Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.
Доказательство . Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть.Тогда f(x)=b+б(x) и g(x)=c+в(x) , где б и в - бесконечно малые функции. Следовательно,
f(x) + g(x)=(b + c) + (б(x) + в(x)) .
Так как b + c есть постоянная величина, а б(x) + в(x) - функция бесконечно малая, то
Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
Доказательство . Пусть. Следовательно, f(x)=b+б(x) и g(x)=c+в(x) и
fg = (b + б)(c + в) = bc + (bв + cб + бв).
Произведение bc есть величина постоянная. Функция bв + c б + бв на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
Следствие 2. Предел степени равен степени предела:
Пример. .
Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.
Доказательство . Пусть. Следовательно, f(x)=b+б(x) и g(x)=c+в(x) , где б, в - бесконечно малые. Рассмотрим частное
Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c 2 ?0.
3. Рассмотрим. При x>1 числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится к 0. Но так как, т.е. есть бесконечно малая функция при x> 1, то.
Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x) , удовлетворяющие неравенствам u(x)?f(x)? v(x) . Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x>a (или x>? ), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если
Смысл этой теоремы понятен из рисунка.
Доказательство теоремы 4 можно найти, например, в учебнике: Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1 - М.: Наука, 1985.
Теорема 5. Если при x>a (или x>? ) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y?0 и при этом стремится к пределу b , то этот предел не может быть отрицательным: b?0 .
Доказательство . Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b<0 , тогда |y - b|?|b| и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю при x>a . Но тогда y не стремится к пределу b при x>a , что противоречит условию теоремы.
Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)? g(x) и имеют пределы, то имеет место неравенство b?c .
Доказательство. По условию теоремы f(x)-g(x) ?0 , следовательно, по теореме 5 , или.
Основные теоремы о пределах.
1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных, т.е.
lim (u 1 + u 2 + … + u n) = lim u 1 + lim u 2 + … + lim u n
2. Предел произведения определенного числа переменнных равен произведению пределов этих переменных, т.е.
lim (u 1 × u 2 × … × u n) = lim u 1 × lim u 2 × … × lim u n
3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е. если lim V ¹ 0 .
3. Если для соответствующих значений функций u = u(x), z = z(x), v = v(x) выполняются неравенства u £ z £ v и при этом u(x) и v(x) при х ® а (или х ® ¥ ) стремятся к одному и тому же пределу b , то z = z(x) при х ® а (или х ® ¥) стремится к тому же пределу.
Теорема 4 позволяет доказать справедливость важного соотношения, называемого первым замечательным пределом
. 
(2.1)
Из (2.1) следует эквивалентность бесконечно малых х и sin x: sin x ~x.
| y |
| y = sin x |
| x |
| y = x |
| Рис. 2.3 |
Еще одно важное соотношение теории пределов, называемое вторым замечательным пределом имеет
вид: 
(2.2)
Число е
– иррациональное (также как и число p
) и может быть записано в виде бесконечной десятичной непериодической дроби е = 2,71828…
; играет важную роль в вычислительной математике, служа, в частности, основанием натурального логарифма, обозначаемого ln x = log e x
. Функцию у = е х
называют экспоненциальной
функцией (иногда обозначается как ехр х
). В решении задач теории пределов могут быть полезны следующие равенства: 
. Можно также заменять бесконечно малые величины эквивалентными им:
Непрерывность функций. Функцию у = f(х) а если:
1.Эта функция определена в некоторой окрестности точки а и в самой точке;
2.Существует предел функции 
и он равен значению функции в этой точке, т.е. 
. Можно предложить и иное определение. Пусть аргумент х 0
получит приращение Dх
и примет значение х = х 0 + Dх
. В общем случае функция также получит некоторое приращение Dу = f(х 0 + Dх) – f(х 0)
.
Функцию f(х) называют непрерывной в точке х 0 , если она определена в этой точке и некоторой окрестности ее и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.
