Tôi cần tạo một điểm ngẫu nhiên thống nhất trong vòng tròn bán kính R.
Tôi hiểu điều đó bằng cách chỉ cần chọn một góc ngẫu nhiên thống nhất trong khoảng, đưa ra khoảng cách từ tâm. Tam giác của chúng ta là một dải mỏng nên AB và BC về cơ bản là song song. Vì vậy, điểm Z chỉ đơn giản là khoảng cách x + y tính từ gốc tọa độ. Nếu x + y > R chúng tôi loại bỏ nó trở lại.
Đây là thuật toán hoàn chỉnh cho R = 1. Tôi hy vọng bạn thấy nó khá đơn giản. Nó sử dụng một trình kích hoạt, nhưng bạn có thể đưa ra sự đảm bảo về thời gian thực hiện và số lượng ngẫu nhiên() cần thiết, trái ngược với mẫu từ chối.
T = 2*pi*random() u = ngẫu nhiên()+random() r = nếu u>1 thì 2-u nếu không thì u
Đây là trong Mathematica.
F := Chặn[(u, t, r), u = Ngẫu nhiên + Ngẫu nhiên; t = Ngẫu nhiên 2 Pi; r = Nếu; (r Cos[t], r Sin[t]) ] ListPlot, AspectRatio -> Tự động]
Đây là một giải pháp nhanh chóng và dễ dàng.
Chọn hai số ngẫu nhiên trong khoảng (0, 1), đó là a và b. Nếu b< a , замените их. Ваша точка (b*R*cos(2*pi*a/b), b*R*sin(2*pi*a/b)) .
Bạn có thể nghĩ về giải pháp này theo cách sau. Nếu bạn lấy một hình tròn, cắt nó rồi làm thẳng nó, bạn sẽ có được một hình tam giác vuông. Thu nhỏ hình tam giác xuống và bạn sẽ có một hình tam giác từ (0, 0) đến (1, 0) đến (1, 1) và quay lại (0, 0). Tất cả các phép biến đổi này làm thay đổi mật độ một cách đồng đều. Những gì bạn đã làm là chọn một điểm ngẫu nhiên trong tam giác một cách thống nhất và đảo ngược quá trình để lấy một điểm trong vòng tròn.
Lưu ý rằng mật độ điểm tỷ lệ với bình phương nghịch đảo của bán kính, vì vậy thay vì chọn r từ , hãy chọn từ , sau đó tính tọa độ của bạn như sau:
X = sqrt(r) * cos(góc) y = sqrt(r) * sin(góc)
Điều này sẽ cung cấp cho bạn sự phân bổ đồng đều các điểm trên đĩa.
Nghĩ theo cách này. Nếu bạn có một hình chữ nhật trong đó một trục là bán kính và một trục là góc, và bạn lấy các điểm bên trong hình chữ nhật đó gần với bán kính 0. Tất cả chúng sẽ rất gần với gốc tọa độ (gần với hình tròn). Tuy nhiên, những điểm gần bán kính R sẽ đều nằm gần mép đường tròn (tức là cách xa nhau).
Điều này có thể giúp bạn hiểu rõ hơn lý do tại sao bạn lại có hành vi này.
Tiền đề cơ bản là bạn có thể tạo một biến có phân bố mong muốn từ một biến đều bằng cách khớp nghịch đảo đều của hàm phân phối tích lũy với hàm mật độ xác suất mong muốn. Để làm gì? Cứ coi đó là điều đương nhiên, nhưng đó là sự thật.
Đây là lời giải thích hơi trực quan của tôi về toán học. Hàm mật độ f(r) đối với r phải tỷ lệ với chính r. Hiểu thực tế này là một phần của bất kỳ cuốn sách tính toán cơ bản nào. Xem phần về các yếu tố cực. Một số áp phích khác đã đề cập đến điều này.
Vì vậy, hãy gọi nó là f(r) = C * r;
Điều này hóa ra là một phần lớn của công việc. Bây giờ, vì f(r) phải là mật độ xác suất, nên dễ dàng thấy rằng việc tích phân f(r) trên khoảng (0, R) bạn sẽ có C = 2/R^2 (đây là bài tập dành cho người đọc .)
Vậy f(r) = 2 * r/R^2
Sau đó, phần cuối cùng đến từ biến ngẫu nhiên thống nhất u trong (0,1), mà bạn phải ánh xạ tới nghịch đảo của hàm phân phối tích lũy của mật độ yêu cầu f(r). Để hiểu lý do tại sao lại như vậy, bạn cần tìm một văn bản xác suất nâng cao như Papulis (hoặc tự mình lấy một văn bản).
Tích phân f(r) bạn nhận được F(r) = r^2/R^2
Để tìm hàm nghịch đảo của cái này, bạn đưa ra u = r^2/R^2 rồi giải tìm r, kết quả là r = R * sqrt(u)
Điều này cũng có ý nghĩa về mặt trực quan, u=0 sẽ ánh xạ tới r=0. Ngoài ra, u=1 shoudl ánh xạ tới r=R. Ngoài ra, chính hàm căn bậc hai có ý nghĩa và khớp với liên kết.
Lý do giải pháp ngây thơ không hiệu quả là vì nó mang lại mật độ xác suất cao hơn cho các điểm gần tâm vòng tròn hơn. Nói cách khác, một hình tròn có bán kính r/2 có xác suất r/2 để lấy được điểm được chọn trong đó, nhưng có diện tích (số điểm) pi * r^2/4.
Vì vậy, chúng ta muốn mật độ xác suất bán kính có đặc tính sau:
Xác suất chọn được bán kính nhỏ hơn hoặc bằng r cho trước phải tỷ lệ thuận với diện tích hình tròn có bán kính r. (vì chúng tôi muốn có sự phân bổ đồng đều giữa các điểm và diện tích lớn hơn có nghĩa là nhiều điểm hơn)
Nói cách khác, chúng ta muốn xác suất chọn bán kính ở giữa bằng tỷ số của nó trên tổng diện tích hình tròn. Tổng diện tích của hình tròn là pi * R^2 và diện tích của hình tròn có bán kính r là pi * r^2. Vì vậy, chúng tôi muốn xác suất chọn bán kính nằm giữa là (pi * r^ 2)/(pi * R^2 ) = r^2/R^2.
Bây giờ đến phần toán:
Xác suất chọn bán kính ở giữa là tích phân của p(r)dr từ 0 đến r (điều này chỉ vì chúng ta đang cộng tất cả các xác suất của bán kính nhỏ hơn). Vì vậy, chúng ta muốn tích phân (p(r)dr) = r^2/R^2. Chúng ta có thể thấy rõ rằng R^2 là một hằng số, vì vậy chúng ta chỉ cần tìm ra giá trị nào của p(r), khi tích phân sẽ cho chúng tôi một cái gì đó như r^2. Câu trả lời rõ ràng là r* không đổi. tích phân (r * const dr) = r ^ 2/2 * hằng số. Giá trị này phải bằng r^2/R^2, do đó hằng số = 2/R^2. Vậy bạn có phân bố xác suất p(r) = r*2/R^2
Ghi chú. Một cách trực quan khác để suy nghĩ về vấn đề là hãy tưởng tượng rằng bạn đang cố gắng gán cho mỗi vòng tròn một bán kính xác suất xác suất bằng một tỷ lệ bằng số điểm mà nó có trên chiều dài chu vi của nó. Vì vậy, một hình tròn có bán kính r sẽ có 2 * pi * r "điểm" dọc theo chu vi của nó. Tổng số điểm là pi * R^2. Vì vậy, bạn nên cho vòng tròn r xác suất bằng (2 * pi * r)/(pi * R^2) = 2 * r/R^2. Cách này dễ hơn nhiều hiểu và trực quan hơn, nhưng nó không lành mạnh về mặt toán học.
Nó thực sự phụ thuộc vào ý bạn là "ngẫu nhiên thống nhất". Đây là một điểm hay và bạn có thể đọc thêm về nó trên trang wiki tại đây: http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_%28probability%29, trong đó cùng một vấn đề đưa ra các cách hiểu khác nhau về "ngẫu nhiên thống nhất" sẽ mang lại câu trả lời khác nhau!
Tùy thuộc vào cách bạn chọn điểm, sự phân bố có thể thay đổi, mặc dù nó có phần đồng nhất.
Mục blog dường như đang cố gắng làm cho nó ngẫu nhiên thống nhất theo nghĩa sau: nếu bạn lấy một vòng tròn con của một vòng tròn có cùng tâm, thì xác suất một điểm rơi vào vùng đó tỷ lệ thuận với diện tích của vùng đó . Tôi tin rằng điều này cố gắng tuân theo cách giải thích "ngẫu nhiên thống nhất" tiêu chuẩn hiện nay cho các vùng 2D với các vùng được xác định trên chúng: xác suất một điểm rơi vào bất kỳ vùng nào (với một vùng được xác định rõ) tỷ lệ thuận với diện tích của khu vực đó.
