q^{n-1} \end{equation}

Что такое геометрическая прогрессия? показать\скрыть

Геометрическая прогрессия - последовательность чисел, в которой отношение между последующим и предыдущим членами постоянно. Это неизменное отношение называется знаменателем прогрессии . Для примера рассмотрим такую последовательность:

$$ 6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ldots $$

Обратите внимание, что какую бы пару соседних элементов мы не взяли, отношение последующего к предыдущему всегда будет постоянным и равным 3:

\begin{aligned} & \frac{18}{6}=3;\\ & \frac{54}{18}=3;\\ & \frac{1458}{486}=3;\\ & \ldots \end{aligned}

Это число, т.е. 3, и есть знаменатель прогрессии. Обычно его обозначают буквой $q$, т.е. $q=3$. Первый элемент прогрессии $b_1=6$. Общий член этой прогрессии запишем с помощью формулы . Подставляя в неё $b_1=6$ и $q=3$, будем иметь:

$$ b_n=6\cdot 3^{n-1}. $$

Для наглядности найдём по формуле $b_n=6\cdot 3^{n-1}$ несколько первых членов геометрической прогрессии:

\begin{aligned} & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4=6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \end{aligned}

Подставляя в формулу $b_n=6\cdot 3^{n-1}$ любое значение номера $n$, можно получить любой член геометрической прогрессии.

Во всех изложенных ниже примерах члены рядов будем обозначать буквами $u_1$ (первый член ряда), $u_2$ (второй член ряда) и так далее. Запись $u_n$ будет обозначать общий член ряда.

Пример №1

Найти общий член ряда $\frac{1}{7}+\frac{2}{9}+\frac{3}{11}+\frac{4}{13}+\ldots$.

Суть таких задач состоит в том, чтобы заметить закономерность, которая присуща первым членам ряда. И на основании этой закономерности сделать вывод о виде общего члена. Что означает фраза "найти общий член"? Она означает, что необходимо найти такое выражение, подставляя в которое $n=1$ получим первый член ряда, т.е. $\frac{1}{7}$; подставляя $n=2$ получим второй член ряда, т.е. $\frac{2}{9}$; подставляя $n=3$ получим третий член ряда, т.е. $\frac{3}{11}$ и так далее. Нам известны первые четыре члена ряда:

$$ u_1=\frac{1}{7};\; u_2=\frac{2}{9};\; u_3=\frac{3}{11};\; u_4=\frac{4}{13}. $$

Давайте двигаться постепенно. Все известные нам члены ряда - дроби, поэтому резонно предположить, что и общий член ряда тоже представлен дробью:

$$ u_n=\frac{?}{?} $$

Наша задача - выяснить, что же скрывается под знаками вопроса в числителе и знаменателе. Сначала обратимся к числителю. В числителях известных нам членов ряда стоят числа 1, 2, 3 и 4. Заметьте, что номер каждого члена ряда равен числителю. У первого члена в числителе стоит единица, у второго - двойка, у третьего - тройка, у четвёртого - четвёрка.

Логично предположить, что у n-го члена в числителе будет стоять $n$:

$$ u_n=\frac{n}{?} $$

Кстати сказать, к этому выводу мы можем прийти и иным путём, более формальным. Что представляет собой последовательность 1, 2, 3, 4? Отметим, что каждый последующий член этой последовательности на 1 больше, чем предыдущий. Мы имеем дело с четырьмя членами арифметической прогрессии, первый член которой $a_1=1$, а разность $d=1$. Используя формулу , получим выражение общего члена прогрессии:

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$

Итак, угадывание или формальный расчёт - дело вкуса. Главное - мы записали числитель общего члена ряда. Перейдём к знаменателю.

В знаменателях мы имеем последовательность 7, 9, 11, 13. Это четыре члена арифметической прогрессии, первый член которой равен $b_1=7$, а разность $d=2$. Общий член прогрессии найдем, используя формулу :

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$

Полученное выражение, т.е. $2n+5$, и будет знаменателем общего члена ряда. Итак:

$$ u_n=\frac{n}{2n+5}. $$

Общий член ряда получен. Давайте проверим, подходит ли найденная нами формула $u_n=\frac{n}{2n+5}$ для вычисления уже известных членов ряда. Найдём члены $u_1$, $u_2$, $u_3$ и $u_4$ по формуле $u_n=\frac{n}{2n+5}$. Результаты, естественно, должны совпасть с заданными нам по условию первыми четырьмя членами ряда.

