Có những loại đa giác nào? Bài học “Đa giác”

Đề tài: đa giác - lớp 8:

Đường thẳng gồm các đoạn liền kề không nằm trên cùng một đường thẳng gọi là đường gãy.

Điểm cuối của các đoạn là đỉnh cao.

Mỗi phân đoạn là liên kết.

Và tất cả tổng độ dài của các đoạn tạo thành tổng chiều dàiđường gãy Ví dụ: AM + ME + EK + KO = độ dài của đường đứt nét

Nếu các phân đoạn được đóng lại thì điều này đa giác(xem ở trên) .

Các liên kết trong một đa giác được gọi là các bữa tiệc.

Tổng độ dài các cạnh - chu viđa giác.

Các đỉnh nằm về một phía là láng giềng.

Một đoạn kết nối đỉnh lân cận, gọi điện theo đường chéo.

Đa giác gọi điện theo số cạnh: hình ngũ giác, hình lục giác, v.v.

Mọi thứ bên trong đa giác đều là phần bên trong máy bay, và mọi thứ ở bên ngoài - phần bên ngoài của máy bay.

Hãy chú ý! Trong hình dưới đây- đây KHÔNG phải là đa giác vì có thêm điểm chung trên cùng một đường thẳng cho các đoạn không liền kề.

Đa giác lồi nằm về một phía của mỗi đường thẳng. Để xác định nó trong tâm trí (hoặc bằng hình vẽ), chúng ta tiếp tục mỗi bên.

Trong một đa giác nhiều góc như nhiều cạnh.

Trong đa giác lồi tổng các góc trong bằng (n-2)*180°. n là số góc.

Đa giác được gọi là Chính xác, nếu tất cả các cạnh và các góc của nó bằng nhau. Vì vậy, việc tính các góc trong của nó được thực hiện theo công thức (trong đó n là số góc): 180° * (n-2) / n

Dưới đây là các đa giác, tổng các góc của chúng và một góc bằng bao nhiêu.

Các góc ngoài của đa giác lồi được tính như sau:

​​​​​​​

Trong bài học này chúng ta sẽ bắt đầu chủ đề mới và giới thiệu cho chúng tôi một khái niệm mới: “đa giác”. Chúng ta sẽ xem xét các khái niệm cơ bản liên quan đến đa giác: cạnh, góc đỉnh, độ lồi và không lồi. Sau đó chúng ta sẽ chứng minh sự thật quan trọng nhất, chẳng hạn như định lý về tổng các góc trong của một đa giác, định lý về tổng các góc ngoài của một đa giác. Kết quả là chúng ta sẽ tiến gần đến việc nghiên cứu các trường hợp đặc biệt của đa giác, trường hợp này sẽ được xem xét trong các bài học tiếp theo.

Chủ đề: Tứ giác

Bài học: Đa giác

Trong khóa học hình học, chúng ta nghiên cứu các tính chất của các hình hình học và đã xem xét những hình đơn giản nhất trong số đó: hình tam giác và hình tròn. Đồng thời, chúng ta cũng thảo luận các trường hợp đặc biệt của các hình này như hình chữ nhật, hình cân và hình tam giác đều. Bây giờ là lúc nói về những vấn đề tổng quát hơn và số liệu phức tạp - đa giác.

Với trường hợp đặc biệt đa giác chúng ta đã quen thuộc - đây là một hình tam giác (xem Hình 1).

Cơm. 1. Tam giác

Bản thân cái tên đã nhấn mạnh rằng đây là một hình có ba góc. Vì vậy, trong đa giác có thể có rất nhiều trong số họ, tức là nhiều hơn ba. Ví dụ: hãy vẽ một hình ngũ giác (xem Hình 2), tức là hình có năm góc.

Cơm. 2. Lầu Năm Góc. Đa giác lồi

Sự định nghĩa.Đa giác- một hình bao gồm một số điểm (nhiều hơn hai) và số đoạn tương ứng nối chúng một cách tuần tự. Những điểm này được gọi là đỉnh caođa giác và các phân đoạn là các bữa tiệc. Trong trường hợp này không có hai cạnh kề nào cùng nằm trên một đường thẳng và không có hai cạnh không kề nhau nào cắt nhau.

Sự định nghĩa.Đa giác đều là một đa giác lồi có tất cả các cạnh và các góc bằng nhau.

Bất kì đa giác chia mặt phẳng thành hai khu vực: bên trong và bên ngoài. Khu vực bên trong còn được gọi là đa giác.

Nói cách khác, chẳng hạn, khi họ nói về một hình ngũ giác, họ có nghĩa là toàn bộ khu vực bên trong và đường viền của nó. Và vùng bên trong bao gồm tất cả các điểm nằm bên trong đa giác, tức là điểm này cũng đề cập đến hình ngũ giác (xem Hình 2).