(2.3) или (2.3`)
Приведем формулировку теоремы: Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена
и получим важное для решения задач теории пределов следствие. Запишем условие непрерывности в виде 
или, что тоже самое, 
. Но 
и, следовательно, 
(2.4), т.е. для любой непрерывной функции во всех точках области определения ее справедливо соотношение (2.4) – предел функции равен функции предела
(символы (и соответствующие операции) предела и функции можно поменять местами): .
Пример:
В ряде случаев удобно использовать следующее соотношение:
Говорят, что если функция f(x)
непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а, b)
, где a < b
, то функция непрерывна на этом интервале. Точка внутри или на границе области определения, в которой нарушается условие непрерывности, называется точкой разрыва.
Если существуют конечные пределы 
и 
, причем не все три числа b 1
, b 2
и f(a)
равны между собой, точка а
называется точкой разрыва первого рода
. Эти точки подразделяются на точки скачка
, когда b 1 ¹ b 2
(скачок равен b 2 - b 1
) и точки устранимого разрыва,
когда b 1 = b 2
. Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода
. В этих точках не существует хотя бы один из односторонних пределов (Пример – “бесконечный” разрыв: 
).
Рассмотрим некоторые свойства непрерывных функций (доказательства теорем можно найти в рекомендуемой литературе).
1. Если функция f(x) непрерывна на некотором отрезке , то на этом отрезке найдется по крайней мере одна точка х = х 1 такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f(x 1) ³ f(x) , где х – любая другая точка отрезка, и найдется по крайней мере одна точка х 2 такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f(x 2) ≤ f(x) .
| y 1 |
| y 2 |
| y 3 |
| x |
| a |
| m |
| M |
| в |
| Рис. 2.4 |
(Отметим, что на интервале (а, b) утверждение теоремы может оказаться неверным. Пример: у = х – функция не имеет на интервале (а, b) наибольшего и наименьшего значений, т.к. не достигает значений а и b !)
| у |
| у 2 |
| а |
| в |
| х |
| у 1 |
| Рис. 2.5 |
| х |
3. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает неравные значения f(a) = A и f(b) = B то, каково бы ни было число m , заключенное между числами А и В , найдется такая точка х = с , заключенная между a и b , что f(c) = m (легко видеть, что теорема 2 является частным случаем теоремы 3).
ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ IX
§ 212. Основные теоремы о пределах функций
Прежде всего заметим, что не для всякой функции у = f (х ) существует предел f (х ). Так, например, при x -> π / 2 значения функции у = tg х (рис. 303) или неограниченно растут (при х < π / 2), или неограниченно убывают (при х > π / 2).
Поэтому нельзя указать никакого числа b , к которому стремились бы значения этой функции.
Другой пример. Пусть
График этой функции представлен на рисунке 304.
Когда значений аргумента х приближаются к 0, оставаясь отрицательными, соответствующие значения функции стремятся к 1. Когда значения аргумента х приближаются к 0, оставаясь положительными, соответствующие значения функции стремятся к -2. В самой же точке х = 0 функция обращается в 0. Очевидно, что указать одно какое-нибудь число, к которому стремились бы все значения у при приближении х к 0, нельзя. Поэтому данная функция не имеет предела при х -> 0.
Говоря в дальнейшем о пределе функции, мы всегда будем предполагать, что этот предел существует.
Предположение о существовании предела f (х ) еще не означает, что этот предел совпадает со значением функции f (х ) в точке х = а . Для примера рассмотрим функцию, график которой представлен на рисунке 305.
Очевидно, что предел f (х ) существует и равен 1. Но в самой точке х = 0 функция принимает значение, равное 2. Поэтому в данном случае
f (х ) =/= f (0).
Если функция у = f (х ) удовлетвoряет условию
f (х ) = f (a ),
то она называется непрерывной в точке х = а . Если же указанное условие не выполняется, то функция f (х ) называется разрывной в точке х = а ."
Все элементарные функции (например, у = х п , у = sin х , у = tg х , у = tg 2 х + tg х и т. д.) непрерывны в каждой точке, в которой они определены.