$$ u_1=\frac{1}{2\cdot 1+5}=\frac{1}{7};\; u_2=\frac{2}{2\cdot 2+5}=\frac{2}{9};\; u_3=\frac{3}{2\cdot 3+5}=\frac{3}{11};\; u_4=\frac{4}{2\cdot 4+5}=\frac{4}{13}. $$

Всё верно, результаты совпадают. Заданный в условии ряд можно записать теперь в такой форме: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2n+5}$. Общий член ряда имеет вид $u_n=\frac{n}{2n+5}$.

$$ \frac{1}{7}+\frac{2}{9}+\frac{3}{11}+\frac{4}{13}+0+0+0+0+0+0+0+\ldots $$

Разве такой ряд не имеет право на существование? Ещё как имеет. И для этого ряда можно записать, что

$$ u_1=\frac{1}{7};\; u_2=\frac{2}{9};\; u_3=\frac{3}{11};\; u_4=\frac{4}{13}; \; u_n=0\; (n≥ 5). $$

Можно записать и иное продолжение. Например, такое:

$$ \frac{1}{7}+\frac{2}{9}+\frac{3}{11}+\frac{4}{13}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\ldots $$

И такое продолжение ничему не противоречит. При этом можно записать, что

$$ u_1=\frac{1}{7};\; u_2=\frac{2}{9};\; u_3=\frac{3}{11};\; u_4=\frac{4}{13}; \; u_n=\frac{1}{n}\; (n≥ 5). $$

Если первые два варианта показались вам чересчур формальными, то предложу третий. Давайте запишем общий член в таком виде:

$$ u_n=\frac{n}{n^4-10n^3+35n^2-48n+29}. $$

Вычислим первые четыре члена ряда, используя предложенную формулу общего члена:

\begin{aligned} & u_1=\frac{1}{1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29}=\frac{1}{7};\\ & u_2=\frac{2}{2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29}=\frac{2}{9};\\ & u_3=\frac{3}{3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29}=\frac{3}{11};\\ & u_4=\frac{4}{4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29}=\frac{4}{13}. \end{aligned}

Как видите, предложенная формула общего члена вполне корректна. И таких вариаций можно придумать бесконечно много, их количество ничем не ограничено. В стандартных примерах, конечно, используется стандартный набор неких известных последовательностей (прогрессии, степени, факториалы и т.д.). Однако в таких задачах всегда присутствует неопределённость, и об этом желательно помнить.

Во всех последующих примерах эта неоднозначность оговариваться не будет. Решать станем стандартными способами, которые приняты в большинстве задачников.

Ответ : общий член ряда: $u_n=\frac{n}{2n+5}$.

Пример №2

Записать общий член ряда $\frac{1}{1\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 8}+\frac{1}{5\cdot 11}+\frac{1}{7\cdot 14}+\frac{1}{9\cdot 17}+\ldots$.

Нам известны первые пять членов ряда:

$$ u_1=\frac{1}{1\cdot 5};\; u_2=\frac{1}{3\cdot 8}; \; u_3=\frac{1}{5\cdot 11}; \; u_4=\frac{1}{7\cdot 14}; \; u_5=\frac{1}{9\cdot 17}. $$

Все известные нам члены ряда - дроби, значит и общий член ряда будем искать в виде дроби:

$$ u_n=\frac{?}{?}. $$

Сразу обратим внимание на числитель. Во всех числителях стоят единицы, поэтому и в числителе общего члена ряда будет единица, т.е.

$$ u_n=\frac{1}{?}. $$

Теперь обратимся к знаменателю. В знаменателях известных нам первых членов ряда расположены произведения чисел: $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$. Первые из этих чисел таковы: 1, 3, 5, 7, 9. Данная последовательность имеет первый член $a_1=1$, а каждый последующий получается из предыдущего прибавлением числа $d=2$. Иными словами, это первые пять членов арифметической прогрессии, общий член которой можно записать с помощью формулы :

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

В произведениях $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ вторые числа таковы: 5, 8, 11, 14, 17. Это элементы арифметической прогрессии, первый член которой $b_1=5$, а знаменатель $d=3$. Общий член этой прогрессии запишем с помощью всё той же формулы :