Đa giác đôi khi còn được gọi là n-giác để nhấn mạnh rằng trường hợp tổng quát về sự hiện diện của một số góc chưa biết (n phần) được xem xét.

Sự định nghĩa. Chu vi đa giác- tổng độ dài các cạnh của đa giác.

Bây giờ chúng ta cần làm quen với các loại đa giác. Chúng được chia thành lồi Và không lồi. Ví dụ: đa giác được hiển thị trong Hình. 2 là lồi và trong hình. 3 không lồi.

Cơm. 3. Đa giác không lồi

Định nghĩa 1. Đa giác gọi điện lồi, nếu khi vẽ một đường thẳng đi qua bất kỳ cạnh nào của nó thì toàn bộ đa giác chỉ nằm về một phía của đường thẳng này. không lồi còn mọi người nữa à đa giác.

Dễ dàng tưởng tượng rằng khi kéo dài bất kỳ cạnh nào của hình ngũ giác trong Hình. 2 tất cả sẽ nằm về một phía của đường thẳng này, tức là nó lồi. Nhưng khi vẽ đường thẳng đi qua một tứ giác ở hình 2. 3 chúng ta đã thấy rằng nó chia nó thành hai phần, tức là. nó không lồi.

Nhưng còn có một định nghĩa khác về độ lồi của đa giác.

Định nghĩa 2. Đa giác gọi điện lồi, nếu khi chọn hai điểm trong bất kỳ của nó và nối chúng với một đoạn thẳng thì mọi điểm của đoạn đó cũng là điểm trong của đa giác.

Minh họa việc sử dụng định nghĩa này có thể được thấy trong ví dụ về xây dựng các đoạn trong Hình 2. 2 và 3.

Sự định nghĩa. Đường chéo của đa giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh không liền kề.

Để mô tả các tính chất của đa giác, có hai định lý quan trọng nhất về góc của chúng: định lý tổng các góc trong đa giác lồi Và định lý về tổng các góc ngoài của một đa giác lồi. Hãy nhìn vào chúng.

Định lý. Về tổng các góc trong của một đa giác lồi (N-gon).

Số góc (cạnh của nó) ở đâu?

Chứng minh 1. Hãy mô tả ở hình 1. 4 n-giác lồi.

Cơm. 4. n-giác lồi

Từ đỉnh chúng ta vẽ tất cả các đường chéo có thể. Họ chia n-giác thành các hình tam giác, bởi vì mỗi cạnh của đa giác tạo thành một hình tam giác, ngoại trừ các cạnh kề với đỉnh. Từ hình vẽ dễ dàng thấy rằng tổng các góc của tất cả các tam giác này sẽ chính xác bằng tổng các góc trong của n-giác. Vì tổng các góc của bất kỳ tam giác nào là , nên tổng các góc trong của một n-giác là:

Q.E.D.

Chứng minh 2. Có thể chứng minh được định lý này. Hãy vẽ một n-giác tương tự trong hình. 5 và nối bất kỳ điểm bên trong nào của nó với tất cả các đỉnh.

Cơm. 5.

Ta đã thu được sự phân chia n-giác thành n hình tam giác (số cạnh bằng số hình tam giác). Tổng các góc của chúng bằng tổng các góc trong của đa giác và tổng các góc tại điểm nội tại, và đây là góc. Chúng tôi có:

Q.E.D.

Đã được chứng minh.

Theo định lý đã được chứng minh, rõ ràng tổng các góc của một n-giác phụ thuộc vào số cạnh của nó (trên n). Ví dụ: trong một tam giác, tổng các góc là . Trong một tứ giác và tổng các góc bằng v.v.

Định lý. Về tổng các góc ngoài của một đa giác lồi (N-gon).

Đâu là số góc (cạnh của nó), và , ..., là các góc ngoài.

Bằng chứng. Chúng ta hãy mô tả một n-giác lồi trong hình. 6 và chỉ định các góc bên trong và bên ngoài của nó.

Cơm. 6. n-giác lồi với các góc ngoài được chỉ định

Bởi vì góc ngoài kết nối với bên trong như liền kề, sau đó và tương tự cho các góc ngoài còn lại. Sau đó:

Trong quá trình biến đổi, chúng tôi đã sử dụng định lý đã được chứng minh về tổng các góc trong của một n-giác.

Đã được chứng minh.

Từ định lý đã được chứng minh suy ra sự thật thú vị, đó là tổng các góc ngoài lồi n-giác bằng về số góc (cạnh) của nó. Nhân tiện, trái ngược với tổng các góc bên trong.

