Большая энциклопедия нефти и газа. Алгебры с делением над полем комплексных чисел

Очевидно, что если, то для. Более того, мы покажем, что для достаточно больших p

Лемма № 1. Если матрица неотрицательна и неприводима, то

Доказательство:

Если взять произвольный вектор и, то. И пусть вектор имеет место, очевидно, что Z имеет по крайней мере столько же нулевых положительных элементов, что и y. В самом деле, если предположить, что Z имеет меньше нулевых компонент, то обозначим, тогда и разбив матрицу А на блоки следующим образом

мы будем иметь

Учитывая, что, то, тогда получаем, что, что противоречит неприводимости матрицы

Для следующего вектора повторим рассуждения и т.д. В итоге получим, что для некоторого ненулевого вектора y

Для ненулевой неприводимой матрицы А рассмотрим действительную функцию r(x), определенную для ненулевых векторов следующим образом: , (Ax) i - i-я координата вектора Ах

Из определения следует, что и кроме того, r(x) -такое наименьшее значение, что

Очевидно, что r(x) инвариантна относительна замены x на, поэтому в дальнейшем можно рассматривать замкнутое множество, такое

Однако, r(x) может иметь разрывы в точках, где координата x обращается в 0, поэтому рассмотрим множество векторов и обозначим. По лемме № 1 каждый вектор из N будет положительным, а поэтому

Обозначим через наибольшее число, для которого, . - спектральный радиус матрицы А. Если Можно показать, что существует вектор y, что

Замечание. Могут существовать и другие векторы в L для которых r(x) принимает значение r, поэтому любой такой вектор называется экстремальным для матрицы А (Az=rz)

Интерес к числу r объясняется следующим результатом

Лемма № 2. Если матрица неотрицательна и неприводима, то число является собственным значением матрицы А, кроме того каждый экстремальный вектор для А положителен и является правым собственным вектором для А, отвечающим собственному значению r

Основным результатом является теорема Фробениуса-Перона для непрерывных матриц

Теорема Фробениуса-Перона. Если матрица неотрицательна и неприводима, то:

А имеет положительное собственное значение, равное спектральному радиусу матрицы А;

существует положительный правый собственный вектор, соответствующий собственному значению r.

собственное значение имеет алгебраическую кратность равную 1.

Теорема Перона (следствие). Положительная квадратная матрица А имеет положительное и действительное собственное значение r, имеющее алгебраическую кратность 1 и превосходит модули всех других собственных значений матрицы А. Этому r соответствует положительный собственный вектор

Используя теорему Фробениуса-Перона, можно найти максимальное действительное значение матрицы, не используя характеристического многочлена матрицы.

Cтраница 1

Теорема Фробениуса дает характеризацию двудольных графов, обладающих совершенным паросочетанием. Теорема Холла содержит характеризацию двудольных графов, имеющих паросочетание из А в В. Теорема Кенига дает формулу для числа паросочетания в двудольном графе.

Теорема Фробениуса устанавливает связь между инвалютивностью и интегрируемостью системы линейно независимых векторов.

Теорема Фробениуса доказана полностью.

Теорема Фробениуса т умюжения Основное поле / С играет при этом роль единицы, поскольку А К - А для любой алгебры А. Наконец, теорема 3.1 показывает, что обратная алгебра А, действительно, с точностью до матриц является обратной к алгебре А в смысле этой операции Все это позволяет определить на множестве классов изоморфизма центральных тел структуру группы следующим образом.

Теорема Фробениуса 1.43 изначально появилась как теорема о природе решений определенных систем однородных линейных уравнений с частными производными первого порядка; см. Fro-benius и обсуждение инвариантов в § 2.1. Ее превращение в теорему из дифференциальной геометрии впервые произошло в важной книге Chevalley по группам Ли. В этой книге в первый раз была собрана вместе большая часть современных определений и теорем по этому предмету. Впоследствии он был еще обобщен - см. Sussmann , - однако осталось еще много работы, в частности, по выяснению структуры особых множеств. В этих и других работах термины распределение или дифференциальная система применяются к тому, что мы просто называем системой векторных полей.

Теоремы Фробениуса и Шура имеют сложное комбинаторное доказательство.