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$

Сведём результаты воедино. Произведение в знаменателе общего члена ряда таково: $(2n-1)(3n+2)$. А сам общий член ряда имеет следующий вид:

$$ u_n=\frac{1}{(2n-1)(3n+2)}. $$

Для проверки полученного результата найдём по формуле $u_n=\frac{1}{(2n-1)(3n+2)}$ те четыре первых члена ряда, которые нам известны:

\begin{aligned} & u_1=\frac{1}{(2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2)}=\frac{1}{1\cdot 5};\\ & u_2=\frac{1}{(2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2)}=\frac{1}{3\cdot 8};\\ & u_3=\frac{1}{(2\cdot 3-1)(3\cdot 3+2)}=\frac{1}{5\cdot 11};\\ & u_4=\frac{1}{(2\cdot 4-1)(3\cdot 4+2)}=\frac{1}{7\cdot 14};\\ & u_5=\frac{1}{(2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2)}=\frac{1}{9\cdot 17}. \end{aligned}

Итак, формула $u_n=\frac{1}{(2n-1)(3n+2)}$ позволяет точно вычислить члены ряда, известные из условия. При желании заданный ряд можно записать так:

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(3n+2)}=\frac{1}{1\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 8}+\frac{1}{5\cdot 11}+\frac{1}{7\cdot 14}+\frac{1}{9\cdot 17}+\ldots $$

Ответ : общий член ряда: $u_n=\frac{1}{(2n-1)(3n+2)}$.

Продолжение этой темы рассмотрим в второй и третьей частях.

Начальный уровень

Арифметическая прогрессия. Подробная теория с примерами (2019)

Числовая последовательность

Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:
Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое - второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности:

Числовая последовательность
Например, для нашей последовательности:

Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и -ное число) всегда одно.
Число с номером называется -ным членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например,), и каждый член этой последовательности - той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: .

В нашем случае:

Допустим, у нас есть числовая последовательность, в которой разница между соседствующими числами одинакова и равна.
Например:

и т.д.
Такая числовая последовательность называется арифметической прогрессией.
Термин «прогрессия» был введен римским автором Боэцием еще в 6 веке и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Название «арифметическая» было перенесено из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается.

Попробуй определить, какие числовые последовательности являются арифметической прогрессией, а какие нет:

a)
b)
c)
d)

Разобрался? Сравним наши ответы:
Является арифметической прогрессией - b, c.
Не является арифметической прогрессией - a, d.

Вернемся к заданной прогрессии () и попробуем найти значение ее -го члена. Существует два способа его нахождения.

1. Способ

Мы можем прибавлять к предыдущему значению числа прогрессии, пока не дойдем до -го члена прогрессии. Хорошо, что суммировать нам осталось немного - всего три значения:

Итак, -ой член описанной арифметической прогрессии равен.

2. Способ

А что если нам нужно было бы найти значение -го члена прогрессии? Суммирование заняло бы у нас не один час, и не факт, что мы не ошиблись бы при сложении чисел.
Разумеется, математики придумали способ, при котором не нужно прибавлять разность арифметической прогрессии к предыдущему значению. Присмотрись внимательно к нарисованному рисунку… Наверняка ты уже заметил некую закономерность, а именно:

Например, посмотрим, из чего складывается значение -го члена данной арифметической прогрессии:


Иными словами:

Попробуй самостоятельно найти таким способом значение члена данной арифметической прогрессии.

Рассчитал? Сравни свои записи с ответом:

Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно прибавляли к предыдущему значению членов арифметической прогрессии.
Попробуем «обезличить» данную формулу - приведем ее в общий вид и получим:

Уравнение арифметической прогрессии.

Арифметические прогрессии бывают возрастающие, а бывают убывающие.

Возрастающие - прогрессии, в которых каждое последующее значение членов больше предыдущего.
Например:

Убывающие - прогрессии, в которых каждое последующее значение членов меньше предыдущего.
Например:

Выведенная формула применяется в расчете членов как в возрастающих, так и в убывающих членах арифметической прогрессии.
Проверим это на практике.
Нам дана арифметическая прогрессия, состоящая из следующих чисел: Проверим, какое получится -ое число данной арифметической прогрессии, если при его расчете использовать нашу формулу:

Так как, то:

Таким образом, мы убедились, что формула действует как в убывающей, так и в возрастающей арифметической прогрессии.
Попробуй самостоятельно найти -ой и -ый члены этой арифметической прогрессии.

Сравним полученные результаты:

Свойство арифметической прогрессии

Усложним задачу - выведем свойство арифметической прогрессии.
Допустим, нам дано такое условие:
- арифметическая прогрессия, найти значение.
Легко, скажешь ты и начнешь считать по уже известной тебе формуле:

Пусть, а, тогда:

Абсолютно верно. Получается, мы сначала находим, потом прибавляем его к первому числу и получаем искомое. Если прогрессия представлена маленькими значениями, то ничего сложного в этом нет, а если нам в условии даны числа? Согласись, есть вероятность ошибиться в вычислениях.
А теперь подумай, можно ли решить эту задачу в одно действие с использованием какой-либо формулы? Конечно да, и именно ее мы попробуем сейчас вывести.