Tài liệu tham khảo

1. Alexandrov A.D. và các bài khác về Hình học lớp 8. - M.: Giáo dục, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Hình học, lớp 8. - M.: Giáo dục, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Hình học, lớp 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

bài tập về nhà

Thuộc tính của đa giác

Một đa giác là hình hình học, thường được định nghĩa là một đường đứt nét khép kín không có giao điểm tự (đa giác đơn giản (Hình 1a)), nhưng đôi khi cho phép tự giao cắt (khi đó đa giác không đơn giản).

Các đỉnh của đa giác gọi là các đỉnh của đa giác, các đoạn được gọi là các cạnh của đa giác. Các đỉnh của một đa giác được gọi là liền kề nếu chúng là điểm cuối của một cạnh của nó. Các đoạn nối các đỉnh không liền kề của đa giác được gọi là các đường chéo.

Góc (hoặc góc trong) của đa giác lồi tại một đỉnh cho trước là góc tạo bởi các cạnh của nó hội tụ tại đỉnh này và góc được tính từ cạnh của đa giác. Đặc biệt, góc có thể vượt quá 180° nếu đa giác không lồi.

Góc ngoài của đa giác lồi tại một đỉnh cho trước là góc kề với góc trong của đa giác tại đỉnh đó. TRONG trường hợp chung Góc ngoài là hiệu giữa 180° và góc trong. Từ mỗi đỉnh của tam giác > 3 có 3 đường chéo, do đó tổng số Các đường chéo của tam giác đều bằng nhau.

Một đa giác có ba đỉnh được gọi là hình tam giác, với bốn - một hình tứ giác, với năm - một hình ngũ giác, v.v.

Đa giác với N gọi là đỉnh N- quảng trường.

Đa giác phẳng là hình bao gồm một đa giác và một phần hữu hạn diện tích bị giới hạn bởi nó.

Một đa giác được gọi là lồi nếu đáp ứng một trong các điều kiện (tương đương) sau:

• 1. nó nằm trên một phía của bất kỳ đường thẳng nào nối các đỉnh lân cận của nó. (tức là phần mở rộng của các cạnh của đa giác không cắt các cạnh khác của nó);
• 2. đó là một giao lộ (tức là phần chung) một vài nửa mặt phẳng;
• 3. bất kỳ đoạn nào có điểm cuối tại các điểm thuộc đa giác đều hoàn toàn thuộc về nó.

Một đa giác lồi được gọi là đều nếu tất cả các cạnh của nó bằng nhau và tất cả các góc đều bằng nhau, chẳng hạn tam giác đều, hình vuông và hình ngũ giác.

Một đa giác lồi được gọi là ngoại tiếp một đường tròn nếu tất cả các cạnh của nó tiếp xúc với một đường tròn nào đó

Đa giác đều là đa giác có tất cả các góc và tất cả các cạnh bằng nhau.

Tính chất của đa giác:

1 Mỗi đường chéo của một -giác lồi, trong đó >3, phân tách nó thành hai đa giác lồi.

2 Tổng các góc của một tam giác lồi bằng nhau.

D-vo: Ta chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp toán học. Tại = 3 là điều hiển nhiên. Giả sử định lý đúng với -gon, trong đó <, và chứng minh điều đó cho -gon.

Hãy là một đa giác nhất định. Hãy vẽ đường chéo của đa giác này. Theo Định lý 3, đa giác được phân tách thành một tam giác và một tam giác lồi (Hình 5). Bằng giả thuyết quy nạp. Ở phía bên kia, . Thêm các đẳng thức này và tính đến điều đó (- chùm góc bên trong ) Và (- chùm góc bên trong ), chúng tôi nhận được. Khi chúng tôi nhận được: .

3 Xung quanh bất kỳ đa giác đều nào, bạn có thể mô tả một hình tròn và chỉ một hình tròn.

D-vo: Giả sử nó là một đa giác đều và là các phân giác của các góc và (Hình 150). Vì vậy, do đó * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке VỀ. Hãy chứng minh điều đó ồ = viêm khớp 2 = VỀ =… = viêm khớp N . Tam giác VỀ do đó cân bằng VỀ= VỀ. Do đó, theo tiêu chuẩn thứ hai về sự bằng nhau của các tam giác, VỀ = VỀ. Tương tự, người ta chứng minh rằng VỀ = VỀ vân vân. Vì vậy, điểm VỀ cách đều tất cả các đỉnh của đa giác nên đường tròn có tâm VỀ bán kính VỀđược bao quanh đa giác.

Bây giờ chúng ta chứng minh rằng chỉ có một đường tròn ngoại tiếp. Ví dụ, hãy xem xét ba đỉnh của một đa giác, MỘT 2 , . Vì chỉ có một đường tròn đi qua những điểm này nên xung quanh đa giác … Bạn không thể mô tả nhiều hơn một vòng tròn.

