Ý nghĩa hình học của hàm phản đạo hàm. Ví dụ về giải quyết vấn đề

phản đạo hàm

Sự định nghĩa hàm phản đạo hàm

Chức năng y=F(x)được gọi là nguyên hàm của hàm số y=f(x) tại một khoảng thời gian nhất định X, nếu vì mọi người X ∈Xđẳng thức xảy ra: F′(x) = f(x)

Có thể đọc theo hai cách:

f đạo hàm của hàm F
F nguyên hàm của hàm số f

Tính chất của phản dẫn xuất

Nếu như F(x)- nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng cho trước thì hàm f(x) có vô số nguyên hàm và tất cả các nguyên hàm này có thể được viết dưới dạng F(x) + C, trong đó C là hằng số tùy ý.

Giải thích hình học

Đồ thị của tất cả các nguyên hàm của một hàm số nhất định f(x) thu được từ đồ thị của một nguyên hàm bất kỳ chuyển giao song song dọc theo trục O Tại.

Quy tắc tính nguyên hàm

Nguyên hàm của tổng bằng tổng của các nguyên hàm. Nếu như F(x)- phản đạo hàm cho f(x) và G(x) là nguyên hàm của g(x), Cái đó F(x) + G(x)- phản đạo hàm cho f(x) + g(x).
hệ số nhân không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm. Nếu như F(x)- phản đạo hàm cho f(x), Và k- hằng số, sau đó k·F(x)- phản đạo hàm cho kf(x).
Nếu như F(x)- phản đạo hàm cho f(x), Và k, b- hằng số và k ≠ 0, Cái đó 1/k F(kx + b)- phản đạo hàm cho f(kx + b).

Nhớ!

Bất kỳ chức năng F(x) = x 2 + C , trong đó C là hằng số tùy ý và chỉ hàm số như vậy mới là nguyên hàm của hàm f(x) = 2x.

Ví dụ:
F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2x, bởi vì F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2x, bởi vì F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Mối quan hệ giữa đồ thị của hàm số và nguyên hàm của nó:

Nếu đồ thị của hàm số f(x)>0 F(x) tăng trong khoảng này.
Nếu đồ thị của hàm số f(x)<0 trên khoảng thì đồ thị nguyên hàm của nó F(x) giảm dần trong khoảng này.
Nếu như f(x)=0, khi đó đồ thị nguyên hàm của nó F(x) lúc này chuyển từ tăng sang giảm (hoặc ngược lại).

Để biểu thị nguyên hàm, người ta sử dụng dấu của tích phân không xác định, tức là tích phân mà không chỉ ra giới hạn tích phân.

Tích phân không xác định

Sự định nghĩa:

Tích phân bất định của hàm f(x) là biểu thức F(x) + C, tức là tập hợp tất cả các nguyên hàm của một hàm f(x) đã cho. Tích phân không xác định được ký hiệu như sau: \int f(x) dx = F(x) + C

f(x)- gọi là hàm tích phân;
f(x)dx- được gọi là tích phân;
x- gọi là biến tích phân;
F(x)- một trong các nguyên hàm của hàm f(x);
VỚI- hằng số tùy ý.

Tính chất của tích phân không xác định

Đạo hàm của tích phân không xác định bằng tích phân: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
Hệ số không đổi của số nguyên có thể được lấy ra khỏi dấu tích phân: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
Tích phân của tổng (vi phân) của các hàm bằng tổng (vi phân) của tích phân của các hàm này: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
Nếu như k, b là các hằng số và k ≠ 0 thì \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Bảng nguyên hàm và tích phân bất định

Chức năng f(x)	phản đạo hàm F(x) + C	Tích phân không xác định \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin\frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Công thức Newton–Leibniz

Cho phép f(x) chức năng này F nguyên hàm tùy ý của nó.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

Ở đâu F(x)- phản đạo hàm cho f(x)

Tức là tích phân của hàm f(x) trên một khoảng bằng hiệu của nguyên hàm tại các điểm b Và Một.

Diện tích hình thang cong

Đường cong hình thang là một hình được giới hạn bởi đồ thị của hàm số không âm và liên tục trên một khoảng f, Trục Ox và đường thẳng x = một Và x = b.

Diện tích của hình thang cong được tìm thấy bằng công thức Newton-Leibniz:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

Việc tính diện tích là cơ sở của lý thuyết diện tích. Câu hỏi đặt ra là tìm ra nó khi hình có hình dạng không đều hoặc cần phải tính toán nó thông qua tích phân.