Обозначим искомый член арифметической прогрессии как, формула его нахождения нам известна - это та самая формула, выведенная нами в начале:
, тогда:

• предыдущий член прогрессии это:
• последующий член прогрессии это:

Просуммируем предыдущий и последующий члены прогрессии:

Получается, что сумма предыдущего и последующего членов прогрессии - это удвоенное значение члена прогрессии, находящегося между ними. Иными словами, чтобы найти значение члена прогрессии при известных предыдущих и последовательных значениях, необходимо сложить их и разделить на.

Все верно, мы получили это же число. Закрепим материал. Посчитай значение для прогрессии самостоятельно, ведь это совсем несложно.

Молодец! Ты знаешь о прогрессии почти все! Осталось узнать только одну формулу, которую по легендам без труда вывел для себя один из величайших математиков всех времен, «король математиков» - Карл Гаусс...

Когда Карлу Гауссу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от до (по другим источникам до) включительно». Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это и был Карл Гаусс) через минуту дал правильный ответ на поставленную задачу, при этом, большинство одноклассников смельчака после долгих подсчетов получили неправильный результат…

Юный Карл Гаусс заметил некоторую закономерность, которую без труда заметишь и ты.
Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия, состоящая из -ти членов: Нам необходимо найти сумму данных членов арифметической прогрессии. Конечно, мы можем вручную просуммировать все значения, но что делать, если в задании необходимо будет найти сумму ее членов, как это искал Гаусс?

Изобразим заданную нам прогрессию. Присмотрись внимательно к выделенным числам и попробуй произвести с ними различные математические действия.


Попробовал? Что ты заметил? Правильно! Их суммы равны

А теперь ответь, сколько всего наберется таких пар в заданной нам прогрессии? Конечно, ровно половина всех чисел, то есть.
Исходя из того, что сумма двух членов арифметической прогрессии равна, а подобных равных пар, мы получаем, что общая сумма равна:
.
Таким образом, формула для суммы первых членов любой арифметической прогрессии будет такой:

В некоторых задачах нам неизвестен -й член, но известна разность прогрессии. Попробуй подставить в формулу суммы, формулу -го члена.
Что у тебя получилось?

Молодец! Теперь вернемся к задаче, которую задали Карлу Гауссу: посчитай самостоятельно, чему равна сумма чисел, начиная от -го, и сумма чисел начиная от -го.

Сколько у тебя получилось?
У Гаусса получилось, что сумма членов равна, а сумма членов. Так ли ты решал?

На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии.
Например, представь Древний Египет и самую масштабную стройку того времени - строительство пирамиды… На рисунке представлена одна ее сторона.

Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды.


Чем не арифметическая прогрессия? Посчитай, сколько всего блоков необходимо для строительства одной стены, если в основание кладется блочных кирпичей. Надеюсь, ты не будешь считать, водя пальцем по монитору, ты же помнишь последнюю формулу и все, что мы говорили об арифметической прогрессии?

В данном случае прогрессия выглядит следующим образом: .
Разность арифметической прогрессии.
Количество членов арифметической прогрессии.
Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Способ 1.

Способ 2.

А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде. Сошлось? Молодец, ты освоил сумму -ных членов арифметической прогрессии.
Конечно, из блоков в основании пирамиду не построишь, а вот из? Попробуй рассчитать, сколько необходимо песчаных кирпичей, чтобы построить стену с таким условием.
Справился?
Верный ответ - блоков:

Тренировка

Задачи:

1. Маша приходит в форму к лету. Ежедневно она увеличивает количество приседаний на. Сколько раз будет приседать Маша через недели, если на первой тренировке она сделала приседаний.
2. Какова сумма всех нечетных чисел, содержащихся в.
3. Лесорубы при хранении бревен укладывают их таким образом, что каждый верхний слой содержит на одно бревно меньше, чем предыдущий. Сколько бревен находится в одной кладке, если основанием кладки служат бревен.

Ответы:

1. Определим параметры арифметической прогрессии. В данном случае
   (недели = дней).

   Ответ: Через две недели Маша должна приседать раз в день.

2. Первое нечетное число, последнее число.
   Разность арифметической прогрессии.
   Количество нечетных чисел в - половина, однако, проверим этот факт, используя формулу нахождения -ного члена арифметической прогрессии:

   В числах действительно содержится нечетных чисел.
   Имеющиеся данные подставим в формулу:

   Ответ: Сумма всех нечетных чисел, содержащихся в, равна.