Đây là mã Python của tôi để tạo num điểm ngẫu nhiên từ một vòng tròn bán kính rad:
Nhập matplotlib.pyplot dưới dạng plt nhập numpy dưới dạng np rad = 10 num = 1000 t = np.random.uniform(0.0, 2.0*np.pi, num) r = rad * np.sqrt(np.random.uniform(0.0, 1.0, num)) x = r * np.cos(t) y = r * np.sin(t) plt.plot(x, y, "ro", ms=1) plt.axis([-15, 15 , -15, 15]) plt.show()
Cho ρ (bán kính) và φ (góc phương vị) là hai biến ngẫu nhiên tương ứng với tọa độ cực của một điểm tùy ý bên trong đường tròn. Nếu các điểm được phân bố đều thì hàm phân bố của các hàm ρ và φ là gì?
Với mọi r: 0 P[ρ Trong đó S1 và S0 lần lượt là diện tích hình tròn có bán kính r và R. Vì vậy CDF có thể được chỉ định là: 0 nếu r<=0
CDF = (r/R)**2 if 0 < r <= R
1 if r >R PDF = d/dr(CDF) = 2 * (r/R**2) (0< r <= R).
Lưu ý rằng với R = 1 biến ngẫu nhiên sqrt(X), trong đó X đồng nhất trên = P = y * * 2 tại 0 Sự phân bố của φ rõ ràng là đồng đều từ 0 đến 2 * π. Bây giờ bạn có thể tạo tọa độ cực ngẫu nhiên và chuyển đổi chúng sang Descartes bằng phương trình lượng giác: X = ρ * cos(φ) y = ρ * sin(φ) Không thể cưỡng lại việc đăng mã python cho R=1. Từ matplotlib import pyplot as plt import numpy as np rho = np.sqrt(np.random.uniform(0, 1, 5000)) phi = np.random.uniform(0, 2*np.pi, 5000) x = rho * np.cos(phi) y = rho * np.sin(phi) plt.scatter(x, y, s = 4) Bạn sẽ nhận được Ví dụ về giải pháp và lan truyền Java (2000 điểm) Công khai void getRandomPointInCircle() ( double t = 2 * Math.PI * Math.random(); double r = Math.sqrt(Math.random()); double x = r * Math.cos(t); double y = r * Math.sin(t); System.out.println(x); System.out.println(y); ) Đầu tiên chúng ta sẽ tạo cdf[x] đó là Xác suất để một điểm nhỏ hơn khoảng cách x tính từ tâm đường tròn. Giả sử đường tròn có bán kính R. hiển nhiên nếu x bằng 0 thì cdf = 0 hiển nhiên, nếu x bằng R thì cdf [R] = 1 hiển nhiên, nếu x = r, thì cdf [r] = (Pi r ^ 2)/(Pi R ^ 2) Điều này là do mỗi “khu vực nhỏ” trên vòng tròn đều có xác suất được chọn như nhau nên xác suất tỷ lệ thuận với khu vực đó. Và diện tích cho trước cách tâm hình tròn một khoảng x là Pi r^2 vậy cdf[x] = x^2/R^2 vì Pi triệt tiêu lẫn nhau chúng ta có cdf[x] = x^2/R^2, trong đó x đi từ 0 đến R Vì vậy chúng ta giải tìm x R^2 cdf[x] = x^2 x = R Sqrt[ cdf[x] ] Bây giờ chúng ta có thể thay thế cdf bằng một số ngẫu nhiên trong khoảng từ 0 đến 1 X = R Sqrt[ RandomReal[(0,1)] ] R = R Sqrt[ RandomReal[(0,1)] ]; theta = 360 độ * RandomReal[(0,1)]; (r,theta) chúng ta nhận được tọa độ cực (0,601168 R, 311,915 độ) Tôi đã sử dụng phương pháp này: Phương pháp này có thể hoàn toàn không được tối ưu hóa (tức là sử dụng một mảng điểm, vì vậy nó không phù hợp với các vòng tròn lớn), nhưng mang lại sự phân phối ngẫu nhiên. Bạn có thể bỏ qua việc tạo ma trận và vẽ trực tiếp nếu muốn. Phương pháp này là chọn ngẫu nhiên tất cả các điểm trong hình chữ nhật nằm trong vòng tròn. Bool[,] getMatrix(System. Draw.Rectangle r) ( bool[,] ma trận = new bool; return ma trận; ) void fillMatrix(ref bool[,] ma trận, Trung tâm vectơ) ( bán kính kép = center.X; Ngẫu nhiên r = new Random(); for (int y = 0; y< matrix.GetLength(0); y++) {
for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++)
{
double distance = (center - new Vector(x, y)).Length;
if (distance < radius) {
matrix = r.NextDouble() >0,5; ) ) ) ) riêng void drawMatrix(Vector centerPoint, bán kính kép, bool[,] ma trận) ( var g = this.CreateGraphics(); Bitmap pixel = new Bitmap(1,1); pixel.SetPixel(0, 0, Color .Black);for (int y = 0; y< matrix.GetLength(0); y++)
{
for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++)
{
if (matrix) {
g.DrawImage(pixel, new PointF((float)(centerPoint.X - radius + x), (float)(centerPoint.Y - radius + y)));
}
}
}
g.Dispose();
}
private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
System.Drawing.Rectangle r = new System.Drawing.Rectangle(100,100,200,200);
double radius = r.Width / 2;
Vector center = new Vector(r.Left + radius, r.Top + radius);
Vector normalizedCenter = new Vector(radius, radius);
bool[,] matrix = getMatrix(r);
fillMatrix(ref matrix, normalizedCenter);
drawMatrix(center, radius, matrix);
}
Phần tử diện tích trong hình tròn là dA = rdr * dphi. Yếu tố bổ sung này đã phá hỏng ý tưởng chọn ngẫu nhiên r và phi của bạn. Trong khi phi được phân phối phẳng, thì r thì không, mà phẳng ở mức 1/r (có nghĩa là bạn có nhiều khả năng chạm tới ranh giới hơn là hồng tâm). Vì vậy, để tạo các điểm phân bố đều xung quanh một vòng tròn, hãy chọn phi từ phân bố phẳng và r từ phân bố 1/r. Một cách khác là sử dụng phương pháp Monte Carlo do Mehrdad đề xuất. THAY ĐỔI Để chọn một căn hộ r ngẫu nhiên ở 1/r, bạn có thể chọn một x ngẫu nhiên từ khoảng đó và tính r = 1/x. r sau đó được phân bố dày đặc thành 1/r. Để tính phi ngẫu nhiên, chọn một x ngẫu nhiên từ khoảng và tính phi = 2 * pi * x. Bạn cũng có thể sử dụng trực giác của mình. Diện tích hình tròn là pi*r^2 Điều này cho chúng ta diện tích pi. Giả sử rằng chúng ta có hàm f nào đó sẽ phân bố đều N=10 điểm bên trong vòng tròn. Tỷ lệ ở đây là 10/pi Bây giờ chúng ta nhân đôi diện tích và số điểm Tại r=2 và N=20 Điều này cho diện tích là 4pi và tỷ lệ bây giờ là 20/4pi hoặc 10/2pi. Tỷ lệ sẽ càng ngày càng nhỏ khi bán kính càng lớn, vì tăng trưởng của nó là bậc hai và N là tuyến tính. Để khắc phục điều này chúng ta có thể nói một cách đơn giản X = r^2 sqrt(x) = r Nếu bạn tạo một vectơ ở tọa độ cực như thế này Không phải bài của Russell, về người thợ cắt tóc và cuộc tranh luận chéo, mà là bài của Joseph Louis Francois. Bao gồm những điều sau đây. Câu trả lời phụ thuộc vào cách chúng ta chọn hợp âm này một cách chính xác như thế nào. Cụ thể, có ba phương pháp (có thể có nhiều phương pháp hơn, nhưng hiện tại điều này là đủ): Phương pháp 1: Hợp âm - nó là gì? Đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn. Không cần chần chừ gì nữa, chúng ta hãy lấy hai điểm ngẫu nhiên trên vòng tròn này (độc lập) và vẽ một dây nối giữa chúng. Vì mọi thứ ở đây đều đối xứng nên BOOMS điểm đầu tiên sẽ rơi thẳng vào cực bắc và sự kiện MỘT sẽ xảy ra khi điểm thứ hai chạm vào vòng cung màu đỏ trong hình (tất cả các hợp âm trong bài này đều có màu xanh): Phương pháp 2. Bây giờ chúng ta hãy lấy nó và vẽ hợp âm như thế này. Trước tiên, chúng ta hãy chọn một bán kính ngẫu nhiên (tức là nối tâm với một điểm ngẫu nhiên trên đường tròn), sau đó chọn một điểm ngẫu nhiên trên đó, vẽ đường vuông góc và lấy dây cung. Một lần nữa, BOOMS bán kính này dẫn đến cực bắc (và tại sao tôi lại bị thu hút về cực bắc đến vậy...) và cạnh của một tam giác đều (có đỉnh ở cực nam) chia bán kính này làm