Bài viết này nói về việc tính diện tích hình thang cong theo thuật ngữ hình học. Điều này giúp có thể xác định mối quan hệ giữa tích phân và diện tích của hình thang cong. Nếu cho hàm số f(x) và nó liên tục trên khoảng [ a ; b ] , dấu ở phía trước biểu thức không thay đổi.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Định nghĩa 1

Một hình được ký hiệu là G, được giới hạn bởi các đường thẳng có dạng y = f(x), y = 0, x = a và x = b, được gọi là hình thang cong. Nó có ký hiệu là S(G).

Chúng ta hãy nhìn vào hình dưới đây.

Để tính hình thang cong, bạn cần chia đoạn [a; b ] cho số n phần x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n với các điểm xác định tại a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b , причем дать обозначение λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n x i - x i - 1 с точками x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Необходимо выбрать так, чтобы λ → 0 при n → + ∞ , тогда фигуры, которые соответствуют нижней и верхней частям Дарбу, считаются входящей Р и объемлющей Q многоугольными фигурами для G . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Từ đây ta có P ⊂ G ⊂ Q, và với việc tăng số điểm phân vùng n, ta thu được bất đẳng thức có dạng S - s< ε , где ε является малым положительным числом, s и S являются верхними и нижними суммами Дабру из отрезка [ a ; b ] . Иначе это запишется как lim λ → 0 S - s = 0 . Значит, при обращении к понятию определенного интеграла Дарбу, получим, что lim λ → 0 S = lim λ → 0 s = S G = ∫ a b f (x) d x .

Từ đẳng thức cuối cùng, chúng ta thu được rằng tích phân xác định có dạng ∫ a b f (x) d x là diện tích của một hình thang cong cho một hàm liên tục nhất định có dạng y = f (x) . Đây là ý nghĩa hình học của tích phân xác định.

Khi tính ∫ a b f (x) d x, ta thu được diện tích của hình mong muốn, bị giới hạn bởi các đường thẳng y = f(x), y = 0, x = a và x = b.

Bình luận: Khi hàm số y = f(x) không dương trong khoảng [ a ; b ], khi đó ta thấy diện tích hình thang cong được tính dựa trên công thức S(G) = - ∫ a b f(x) d x.

Ví dụ 1

Tính diện tích của hình được giới hạn bởi các đường thẳng có dạng y = 2 · e x 3, y = 0, x = - 2, x = 3.

Giải pháp

Để giải, trước tiên cần dựng hình trên mặt phẳng có đường thẳng y = 0 trùng với O x, có các đường thẳng có dạng x = - 2 và x = 3, song song với trục o y , trong đó đường cong y = 2 e x 3 được xây dựng bằng cách sử dụng các phép biến đổi hình học của đồ thị hàm số y = e x. Hãy xây dựng một biểu đồ.

Điều này chứng tỏ cần phải tìm diện tích hình thang cong. Nhắc lại ý nghĩa hình học của tích phân, chúng ta thấy rằng diện tích mong muốn sẽ được biểu thị bằng một tích phân nhất định, tích phân này phải được giải. Điều này có nghĩa là cần áp dụng công thức S(G) = ∫ - 2 3 2 · e x 3 d x . Tích phân bất định này được tính dựa trên công thức Newton-Leibniz

S(G) = ∫ - 2 3 2 e x 3 d x = 6 e x 3 - 2 3 = 6 e 3 3 - 6 e - 2 3 = 6 e - e - 2 3

Đáp án: S(G) = 6 e - e - 2 3

Bình luận: Để tìm diện tích của một hình thang cong, không phải lúc nào cũng có thể dựng được một hình. Sau đó, giải pháp được thực hiện như sau. Cho hàm số f(x) đã biết không âm hoặc không dương trên khoảng [ a ; b ] , một công thức có dạng S G = ∫ a b f (x) d x hoặc S G = - ∫ a b f (x) d x được sử dụng.

Ví dụ 2

Tính diện tích giới hạn bởi các đường thẳng có dạng y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8), y = 0, x = - 2, x = 4.

Giải pháp

Để xây dựng hình này, chúng ta thấy y = 0 trùng với O x và x = - 2 và x = 4 song song với O y. Đồ thị của hàm số y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) = 1 3 (x + 1) 2 - 3 là một parabol có tọa độ điểm (- 1 ; 3) là đỉnh có các nhánh hướng vào trở lên. Để tìm giao điểm của parabol với O x, bạn cần tính:

1 3 (x 2 + 2 x - 8) = 0 ⇔ x 2 + 2 x - 8 = 0 D = 2 2 - 4 1 (- 8) = 36 x 1 = - 2 + 36 2 = 2 , x 2 = - 2 - 36 2 = - 4

Điều này có nghĩa là parabol cắt nhau tại các điểm (4; 0) và (2; 0). Từ đó, chúng ta nhận được rằng hình được chỉ định là G sẽ có dạng như trong hình bên dưới.