• 4 Bạn có thể nội tiếp một hình tròn vào bất kỳ đa giác đều nào và chỉ một mà thôi.
• 5 Một đường tròn nội tiếp một đa giác đều tiếp xúc với các cạnh của đa giác tại điểm giữa của chúng.
• 6 Tâm của hình tròn ngoại tiếp một đa giác đều trùng với tâm của hình tròn nội tiếp đa giác đó.
• 7 Tính đối xứng:

Người ta nói rằng một hình có tính đối xứng (đối xứng) nếu có một chuyển động (không giống hệt nhau) biến hình này thành chính nó.

• 7.1. Một tam giác tổng quát không có trục hoặc tâm đối xứng; nó không đối xứng. Một tam giác cân (nhưng không đều) có một trục đối xứng: đường phân giác vuông góc với đáy.
• 7.2. Một tam giác đều có ba trục đối xứng (các đường phân giác vuông góc với các cạnh) và đối xứng quay quanh tâm với góc quay 120°.

7.3 Bất kỳ n-giác đều nào cũng có n trục đối xứng, tất cả chúng đều đi qua tâm của nó. Nó cũng có sự đối xứng quay quanh tâm với một góc quay.

Khi thậm chí N Một số trục đối xứng đi qua các đỉnh đối diện, một số khác đi qua trung điểm của các cạnh đối diện.

Đối với số lẻ N mỗi trục đi qua đỉnh và giữa của cạnh đối diện.

Tâm của một đa giác đều có số cạnh chẵn là tâm đối xứng của nó. Một đa giác đều có số cạnh lẻ sẽ không có tâm đối xứng.

8 Điểm tương đồng:

Tương tự và -gon thành -gon, nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng, do đó lồi N-góc trở nên lồi N-gon.

Định lý: Nếu các cạnh và các góc của đa giác lồi thỏa mãn đẳng thức:

hệ số bục ở đâu

thì các đa giác này tương tự nhau.

• 8.1 Tỉ số chu vi của hai đa giác đồng dạng bằng hệ số tương tự.
• 8.2. Tỷ số diện tích của hai đa giác lồi đồng dạng bằng bình phương của hệ số tương tự.

định lý chu vi tam giác đa giác

Phần của mặt phẳng giới hạn bởi một đường đứt đoạn khép kín được gọi là đa giác.

Các đoạn của đường đứt nét này được gọi là các bữa tiệcđa giác. AB, BC, CD, DE, EA (Hình 1) là các cạnh của đa giác ABCDE. Tổng tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là chu vi.

Đa giác được gọi là lồi, nếu nó nằm ở một phía của bất kỳ cạnh nào của nó, kéo dài vô tận ra ngoài cả hai đỉnh.

Đa giác MNPKO (Hình 1) sẽ không lồi vì nó nằm trên nhiều cạnh của đường thẳng KR.

Chúng tôi sẽ chỉ xem xét đa giác lồi.

Các góc tạo bởi hai cạnh kề nhau của một đa giác được gọi là nội bộ các góc và đỉnh của chúng là các đỉnh của đa giác.

Đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của đa giác gọi là đường chéo của đa giác.

AC, AD - các đường chéo của đa giác (Hình 2).

Các góc kề với các góc trong của đa giác được gọi là các góc ngoài của đa giác (Hình 3).

Tùy thuộc vào số góc (cạnh), đa giác được gọi là hình tam giác, hình tứ giác, hình ngũ giác, v.v.

Hai đa giác được gọi là bằng nhau nếu chúng có thể được tập hợp lại với nhau bằng cách chồng lên nhau.

Đa giác nội tiếp và ngoại tiếp

Nếu tất cả các đỉnh của đa giác đều nằm trên một đường tròn thì đa giác đó được gọi là ghi thành một vòng tròn, và vòng tròn - được mô tả gần đa giác (hình).

Nếu tất cả các cạnh của đa giác đều tiếp xúc với một đường tròn thì đa giác đó được gọi là được mô tả về một vòng tròn, và vòng tròn được gọi là ghi thành một đa giác (Hình.).

Sự tương tự của đa giác

Hai đa giác cùng tên được gọi là đồng dạng nếu các góc của một trong số chúng tương ứng bằng các góc của đa giác kia và các cạnh giống nhau của đa giác tỉ lệ với nhau.

Các đa giác có cùng số cạnh (góc) được gọi là đa giác cùng tên.

Các cạnh của các đa giác giống nhau nối các đỉnh có góc bằng nhau tương ứng được gọi là bằng nhau (Hình).