đôi, và một lần nữa từ việc chiêm ngưỡng bức tranh Phương pháp 3. Nói chung, chúng ta sẽ chỉ chọn một điểm ngẫu nhiên bên trong vòng tròn. Rõ ràng là chúng ta không thể đi đến chính xác tâm, có nghĩa là chỉ có một dây có tâm trùng với dây đã chọn. Hãy xem xét nó. Hay đúng hơn, chúng ta hãy nhìn vào bức tranh Đây. Một bài toán, ba đáp án khác nhau, 1/3, 1/2, 1/4. Và ở đây, tại thời điểm này, kết luận thường được rút ra là bài toán được xây dựng không chính xác; cần phải chỉ ra chính xác ý của chúng ta khi nói “chọn một hợp âm ngẫu nhiên”, nếu không thì không thể. Vì thế? Nhưng nó không phải như vậy! Chính xác hơn thì không hoàn toàn như vậy. Vấn đề là đây: nếu chúng ta chắc chắn muốn hình thành tất cả các vấn đề xác suất theo một cách hoàn toàn nghiêm ngặt và chính xác, thì thay vì, chẳng hạn như “trong số mười người, chúng tôi chọn ngẫu nhiên hai người”, chúng ta sẽ phải viết một cái gì đó như “từ tập hợp tất cả các cặp phần tử khác nhau không có thứ tự của tập hợp (1, ...,10) chọn một cặp có phân bố xác suất đồng đều." Chà, cái quái gì vậy, tôi nghĩ thường rõ ràng rằng khi họ nói “chúng tôi sẽ chọn ngẫu nhiên” mà không cần giải thích rõ hơn, điều này có nghĩa là lựa chọn đó có khả năng xảy ra như nhau, tức là, nó được thực hiện với sự phân bố đồng đều. ĐƯỢC RỒI. Khỏe. Nhưng ở đây họ sẽ phản đối tôi theo nghĩa là Rõ ràng là có khả năng như nhau khi chọn một phần tử ngẫu nhiên của một tập hợp từ N các phần tử (mỗi phần tử được lấy với xác suất 1/N) Bằng trực giác, người ta cũng thấy rõ sự phân bố đồng đều ở bất kỳ khu vực nào, chẳng hạn như trên một mặt phẳng (hình tròn, hình vuông, ...). Nhưng còn những vật thể phức tạp hơn thì sao? Và chúng tôi sẽ trả lời nó như thế này. Điều quan trọng nhất, tôi thậm chí sẽ nói, đặc trưngĐây là tính chất của sự phân bố đồng đều. Cho phép H- một số tập hợp con của tập hợp G và chọn một đối tượng từ G theo một cách có thể xảy ra như nhau. Vì vậy, với điều kiện là kết quả rơi vào H- nó có phân bố đồng đều ở đó, thu được sự bất biến như vậy. Ví dụ: nếu bạn chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm 5 nam / 5 nữ và biết rằng đây là nữ thì bất kỳ ai trong số 5 người đó đều có cơ hội được chọn như nhau (1/5). Và tất cả điều này cũng áp dụng cho việc lựa chọn thống nhất một điểm từ một vùng. Vậy chúng ta muốn gì từ một hợp âm ngẫu nhiên? Dựa trên những điều trên, tôi thấy có vẻ hợp lý rằng những gì chúng tôi muốn là như sau: Vì vậy, hóa ra trong ba phương pháp xây dựng hợp âm ngẫu nhiên ở trên, chỉ có phương pháp 2 có tính chất này! Và không ai ngoại trừ anh ta; tất cả những thứ khác đều không tốt. Tất cả điều này đã được biết đến từ lâu, hãy xem bài viết, tôi thực sự khuyên bạn nên làm điều đó. Tuy nhiên, những gì chúng ta đã thảo luận ở đây gợi ý những suy nghĩ như vậy. Được rồi, bây giờ chúng ta biết rằng có một dây cung ngẫu nhiên của một vòng tròn. Làm sao Có nghĩa là, lặp lại những gì đã làm, dây cung là đoạn nối hai điểm trên biên giới vùng của chúng ta. Thay vì chọn ngay hai điểm này, chúng ta hãy thử làm khác đi: trước tiên hãy chọn một điểm trên đường biên (theo cách nào đó), sau đó chọn hướng (theo cách khác) nơi dây cung sẽ đi từ điểm này. Và nó sẽ đi cho đến khi giao với đường biên, và nó đến đâu thì điểm thứ hai sẽ ở đó. Chỉ cần một bài tập đơn giản về kiến thức đo mặt phẳng học đường, hãy chứng minh rằng phương pháp 1 tương đương với quy trình này: đầu tiên chúng ta lấy một điểm đều trên đường tròn, sau đó hướng của dây cung cũng được chọn với phân bố đều, coi như mọi hướng đều có khả năng xảy ra như nhau. Và với phương pháp quý giá 2 của chúng tôi, tình huống là thế này: hướng của dây cung được chọn theo định luật cosine, tức là. mật độ phân bố của hướng này tỷ lệ với cosin của góc giữa nó và bán kính (chứng minh đi!). Điều gì sẽ xảy ra nếu một quy trình tương tự được thực hiện với một vùng ít nhiều tùy ý (chúng tôi sẽ không viết những nhận xét tẻ nhạt về mức độ đủ mịn của ranh giới của nó ở đây), cụ thể là (a) trước tiên hãy chọn một điểm thống nhất trên đường biên (b) chúng ta chọn hướng từ đó theo định luật cosin (góc vuông góc với đường biên tại điểm này) và dây cung đi. Hóa ra tất cả những điều này đều thực sự hiệu quả, và ở bất kỳ chiều nào cũng vậy! Có thể chứng minh rằng ________________________________________ _____________________________________ Jaynes, E.T. (1973). "Vấn đề được đặt ra tốt". Thành lập. Vật lý. 3
(4): 477-492.
F. Sao chổi, S. Popov, G.M. Schütz, M. Vachkovskaia (2009) Kendall, Moran. (1972)
Kế hoạch phác thảo được phát triển Trofimova Lyudmila Alekseevna xác suất hình học Mục tiêu và mục đích: 1) Giới thiệu cho học sinh một trong những phương pháp làm bài có thể áp dụng xác suất; 2) Lặp lại những gì đã học và củng cố các kỹ năng chính thức hóa vấn đề xác suất từ sử dụng hình dạng hình học. Kết quả học tập: 1) Biết định nghĩa xác suất hình học để chọn một điểm bên trong hình trên mặt phẳng và đường thẳng; 2) Có khả năng giải các bài toán xác suất hình học đơn giản, biết diện tích của các hình hoặc có khả năng tính toán chúng. TÔI.
Chọn một điểm từ một hình trên mặt phẳng. Ví dụ 1. Hãy xem xét một thí nghiệm tưởng tượng: một điểm được ném ngẫu nhiên vào một hình vuông có cạnh bằng 1. Câu hỏi đặt ra là xác suất của một sự kiện sao cho khoảng cách từ điểm này đến cạnh gần nhất của hình vuông không lớn hơn ? Một điểm được ném ngẫu nhiên vào một hình F trên bề mặt. Xác suất để một điểm rơi vào một con số nhất định là bao nhiêu G, có trong hình F. Câu trả lời phụ thuộc vào ý nghĩa mà chúng ta gán cho biểu thức “ném một điểm ngẫu nhiên”. Biểu thức này thường được hiểu như sau: 1. Một điểm ném có thể chạm vào bất kỳ phần nào của hình F. 2. Xác suất để một điểm rơi vào một hình nào đó G bên trong hình F, tỉ lệ thuận với diện tích của hình G. Tóm lại: gọi và là diện tích của các hình F Và G. Xác suất của sự kiện MỘT“Điểm X thuộc hình G, có trong hình F", bằng Lưu ý rằng diện tích của hình G không lớn hơn diện tích của hình F,Đó là lý do tại sao Một điểm bị xóa khỏi đường viền của hình vuông không quá , nếu nó nằm trong hình được tô bóng trong hình G.Để tìm diện tích, bạn cần từ diện tích của hình F trừ đi diện tích hình vuông bên trong với cạnh . Khi đó xác suất để điểm đó rơi vào hình G, tương đương với Ví dụ 2.Điểm X được chọn ngẫu nhiên từ tam giác ABC, tính xác suất để X thuộc tam giác có đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác. Xác suất để điểm X thuộc tam giác KMN bằng: Phần kết luận.
Xác suất để một điểm rơi vào một hình nào đó tỷ lệ thuận với diện tích của hình này. Nhiệm vụ. Những người đấu tay đôi thiếu kiên nhẫn.