Hình này không phải là một hình thang cong, vì hàm số có dạng y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) đổi dấu trên đoạn [ - 2 ; 4]. Hình G có thể được biểu diễn dưới dạng hợp của hai hình thang cong G = G 1 ∪ G 2, dựa vào tính chất cộng diện tích, ta có S(G) = S(G 1) + S (G 2). Hãy xem xét biểu đồ dưới đây.

Đoạn [ - 2 ; 4 ] được coi là diện tích không âm của parabol, từ đó ta thu được diện tích này sẽ có dạng S G 2 = ∫ 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x . Đoạn [ - 2 ; 2 ] không dương đối với hàm số có dạng y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8), nghĩa là, dựa trên ý nghĩa hình học của tích phân xác định, ta thu được S (G 1) = - ∫ - 2 2 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x . Cần phải thực hiện các phép tính bằng công thức Newton-Leibniz. Khi đó tích phân xác định sẽ có dạng:

S(G) = S(G 1) + S(G 2) = - ∫ - 2 2 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x + ∫ 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x = = - 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x - 2 2 + 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x 2 4 = = - 1 3 2 3 3 + 2 2 - 8 2 - - 2 3 3 + (- 2) 2 - 8 · (- 2) + + 1 3 4 3 3 + 4 3 - 8 · 4 - 2 3 3 + 2 2 - 8 · 2 = = - 1 3 8 3 - 12 + 8 3 - 20 + 1 3 64 3 - 16 - 8 3 + 12 = 124 9

Điều đáng chú ý là việc tìm diện tích không đúng theo nguyên tắc S(G) = ∫ - 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x = 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x - 2 4 = = 1 3 4 3 3 + 4 3 - 8 4 - - 2 3 3 + - 2 2 - 8 - 2 = 1 3 64 3 - 16 + 8 3 - 20 = - 4

Vì số kết quả là âm và biểu thị hiệu S (G 2) - S (G 1).

Đáp án: S(G) = S(G 1) + S(G 2) = 124 9

Nếu các hình bị giới hạn bởi các đường thẳng có dạng y = c, y = d, x = 0 và x = g (y) và hàm số bằng x = g (y) và liên tục và có dấu không đổi trên khoảng [ c; d ], thì chúng được gọi là tarpezium có đường cong. Hãy xem xét trong hình bên dưới.

Định nghĩa 2

∫ c d g(y)d y là giá trị của nó là diện tích của hình thang cong cho hàm số liên tục và không âm có dạng x = g(y) nằm trên khoảng [ c ; d] .

Ví dụ 3

Tính hình bị giới hạn bởi trục tọa độ và các đường thẳng x = 4 ln y y + 3, y = 1, y = 4.

Giải pháp

Vẽ đồ thị x = 4 ln y y + 3 không phải là điều dễ dàng. Vì vậy cần phải giải mà không cần vẽ hình. Hãy nhớ lại rằng hàm được xác định cho tất cả các giá trị dương của y. Hãy xem xét các giá trị hàm có sẵn trên khoảng [ 1 ; 4]. Từ các tính chất của hàm cơ bản, chúng ta biết rằng hàm logarit tăng trên toàn bộ phạm vi định nghĩa. Thì không phải đoạn [ 1 ; 4 ] là không âm. Điều này có nghĩa là ln y ≥ 0. Biểu thức hiện có ln y y , được xác định trên cùng một phân đoạn, là không âm. Chúng ta có thể kết luận rằng hàm x = 4 ln y y + 3 dương trên khoảng bằng [ 1 ; 4]. Chúng tôi thấy rằng con số trên khoảng này là dương. Khi đó, diện tích của nó phải được tính bằng công thức S (G) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 d y .

Cần phải tính tích phân không xác định. Để làm điều này, bạn cần tìm nguyên hàm của hàm x = 4 ln y y + 3 và áp dụng công thức Newton-Leibniz. Chúng tôi hiểu điều đó

∫ 4 ln y y + 3 d y = 4 ∫ ln y y d y + 3 ∫ d y = 4 ∫ ln y d (ln y) + 3 y = = 4 ln 2 y 2 + 3 y + C = 2 ln 2 y + 3 y + C ⇒ S (G) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 d y = 2 ln 2 + y + 3 y 1 4 = = 2 ln 2 4 + 3 4 - (2 ln 2 1 + 3 1) = 8 ln 2 2 + 9

Hãy xem xét bản vẽ dưới đây.

Đáp án: S(G) = 8 ln 2 2 + 9

Kết quả

Trong bài viết này, chúng tôi đã xác định ý nghĩa hình học của tích phân xác định và nghiên cứu mối quan hệ với diện tích của một hình thang cong. Theo đó, chúng ta có cơ hội tính diện tích của các hình phức bằng cách tính tích phân cho hình thang cong. Trong phần tìm diện tích và hình được giới hạn bởi các đường thẳng y = f(x), x = g(y), những ví dụ này sẽ được thảo luận chi tiết.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Hàm phản đạo hàm và tích phân không xác định

Sự thật 1. Tích phân là hành động nghịch đảo của vi phân, cụ thể là khôi phục một hàm từ đạo hàm đã biết của hàm này. Chức năng do đó được phục hồi F(x) được gọi là phản đạo hàm cho chức năng f(x).