Vì vậy, ví dụ, để đa giác ABCDE đồng dạng với đa giác A'B'C'D'E' thì cần phải: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' và ngoài ra AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Tỉ số chu vi của các đa giác đồng dạng

Đầu tiên, hãy xem xét tính chất của một chuỗi các tỷ lệ bằng nhau. Ví dụ, chúng ta có các tỷ lệ sau: 2/1 = 4/2 = 6/3 = 8/4 =2.

Hãy tìm tổng các số hạng trước của các quan hệ này, sau đó tính tổng các số hạng tiếp theo của chúng và tìm tỉ số của các tổng thu được, ta được:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Chúng ta thu được kết quả tương tự nếu lấy một chuỗi các quan hệ khác, ví dụ: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Hãy tìm tổng các số hạng trước đó của các quan hệ này và tổng các quan hệ tiếp theo, rồi tìm tỉ số của các tổng này, chúng ta có:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

Trong cả hai trường hợp, tổng các phần tử trước của một chuỗi các mối quan hệ bằng nhau liên quan đến tổng các phần tử tiếp theo của cùng một chuỗi, cũng giống như phần tử trước của bất kỳ mối quan hệ nào trong số này liên quan đến phần tử tiếp theo của nó.

Chúng ta rút ra tính chất này bằng cách xem xét một số ví dụ bằng số. Nó có thể được suy ra một cách chặt chẽ và ở dạng tổng quát.

Bây giờ hãy xem xét tỷ lệ chu vi của các đa giác tương tự.

Cho đa giác ABCDE đồng dạng với đa giác A’B’C’D’E’ (Hình).

Từ sự giống nhau của các đa giác này suy ra rằng

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Dựa trên tính chất rút ra được của một chuỗi các tỷ lệ bằng nhau, chúng ta có thể viết:

Tổng các số hạng trước của các quan hệ mà chúng ta đã lấy biểu thị chu vi của đa giác thứ nhất (P), và tổng các số hạng tiếp theo của các quan hệ này biểu thị chu vi của đa giác thứ hai (P'), tức là P/P ' = AB / A'B'.

Kể từ đây, Chu vi của các đa giác giống nhau có liên hệ với các cạnh bằng nhau của chúng.

Tỷ lệ diện tích của đa giác tương tự

Cho ABCDE và A’B’C’D’E’ là các đa giác đồng dạng (Hình).

Được biết, ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' và ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Bên cạnh đó,

;

Vì tỷ lệ thứ hai của các tỷ lệ này bằng nhau, xuất phát từ sự giống nhau của đa giác, nên

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Hoặc

trong đó S và S' là diện tích của các đa giác tương tự này.

Kể từ đây, Diện tích của các đa giác đồng dạng có liên hệ là bình phương có các cạnh bằng nhau.

Công thức thu được có thể chuyển về dạng này: S / S' = (AB / A'B') 2

Diện tích đa giác tùy ý

Cần tính diện tích của hình tứ giác ABC tùy ý (Hình.).

Hãy vẽ một đường chéo trong đó, ví dụ AD. Chúng ta có hai tam giác ABD và ACD, tính diện tích của chúng. Sau đó chúng ta tìm tổng diện tích của các hình tam giác này. Tổng kết quả sẽ biểu thị diện tích của tứ giác này.

Nếu bạn cần tính diện tích của hình ngũ giác, thì chúng ta làm tương tự: chúng ta vẽ các đường chéo từ một trong các đỉnh. Chúng ta có được ba hình tam giác, diện tích của chúng có thể tính được. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể tìm thấy diện tích của hình ngũ giác này. Chúng ta làm tương tự khi tính diện tích của đa giác bất kỳ.

Diện tích hình chiếu của đa giác

Chúng ta hãy nhớ lại rằng góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa một đường thẳng cho trước và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (Hình.).

Định lý. Diện tích hình chiếu trực giao của đa giác lên một mặt phẳng bằng diện tích của đa giác được chiếu nhân với cosin của góc tạo bởi mặt phẳng của đa giác và mặt phẳng chiếu.

Mỗi đa giác có thể được chia thành các hình tam giác có tổng diện tích bằng diện tích của đa giác. Vì vậy, chỉ cần chứng minh định lý về tam giác là đủ.

Cho ΔАВС được chiếu lên mặt phẳng r. Hãy xem xét hai trường hợp:

a) một cạnh ∆ABC song song với mặt phẳng r;

b) không có cạnh nào ∆ABC song song r.

Hãy xem xét trường hợp đầu tiên: hãy [AB] || r.

Vẽ mặt phẳng đi qua (AB) r 1 || r và chiếu ΔАВС trực giao trên r 1 trở đi r(cơm.); chúng ta nhận được ΔАВС 1 và ΔА'В'С'.