3. Вспомним задачу про пирамиды. Для нашего случая, a , так как каждый верхний слой уменьшается на одно бревно, то всего в кучке слоев, то есть.
   Подставим данные в формулу:

   Ответ: В кладке находится бревен.

Подведем итоги

1. - числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна. Она бывает возрастающей и убывающей.
2. Формула нахождения -го члена арифметической прогрессии записывается формулой - , где - количество чисел в прогрессии.
3. Свойство членов арифметической прогрессии - - где - количество чисел в прогрессии.
4. Сумму членов арифметической прогрессии можно найти двумя способами:
   
   , где - количество значений.

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Числовая последовательность

Давай сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно. Но всегда можно сказать, какое из них первое, какое - второе и так далее, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности.

Числовая последовательность - это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Другими словами, каждому числу можно поставить в соответствие некое натуральное число, причем единственное. И этот номер мы не присвоим больше никакому другому числу из данного множества.

Число с номером называется -ым членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например,), и каждый член этой последовательности - той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: .

Очень удобно, если -ый член последовательности можно задать какой-нибудь формулой. Например, формула

задает последовательность:

А формула - такую последовательность:

Например, арифметической прогрессией является последовательность (первый член здесь равен, а разность). Или (, разность).

Формула n-го члена

Рекуррентной мы называем такую формулу, в которой чтобы узнать -ый член, нужно знать предыдущий или несколько предыдущих:

Чтобы найти по такой формуле, например, -ый член прогрессии, нам придется вычислить предыдущие девять. Например, пусть. Тогда:

Ну что, ясно теперь какая формула?

В каждой строке мы к прибавляем, умноженное на какое-то число. На какое? Очень просто: это номер текущего члена минус:

Теперь намного удобнее, правда? Проверяем:

Реши сам:

В арифметической прогрессии найти формулу n-го члена и найти сотый член.

Решение:

Первый член равен. А чему равна разность? А вот чему:

(она ведь потому и называется разностью, что равна разности последовательных членов прогрессии).

Итак, формула:

Тогда сотый член равен:

Чему равна сумма всех натуральных чисел от до?

По легенде, великий математик Карл Гаусс, будучи 9-летним мальчиком, посчитал эту сумму за несколько минут. Он заметил, что сумма первого и последнего числа равна, сумма второго и предпоследнего - тоже, сумма третьего и 3-го с конца - тоже, и так далее. Сколько всего наберется таких пар? Правильно, ровно половина количества всех чисел, то есть. Итак,

Общая формула для суммы первых членов любой арифметической прогрессии будет такой:

Пример:
Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных.

Решение:

Первое такое число - это. Каждое следующее получается добавлением к предыдущему числа. Таким образом, интересующие нас числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью.

Формула -го члена для этой прогрессии:

Сколько членов в прогрессии, если все они должны быть двузначными?

Очень легко: .

Последний член прогрессии будет равен. Тогда сумма:

Ответ: .

Теперь реши сам:

1. Ежедневно спортсмен пробегает на м больше, чем в предыдущий день. Сколько всего километров он пробежит за недели, если в первый день он пробежал км м?
2. Велосипедист проезжает каждый день на км больше, чем в предыдущий. В первый день он проехал км. Сколько дней ему надо ехать, чтобы преодолеть км? Сколько километров он проедет за последний день пути?
3. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одну и ту же сумму. Определите, на сколько каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за рублей, через шесть лет был продан за рублей.

Ответы:

1. Здесь самое главное - распознать арифметическую прогрессию, и определить ее параметры. В данном случае, (недели = дней). Определить нужно сумму первых членов этой прогрессии:
   .
   Ответ:
2. Здесь дано: , надо найти.
   Очевидно, нужно использовать ту же формулу суммы, что и в предыдущей задаче:
   .
   Подставляем значения:

   Корень, очевидно, не подходит, значит, ответ.
   Посчитаем путь, пройденный за последний день с помощью формулы -го члена:
   (км).
   Ответ:

3. Дано: . Найти: .
   Проще не бывает:
   (руб).
   Ответ:

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Это числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна.

Арифметическая прогрессия бывает возрастающей () и убывающей ().

Например:

Формула нахождения n-ого члена арифметической прогрессии

записывается формулой, где - количество чисел в прогрессии.

Свойство членов арифметической прогрессии

Оно позволяет легко найти член прогрессии, если известны его соседние члены - где - количество чисел в прогрессии.

Сумма членов арифметической прогрессии

Существует два способа нахождения суммы:

Где - количество значений.

Где - количество значений.