Những cuộc đấu tay đôi ở thành phố Warning hiếm khi kết thúc buồn thảm. Thực tế là mỗi đấu sĩ đến địa điểm hẹn vào một thời điểm ngẫu nhiên từ 5 đến 6 giờ sáng và sau khi đợi đối thủ 5 phút, họ rời đi. Nếu người sau đến trong vòng 5 phút này, trận đấu sẽ diễn ra. Tỷ lệ các cuộc đấu tay đôi thực sự kết thúc trong trận chiến là bao nhiêu? Giải pháp: Cho phép X Và Tại cho biết thời gian đến của đấu thủ thứ 1 và thứ 2, được tính bằng phân số của một giờ, bắt đầu từ 5 giờ. Hãy mô tả điều này trong bản vẽ. Phần tô bóng của hình vuông tương ứng với trường hợp các đấu thủ gặp nhau. Diện tích toàn phần hình vuông là 1, diện tích phần tô đậm là: Điều này có nghĩa là cơ hội chiến đấu là ngang nhau. II. Chọn một điểm từ một đoạn và một cung của đường tròn. Hãy xem xét một thí nghiệm tưởng tượng bao gồm việc chọn ngẫu nhiên một điểm X từ một đoạn MN nhất định. Điều này có thể hiểu là điểm X được “ném” ngẫu nhiên lên đoạn thẳng. Một sự kiện cơ bản trong thí nghiệm này có thể là sự lựa chọn của bất kỳ điểm nào trên đoạn thẳng. Phương pháp tính xác suất này cũng giống như đối với các hình trên mặt phẳng: xác suất tỷ lệ thuận với độ dài đoạn CD. Vì vậy, xác suất của một sự kiện MỘT
“Điểm X thuộc đoạn CD chứa trong đoạn MN” bằng, . Ví dụ 1. Một điểm X được chọn ngẫu nhiên trong đoạn MN, tìm xác suất để điểm X gần điểm N hơn M. Sau đó Không có gì thay đổi nếu điểm X được chọn không phải từ một đoạn thẳng mà từ cung của một đường cong nào đó. Giải pháp: Gọi chu vi là L. Sự kiện mà chúng ta quan tâm ĐẾN
“Đoạn BC cắt đường kính DA” chỉ xảy ra nếu điểm C nằm trên hình bán nguyệt DA không chứa điểm B. Độ dài của hình bán nguyệt này là L. Ví dụ 3. Lấy điểm A trên đường tròn, điểm B được “ném” lên đường tròn. Xác suất để độ dài dây AB nhỏ hơn bán kính đường tròn là bao nhiêu? Giải pháp: Gọi r là bán kính của đường tròn. Để dây AB ngắn hơn bán kính đường tròn thì điểm B phải nằm trên cung B1AB2 có độ dài bằng độ dài đường tròn. Xác suất để đoạn dây AB nhỏ hơn bán kính đường tròn là: III. Chọn một điểm từ trục số Xác suất hình học có thể được áp dụng cho các khoảng số. Giả sử một số X được chọn ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện. Thí nghiệm này có thể được thay thế bằng một thí nghiệm trong đó một điểm có tọa độ X được chọn từ một đoạn trên trục số. Hãy xem xét sự kiện một điểm có tọa độ X được chọn từ đoạn chứa trong đoạn đó. Hãy biểu thị sự kiện này. Xác suất của nó bằng tỷ lệ độ dài của các đoạn và . Ví dụ 1. Tìm xác suất để một điểm được chọn ngẫu nhiên từ đoạn đó thuộc về đoạn đó. Giải pháp: Sử dụng công thức xác suất hình học chúng ta tìm thấy: Ví dụ 2. Theo luật giao thông, người đi bộ có thể băng qua đường ở một nơi không xác định nếu không có lối qua đường dành cho người đi bộ trong tầm nhìn. Tại thành phố Mirgorod, khoảng cách giữa các lối qua đường dành cho người đi bộ trên Phố Solnechnaya là 1 km. Một người đi bộ băng qua Phố Solnechnaya ở đâu đó giữa hai ngã tư. Anh ta có thể nhìn thấy biển báo giao nhau cách mình không quá 100 m. Tìm xác suất để người đi bộ không vi phạm luật lệ. Giải pháp: Hãy sử dụng phương pháp hình học. Hãy sắp xếp trục số sao cho đoạn đường giữa các ngã tư trở thành một đoạn. Cho người đi bộ tiếp cận đường tại một điểm nào đó có tọa độ X. Người đi bộ không vi phạm quy tắc nếu ở khoảng cách hơn 0,1 km tính từ mỗi ngã tư, tức là 0,1 Ví dụ 3. Tàu đi qua sân ga trong nửa phút. Một lúc nào đó, khá tình cờ, nhìn ra cửa sổ từ khoang của mình, Ivan Ivanovich thấy đoàn tàu đang đi ngang qua sân ga. Ivan Ivanovich nhìn ra ngoài cửa sổ đúng 10 giây rồi quay đi. Tìm xác suất để anh ta nhìn thấy Ivan Nikiforovich, người đang đứng chính giữa sân ga. Giải pháp: Hãy sử dụng phương pháp hình học. Chúng tôi sẽ đếm ngược trong vài giây. Hãy dành 0 giây để trở thành khoảnh khắc Ivan Ivanovich bắt kịp phần đầu của sân ga. Sau đó anh ta đến cuối sân ga trong 30 giây. Trong X giây. Chúng ta hãy đánh dấu khoảnh khắc Ivan Ivanovich nhìn ra ngoài cửa sổ. Do đó, số X được chọn ngẫu nhiên từ đoạn này. Tôi đuổi kịp Ivan ở giây thứ 15. Anh ta chỉ nhìn thấy Ivan Nikiforovich nếu anh ta nhìn ra ngoài cửa sổ không muộn hơn thời điểm đó, nhưng không sớm hơn 10 giây trước đó. Vì vậy, bạn cần tìm xác suất hình học của sự kiện. Sử dụng công thức chúng tôi tìm thấy "Nền xác suất"
Ở phần đầu của bài thơ “Những linh hồn chết”, hai người đàn ông tranh cãi về việc bánh xe trong cỗ xe của Chichikov sẽ đi được bao xa: “... hai người đàn ông Nga đứng ở cửa quán rượu đối diện khách sạn đưa ra một số nhận xét, tuy nhiên, liên quan nhiều đến cỗ xe hơn là những người ngồi trong đó. “Nhìn này,” người này nói với người kia, “thật là một bánh xe! Bạn nghĩ sao, nếu chuyện đó xảy ra thì bánh xe đó có đến được Moscow hay không?” “Nó sẽ đến đó thôi,” người kia trả lời. “Nhưng tôi không nghĩ anh ấy sẽ đến được Kazan?” “Anh ấy sẽ không đến được Kazan,” một người khác trả lời. Vấn đề cần giải quyết. 1. Tính xác suất để một điểm được ném ngẫu nhiên vào hình vuông ABCD có cạnh 4 sẽ nằm trong hình vuông A1B1C1D1 có cạnh 3, nằm bên trong hình vuông ABCD. Trả lời. 16/9. 2. Hai người A và B hẹn gặp nhau tại một địa điểm nhất định trong khoảng thời gian từ 9 giờ đến 10 giờ. Mỗi người đến ngẫu nhiên (trong khoảng thời gian xác định), độc lập với người kia và đợi 10 phút. Xác suất để họ gặp nhau là bao nhiêu? Trả lời. 36/11. 3. Trên đoạn AB có độ dài 3, điểm C xuất hiện ngẫu nhiên, xác định xác suất khoảng cách từ điểm C đến B lớn hơn 1. Trả lời. 2/3. 4. Một tam giác có diện tích lớn nhất nội tiếp trong một đường tròn bán kính 5. Xác định xác suất để một điểm vô tình bị ném vào vòng tròn rơi vào hình tam giác. 5. Buratino trồng một vết bẩn tròn có bán kính 1 cm trên một tấm hình chữ nhật có kích thước 20 cm x 25 cm, ngay sau đó, Buratino trồng một vết đốm giống hệt, kết thúc hoàn toàn trên tấm giấy. Tìm xác suất để hai vết này không chạm vào nhau. 6. Hình vuông ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Chọn ngẫu nhiên một điểm M trên đường tròn này, tìm xác suất để điểm M nằm trên: a) cung nhỏ AB; b) cung AB lớn hơn. Trả lời. a) 1/4; b) 3/4. 7. Điểm X được ném ngẫu nhiên vào đoạn thẳng, với xác suất xảy ra bất đẳng thức là: a) ; b) ; V) ? Trả lời. a) 1/3; b) 1/3; c) 1/3. 8. Tất cả những gì được biết về ngôi làng Ivanovo là nó nằm ở đâu đó trên đường cao tốc giữa Mirgorod và Stargorod. Chiều dài của đường cao tốc là 200 km. Tìm xác suất để: a) từ Mirgorod đến Ivanovo dọc theo đường cao tốc dưới 20 km; b) từ Stargorod đến Ivanovo dọc theo đường cao tốc dài hơn 130 km; c) Ivanovo nằm cách điểm giữa các thành phố chưa đầy 5 km. Trả lời. a) 0,1; b) 0,35; c) 0,05. Tài liệu bổ sung