Theo tính chất phép chiếu ta có ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С', và do đó

S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’

Hãy vẽ ⊥ và đoạn D 1 C 1 . Khi đó ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ là giá trị góc giữa mặt phẳng ΔABC và mặt phẳng r 1. Đó là lý do tại sao

S Δ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

và do đó S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.

Hãy chuyển sang xem xét trường hợp thứ hai. Hãy vẽ một chiếc máy bay r 1 || r qua đỉnh đó ΔАВС, khoảng cách từ đó đến mặt phẳng r nhỏ nhất (gọi đây là đỉnh A).

Hãy chiếu ΔАВС lên mặt phẳng r 1 và r(cơm.); đặt các hình chiếu của nó lần lượt là ΔАВ 1 С 1 và ΔА'В'С'.

Đặt (BC) ∩ P 1 = D. Khi đó

S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Vật liệu khác

Hình tam giác, hình vuông, hình lục giác - những hình này hầu hết mọi người đều biết đến. Nhưng không phải ai cũng biết đa giác đều là gì. Nhưng tất cả đều giống nhau. Đa giác đều là đa giác có các góc và cạnh bằng nhau. Có rất nhiều số liệu như vậy, nhưng tất cả chúng đều có các tính chất giống nhau và các công thức giống nhau áp dụng cho chúng.

Tính chất của đa giác đều

Bất kỳ đa giác đều nào, có thể là hình vuông hoặc hình bát giác, đều có thể nội tiếp trong một hình tròn. Thuộc tính cơ bản này thường được sử dụng khi xây dựng một hình. Ngoài ra, một vòng tròn có thể được ghi trong một đa giác. Trong trường hợp này, số điểm tiếp xúc sẽ bằng số cạnh của nó. Điều quan trọng là một hình tròn nội tiếp một đa giác đều sẽ có tâm chung với nó. Những hình hình học này tuân theo các định lý tương tự. Bất kỳ cạnh nào của n-giác đều liên hệ với bán kính của đường tròn R bao quanh nó. Do đó, nó có thể được tính bằng công thức sau: a = 2R ∙ sin180°. Thông qua đó, bạn có thể tìm thấy không chỉ các cạnh mà còn cả chu vi của đa giác.

Cách tìm số cạnh của đa giác đều

Bất kỳ đoạn nào cũng bao gồm một số đoạn nhất định bằng nhau, khi kết nối sẽ tạo thành một đường khép kín. Trong trường hợp này, tất cả các góc của hình thu được đều có cùng giá trị. Đa giác được chia thành đơn giản và phức tạp. Nhóm đầu tiên bao gồm một hình tam giác và một hình vuông. Đa giác phức tạp có nhiều cạnh hơn. Chúng cũng bao gồm các hình hình ngôi sao. Đối với đa giác đều phức tạp, các cạnh được tìm thấy bằng cách ghi chúng vào một vòng tròn. Hãy đưa ra một bằng chứng. Vẽ một đa giác đều có số cạnh n tùy ý. Vẽ một vòng tròn xung quanh nó. Đặt bán kính R. Bây giờ hãy tưởng tượng rằng bạn được cho một số n-giác. Nếu các điểm của các góc của nó nằm trên đường tròn và bằng nhau thì có thể tìm được các cạnh bằng công thức: a = 2R ∙ sinα: 2.

Tìm số cạnh của một tam giác đều nội tiếp

Tam giác đều là đa giác đều. Các công thức tương tự áp dụng cho nó như cho hình vuông và n-giác. Một hình tam giác sẽ được coi là đều nếu các cạnh của nó có độ dài bằng nhau. Trong trường hợp này, các góc là 60⁰. Hãy dựng một tam giác có độ dài cạnh a cho trước. Biết trung vị và chiều cao của nó, bạn có thể tìm thấy giá trị của các cạnh của nó. Để làm được điều này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tìm thông qua công thức a = x: cosα, trong đó x là đường trung bình hoặc chiều cao. Vì tất cả các cạnh của tam giác đều bằng nhau nên ta có a = b = c. Khi đó khẳng định sau sẽ đúng: a = b = c = x: cosα. Tương tự, bạn có thể tìm giá trị các cạnh trong một tam giác cân, nhưng x sẽ là chiều cao cho trước. Trong trường hợp này, nó phải được chiếu đúng vào phần đế của hình. Vì vậy, khi biết chiều cao x, chúng ta tìm cạnh a của tam giác cân bằng công thức a = b = x: cosα. Sau khi tìm giá trị của a, bạn có thể tính độ dài của cơ số c. Hãy áp dụng định lý Pythagore. Chúng ta sẽ tìm giá trị của một nửa cơ số c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Khi đó c = 2xtanα. Bằng cách đơn giản này, bạn có thể tìm thấy số cạnh của bất kỳ đa giác nội tiếp nào.