Из теоремы Фробениуса следует расщепляемость групп Фробениуса. Если Н - дополнительный множитель группы Фробени уса, то нормализатор любой подгруппы Ях из Н содержится в последней. Так как то же самое справедливо для любой подгруппы, сопряженной с Я, то сильно изолирован инвариантный множитель группы Фробениуса. Следовательно, любой неединичлый элемент, не содержащийся в инвариантном множителе, индуцирует в нем регулярный автоморфизм.

По теореме Фробениуса - Перрона любая положительная матрица (или неотрицательная, но неразложимая) имеет положительное действительное собственное значение A mas, которому отвечает единственный (с точностью до множителя) собственный вектор с положительными компонентами. Тем самым существование вектора приоритетов (весов элементов) обеспечивается во всех случаях, когда в матрице суждений имеются лишь положительные элементы.

По теореме Фробениуса все числа (129) отличны от нуля и одного знака.

По теореме Фробениуса [ 1, § 10, 9J кажущийся более общим случай dwj i /, Л Wk сводится к только что рассмотренному с помощью подходящих линейных комбинаций, и эти условия необходимы и достаточны для локальной интегрируемости. Они гарантируют, что элемент поверхности может быть продолжен с инфинитезимального на локальный уровень; вопрос же о возможности продолжения на глобальный уровень остается открытым. В этом случае N характеризуется векторным полем X Т 1, и, как показано в параграфе 2.3, в X локально всегда существуют интегральные кривые. В общем случае n - мерные подмногообразия инвариантны относительно локальных потоков Фх, порожденных векторным полем X, удовлетворяющим условию (wj Х) 0, и даже локально порожденных, если Фх могут действовать на точку.

Если I = f0g, то F = R.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Если I = f0g, то F = R.

Если размерность подпространства I равна 1, то F = C.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Если I = f0g, то F = R.

Если размерность подпространства I равна 1, то F = C. Пусть размерностьподпространства I больше 1.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

пространства I . Положим i = p1 u. Тогда

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного


пространства I . Положим i =


i2 =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u 2 (u2 ) =

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u 2 (u2 ) = 1:

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i = p1 u. Тогда i2 = 1:

По в сумму i v = + x, где 2 R, x 2 I.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного


пространства I . Положим i =				u. Тогда i2 = 1:

	лемме о разложении элементов из F
	i v = + x, где		2 R, x 2 I . Согласно
		(i + v) 2 I , в	частности, (i + v)2 < 0.


	(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного


пространства I . Положим i =				u. Тогда i2 = 1:

	лемме о разложении элементов из F
	i v = + x, где		2 R, x 2 I . Согласно
		(i + v) 2 I , в	частности, (i + v)2 < 0.


	(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

лемме о разложении элементов из F

i v = + x, где

2 R, x 2 I .

Согласно

(i + v) 2 I ,

в частности, (i + v)2 < 0.

(i + v)2

(i + v)!

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

лемме о разложении элементов из F

i v = + x, где

2 R, x 2 I .

Согласно

(i + v) 2 I ,

в частности, (i + v)2 < 0.

(i + v)2

(i + v)!

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного



пространства I . Положим i =				u. Тогда i2 = 1:

			о разложении		элементов из
		i v = + x, где			2 R, x 2 I .
			(i + v). Имеем j2 = 1,

	(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

о разложении

элементов из

i v = + x, где

2 R, x 2 I .

(i1 + v). Имеем j2 = 1,

(i + v)2

i j = i

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

о разложении элементов

i v = + x, где

x 2 I .

(i1 + v). Имеем j2 = 1,

(i + v)2

i j = i

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

о разложении

элементов

i v = + x, где

x 2 I .

(i1 + v). Имеем j2 = 1,

(i + v)2

i j = i

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

о разложении

элементов

i v = + x, где

x 2 I .

(i1 + v). Имеем j2 = 1,

(i + v)2

i j = i

(i + v)2

x 2 I :

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного



пространства I . Положим i =			u. Тогда i2 = 1:
пространства I . Положим i =			u. Тогда i2 = 1:
		о разложении		элементов из
	i v = + x, где			2 R, x 2 I .