2. Điểm X ngẫu nhiên phân bố đều trong hình vuông Văn học: 1. Lý thuyết xác suất và thống kê / , . – tái bản lần thứ 2, có sửa đổi. – M.: MTsNMO: sách giáo khoa,” 2008. – 256 tr.: ill. 2. Lý thuyết xác suất và thống kê toán học trong các ví dụ, bài toán sử dụng Excel/, . – Ed. lần thứ 4. – Rostov n/d: Phoenix, 2006. – 475 tr.: ill. - (Giáo dục đại học). 3. Năm mươi bài toán xác suất thú vị có lời giải. Mỗi. từ tiếng Anh/Ed. . tái bản lần thứ 3. – M.: Nauka, Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, 1985. – 88 tr. 4. Tuyển tập các bài toán lý thuyết xác suất: Sách giáo khoa. Cẩm nang dành cho các trường đại học./, – tái bản lần thứ 2, có sửa đổi. Và bổ sung – M.: Khoa học. Ch. biên tập. Vật lý-toán học. Sáng. – 1989. – 320 tr. 5. Môn toán tự chọn: Lý thuyết xác suất: Proc. Sách hướng dẫn dành cho lớp 9-11. trung bình trường học/ – tái bản lần thứ 3. làm lại – M.: Giáo dục, 1990. – 160 tr. Bên ngoài đang là những ngày đầu thu, lá vàng trên cây gợi lên một tâm trạng trữ tình pha chút buồn…. Nhưng vẫn còn cả một năm học phía trước và vào những thời điểm như vậy cần phải sẵn sàng cho công việc hiệu quả! Tôi vội vàng làm hài lòng tất cả những độc giả đang buồn bã bằng công thức đặc trưng của mình, cho phép bạn nhanh chóng tăng cường độ săn chắc của cơ thể. Để làm được điều này, bạn chỉ cần nhớ một chút hình học… … không, tôi đồng ý rằng đôi khi nó khiến bạn buồn ngủ, nhưng với liều lượng nhỏ, nó cực kỳ tiếp thêm sinh lực! Và quan trọng nhất, nó rất hiệu quả - ngay khi bạn bắt đầu tiếp thu những phần kiến thức mang lại sự sống, bạn sẽ ngay lập tức không còn bị trầm cảm theo mùa! Trở lại bài học đầu tiên về chủ đề này, chúng ta đã gặp định nghĩa cổ điển về xác suất sự xuất hiện của một số sự kiện trong một bài kiểm tra và công thức đơn giản nhất, tổng số ở đâu tất cả có thể đều có thể
, tiểu học
kết quả của một bài kiểm tra nhất định và là số kết quả cơ bản có lợi cho sự kiện. Gặp khó khăn với thuật ngữ và/hoặc sự hiểu biết? Hãy bắt đầu với cơ sở lý thuyết xác suất. Hãy tiếp tục: định nghĩa cổ điển về xác suất hóa ra lại có hiệu quả trong việc giải quyết một loạt vấn đề, nhưng mặt khác, nó cũng có một số nhược điểm. Nói đúng hơn là không phải khuyết điểm mà là hạn chế. Một hạn chế như vậy là nó không áp dụng cho những thử nghiệm có vô số kết quả. Ví dụ đơn giản nhất: Một điểm đói được ném ngẫu nhiên vào đoạn đó. Xác suất để nó rơi vào giữa là bao nhiêu? Mọi thứ đều rất giống nhau: xác suất xảy ra một sự kiện nào đó trong thử nghiệm bằng tỷ lệ , trong đó - thước đo hình học, biểu thị tổng số tất cả có thể Và đều có thể kết quả của bài kiểm tra này, và - đo lường, thể hiện số lượng kết quả có lợi cho sự kiện. Trong thực tế, thước đo hình học như vậy thường là chiều dài hoặc diện tích, ít thường xuyên hơn là thể tích. Hãy xem xét sự kiện: – một điểm được ném lên một đoạn thẳng sẽ rơi vào khoảng đó. Rõ ràng, tổng số kết quả được biểu thị bằng độ dài của đoạn lớn hơn: Quá dễ dàng? Như trường hợp với định nghĩa cổ điển, đây là một ấn tượng sai lầm. Chúng tôi thấu hiểu một cách thấu đáo và tận tâm những ví dụ thực tế: Vấn đề 1 Băng đo được cắt ngẫu nhiên bằng kéo. Tìm xác suất để chiều dài cắt ít nhất là 80 cm. Giải pháp: “Chuyện đó có gì phức tạp thế? Xác suất là 1/5.” Đây là một sai lầm tự động được thực hiện do sơ suất. Vâng, điều đó hoàn toàn đúng - chiều dài cắt sẽ ít nhất là 80 cm nếu bạn cắt băng không quá 20 cm. Nhưng ở đây họ thường quên rằng có thể thực hiện được đường cắt mong muốn thích từ một phần cuối của băng và từ bên kia: Vì băng có thể được cắt ở bất kỳ đâu nên tổng số kết quả tương ứng với độ dài của nó: Các phần của vết cắt thuận lợi cho sự kiện được đánh dấu màu đỏ trong hình và tổng chiều dài của chúng bằng: Trả lời: 0,4 Có thể kết luận điều gì? Ngay cả khi nhiệm vụ có vẻ rất đơn giản đối với bạn, ĐỪNG Vội vàng. Sự bốc đồng nói chung là một điều xấu - nó có nghĩa là sai lầm, mua sắm không cần thiết, làn da bị tổn thương, các mối quan hệ, v.v... nhưng đừng nói về những điều đáng buồn! Khi chuẩn bị nhiệm vụ, hãy nhớ chỉ ra kích thước (đơn vị, mét, đơn vị vuông, mét vuông, v.v.). Nhân tiện, hãy lưu ý rằng ở giai đoạn tính toán cuối cùng, số đo hình học sẽ giảm đi. Vì vậy, trong ví dụ đang xem xét, mét đã giảm: , dẫn đến xác suất không thứ nguyên thông thường. Vấn đề 2 Sau cơn bão, một đoạn dây đã xảy ra ở khu vực từ km 40 đến km 70 của đường dây điện thoại. Xác suất để nó xảy ra ở km thứ 50 và 55 của tuyến đường là bao nhiêu? Lời giải và đáp án ngắn gọn ở cuối bài. Phổ biến hơn nhiều là các ví dụ trong đó các khu vực xuất hiện: Vấn đề 3 Một vòng tròn được ghi trong một hình tam giác với các cạnh. Điểm được đặt tùy ý trong tam giác. Tìm xác suất để điểm đó rơi vào trong đường tròn. Để tôi nhắc bạn rằng đường tròn nội tiếp nằm bên trong hình tam giác và tiếp xúc với các cạnh của nó tại 3 điểm Giải pháp: vì điểm nằm trong tam giác và hình tròn nằm bên trong nên tổng số kết quả tương ứng với diện tích của tam giác và tập hợp các kết quả thuận lợi tương ứng với diện tích của hình tròn nội tiếp. Tôi có thể nói gì? Chúng tôi đang tìm kiếm các khu vực: Nếu đã biết độ dài các cạnh của một tam giác thì việc tìm diện tích của nó sẽ thuận tiện hơn bằng cách sử dụng Công thức Heron: Đầu tiên hãy tính nửa chu vi của tam giác: Tôi đã trình bày phương pháp trích xuất các yếu tố từ gốc rễ từ xa xưa trong bài học giới thiệu về hình học giải tích. Chúng ta tìm diện tích của hình tròn nội tiếp bằng công thức , bán kính của nó ở đâu. Bạn lấy công thức hình học từ đâu? Các công thức cần thiết có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa ở trường hoặc nguồn thông tin khác. Đồng thời, không cần phải đặc biệt tìm hiểu chúng, cá nhân tôi chỉ nhớ và tìm thấy mọi thứ khác trong vài phút trên Wikipedia. Và chỉ trong vài phút nữa tôi sẽ vui vẻ quên tất cả những điều này =) Vậy diện tích hình tròn nội tiếp là: Theo định nghĩa hình học: Trả lời: Một ví dụ đơn giản hơn để bạn tự giải quyết: Vấn đề 4 Trong một hình tròn bán kính 10 cm có một hình tam giác vuông có hai chân là 12 và 7 cm, đặt ngẫu nhiên một dấu chấm vào hình tròn. Tìm xác suất để nó không rơi vào tam giác đã cho. Cần lưu ý rằng trong bài toán này, hình tam giác không nhất thiết phải chạm vào đường tròn mà nó chỉ nằm bên trong đường tròn và thế là xong. Hãy cẩn thận! Bây giờ hãy xem xét vấn đề cuộc họp nổi tiếng: Vấn đề 5 Hai xe tải có thể đến bốc hàng trong khoảng thời gian từ 19:00 đến 20:30. Xe thứ nhất xếp hàng mất 10 phút, xe thứ hai - 15 phút. Xác suất để một máy phải đợi máy kia tải xong là bao nhiêu? Hãy suy nghĩ một chút về điều kiện. Thứ nhất, ô tô có thể đến bốc hàng theo bất kỳ thứ tự nào, và thứ hai, bất kỳ lúc nào trong vòng một tiếng