Định nghĩa 1. Chức năng F(x f(x) trên một khoảng nào đó X, nếu với mọi giá trị x từ khoảng này đẳng thức giữ nguyên F "(x)=f(x), tức là hàm này f(x) là đạo hàm của hàm phản đạo hàm F(x). .

Ví dụ, chức năng F(x) = tội lỗi x là nguyên hàm của hàm f(x) = cos x trên toàn bộ trục số, vì với mọi giá trị của x (tội lỗi x)" = (cos x) .

Định nghĩa 2. Tích phân không xác định của hàm số f(x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của nó. Trong trường hợp này, ký hiệu được sử dụng

∫

f(x)dx

biển hiệu ở đâu ∫ gọi là dấu tích phân, hàm số f(x) – hàm tích phân, và f(x)dx - biểu thức tích phân.

Như vậy, nếu F(x) – một số nguyên hàm của f(x) , Cái đó

∫

f(x)dx = F(x) +C

Ở đâu C - hằng số tùy ý (không đổi).

Để hiểu ý nghĩa của tập hợp nguyên hàm của một hàm số là tích phân không xác định, phép loại suy sau đây là phù hợp. Hãy có một cánh cửa (cửa gỗ truyền thống). Chức năng của nó là “là một cánh cửa”. Cánh cửa được làm bằng gì? Làm bằng gỗ. Điều này có nghĩa là tập hợp nguyên hàm của tích phân của hàm “là một cánh cửa”, tức là tích phân bất định của nó, là hàm “là một cây + C”, trong đó C là một hằng số, trong ngữ cảnh này có thể biểu thị, ví dụ, loại cây. Giống như một cánh cửa được làm từ gỗ bằng cách sử dụng một số công cụ, một đạo hàm của một hàm số được “tạo ra” từ một hàm số phản đạo hàm bằng cách sử dụng các công thức chúng ta đã học khi nghiên cứu đạo hàm.

Khi đó, bảng chức năng của các đồ vật thông thường và các nguyên hàm tương ứng của chúng (“là một cánh cửa” - “là một cái cây”, “là một cái thìa” - “là kim loại”, v.v.) tương tự như bảng cơ bản tích phân không xác định sẽ được đưa ra dưới đây. Bảng tích phân bất định liệt kê các hàm phổ biến, chỉ ra các nguyên hàm mà từ đó các hàm này được “tạo ra”. Trong một phần của bài toán tìm tích phân không xác định, các số nguyên được cho có thể tích phân trực tiếp mà không cần nỗ lực nhiều, tức là sử dụng bảng tích phân không xác định. Trong các bài toán phức tạp hơn, số nguyên trước tiên phải được biến đổi để có thể sử dụng được tích phân bảng.

Sự thật 2. Khi khôi phục hàm số dưới dạng nguyên hàm, chúng ta phải tính đến một hằng số tùy ý (hằng số) C, và để không viết danh sách nguyên hàm với các hằng số khác nhau từ 1 đến vô cùng, bạn cần viết một tập hợp nguyên hàm với hằng số tùy ý C, ví dụ như thế này: 5 x³+C. Vì vậy, một hằng số tùy ý (hằng số) được đưa vào biểu thức của nguyên hàm, vì nguyên hàm có thể là một hàm, ví dụ: 5 x³+4 hoặc 5 x³+3 và khi vi phân, 4 hoặc 3 hoặc bất kỳ hằng số nào khác sẽ bằng 0.

Chúng ta hãy đặt ra bài toán tích phân: với hàm này f(x) tìm một chức năng như vậy F(x), đạo hàm của ai bằng f(x).

Ví dụ 1. Tìm tập hợp nguyên hàm của hàm số

Giải pháp. Đối với hàm số này, nguyên hàm là hàm

Chức năng F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x), nếu đạo hàm F(x) bằng f(x), hoặc cũng tương tự như vậy, vi phân F(x) bằng f(x) dx, tức là

(2)

Do đó, hàm số là nguyên hàm của hàm số. Tuy nhiên, nó không phải là nguyên hàm duy nhất của . Chúng cũng đóng vai trò là chức năng

Ở đâu VỚI– hằng số tùy ý. Điều này có thể được xác minh bằng sự khác biệt.

Vì vậy, nếu có một nguyên hàm cho một hàm số thì đối với nó có vô số nguyên hàm khác nhau một số hạng không đổi. Tất cả các nguyên hàm của một hàm số đều được viết dưới dạng trên. Điều này suy ra từ định lý sau.

