Тотожність інформації. Поняття тотожності

Закон тотожності- принцип сталості або принцип збереження предметного та смислового значеньсуджень (висловлювань) у деякому свідомо відомому чи розуміється контексті (у висновку, доказі, теорії). Є одним із законів класичної логіки.

У процесі міркування кожне поняття , судження має використовуватися одному й тому сенсі. Причиною цього є можливість розрізнення та ототожнення тих об'єктів, про які йдеться. . Думка про предмет повинна мати певний, стійкий зміст, хоч би скільки разів вона повторювалася. Найважливіша властивістьмислення - його визначеність- Виражається цим логічним законом.

Застосування

У повсякденному житті

Будь-який наш знайомий змінюється з кожним роком, але ми все ж таки відрізняємо його від інших знайомих і незнайомих нам людей (є можливість розрізнення), тому що він зберігає основні риси, які виступають як ті ж на всьому протязі життя нашого знайомого (є можливість ототожнення ). Тобто, відповідно до законом Лейбниця(Визначаючи поняття тотожність) ми стверджуємо, що наш знайомий змінився. Однак відповідно до законом тотожностіми стверджуємо, що це та сама людина, оскільки у основі визначення лежить поняття особистість. Закон тотожності вимагає, щоб для опису одного і того ж поняття ми завжди використовували один і той самий вираз (ім'я). Таким чином, ми одночасно розглядаємо один об'єкт (знайомого) на двох різних рівняхабстракції. Можливість розрізнення та ототожнення визначається відповідно до закону достатньої підстави. У даному випадкуяк достатня підстава використовується наше чуттєве сприйняття(Див. упізнання).

У юриспруденції

У формальній логіці

Під тотожністю думки самої собі у формальній логіці розуміється тотожність її обсягу. Це означає, що замість логічної змінної A (\displaystyle A)у формулу « A (\displaystyle A)є A (\displaystyle A)» можуть бути підстави думки різного конкретного змісту, якщо вони мають один і той самий обсяг. Замість першого A (\displaystyle A)у формулі « A (\displaystyle A)є A (\displaystyle A)» ми можемо підставити поняття «тварина; що володіє м'якою мочкою вуха», а замість другого – поняття «тварина, що має здатність виробляти знаряддя праці»(обидві ці думки з погляду формальної логікивважаються рівнозначними, нерозрізненими, оскільки вони мають один і той же обсяг, а саме - ознаки, відображені в цих поняттях, відносяться лише до класу людей), і при цьому виходить справжня думка «Тварина, що володіє м'якою мочкою вуха, є тварина, що має здатність виробляти знаряддя праці».

В математиці

У математичній логіці законом тотожності називається тотожно справжня імплікація логічної змінної із самою собою X ⇒ X (\displaystyle X\Rightarrow X) .

В алгебрі поняття арифметичної рівності чисел розглядається як особливий випадок загального поняттялогічної тотожності. Однак є математики, які, на противагу даній точці зору, не ототожнюють символу. = (\displaystyle =)», що зустрічається в арифметиці, із символом логічної тотожності; вони не вважають, що рівні числанеодмінно тотожні, і тому розглядають поняття числової рівності як специфічно арифметичне поняття. Тобто вважають, що сам факт наявності чи відсутності особливого випадкулогічного тотожності, має визначатися у межах логіки. .

Порушення закону тотожності

Коли закон тотожності порушується мимоволі, через незнання, тоді виникають логічні помилкиякі називаються

Розглянемо дві рівності:

1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8

Ця рівність буде виконуватися за будь-яких значень змінної а. Областю допустимих значеньдля того рівності буде вся безліч дійсних чисел.

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .

Ця нерівність буде виконуватися для всіх значень змінної а, крім рівного нулю. Областю допустимих значень для цієї нерівності буде вся множина дійсних чисел, крім нуля.

Про кожну з цих рівностей можна стверджувати, що воно буде вірним за будь-яких допустимих значень змінних а. Такі рівності в математиці називаються тотожностями.

Поняття тотожності

Тотожність - це рівність, правильне за будь-яких допустимих значеннях змінних. Якщо ця рівність підставити замість змінних будь-які допустимі значення, має вийти правильне числове рівність.

Слід зазначити, що вірні числові рівностітеж є тотожності. Тотожності, наприклад, будуть властивості дій над числами.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a * (b + c) = a * b + a * c;

11. a * (-1) = -a.

Якщо два вирази при будь-яких допустимих змінних відповідно дорівнюють, то такі вирази називають тотожно рівними. Нижче наведено кілька прикладів тотожно рівних виразів:

1. (a 2) 4 та a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) і -a 3 *b 2;

3. ((x 3 *x 8)/x) та x 10 .