Tính cạnh của hình vuông nội tiếp trong đường tròn

Giống như mọi đa giác đều nội tiếp khác, hình vuông có các cạnh và các góc bằng nhau. Các công thức tương tự áp dụng cho nó như cho một hình tam giác. Bạn có thể tính các cạnh của hình vuông bằng cách sử dụng giá trị đường chéo. Hãy xem xét phương pháp này chi tiết hơn. Được biết, đường chéo chia một góc làm đôi. Ban đầu giá trị của nó là 90 độ. Như vậy, sau khi chia, hai góc được hình thành ở đáy sẽ bằng 45 độ. Theo đó, mỗi cạnh của hình vuông sẽ bằng nhau, tức là: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, trong đó e là đường chéo của hình vuông, hay là đáy của tam giác vuông tạo thành sau phân công. Đây không phải là cách duy nhất để tìm các cạnh của hình vuông. Hãy ghi hình này trong một vòng tròn. Biết bán kính R của hình tròn này, ta tìm được cạnh của hình vuông. Chúng ta sẽ tính toán như sau: a4 = R√2. Bán kính của đa giác đều được tính bằng công thức R = a: 2tg (360 o: 2n), trong đó a là độ dài cạnh.

Cách tính chu vi của n-giác

Chu vi của một n-giác là tổng tất cả các cạnh của nó. Thật dễ dàng để tính toán. Để làm được điều này, bạn cần biết ý nghĩa của tất cả các bên. Đối với một số loại đa giác có các công thức đặc biệt. Chúng cho phép bạn tìm chu vi nhanh hơn nhiều. Người ta biết rằng mọi đa giác đều đều có các cạnh bằng nhau. Vì vậy, để tính chu vi của nó, chỉ cần biết ít nhất một trong số chúng là đủ. Công thức sẽ phụ thuộc vào số cạnh của hình. Nói chung, nó trông như thế này: P = an, trong đó a là giá trị cạnh và n là số góc. Ví dụ, để tìm chu vi của một hình bát giác đều có cạnh 3 cm, bạn cần nhân nó với 8, tức là P = 3 ∙ 8 = 24 cm, đối với hình lục giác có cạnh 5 cm, chúng ta tính. như sau: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Và như vậy đối với mỗi đa giác.

Tìm chu vi của hình bình hành, hình vuông và hình thoi

Tùy thuộc vào số cạnh của một đa giác đều mà tính chu vi của nó. Điều này làm cho nhiệm vụ dễ dàng hơn nhiều. Thật vậy, không giống như những hình khác, trong trường hợp này bạn không cần phải tìm tất cả các cạnh của nó, một mặt là đủ. Sử dụng nguyên tắc tương tự, chúng ta tìm thấy chu vi của tứ giác, nghĩa là hình vuông và hình thoi. Mặc dù thực tế đây là những hình khác nhau nhưng công thức tính chúng vẫn giống nhau: P = 4a, trong đó a là cạnh. Hãy đưa ra một ví dụ. Nếu cạnh của hình thoi hoặc hình vuông là 6 cm thì chúng ta tìm được chu vi như sau: P = 4 ∙ 6 = 24 cm. Đối với hình bình hành, chỉ có các cạnh đối diện bằng nhau. Do đó, chu vi của nó được tìm thấy bằng một phương pháp khác. Vì vậy, chúng ta cần biết chiều dài a và chiều rộng b của hình. Sau đó, chúng ta áp dụng công thức P = (a + b) ∙ 2. Hình bình hành trong đó tất cả các cạnh và các góc xen giữa chúng bằng nhau được gọi là hình thoi.

Tìm chu vi của một tam giác đều và tam giác vuông

Chu vi của cái đúng có thể được tìm thấy bằng công thức P = 3a, trong đó a là chiều dài của cạnh. Nếu chưa biết, nó có thể được tìm thấy thông qua trung vị. Trong một tam giác vuông chỉ có hai cạnh có giá trị bằng nhau. Cơ sở có thể được tìm thấy thông qua định lý Pythagore. Khi đã biết giá trị của cả ba cạnh, chúng ta tính chu vi. Nó có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức P = a + b + c, trong đó a và b là các cạnh bằng nhau và c là cơ số. Nhớ lại rằng trong một tam giác cân a = b = a, có nghĩa là a + b = 2a thì P = 2a + c. Ví dụ: cạnh của một tam giác cân là 4 cm, hãy tìm đáy và chu vi của nó. Chúng ta tính giá trị cạnh huyền bằng định lý Pythagore với = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm. Bây giờ hãy tính chu vi P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Cách tìm các góc của đa giác đều