Định lý (tuyên bố chính thức của thực tế 2). Nếu như F(x) – nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng nào đó X, sau đó bất kỳ nguyên hàm nào khác cho f(x) trên cùng một khoảng có thể được biểu diễn dưới dạng F(x) + C, Ở đâu VỚI– hằng số tùy ý.

Trong ví dụ tiếp theo, chúng ta chuyển sang bảng tích phân, sẽ được đưa ra trong đoạn 3, sau các tính chất của tích phân không xác định. Chúng tôi làm điều này trước khi đọc toàn bộ bảng để hiểu rõ bản chất của những điều trên. Và sau bảng và thuộc tính, chúng ta sẽ sử dụng toàn bộ chúng trong quá trình tích hợp.

Ví dụ 2. Tìm tập hợp hàm nguyên hàm:

Giải pháp. Chúng ta tìm thấy tập hợp các hàm phản đạo hàm mà từ đó các hàm này được “tạo ra”. Khi đề cập đến các công thức từ bảng tích phân, bây giờ chỉ cần chấp nhận rằng có những công thức như vậy ở đó và chúng ta sẽ nghiên cứu bảng tích phân không xác định xa hơn một chút.

1) Áp dụng công thức (7) từ bảng tích phân cho N= 3, chúng tôi nhận được

2) Sử dụng công thức (10) từ bảng tích phân để tính N= 1/3, ta có

3) Vì

thì theo công thức (7) với N= -1/4 ta tìm được

Bản thân hàm số không được viết dưới dấu tích phân. f, và tích của nó bằng vi phân dx. Điều này được thực hiện chủ yếu để chỉ ra biến nào mà nguyên hàm được tìm kiếm. Ví dụ,

, ;

ở đây trong cả hai trường hợp, tích phân đều bằng , nhưng tích phân không xác định của nó trong các trường hợp được xem xét lại khác nhau. Trong trường hợp đầu tiên, hàm này được coi là hàm của biến x và trong phần thứ hai - là một hàm của z .

Quá trình tìm tích phân không xác định của một hàm được gọi là tích phân hàm đó.

Ý nghĩa hình học của tích phân không xác định

Giả sử chúng ta cần tìm một đường cong y=F(x) và chúng ta đã biết rằng tiếp tuyến của góc tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó là một hàm cho trước f(x) abscissa của điểm này.

Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm, tiếp tuyến của góc nghiêng của tiếp tuyến tại một điểm cho trước của đường cong y=F(x) bằng giá trị đạo hàm F"(x). Vì vậy chúng ta cần tìm một hàm như vậy F(x), mà F"(x)=f(x). Chức năng cần có trong nhiệm vụ F(x) là một nguyên hàm của f(x). Các điều kiện của bài toán được thỏa mãn không phải bởi một đường cong mà bởi một họ đường cong. y=F(x)- một trong những đường cong như vậy và bất kỳ đường cong nào khác có thể thu được từ nó bằng cách dịch song song dọc theo trục Ôi.

Hãy gọi đồ thị của hàm nguyên hàm của f(x)đường cong tích phân. Nếu như F"(x)=f(x), thì đồ thị của hàm số y=F(x) có một đường cong tích phân.

Sự thật 3. Tích phân không xác định được biểu diễn về mặt hình học bởi họ tất cả các đường cong tích phân , như trong hình dưới đây. Khoảng cách của mỗi đường cong từ gốc tọa độ được xác định bằng hằng số tích phân tùy ý C.

Tính chất của tích phân không xác định

Sự thật 4. Định lý 1. Đạo hàm của một tích phân không xác định bằng tích phân và vi phân của nó bằng tích phân.

Định lý 5. Định lý 2. Tích phân không xác định của vi phân của hàm số f(x) bằng hàm f(x) cho đến một số hạng không đổi , tức là

(3)

Định lý 1 và 2 cho thấy vi phân và tích phân là các phép toán nghịch đảo lẫn nhau.

Sự kiện 6. Định lý 3. Hệ số hằng số trong tích phân có thể được rút ra khỏi dấu của tích phân bất định , tức là

Bài học này là bài học đầu tiên trong loạt video về tích hợp. Trong đó, chúng ta sẽ phân tích thế nào là nguyên hàm của một hàm số, đồng thời nghiên cứu các phương pháp cơ bản để tính các nguyên hàm này.

Trên thực tế, không có gì phức tạp ở đây: về cơ bản, tất cả đều bắt nguồn từ khái niệm đạo hàm mà bạn hẳn đã quen thuộc.