rưỡi. Thoạt nhìn, quyết định này có vẻ khá khó khăn. Và đối với một người không chuẩn bị trước thì điều đó thực sự sẽ quá khó khăn. Ví dụ, bạn có thể tìm thấy phân tích chi tiết về phương pháp giải quyết vấn đề này trong sách giáo khoa của Gmurman, nhưng tôi sẽ giới hạn bản thân ở một mức độ nhất định đối với thuật toán hình thức: Giải pháp: Đầu tiên chúng ta tìm hiểu khoảng thời gian mà cuộc họp có thể diễn ra. Trong trường hợp này, như đã lưu ý ở trên, đó là một tiếng rưỡi hoặc 90 phút. Đồng thời, khung thời gian thực tế không quan trọng lắm ở đây - việc chất hàng lên ô tô có thể diễn ra, chẳng hạn như vào buổi sáng từ 8h30 đến 10h00, và quyết định sẽ hoàn toàn giống nhau. Việc tính toán có thể được thực hiện theo cả phân số của một giờ và tính bằng phút. Theo tôi, trong hầu hết các trường hợp, làm việc theo phút sẽ thuận tiện hơn - ít nhầm lẫn hơn. Hãy để chúng tôi làm rõ giới hạn dưới của tích hợp một cách phân tích (hãy tìm giao điểm của hyperbol và thẳng): Trên một đoạn đường thẳng nằm không ít hơn hyperbol, Theo định nghĩa hình học: Trả lời: Một ví dụ tương tự cho một giải pháp độc lập. Xác suất là mức độ (thước đo, đánh giá định lượng) về khả năng xảy ra một sự kiện nào đó. Định nghĩa cổ điển về xác suất. Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên A là tỷ lệ giữa số n sự kiện cơ bản có thể xảy ra như nhau không tương thích tạo nên sự kiện A với số lượng tất cả các sự kiện cơ bản có thể xảy ra N: Định nghĩa hình học của xác suất. Mặc dù thực tế là định nghĩa cổ điển mang tính trực quan và bắt nguồn từ thực tiễn, nhưng ít nhất nó không thể được áp dụng trực tiếp trong trường hợp số lượng các kết quả có thể xảy ra như nhau là vô hạn. Một ví dụ nổi bật về vô số kết quả có thể xảy ra là một vùng hình học giới hạn G, chẳng hạn, trên một mặt phẳng, có diện tích S. Một “điểm” được “ném” ngẫu nhiên với xác suất bằng nhau có thể kết thúc tại bất kỳ điểm nào trong vùng này. Bài toán đặt ra là xác định xác suất để một điểm rơi vào một tiểu vùng g nào đó có diện tích s. Trong trường hợp này, khái quát hóa định nghĩa cổ điển, chúng ta có thể đi đến định nghĩa hình học của xác suất là tỷ số của s trên S: Nếu sự kiện B và C không thể xảy ra đồng thời thì xác suất để một trong các sự kiện B hoặc C xảy ra bằng tổng xác suất của các sự kiện này: P(A + B) = P(A) + P(B). Nếu sự kiện B không phụ thuộc vào sự kiện C thì xác suất xảy ra cả hai sự kiện B và C sẽ bằng tích các xác suất của các sự kiện này: P(A · B) = P(A) · P(B). Khi giải các bài toán tìm xác suất, việc sử dụng thông tin từ tổ hợp, đặc biệt là các quy tắc tính tổng và tích, thường rất thuận tiện. Quy tắc tính tổng. Nếu một số đối tượng A có thể được chọn từ một tập hợp các đối tượng theo m cách và một đối tượng B khác - theo n cách, thì A hoặc B có thể được chọn theo m + n cách. Quy tắc nhân. Nếu một số đối tượng A có thể được chọn từ một tập hợp các đối tượng theo m cách và sau mỗi lần chọn như vậy, một đối tượng B khác có thể được chọn theo n cách, thì một cặp đối tượng (A, B) theo thứ tự đã chỉ định có thể được chọn theo m · n cách. 1. Tung xúc xắc. Một con súc sắc thông thường có các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 trên các mặt, được ném ngẫu nhiên cho đến khi tổng số điểm lăn được trong quá trình ném không vượt quá số 12. Tổng số điểm có khả năng xảy ra nhất là bao nhiêu? điểm? Chúng ta hãy nhìn vào lần ném áp chót. Sau đó, tổng phải lấy một trong các giá trị sau: 12, 11, 10, 9, 8, 7. Nếu là 12 thì kết quả tổng sẽ có khả năng lấy các giá trị 13, 14, 15 như nhau, 16, 17, 18. Tương tự, với tổng bằng 11, kết quả cuối cùng có khả năng lấy các giá trị 13, 14, 15, 16, 17, v.v. Số 13 xuất hiện như một ứng cử viên ngang nhau trong mỗi trường hợp và là số duy nhất thuộc loại này. Vì vậy, số 13 là có khả năng nhất. Nói chung, các lập luận tương tự cho thấy tổng có nhiều khả năng vượt quá n lần đầu tiên (n là 6 hoặc hơn) là n+1. 2. Thành viên bồi thẩm đoàn phù phiếm. Trong bồi thẩm đoàn gồm ba người, hai thành viên độc lập đưa ra quyết định đúng với xác suất p, và người thứ ba tung đồng xu để đưa ra quyết định (quyết định cuối cùng được đưa ra theo đa số phiếu). Bồi thẩm đoàn gồm một người đưa ra quyết định công bằng với xác suất p. Bồi thẩm đoàn nào trong số này có nhiều khả năng đưa ra quyết định công bằng hơn? p (1 – p) + (1 – p) p = 2p (1–p), thì để tìm xác suất của lời giải đúng thì con số này phải nhân với 1/2. Do đó, tổng xác suất để bồi thẩm đoàn gồm ba người đưa ra quyết định công bằng là p 2 + p (1–p) = p, giống như xác suất tương ứng đối với bồi thẩm đoàn một người. Trả lời: Cả hai loại bồi thẩm đoàn đều có xác suất đưa ra quyết định đúng như nhau. 3. Tam giác rời nhau. Từ các đỉnh của n-giác đều (n>5), hai bộ ba điểm khác nhau được chọn ngẫu nhiên. Xác suất để hai tam giác có đỉnh là bộ ba đã chọn không cắt nhau là bao nhiêu? Chúng ta hãy chia tất cả các cặp bộ ba đỉnh có thể có thành Cn 6 nhóm, tập hợp vào một nhóm những và chỉ những cặp bộ ba tạo thành sáu đỉnh giống hệt nhau. Một mặt, mỗi nhóm như vậy chứa số phần tử bằng số cách chia sáu đỉnh cố định thành hai bộ ba, tức là C 6 3 = 20 phần tử. Mặt khác, có đúng 6 cách chia số sáu thành hai phần ba thỏa mãn điều kiện yêu cầu của bài toán. Do đó, xác suất mong muốn là 6/20 = 0,3. Trả lời: 0,3. 4. Bóng trắng và đen. Mỗi bình trong số hai bình chứa các quả bóng trắng và đen, tổng số quả bóng trong cả hai bình là 25. Một quả bóng được rút ngẫu nhiên từ mỗi bình. Biết xác suất để cả hai bi được rút ra đều là màu trắng là 0,54, tính xác suất để cả hai bi được rút ra đều có màu đen. Giả sử tổng số bi trong thùng thứ nhất và thùng thứ hai lần lượt bằng m 1 và m 2 (để xác định, ta giả sử m 1 không lớn hơn m 2) và số bi trắng trong các thùng này bằng nhau tương ứng là k 1 và k 2. Khi đó xác suất để cả hai bi được rút ra đều là bi trắng bằng (k 1 /m 1)·(k 2 /m 2). Ta thu được các tỉ số: (k 1 /m 1)·(k 2 /m 2) = 0,54 = 27/50, 27m 1 m 2 = 50k 1 k 2, thì ít nhất một trong các số m 1, m 2 chia hết cho 5. Nhưng tổng m 1 + m 2 cũng chia hết cho 5 nên mỗi số m 1, m 2 đều chia hết cho 5. Do đó, ta có chỉ có hai khả năng: hoặc m 1 = 5, m 2 = 20, hoặc m 1 = 10, m 2 = 15. Trong trường hợp m 1 = 5, m 2 = 20, ta thu được k 1 k 2 = 54, trong đó k 1 không vượt quá 5 và k 2 không vượt quá 20. Đã trải qua tất cả các giá trị có thể có của ki, ta tìm được k 1 = 3, k 2 = 18. Khi đó thùng thứ nhất có 2 bi đen, thùng thứ hai cũng có 2 bi đen và xác suất lấy được hai bi đen là (2/5)·(2/20)=0,04. Tương tự, trong trường hợp m 1 = 10, m 2 = 15, ta tìm được k 1 = 9, k 2 =9. Khi đó bình thứ nhất có 1 bi đen, bình thứ hai có 6 bi đen và xác suất lấy được hai bi đen là (1/10)·(6/15) = 0,04 (trong cả hai trường hợp, đáp án đều giống nhau). Trả lời: 0,04. 