Một đa giác đều xuất hiện trong cuộc sống của chúng ta hàng ngày, chẳng hạn như hình vuông, hình tam giác, hình bát giác đều. Có vẻ như không có gì dễ dàng hơn việc tự mình xây dựng con số này. Nhưng điều này chỉ đơn giản thoạt nhìn. Để xây dựng bất kỳ n-giác nào, bạn cần biết giá trị các góc của nó. Nhưng làm thế nào để tìm thấy chúng? Ngay cả các nhà khoa học cổ đại cũng đã cố gắng xây dựng các đa giác đều. Họ đã tìm ra cách xếp chúng thành các vòng tròn. Và sau đó các điểm cần thiết được đánh dấu trên đó và nối với nhau bằng các đường thẳng. Đối với các số liệu đơn giản, vấn đề xây dựng đã được giải quyết. Các công thức và định lý đã thu được. Ví dụ, Euclid, trong tác phẩm nổi tiếng “Khởi đầu” của mình, đã giải quyết các bài toán về 3-, 4-, 5-, 6- và 15-giác. Anh ấy đã tìm ra cách để xây dựng chúng và tìm ra các góc độ. Chúng ta hãy xem làm thế nào để làm điều này cho 15-giác. Đầu tiên bạn cần tính tổng các góc trong của nó. Cần sử dụng công thức S = 180⁰(n-2). Vì vậy, chúng ta được cho một 15-giác, nghĩa là số n là 15. Chúng ta thay dữ liệu đã biết vào công thức và nhận được S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Chúng tôi đã tìm thấy tổng tất cả các góc trong của 15 giác. Bây giờ bạn cần lấy giá trị của từng giá trị đó. Tổng cộng có 15 góc. Chúng tôi thực hiện phép tính 2340⁰: 15 = 156⁰. Điều này có nghĩa là mỗi góc trong bằng 156⁰, bây giờ sử dụng thước và compa bạn có thể dựng được một hình 15 giác đều. Nhưng còn những n-gon phức tạp hơn thì sao? Trong nhiều thế kỷ, các nhà khoa học đã phải vật lộn để giải quyết vấn đề này. Nó chỉ được tìm thấy vào thế kỷ 18 bởi Carl Friedrich Gauss. Anh ấy đã có thể tạo ra một chiếc 65537-gon. Kể từ đó, vấn đề chính thức được coi là đã được giải quyết hoàn toàn.

Tính góc của n-giác theo radian

Tất nhiên, có một số cách để tìm các góc của đa giác. Thông thường chúng được tính bằng độ. Nhưng chúng cũng có thể được biểu thị bằng radian. Làm thế nào để làm điều này? Bạn cần phải tiến hành như sau. Đầu tiên, chúng ta tìm ra số cạnh của một đa giác đều, sau đó trừ đi 2. Điều này có nghĩa là chúng ta nhận được giá trị: n - 2. Nhân hiệu tìm được với số n (“pi” = 3,14). Bây giờ tất cả những gì còn lại là chia tích thu được cho số góc trong n-giác. Hãy xem xét các phép tính này bằng cách sử dụng cùng một hình thập giác làm ví dụ. Vậy số n là 15. Ta áp dụng công thức S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Tất nhiên, đây không phải là cách duy nhất để tính góc theo radian. Bạn có thể chỉ cần chia góc theo độ cho 57,3. Rốt cuộc, đây là bao nhiêu độ tương đương với một radian.

Tính giá trị góc theo độ

Ngoài độ và radian, bạn có thể thử tìm các góc của đa giác đều theo độ. Điều này được thực hiện như sau. Trừ 2 từ tổng số góc và chia hiệu kết quả cho số cạnh của một đa giác đều. Chúng tôi nhân kết quả tìm được với 200. Nhân tiện, đơn vị đo góc như độ thực tế không được sử dụng.

Tính góc ngoài của n-giác

Đối với bất kỳ đa giác đều nào, ngoài đa giác bên trong, bạn còn có thể tính góc ngoài. Giá trị của nó được tìm thấy theo cách tương tự như đối với các số liệu khác. Vì vậy, để tìm góc ngoài của đa giác đều, bạn cần biết giá trị của góc trong. Hơn nữa, chúng ta biết rằng tổng của hai góc này luôn bằng 180 độ. Do đó, ta thực hiện phép tính như sau: 180⁰ trừ đi giá trị góc trong. Chúng tôi tìm thấy sự khác biệt. Nó sẽ bằng giá trị của góc kề với nó. Ví dụ: góc trong của hình vuông là 90 độ, nghĩa là góc ngoài sẽ là 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Như chúng ta có thể thấy, nó không khó để tìm thấy. Góc ngoài có thể lấy giá trị tương ứng từ +180⁰ đến -180⁰.