Tôi sẽ lưu ý ngay rằng vì đây là bài học đầu tiên trong chủ đề mới của chúng ta nên hôm nay sẽ không có các phép tính và công thức phức tạp, nhưng những gì chúng ta học hôm nay sẽ tạo cơ sở cho các phép tính và cách xây dựng phức tạp hơn nhiều khi tính tích phân và diện tích phức tạp .

Ngoài ra, khi bắt đầu nghiên cứu tích phân và tích phân nói riêng, chúng tôi ngầm cho rằng học sinh ít nhất đã quen thuộc với các khái niệm đạo hàm và ít nhất có các kỹ năng cơ bản trong việc tính toán chúng. Nếu không hiểu rõ điều này thì hoàn toàn không thể làm được gì trong hội nhập.

Tuy nhiên, đây là một trong những vấn đề phổ biến và nguy hiểm nhất. Thực tế là, khi bắt đầu tính nguyên hàm lần đầu tiên, nhiều học sinh nhầm lẫn chúng với đạo hàm. Kết quả là mắc phải những sai lầm ngu ngốc và xúc phạm trong các kỳ thi và làm việc độc lập.

Vì vậy, bây giờ tôi sẽ không đưa ra một định nghĩa rõ ràng về nguyên hàm. Đổi lại, tôi khuyên bạn nên xem cách tính nó bằng một ví dụ cụ thể đơn giản.

Nguyên hàm là gì và nó được tính như thế nào?

Chúng tôi biết công thức này:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Đạo hàm này được tính đơn giản:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Chúng ta hãy xem xét cẩn thận biểu thức kết quả và thể hiện $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Nhưng chúng ta có thể viết nó theo cách này, theo định nghĩa của đạo hàm:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

Và bây giờ chú ý: những gì chúng ta vừa viết ra là định nghĩa của nguyên hàm. Nhưng để viết chính xác, bạn cần viết như sau:

Chúng ta hãy viết biểu thức sau theo cách tương tự:

Nếu chúng ta khái quát quy tắc này, chúng ta có thể rút ra công thức sau:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Bây giờ chúng ta có thể đưa ra một định nghĩa rõ ràng.

Nguyên hàm của một hàm số là hàm số có đạo hàm bằng hàm số ban đầu.

Các câu hỏi về hàm phản đạo hàm

Nó có vẻ là một định nghĩa khá đơn giản và dễ hiểu. Tuy nhiên, khi nghe nó, người học sinh chăm chú sẽ ngay lập tức có một số câu hỏi:

Hãy nói rằng, được rồi, công thức này đúng. Tuy nhiên, trong trường hợp này, với $n=1$, chúng ta gặp vấn đề: “zero” xuất hiện ở mẫu số và chúng ta không thể chia cho “zero”.
Công thức chỉ giới hạn ở mức độ. Cách tính nguyên hàm, ví dụ, của sin, cos và bất kỳ lượng giác nào khác, cũng như các hằng số.
Câu hỏi hiện sinh: có phải luôn luôn tìm được nguyên hàm? Nếu có, vậy còn nguyên hàm của tổng, hiệu, tích, v.v. thì sao?

Tôi sẽ trả lời câu hỏi cuối cùng ngay. Thật không may, nguyên hàm, không giống như đạo hàm, không phải lúc nào cũng được xem xét. Không có công thức chung nào mà từ bất kỳ cách xây dựng ban đầu nào chúng ta sẽ thu được một hàm bằng với cách xây dựng tương tự này. Về lũy thừa và hằng số, chúng ta sẽ nói về điều đó ngay bây giờ.

Giải quyết vấn đề với chức năng quyền lực

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Như bạn có thể thấy, công thức này cho $((x)^(-1))$ không hoạt động. Câu hỏi đặt ra: thế thì điều gì có tác dụng? Chúng ta không thể đếm $((x)^(-1))$ sao? Tất nhiên là chúng tôi có thể. Đầu tiên chúng ta hãy nhớ điều này:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Bây giờ chúng ta hãy nghĩ: đạo hàm của hàm số nào bằng $\frac(1)(x)$. Rõ ràng, bất kỳ học sinh nào đã nghiên cứu chủ đề này ít nhất một chút sẽ nhớ rằng biểu thức này bằng đạo hàm của logarit tự nhiên:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Vì vậy, chúng ta có thể tự tin viết như sau:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Bạn cần biết công thức này, giống như đạo hàm của hàm lũy thừa.

Vì vậy, những gì chúng ta biết cho đến nay:

Đối với hàm lũy thừa - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
Đối với một hằng số - $=const\to \cdot x$
Trường hợp đặc biệt của hàm lũy thừa là $\frac(1)(x)\to \ln x$

Và nếu chúng ta bắt đầu nhân và chia các hàm số đơn giản nhất thì làm thế nào chúng ta có thể tính được nguyên hàm của tích hoặc thương. Thật không may, sự tương tự với đạo hàm của tích hoặc thương không có tác dụng ở đây. Không có công thức chuẩn. Đối với một số trường hợp, có những công thức đặc biệt phức tạp - chúng ta sẽ làm quen với chúng trong các bài học video sau.