5. Đấu tay đôi. Ba xạ thủ A, B, C quyết định đấu tay đôi cùng một lúc. Họ đứng ở các đỉnh của một tam giác đều và nhất trí như sau: phát đầu tiên do A bắn, phát thứ hai do B bắn, phát thứ ba do C bắn, v.v. theo vòng tròn; Nếu một trong những người bắn bỏ cuộc, cuộc đấu tay đôi vẫn tiếp tục giữa hai người còn lại. Được biết, người bắn A bắn trúng mục tiêu với xác suất 0,3, người bắn C có xác suất 0,5 và người bắn B không bao giờ bắn trượt. Mỗi người bắn vào một trong hai người còn lại hoặc bắn lên không trung theo cách để có xác suất thắng cuộc đấu tay đôi cao nhất. Người bắn A nên nhắm phát súng đầu tiên của mình vào đâu: vào người bắn C, vào người bắn B, hay trên không? Hãy xem xét ba sự kiện có thể xảy ra sau phát súng đầu tiên của người bắn A. Bị bắn trúng C. Khi đó, với xác suất 1, người bắn A sẽ bị trúng phát súng đầu tiên của B. V bị đánh. Sau đó: hoặc với xác suất 0,5 người bắn C sẽ bắn trúng A ngay lần bắn đầu tiên, hoặc với xác suất (1 – 0,5) 0,3 người bắn A sẽ bắn trúng C ở lần bắn thứ hai, hoặc với xác suất (1 – 0,5) · (1 – 0,3) · 0,5 người bắn C sẽ bắn trúng A ở lượt bắn thứ hai, hoặc với xác suất (1 – 0,5) · (1 – 0,3) · (1 – 0,5) · 0,3 người bắn A sẽ bắn trúng C ở lượt bắn thứ ba, v.v. Do đó, xác suất để A thắng trong trường hợp này là 0,5 · 0,3 + 0,5 · 0,7 · 0,5 · 0,3 + 0,5 · 0,7 · 0,5 · 0,7 · 0,5 · 0,3 + . . . = 0,15 (1 + 0,35 + 0,35 2 + . . . .) = 0,15 1/(1 – 0,35) = (15/100) (100/65) = 3/13 . 3) Không ai ngạc nhiên. Sau đó, B sẽ bắn vào C (là đối thủ chính xác hơn) và đánh anh ta. Khi đó A sẽ đánh B với xác suất 0,3, thắng cuộc đấu tay đôi. Vì vậy, vì 0,3 > 13/3, tình huống có lợi nhất cho người bắn A là khi không có ai bị trúng đạn sau cú bắn của anh ta. Điều này có nghĩa là anh ta phải bắn lên không lần đầu tiên. Trả lời: Lần đầu tiên phải bắn lên không trung. 6. Quả bóng màu đỏ và màu xanh lá cây. Trong túi có 6 quả bóng đỏ và 8 quả bóng xanh. 5 trong số đó được rút ngẫu nhiên và đặt vào hộp màu đỏ, 9 quả bóng còn lại được đặt vào hộp màu xanh lá cây. Xác suất để số bi đỏ trong hộp xanh cộng với số bi xanh trong hộp đỏ không phải là số nguyên tố là bao nhiêu? Chúng ta ký hiệu G là số quả bóng xanh trong hộp màu đỏ. Vì có 6 quả bóng màu đỏ và 8 quả bóng màu xanh lá cây nên màu sắc được phân bổ giữa các hộp như sau: Hộp màu đỏ: G xanh, (5 – G) đỏ; Ô xanh: (8 – G) xanh, (G+1) đỏ. Do đó, số bi đỏ trong hộp xanh cộng với số bi xanh trong hộp đỏ bằng (G + 1) + G = 2G + 1, là số lẻ. Số G không vượt quá 5 – tổng số bi trong ô màu đỏ. Do đó, tổng 2G + 1 có thể lấy các giá trị từ 1 (G = 0) đến 11 (G = 5). Hợp số lẻ duy nhất trong các giới hạn này là 9. Tuy nhiên, chúng ta cũng phải tính đến số 1, số này không phải là số nguyên tố hay hợp số. Vì vậy 2G + 1 phải bằng 0 hoặc 9, điều này có thể xảy ra với G = 0 hoặc G = 4. Xác suất để lấy được mẫu có G = 0 (số cách lấy được 5 màu đỏ chia cho tổng số mẫu) bằng C 6 5 /C 14 5 . Xác suất để lấy được mẫu có G = 4 (số cách lấy được 4 màu xanh và 1 màu đỏ chia cho tổng số mẫu) bằng C 8 4 C 6 1 /C 14 5 . Chúng tôi tìm thấy xác suất của sự kiện mong muốn là tổng của các xác suất được chỉ định: (C 6 5 + C 8 4 C 6 1) / C 14 5 = (6 + 420) / 2002 = 213/1001. Đáp án: 213/1001. 7. Đầu hay đuôi? Hai người chơi A và B đang quan sát một cậu bé liên tục tung đồng xu. Kết quả của các lần tung được viết tuần tự bằng các chữ cái: ở vị trí thứ k của chuỗi, chữ O hoặc chữ P được đặt, tùy thuộc vào những gì xuất hiện trong lần tung thứ k - “đầu” hoặc “đuôi”, tương ứng. Người chơi A tuyên bố rằng bộ ba OOO sẽ xuất hiện trong bản ghi sớm hơn bộ ba ORO. Người chơi B đặt cược rằng điều ngược lại sẽ xảy ra. Người chơi nào có nhiều khả năng thắng cược này hơn? Chữ O đầu tiên (kể từ thời điểm cậu bé bắt đầu quan sát, có xác suất 1 để chữ O xuất hiện ít nhất một lần) có thể theo sau với xác suất bằng 1/4 bằng một trong các tổ hợp sau: RO, OO, RR, HOẶC. Trong trường hợp đầu tiên, người chơi B thắng, trong trường hợp thứ hai, người chơi A thắng, và nếu trường hợp thứ ba thành công thì sau đó các người chơi sẽ có cơ hội như lúc đầu ván đấu. Trong trường hợp thứ tư, với xác suất 1/2 chữ O sẽ theo sau và người chơi B sẽ thắng, với xác suất 1/2 chữ P sẽ theo sau, sau đó các người chơi sẽ có cơ hội như lúc đầu trò chơi. Như vậy, với xác suất 1/4 A thắng, với xác suất 1/4 + 1/4 1/2 = 3/8 B sẽ thắng và với xác suất 3/8 sẽ xảy ra tình huống mà người chơi sẽ có cơ hội như lúc bắt đầu trò chơi. Do đó, người chơi B có cơ hội chiến thắng cao hơn người chơi A. Đáp án: Người chơi B. 8. Ở rạp hát. Tám chàng trai và bảy cô gái độc lập mua một vé ở cùng một dãy rạp 15 chỗ. Số vị trí trung bình liền kề mà các cặp trong hàng này chiếm giữ là bao nhiêu? Ví dụ: nếu hàng được điền như sau: YUDDYYUDYUDYUDD (ở đây Y có nghĩa là con trai và D có nghĩa là con gái), thì có 9 cặp YUD và DYU. Chúng tôi quan tâm đến số lượng trung bình của các cặp như vậy. Nếu hai vị trí đầu tiên liên tiếp bị chiếm giữ bởi những người khác giới, thì chúng ta đã có cặp mong muốn. Xác suất của sự kiện này là (15/8) · (14/7) + (15/7) · (14/8) = 15/8. Hơn nữa, 15/8 cũng là số cặp trung bình ở hai vị trí đầu tiên, vì (15/8) 1 + (15/7) 0 = 8/15. Lý do tương tự áp dụng cho từng cặp vị trí liền kề. Để xác định số lượng trung bình của các cặp thanh niên, giá trị này phải được nhân với số vị trí liền kề bằng 14, được 112/15. Tổng quát hơn, nếu có b đồ vật cùng loại và m đồ vật khác, được sắp xếp ngẫu nhiên thành một hàng thì số trung bình các cặp được tạo thành từ những đồ vật khác nhau sẽ bằng Trong ví dụ của chúng tôi, b = 8, m = 7 và câu trả lời là 112/15. Ở đây về cơ bản chúng ta đã sử dụng thực tế là kỳ vọng toán học của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng kỳ vọng toán học của các số hạng. Chúng tôi đã tìm thấy số cặp JD hoặc DJ trung bình cho mỗi hai địa điểm liền kề và tính tổng chúng trên tất cả các cặp như vậy. Đáp án: 112/15. 9. Trong một trong những trò chơi phổ biến ở Mỹ, người chơi ném một đồng xu từ một khoảng cách khá lớn lên mặt bàn được cắt thành hình vuông 1 inch. Nếu đồng xu (đường kính 3/4 inch) rơi hoàn toàn vào bên trong hình vuông, người chơi sẽ nhận được phần thưởng, nếu không thì sẽ mất đồng xu của mình. Cơ hội chiến thắng nếu đồng xu rơi xuống bàn là bao nhiêu? Khi chúng ta ném một đồng xu lên bàn, một số khu vực trọng tâm của đồng xu có nhiều khả năng xảy ra hơn những khu vực khác, nhưng nếu hình vuông đủ nhỏ, chúng ta có thể giả sử rằng phân bố xác suất là đồng đều. Điều này có nghĩa là xác suất tâm rơi vào diện tích bất kỳ của hình vuông tỷ lệ thuận với diện tích của diện tích đó; nó bằng diện tích của vùng chia cho diện tích hình vuông. Vì bán kính của đồng xu là 3/8 inch nên để người chơi giành chiến thắng, tâm của đồng xu không được cách các cạnh của hình vuông quá 3/8 inch. Hạn chế này được đáp ứng bởi một hình vuông có cạnh 1/4 inch, trong đó tâm của đồng xu phải nằm trong đó. Vì xác suất tỷ lệ thuận với diện tích nên xác suất thắng là (1/4) 2 = 1/16. Tất nhiên, đồng xu có thể không rơi vào bàn chút nào và xác suất thắng thực tế thậm chí còn thấp hơn. Hình vuông cũng có thể được làm nhỏ hơn bằng cách làm dày các đường phân chia. Nếu những đường này dày 1/16 inch thì vùng thắng có xác suất là (3/16)2 = 9/256 hoặc nhỏ hơn 1/28. Đáp án: 16/1. 