(i + v)2

Значит, ,

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного



пространства I . Положим i =				u. Тогда i2 = 1:
пространства I . Положим i =				u. Тогда i2 = 1:
			о разложении		элементов из
		i v = + x, где			2 R, x 2 I .
			(i + v). Имеем j2 = 1, i j 2I :
	(i + v)2		(i + v). Имеем j2 = 1, i j 2I :

I + j + i j ; ; ; 2 R

тело кватернионов.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного



пространства I . Положим i =				u. Тогда i2 = 1:
пространства I . Положим i =				u. Тогда i2 = 1:
			о разложении		элементов из
		i v = + x, где			2 R, x 2 I .
			(i + v). Имеем j2 = 1, i j 2I :
	(i + v)2		(i + v). Имеем j2 = 1, i j 2I :
Значит, по лемме о вложении тела кватернионов вF ,

I + j + i j ; ; ; 2 R

тело кватернионов.

Таким образом, если линейное пространство I имеет размерность 3, то F это тело кватернионов.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

подпространства I больше 3.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I

Возьмем линейно независимую

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

							x; y; z 2 I :

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

							x; y; z 2 I :

В силу леммы о подпространстве I t = m + i + j + k 2I . Излинейной независимости системы векторов fi; j; k; mg сле-

дует, что t 6= 0.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

							x; y; z 2 I :

лемме о подпространстве I

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

							x; y; z 2 I :

Доказано, что 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпространстве I

i t = i m + k j =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

							x; y; z 2 I :

Доказано, что 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпространстве I

i t = i m + k j = x + k j

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

							x; y; z 2 I :

Доказано, что 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпространстве I

i t = i m + k j = x + k j 2 I:

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

Аналогично можно доказать, что j t 2 I, k t 2 I.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

		x; y; z 2 I :

Доказано, что	0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпро-
странстве I	i t 2 I, j t 2 I,
Положим n =
Положим n =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

N i j = i n j =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

N k = n i j = i n j =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k: k n = n k = n i j = i n j =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) = k n:

Следовательно, 2k n = 0, противоречие.

VII. Теорема Фробениуса

Теорема 2. Пусть F тело , причем R F ,


9i1 ; i2 ; : : : ; in		9 0 ;1 ;2 ; : : : ;n 2 R
z = 0 +1 i1 +2 i2 + : : : +n in :

Тогда F это либо R, либо C, либо тело кватернионов .

Теорема доказана.

внимание!

e-mail: [email protected]; [email protected]

сайты: http://melnikov.k66.ru; http://melnikov.web.ur.ru

ФРОБЕНИУСА ТЕОРЕМА

Описывающая все конечномерные ассоциативные действительные алгебры без делителей нуля, доказана Г. Фробениусом . Ф. т. утверждает, что:
1) Поле действительных чисел и комплексных чисел являются единственными конечномерными действительными ассоциативно-коммутативными алгебрами без делителей нуля.
2) Тело кватернионов является единственной конечномерной действительной ассоциативной, но не коммутативной алгеброй без делителей нуля.
Существует также описание альтернативных конечномерных алгебр без делителей нуля:
3) Алгебра Кэли является единственной конечномерной действительной альтернативной, но не ассоциативной алгеброй без делителей нуля.
Объединение этих трех утверждений нал. обобщенной теоремой Фробениуса. Все участвующие в формулировке теоремы алгебры оказываются алгебрами с однозначным делением и с единицей. Ф. т. не может быть обобщена на случаи неальтернативных алгебр. Доказано, однако, что любой конечномерной действительной алгебры без делителей нуля может принимать лишь значения, равные 1, 2, 4 или 8.

Лит. : Frobenius F., "J. reine und angew. Math.", 1877, Bd 82, S. 230-315; Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973.
О. А. Иванова.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ФРОБЕНИУСА ТЕОРЕМА" в других словарях:

Теорема об условиях полной интегрируемости системы уравнений Пфаффа или (в геометрич. терминах) об условиях, при к рых заданное на дифференцируемом многообразии поле n мерных касательных подпространств является касательным полем нек рого слоения … Математическая энциклопедия

Пусть действительная квадратная матрица А, рассматриваемая как оператор в пространстве, не имеет инвариантных координатных подпространств (такая матрица наз. неразложимой) и неотрицательна (т. е. все ее элементы неотрицательны). И пусть ее… … Математическая энциклопедия