Tuy nhiên, hãy nhớ rằng: không có công thức chung nào giống công thức tính đạo hàm của thương và tích.

Giải quyết các vấn đề thực tế

Nhiệm vụ số 1

Hãy tính riêng từng hàm công suất:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Quay trở lại biểu thức của chúng tôi, chúng tôi viết cách xây dựng chung:

Vấn đề số 2

Như tôi đã nói, nguyên mẫu của tác phẩm và các chi tiết “đến mức” không được xem xét. Tuy nhiên, ở đây bạn có thể làm như sau:

Chúng ta chia phân số thành tổng của hai phân số.

Hãy làm phép tính:

Tin vui là khi biết các công thức tính nguyên hàm, bạn đã có thể tính được các cấu trúc phức tạp hơn. Tuy nhiên, chúng ta hãy đi xa hơn và mở rộng kiến thức của chúng ta thêm một chút. Thực tế là nhiều công trình và biểu thức, thoạt nhìn, không liên quan gì đến $((x)^(n))$, có thể được biểu diễn dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, cụ thể là:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Tất cả những kỹ thuật này có thể và nên được kết hợp. Biểu thức sức mạnh có thể được

nhân (cộng độ);
chia (độ được trừ);
nhân với một hằng số;
vân vân.

Giải biểu thức lũy thừa bằng số mũ hữu tỉ

Ví dụ số 1

Hãy tính toán từng gốc riêng biệt:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Tổng cộng, toàn bộ công trình của chúng ta có thể được viết như sau:

Ví dụ số 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Vì vậy chúng tôi nhận được:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Tổng cộng, thu thập mọi thứ vào một biểu thức, chúng ta có thể viết:

Ví dụ số 3

Để bắt đầu, chúng tôi lưu ý rằng chúng tôi đã tính toán $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Hãy viết lại:

Tôi hy vọng mình sẽ không làm ai ngạc nhiên nếu nói rằng những gì chúng ta vừa nghiên cứu chỉ là những phép tính nguyên hàm đơn giản nhất, những cách xây dựng cơ bản nhất. Bây giờ chúng ta hãy xem xét các ví dụ phức tạp hơn một chút, trong đó, ngoài các nguyên hàm dạng bảng, bạn cũng cần nhớ chương trình giảng dạy ở trường, cụ thể là các công thức nhân viết tắt.

Giải các ví dụ phức tạp hơn

Nhiệm vụ số 1

Chúng ta hãy nhớ lại công thức tính hiệu bình phương:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Hãy viết lại chức năng của chúng tôi:

Bây giờ chúng ta phải tìm nguyên mẫu của hàm như vậy:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Hãy đặt mọi thứ lại với nhau thành một thiết kế chung:

Vấn đề số 2

Trong trường hợp này, chúng ta cần mở rộng khối sai phân. Chúng ta hãy nhớ:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Khi tính đến thực tế này, chúng ta có thể viết nó như thế này:

Hãy biến đổi hàm của chúng ta một chút:

Chúng tôi tính như mọi khi - cho từng học kỳ riêng biệt:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\to \ln x\]

Hãy để chúng tôi viết kết quả xây dựng:

Vấn đề số 3

Ở trên cùng chúng ta có bình phương của tổng, hãy mở rộng nó:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Hãy viết giải pháp cuối cùng:

Bây giờ hãy chú ý! Một điều rất quan trọng gắn liền với sự chia sẻ sai lầm và hiểu lầm của sư tử. Thực tế là cho đến nay, khi tính nguyên hàm bằng cách sử dụng đạo hàm và đưa ra các phép biến đổi, chúng ta vẫn chưa nghĩ đến đạo hàm của một hằng số bằng bao nhiêu. Nhưng đạo hàm của một hằng số thì bằng “không”. Điều này có nghĩa là bạn có thể viết các tùy chọn sau:

$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Điều này rất quan trọng cần hiểu: nếu đạo hàm của một hàm luôn bằng nhau thì hàm đó có vô số nguyên hàm. Chúng ta có thể chỉ cần thêm bất kỳ số không đổi nào vào nguyên hàm của mình và nhận được số mới.

Không phải ngẫu nhiên mà trong lời giải các bài toán chúng ta vừa giải đều có viết “Viết dạng tổng quát của nguyên hàm”. Những thứ kia. Người ta đã giả định trước rằng không phải một ai trong số họ mà là cả vô số. Nhưng trên thực tế, chúng chỉ khác nhau ở hằng số $C$ ở cuối. Vì vậy, trong nhiệm vụ của mình, chúng tôi sẽ sửa chữa những gì chúng tôi chưa hoàn thành.