10. Tung đồng xu. Người chơi A tung đồng xu n+1 lần và người chơi B tung đồng xu n lần. Xác suất để người chơi A có nhiều mặt ngửa hơn người chơi B là bao nhiêu? Cho người chơi A và B lần lượt nhận được m và k mặt ngửa. Khi đó xác suất mong muốn p của biến cố m>k bằng xác suất q của biến cố (n + 1) – m > n – k, tức là xác suất để người chơi A nhận được nhiều mặt ngửa hơn người chơi B (vì mỗi lần tung đồng xu thì khả năng mặt ngửa và mặt sấp đều như nhau). Mặt khác, biến cố m>k xảy ra khi và chỉ khi nghĩa là khi (n+1)–m không vượt quá n–k (vì n–m và n–k là số nguyên). Do đó p=1–q, từ đó chúng ta có p=q=1/2. Đáp án: 1/2. 1. Thắng liên tiếp. Để khuyến khích con trai chơi quần vợt thành công, người cha hứa thưởng cho con nếu con thắng ít nhất hai trận quần vợt liên tiếp trước cha mình và nhà vô địch câu lạc bộ theo một trong các phương án: bố - vô địch - bố hoặc vô địch - bố - vô địch do con trai lựa chọn. Nhà vô địch chơi hay hơn cha mình. Con trai tôi nên chọn phương án nào? 2. “Thử vận may” “Thử vận may” là trò chơi may rủi thường được chơi trong các sòng bạc và trong các lễ hội công cộng. Sau khi người chơi đặt cược vào một trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ba viên xúc xắc sẽ được tung ra. Nếu số của người chơi xuất hiện trên một, hai hoặc ba viên xúc xắc, thì với mỗi lần xuất hiện của số này, người chơi sẽ được trả số tiền đặt cược ban đầu và tiền của chính mình cũng được trả lại. Ngược lại, người chơi sẽ thua cược. Mức thua lỗ trung bình của người chơi trong một lần đặt cược là bao nhiêu? (Trên thực tế, bạn có thể đặt cược vào nhiều số cùng lúc, nhưng mỗi lần đặt cược sẽ được xem xét riêng.) 3. Bộ bài. Một bộ bài gồm n lá bài khác nhau được sắp xếp theo thứ tự ngẫu nhiên gồm có ba quân át. Các quân bài trên cùng của bộ bài được loại bỏ lần lượt cho đến khi quân Át thứ hai bị loại bỏ. Chứng minh rằng số quân bài rút được trung bình là (n+1)/2. 4. Bó hoa Một bó hoa gồm có 5 bông hoa cúc và 10 bông hoa ngô. Những bó hoa nhỏ gồm 3 bông hoa được làm ngẫu nhiên từ bó hoa này. Xác suất để mỗi bó hoa nhỏ có một bông hoa cúc là bao nhiêu? 5. Tam giác nhọn. Chọn ngẫu nhiên ba điểm A, B, C trên một đường tròn, xác suất để tam giác ABC nhọn là bao nhiêu?
Vấn đề: có một vòng tròn, chúng ta ngẫu nhiên vẽ một dây cung ở đó. Xác suất của một sự kiện là gì
A = (dây hóa ra dài hơn cạnh của một tam giác đều nội tiếp trong một vòng tròn)?
Rõ ràng đó là xác suất mong muốn là 1/3.
(cần một điểm ngẫu nhiên trên bán kính rơi vào đoạn màu đỏ) rõ ràng xác suất mong muốn bằng 1/2.
và chúng ta thấy rõ rằng xác suất mong muốn bằng 1/4 (bán kính của đường tròn bên trong nơi điểm được chọn sẽ rơi bằng một nửa xác suất ban đầu).
với điều kiện là hợp âm ngẫu nhiên AB cắt một vòng tròn nhỏ (tạo ra một hợp âm ở đó A "B"), hợp âm này A "B" có cùng mức phân bổ xác suất chỉ như một “hợp âm ngẫu nhiên” (bất kể điều đó có nghĩa là gì) trong một vòng tròn nhỏ.
Các nhà toán học thực thụ, chúng tôi muốn khái quát hóa điều này, từ hình tròn đến hình elip, hình vuông, siêu khối, và bất cứ thứ gì. Vâng, hãy thử nó.
(gần như sao chép-dán, xin lưu ý) cho rằng, đó là một hợp âm ngẫu nhiên AB cắt vùng bên trong (tạo ra một dây cung ở đó A "B"), hợp âm này A "B" có cùng phân bố xác suất với một dây cung ngẫu nhiên đơn giản ở vùng bên trong (vùng bên ngoài ở đây ít nhiều tùy ý, nhưng vùng bên trong là lồi, do đó dây cung “cảm ứng” luôn được xác định duy nhất). Tôi sẽ tận dụng cơ hội này để quảng cáo bài viết ở đây, mặc dù chúng tôi đã phát minh lại bánh xe ở một số chỗ. Ít nhất bạn nên đọc cuốn sách này trước (và tôi thực sự khuyên bạn nên đọc nó, vâng).
Bi-a trong một miền chung với các phản xạ ngẫu nhiên.
Lưu trữ Cơ học và Phân tích Rational, 193
(3), trang. 737-738,
http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-008-0120-x?LI=true
Xem thêm Erratum tại đây: http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-009-0236-7?LI=true, vì chúng đã nhầm lẫn.
Và tốt nhất bạn nên đọc ở đây: http://arxiv.org/abs/math/0612799, mọi thứ đã được sửa ở đó và quyền truy cập miễn phí.
Xác suất hình học.
Tôi nghĩ mọi người sẽ tìm thấy nơi để tải xuống :)
Trong vấn đề này chúng ta đang nói về cái gọi là xác suất hình học.
Hãy quay trở lại nhiệm vụ của chúng ta. Nhân vật F trong ví dụ này, một hình vuông có cạnh 1. Do đó = 1.
Giải pháp: Các đường ở giữa của tam giác chia tam giác thành 4 hình tam giác bằng nhau. Có nghĩa,
Những người đấu tay đôi gặp nhau nếu, tức là. x - < y< x + .
.
Cho đoạn CD chứa đoạn MN. Chúng tôi quan tâm đến sự kiện MỘT
, bao gồm thực tế là điểm X được chọn thuộc đoạn CD.
Giải pháp: Gọi O là trung điểm của đoạn MN. Sự kiện của chúng ta sẽ xảy ra khi điểm X nằm trong đoạn ON.
.
Ví dụ 2. Các điểm A và B cho trên một đường tròn và các điểm này không đối xứng nhau. Chọn điểm C trên cùng một đường tròn, tính xác suất để đoạn thẳng BC cắt đường kính của đường tròn đi qua điểm A.
.
.
.
.
.
Cách tiếp cận hình học đối với xác suất của một sự kiện không phụ thuộc vào loại phép đo không gian hình học: điều quan trọng là tập hợp các sự kiện cơ bản F và tập hợp G đại diện cho sự kiện A phải cùng loại và cùng kích thước.
. Tìm xác suất để một hình vuông có tâm X và các cạnh có độ dài b song song với các trục tọa độ nằm hoàn toàn trong hình vuông A.Định nghĩa hình học của xác suất. Vấn đề với giải pháp
Vì có vô số điểm trên đoạn thẳng nên công thức không thể áp dụng ở đây (do giá trị vô cùng lớn của “en”) và vì vậy một cách tiếp cận khác được đưa ra để giải cứu, được gọi là định nghĩa hình học của xác suất.
và kết quả có lợi cho sự kiện là độ dài của đoạn được nhúng: Theo định nghĩa hình học của xác suất: 
Xét trường hợp: – chiều dài vết cắt ít nhất là 0,8 m.
, trong đó là độ dài các cạnh của tam giác và là nửa chu vi.
, và diện tích của nó:
– xác suất để điểm rơi vào đường tròn nội tiếp.
theo công thức thích hợp:
– xác suất để tích của hai số được đoán trong khoảng từ 0 đến 5 sẽ lớn hơn hai.
Vấn đề với giải pháp
Những vấn đề không có giải pháp