Ми завжди можемо замінити один вираз будь-яким іншим виразом, тотожно рівним першому. Така заміна буде тотожним перетворенням.

Приклади тотожностей

Приклад 1: чи тотожності такі рівності:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Не всі представлені вище вирази будуть тотожними. З цих рівностей тотожністю є лише 1,2 і 3 рівності. Які числа ми в них не підставили, замість змінних а і b у нас все одно вийдуть вірні числові рівності.

А ось 4 рівність вже не є тотожністю. Тому що не за всіх допустимих значень ця рівність виконуватиметься. Наприклад, при значеннях a = 5 та b = 2 вийде наступний результат:

Ця рівність не так, оскільки число 3 не дорівнює числу -3.

Розглянемо дві рівності:

1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8

Ця рівність буде виконуватися за будь-яких значень змінної а. Областю допустимих значень у тому рівності буде все безліч дійсних чисел.

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .

Ця нерівність буде виконуватися всім значень змінної а, крім а рівного нулю. Областю допустимих значень для цієї нерівності буде вся множина дійсних чисел, крім нуля.

Поняття тотожності

Варто відзначити, що вірні числові рівності також є тотожностями. Тотожності, наприклад, будуть властивості дій над числами.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

5. a * b = b * a;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a * (b + c) = a * b + a * c;

8. a + 0 = a;

9. a * 0 = 0;

10. a * 1 = a;

11. a * (-1) = -a.

1. (a 2) 4 та a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) і -a 3 *b 2;

3. ((x 3 *x 8)/x) та x 10 .

Приклади тотожностей

Приклад 1: чи тотожності такі рівності:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

4. a-b = b-a.

5 - 2 = 2 - 5;

3 = -3.

Ця рівність не так, оскільки число 3 не дорівнює числу -3.

- це рівняння , яке задовольняється тотожно, тобто справедливо для будь-яких допустимих значень змінних, що входять до нього. З логічного погляду, Тотожність- це предикат , що зображується формулою х = у(читається: « хтотожно у», « хте саме, що і y»), якому відповідає логічна функція, істинна, коли змінні хі уозначають різні входження «одного і того ж» предмета, і хибна в в іншому випадку. З філософської (гносеологічної) точки зору, Тотожність- це ставлення , заснований на уявленнях чи судженнях у тому, що таке «один і той самий» предмет реальності, сприйняття, думки.

Логічні та філософські аспекти Тотожністьдодаткові: перший дає формальну модель поняття Тотожність, другий - основи застосування цієї моделі. Перший аспект включає поняття про «одного і того ж» предмет, але сенс формальної моделіне залежить від змісту цього поняття: ігноруються процедури ототожнення та залежність результатів ототожнення від умов або способів ототожнення, від явно або неявно прийнятих при цьому абстракцій. У другому (філософському) аспекті розгляду підстав для застосування логічних моделей Тотожністьпов'язуються про те, як ототожнюються предмети, за якими ознаками, і вже залежить від погляду, умов і засобів ототожнення.

Розрізнення логічних та філософських аспектів Тотожністьсходить до відомого положення, що судження про тотожність предметів та Тотожністьяк поняття - це не те саме (див. Платон, Соч., Т. 2, М., 1970, с. 36). Істотно, однак, наголосити на незалежності та несуперечності цих аспектів: поняття Тотожністьвичерпується змістом відповідної йому логічної функції; воно не виводиться з фактичної тотожності предметів, «не витягується» з неї, а є абстракцією, яка заповнюється в «відповідних» умовах досвіду або, в теорії, - шляхом припущень ( гіпотез ) про фактично допустимі ототожнення; разом з тим, при виконанні підстановочності (див. нижче аксіому 4) у відповідному інтервалі абстракції ототожнення, «всередині» цього інтервалу, фактичне Тотожністьпредметів точно збігається з Тотожністьу логічному сенсі.

Важливість поняття Тотожністьзумовила потребу в спеціальних теоріях ТотожністьНайпоширеніший спосіб побудови цих теорій – аксіоматичний. Як аксіом можна вказати, наприклад, такі (не обов'язково всі):

1. х = х,

2. х = у É у = х,

3. x = y & y = z É x = z,

4. А(х) É ( х = уÉ А(у)),

де А(х) - довільний предикат, що містить хвільно і вільний для у, а А(х) та А(у) відрізняються лише входженнями (хоча б одним) змінних хі y.