Пусть A квадратная матрица, со строго положительными вещественными элементами, тогда справедливы утверждения: наибольшее по модулю собственное число является вещественным и строго положительным это собственное значение является простым… … Википедия

Теорема Фробениуса Перрона (англ.): Пусть квадратная матрица, со строго положительными вещественными элементами, тогда справедливы утверждения: наибольшее по модулю собственное значение является вещественным и строго… … Википедия

Фердинанд Георг Фробениус нем. Ferdinand Georg Frobenius … Википедия

- (нем. Ferdinand Georg Frobenius; 26 октября 1849, Берлин 3 августа 1917, Шарлоттенбург) немецкий математик. Биография В 1867 году один семестр посещал занятия в Гёттингенском университете, зат … Википедия

Фердинанд Георг Фробениус Фердинанд Георг Фробениус (нем. Ferdinand Georg Frobenius; 26 октября 1849, Берлин 3 августа 1917, Шарлоттенбург) немецкий математик. Биография В 1867 году один семестр посещал занятия в Гёттингенском университете, зат … Википедия

Кольца и алгебры с ассоциативным умножением, т. е. множества с двумя бинарными операциями сложением + и умножением Х, являющиеся абелевой группой по сложению и полугруппой по умножению, причем умножение дистрибутивно (слева и справа) относительно … Математическая энциклопедия

Книги

, Зорич В.. Эта книга - записи годового экспериментального спецкурса естественнонаучного содержания для математиков, а также студентов и специалистов иных специальностей. Внем представлены три темы: -…
Математический анализ задач естествознания , В. А. Зорич. Эта книга - записи годового экспериментального спецкурса естественнонаучного содержания для математиков, а также студентов и специалистов иных специальностей. Внем представлены три темы: -…

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

Пусть - тело , содержащее в качестве подтела тело R {\displaystyle \mathbb {R} } вещественных чисел, причём выполняются два условия:

Другими словами, L {\displaystyle \mathbb {L} } является конечномерной алгеброй с делением над полем вещественных чисел.

Теорема Фробениуса утверждает, что всякое такое тело L {\displaystyle \mathbb {L} } :

Отметим, что теорема Фробениуса относится только к конечномерным расширениям R {\displaystyle \mathbb {R} } . Например, она не охватывает поле гипервещественных чисел нестандартного анализа , которое тоже является расширением R {\displaystyle \mathbb {R} } , но не конечномерным. Другой пример, алгебра рациональных функций .

Следствия и замечания

Три последних утверждения образуют так называемую обобщённую теорему Фробениуса .

Алгебры с делением над полем комплексных чисел

Алгебра размерности n над полем комплексных чисел является алгеброй размерности 2n над R {\displaystyle \mathbb {R} } . Тело кватернионов не является алгеброй над полем C {\displaystyle \mathbb {C} } , так как центром H {\displaystyle \mathbb {H} } является одномерное вещественное пространство. Поэтому единственной конечномерной алгеброй с делением над C {\displaystyle \mathbb {C} } является алгебра C {\displaystyle \mathbb {C} } .

Гипотеза Фробениуса

В теореме есть условие ассоциативности. Что будет, если отказаться от этого условия? Гипотеза Фробениуса утверждает, что и без условия ассоциативности при n, отличном от 1, 2, 4, 8, в вещественном линейном пространстве R n нельзя определить структуру алгебры с делением. Гипотеза Фробениуса доказана в 60-х гг. XX века.

Если при n>1 в пространстве R n определено билинейное умножение без делителей нуля, то на сфере S n-1 существует n-1 линейно независимых векторных полей . Из результатов, полученных Адамсом о количестве векторных полей на сфере , следует, что это возможно только для сфер S 1 , S 3 , S 7 . Это доказывает гипотезу Фробениуса.

См. также

Литература

Бахтурин Ю. А. Основные структуры современной алгебры. - М. : Наука, 1990. - 320 с.
Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. 2-е изд . - М. : Наука, 1973. - 400 с.
Понтрягин Л. С. Обобщения чисел . - М. : Наука, 1986. - 120 с. - (Библиотечка «Квант» , выпуск 54).

Счётные
множества

Вещественные числа
и их расширения

Инструменты расширения
числовых систем

Иерархия чисел


− 1 , 0 , 1 , … {\displaystyle -1,\;0,\;1,\;\ldots }