Функция у = f (х ) называется непрерывной в интервале [а, b ], если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Например, функция у = tg x непрерывна в интервале[- π / 4 , π / 4 ], функции у = sin x и y = cos x непрерывны в любом интервале и т. д.
Приведем без доказательства основные теоремы о пределах функций. Эти теоремы вполне аналогичны тем, которые мы рассматривали (также без доказательства) ранее при изучении пределов числовых последовательностей.
1. Предел константы равен самой этой константе:
с = с .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
[ k f (х )] = k f (х ).
3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:
[ f (х ) ± g (х )] = f (х ) ± g (x ).
4. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:
[ f (х ) g (х )] = f (х ) g (x ).
5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:
Рассмотрим несколько типичных примеров нахождения пределов функций.
Пример 1. Найти
При х -> 3 числитель и знаменатель данной дроби стремятся к нулю. Поэтому непосредственное применение теоремы о пределе частного здесь невозможно. Однако данную дробь можно сократить:
(Обратите внимание на следующую важную особенность, характерную для рассмотренного примера. Когда мы говорим о пределе f (х ), то обычно предполагаем, что функция f (х ) определена во в с е х точках, достаточно близких к точке х = а . Однако функция определена лишь для положительных значений х . Поэтому, рассматривая предел этой функции, мы фактически предполагаем, что х -> 0, оставаясь все время положительным. В подобных случаях говорят не просто о пределе, а об одностороннем пределе. С аналогичными примерами мы еще встретимся при выполнении упражнений к этому параграфу.)
Приводятся формулировки основных теорем и свойств предела функции. Даны определения конечных и бесконечных пределов в конечных точках и на бесконечности (двусторонних и односторонних) по Коши и Гейне. Рассмотрены арифметические свойства; теоремы, связанные с неравенствами; критерий сходимости Коши; предел сложной функции; свойства бесконечно малых, бесконечно больших и монотонных функций. Дано определение функции.
Определение функции
Функцией y = f(x) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .
Элемент x ∈
X
называют аргументом функции
или независимой переменной
.
Элемент y ∈
Y
называют значением функции
или зависимой переменной
.
Множество X
называется областью определения функции
.
Множество элементов y ∈
Y
,
которые имеют прообразы в множестве X
,
называется областью или множеством значений функции
.
Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу)
, если существует такое число M
,
что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной
, если существует такое число M
,
что для всех :
.
Верхней гранью
или точной верхней границей
действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого превосходит s′
:
.
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.
Соответственно нижней гранью
или точной нижней границей
действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого меньше чем i′
:
.
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.
Определение предела функции
Определение предела функции по Коши
Конечные пределы функции в конечных точках
Пусть функция определена в некоторой окрестности конечной точки за исключением, может быть, самой точки .
в точке ,
если для любого существует такое ,
зависящее от ,
что для всех x
,
для которых ,
выполняется неравенство
.
Предел функции обозначается так:
.
Или при .
С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.
Односторонние пределы.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
;
.
Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках
Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
.
.
.
Их часто обозначают так:
;
;
.
Использование понятия окрестности точки
Если ввести понятие проколотой окрестности точки ,
то можно дать единое определение конечного предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках:
.
Здесь для конечных точек
;
;
.
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
;
;
.
Бесконечные пределы функции
Определение
Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). f(x)
при x → x 0
равен бесконечности
, если для любого, сколь угодно большого числа M > 0
,
существует такое число δ M > 0
,
зависящее от M
,
что для всех x
,
принадлежащих проколотой δ M
- окрестности точки :
,
выполняется неравенство:
.
Бесконечный предел обозначают так:
.
Или при .
С помощью логических символов существования и всеобщности определение бесконечного предела функции можно записать так:
.
Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.
Универсальное определение предела функции
Используя понятие окрестности точки, можно дать универсальное определение конечного и бесконечно предела функции, применимое как для конечных (двусторонних и односторонних), так и для бесконечно удаленных точек:
.