Аксіома 1 постулює властивість рефлексивності ТотожністьУ традиційній логіці вона вважалася єдиною логічним законом Тотожність, до якого як «нелогічні постулати» додавали зазвичай (в арифметиці, алгебрі, геометрії) аксіоми 2 і З. Аксіому 1 можна вважати гносеологічно обґрунтованою, оскільки вона є свого роду логічним виразоміндивідуації, у якому, своєю чергою, грунтується «даність» предметів у досвіді, можливість їх впізнавання: щоб казати про предметі «як даному», необхідно якось виділити його, від інших предметів й у подальшому не плутати із нею. У цьому сенсі Тотожність, заснований на аксіомі 1, є особливим ставленням«самототожності», яке пов'язує кожен предмет тільки з самим собою - і ні з яким ін предметом.

Аксіома 2 постулює властивість симетричності ТотожністьВона стверджує незалежність результату ототожнення від порядку в парах предметів, що ототожнюються. Ця аксіома також має відоме виправдання у досвіді. Наприклад, порядок розташування гирь і товару на терезах різний, якщо дивитися зліва направо, для покупця і продавця, звернених обличчям друг до друга, але результат - у разі рівновагу - і той ж обох.

Аксіоми 1 і 2 спільно служать абстрактним виразом Тотожністьяк нерозрізненості, теорії, у якій уявлення про «одному й тому» предметі ґрунтується на фактах не спостережуваності відмінностей і істотно залежить від критеріїв помітності, від засобів (приладів), що відрізняють один предмет від іншого, в кінцевому рахунку - від абстракції нерозрізненості. Оскільки залежність від «порога помітності» на практиці принципово непереборна, уявлення про Тотожність, що задовольняє аксіом 1 і 2, є єдиним природним результатом, який можна отримати в експерименті.

Аксіома 3 постулює транзитивність ТотожністьВона стверджує, що суперпозиція Тотожністьтакож є Тотожністьі є першим нетривіальним твердженням про тотожність предметів. Транзитивність Тотожність- це або «ідеалізація досвіду» в умовах «убутньої точності», або абстракція, що заповнює досвід і «що створює новий, відмінний від нерозрізненості, сенс Тотожність: нерозрізненість гарантує тільки Тотожністьв інтервалі абстракції нерозрізненості, а ця остання не пов'язана з виконанням аксіоми З. Аксіоми 1, 2 та 3 спільно служать абстрактним виразом теорії Тотожністьяк еквівалентності .

Аксіома 4 постулює необхідною умовоюдля Тотожністьпредметів збіг їх ознак. З логічного погляду, ця аксіома очевидна: «одному й тому» предмету належать всі його ознаки. Але оскільки уявлення про «одному й тому» предметі неминуче ґрунтується на певних допущеннях або абстракціях, ця аксіома не є тривіальною. Її не можна верифікувати "взагалі" - за всіма мислимими ознаками, а лише в певних фіксованих інтервалах абстракцій ототожнення або нерозрізненості. Саме так вона і використовується на практиці: предмети порівнюються і ототожнюються не за всіма мислимими ознаками, а лише за деякими - основними (вихідними) ознаками тієї теорії, в якій хочуть мати поняття про «одне й те саме» предмет, засноване на цих ознаках і на аксіомі 4. У цих випадках схема аксіом 4 замінюється кінцевим списком її алоформ - конгруентних їй «змістовних» аксіом ТотожністьНаприклад, у аксіоматичної теорії множин Цермело - Френкеля - аксіомами:

4.1 z Î x É ( x = y É z Î y),

4.2 x Î z É ( x = y É y Î z),

визначальними, за умови, що універсум містить лише множини, інтервал абстракції ототожнення множин за «членством у них» та за їх «власним членством», з обов'язковим додаванням аксіом 1-3, що визначають Тотожністьяк еквівалентність.

Перераховані вище аксіоми 1-4 відносяться до так званих законів ТотожністьЗ них, використовуючи правила логіки, можна вивести і багато інших законів, невідомі до математичної логіки. Відмінність між логічним та гносеологічним (філософським) аспектами Тотожністьне має значення, якщо йдеться про загальні абстрактні формулювання законів ТотожністьСправа, однак, суттєво змінюється, коли ці закони використовуються для опису реалій. Визначаючи поняття «один і той самий» предмет, аксіоматики Тотожністьнеобхідно впливають на формування універсуму «всередині» відповідної аксіоматичної теорії.

Літ.:Тарський А., Введення в логіку та методологію дедуктивних наук, пров. з англ., М., 1948; Новосьолов М., Тотожність, в кн.: Філософська енциклопедія, Т. 5, М., 1970; його ж, Про деякі поняття теорії відносин, в кн.: Кібернетика та сучасне наукове пізнання, М., 1976; Шрейдер Ю. А., Рівність, подібність, порядок, М., 1971; Кліні С. К., Математична логіка, пров. з англ., М., 1973; Frege G., Schriften zur Logik, ., 1973.

М. М. Новосьолов.

Стаття про слово " Тотожністьу Великій Радянської Енциклопедіїбула прочитана 8308 разів