Một lần nữa chúng ta viết lại công trình của mình:

Trong những trường hợp như vậy, bạn nên thêm $C$ là một hằng số - $C=const$.

Trong hàm thứ hai, chúng ta có được cấu trúc sau:

Và cái cuối cùng:

Và bây giờ chúng tôi thực sự đã có được những gì chúng tôi yêu cầu trong tình trạng ban đầu của vấn đề.

Giải bài toán tìm nguyên hàm với một điểm cho trước

Bây giờ chúng ta đã biết về các hằng số và đặc thù của việc viết nguyên hàm, khá hợp lý là loại vấn đề sau đây phát sinh, khi từ tập hợp tất cả các nguyên hàm cần tìm một và chỉ một nguyên hàm đi qua một điểm cho trước. Nhiệm vụ này là gì?

Thực tế là tất cả các nguyên hàm của một hàm nhất định chỉ khác nhau ở chỗ chúng dịch chuyển theo chiều dọc một số nhất định. Và điều này có nghĩa là cho dù chúng ta lấy điểm nào trên mặt phẳng tọa độ, một nguyên hàm chắc chắn sẽ vượt qua, và hơn nữa, chỉ có một.

Vì vậy, các bài toán mà chúng ta sẽ giải quyết bây giờ được phát biểu như sau: không chỉ tìm nguyên hàm, biết công thức của hàm ban đầu mà còn chọn chính xác hàm đi qua điểm đã cho, tọa độ của nó sẽ được cho trong bài toán tuyên bố.

Ví dụ số 1

Để bắt đầu, chúng ta hãy đếm từng số hạng:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Bây giờ chúng tôi thay thế các biểu thức này vào công trình của mình:

Hàm này phải đi qua điểm $M\left(-1;4 \right)$. Việc nó đi qua một điểm có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là nếu thay vì $x$ chúng ta đặt $-1$ ở mọi nơi, và thay vì $F\left(x \right)$ - $-4$, thì chúng ta sẽ có được đẳng thức số chính xác. Hãy làm điều này:

Chúng ta thấy rằng chúng ta có một phương trình cho $C$, vì vậy hãy thử giải nó:

Hãy viết ra giải pháp mà chúng tôi đang tìm kiếm:

Ví dụ số 2

Trước hết, cần bộc lộ bình phương của hiệu bằng công thức nhân rút gọn:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Cấu trúc ban đầu sẽ được viết như sau:

Bây giờ hãy tìm $C$: thay tọa độ của điểm $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Chúng tôi thể hiện $C$:

Nó vẫn còn để hiển thị biểu thức cuối cùng:

Giải các bài toán lượng giác

Để hoàn thiện điều chúng ta vừa thảo luận, tôi đề xuất xem xét hai vấn đề phức tạp hơn liên quan đến lượng giác. Trong đó, theo cách tương tự, bạn sẽ cần tìm nguyên hàm cho tất cả các hàm, sau đó chọn từ bộ này hàm duy nhất đi qua điểm $M$ trên mặt phẳng tọa độ.

Nhìn về phía trước, tôi muốn lưu ý rằng kỹ thuật mà bây giờ chúng ta sẽ sử dụng để tìm nguyên hàm của các hàm lượng giác, trên thực tế, là một kỹ thuật phổ biến để tự kiểm tra.

Nhiệm vụ số 1

Chúng ta hãy nhớ công thức sau:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Dựa trên điều này, chúng ta có thể viết:

Hãy thay tọa độ của điểm $M$ vào biểu thức của chúng ta:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Hãy viết lại biểu thức có tính đến thực tế này:

Vấn đề số 2

Điều này sẽ khó khăn hơn một chút. Bây giờ bạn sẽ thấy tại sao.

Chúng ta hãy nhớ công thức này:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Để thoát khỏi điểm trừ, bạn cần làm như sau:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Đây là thiết kế của chúng tôi

Hãy thay tọa độ của điểm $M$:

Tổng cộng, chúng tôi viết ra công trình cuối cùng:

Đó là tất cả những gì tôi muốn nói với bạn về ngày hôm nay. Chúng ta đã nghiên cứu thuật ngữ nguyên hàm, cách tính chúng từ các hàm cơ bản, cũng như cách tìm nguyên hàm đi qua một điểm cụ thể trên mặt phẳng tọa độ.

Tôi hy vọng bài học này sẽ giúp bạn hiểu được chủ đề phức tạp này ít nhất một chút. Trong mọi trường hợp, trên nguyên hàm, các tích phân không xác định và không xác định được xây dựng nên việc tính toán chúng là hoàn toàn cần thiết. Đó là tất cả đối với tôi. Hẹn gặp lại!