Определение предела функции по Гейне
Пусть функция определена на некотором множестве X
:
.
Число a
называется пределом функции
в точке :
,
если для любой последовательности ,
сходящейся к x 0
:
,
элементы которой принадлежат множеству X
:
,
.
Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.
Если в качестве множества X взять левостороннюю окрестность точки x 0 , то получим определение левого предела. Если правостороннюю - то получим определение правого предела. Если в качестве множества X взять окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела функции на бесконечности.
Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство
Свойства и теоремы предела функции
Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей окрестности точки , которая является конечным числом или одним из символов: . Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.
Основные свойства
Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1 , x 2 , x 3 , ... x n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0 .
Если существует конечный предел ,
то существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
на которой функция f(x)
ограничена:
.
Пусть функция имеет в точке x 0
конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c
из интервала ,
существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для ,
,
если ;
,
если .
Если, на некоторой проколотой окрестности точки , - постоянная, то .
Если существуют конечные пределы и и на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то .
Если ,
и на некоторой окрестности точки
,
то .
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если ,
то и ;
если ,
то и .
Если на некоторой проколотой окрестности точки x 0
:
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
,
то
.
Доказательства основных свойств приведены на странице
«Основные свойства пределов функции ».
Арифметические свойства предела функции
Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки .
И пусть существуют конечные пределы:
и .
И пусть C
- постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
,
если .
Если , то .
Доказательства арифметических свойств приведены на странице
«Арифметические свойства пределов функции ».
Критерий Коши существования предела функции
Теорема
Для того, чтобы функция ,
определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x 0
,
имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0
существовала такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для любых точек и из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.
Предел сложной функции
Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки .
Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь - конечные или бесконечно удаленные точки: .
Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.
Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного .
Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки ,
на которой множество значений функции не содержит точку :
.
Если функция непрерывна в точке ,
то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
.
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.
Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции g(t)
при t → t 0
,
и он равен x 0
:
.
Здесь точка t 0
может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f(x)
непрерывна в точке x 0
.
Тогда существует предел сложной функции f(g(t))
,
и он равен f(x 0)
:
.
Доказательства теорем приведены на странице
«Предел и непрерывность сложной функции ».
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Бесконечно малые функции
Определение
Функция называется бесконечно малой при ,
если
.
Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .
Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки , на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .
Для того, чтобы функция имела конечный предел ,
необходимо и достаточно, чтобы
,
где - бесконечно малая функция при .
«Свойства бесконечно малых функций ».
Бесконечно большие функции
Определение
Функция называется бесконечно большой при ,
если
.
Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки , и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .
Если функция является бесконечно большой при ,
а функция - ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки ,
то
.
Если функция ,
на некоторой проколотой окрестности точки ,
удовлетворяет неравенству:
,
а функция является бесконечно малой при :
,
и (на некоторой проколотой окрестности точки ), то
.
Доказательства свойств изложены в разделе
«Свойства бесконечно больших функций ».
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями
Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
Если функция являются бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .
Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
,
.
Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при ,
то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки ,
то этот факт можно выразить так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при ,
то пишут:
.
Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
,
,
,
.
Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».
Пределы монотонных функций
Определение
Функция ,
определенная на некотором множестве действительных чисел X
называется строго возрастающей
, если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей
функции выполняется неравенство:
.
Для неубывающей
:
.
Для невозрастающей
:
.
Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.
Функция называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.
Теорема
Пусть функция не убывает на интервале ,
где .
Если она ограничена сверху числом M
:
,
то существует конечный предел .
Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m
:
,
то существует конечный предел .
Если не ограничена снизу, то .
Если точки a
и b
являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.
Пусть функция не убывает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы в точках a
и b
:
;
.
Аналогичная теорема для невозрастающей функции.
Пусть функция не возрастает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы:
;
.
Доказательство теоремы изложено на странице
«Пределы монотонных функций ».
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.