Варіант 1-16.
У правильній чотирикутній піраміді SABCD основа ABCD — квадрат зі стороною 6, а бічне реброодно 9. На ребрі SA зазначено точку М отже SM=6. а) Побудуйте перетин піраміди площиною, що проходить через точки В, С та М. б) Знайдіть відстань від вершини до площини ВСМ.
Рішення. Підставою нашої піраміди служить квадрат ABCD зі стороною 6, вершина S проектується у центр квадрата – точку О, гранями є рівні рівнобедрені трикутникиз основами 6 і бічними сторонами 9.
а) Побудуємо перетин ВСМ. Якщо дві площини мають загальну точку, то вони перетинаються прямою, що проходить через цю точку. Поверхня площина перетне основу піраміди по прямій ВС, грань SAB — по прямій ВМ (див. рис 1). Пряме перетинання сіючої площини з гранню SAD пройде через точку М. Як? Паралельно AD. Чому? Якби пряма MN була не паралельна AD, то вона повинна була б перетинати AD у точці, що належить прямій ВС (адже всі точки перетину сіючої площини з площиною основи лежать на прямій ВС), але це неможливо, адже AD II BC. Проводимо MN II AD і з'єднуємо точку N з точкою С. Перетин піраміди площиною, що проходить через точки, С і М побудовано і являє собою рівнобедрену трапецію BMNC з основами BC і MN.
б) Знайдемо відстань від вершини S до площини ВСМ. Виконаємо побудови: проведемо EF II AB (зауважимо, що Е – середина AD, F – середина BC). З'єднаємо точки E і F c вершиною S. Площина SEF перетне трапецію BMNC по прямій KF, яка є віссю симетрії трапеції (рис. 2). Відстанню від точки S до площини перерізу буде висота трикутника SKF, проведена до сторони KF. Побудова цього перпендикуляра залежатиме від величини кута SKF (позначимо через α). Якщо кут α — гострий, висота трикутника SKF лежатиме всередині трикутника. Якщо ж кут α – тупий, то поза трикутником. За допомогою теореми косінусів визначимо косинус кута в трикутнику SKF.
SF – висота та медіана рівнобедреного Δ SBC з боковою стороною SB=9 та основою ВС=6. SF 2 = SB 2 - BF 2 = 8 1- 9 = 72. Грані SAD і SBC рівні, тому:
Знайдемо SK (рис. 3). Визначимо кут φ.
У прямокутному MKS гіпотенуза SM = 6, тоді MK = SM ∙ cosφ; МК = 2. SK = SM ∙ sinφ (можна знайти і за теоремою Піфагора).
З МАВ за теореми косінусів знайдемо МВ.
МВ 2 = МА 2 + АВ 2 - 2 ∙ МА ∙ АВ ∙ cos∠MAB; зауважимо, що cos∠MAB=φ.
Розглянемо трапецію BMNC (рис. 4). Проведемо MP⟘BC. MK = 2, BF = 3, BP = 1. З прямокутного трикутника ВРМ з теореми Піфагора:
МР 2 = МВ 2 - ВР 2 = 33-1 = 32.
Отже, кут α – тупий, і висота ΔSKF лежатиме поза трикутником. Побудуємо ST ⊥ KF і знайдемо довжину ST – катета прямокутного трикутника TKS, що протилежить куту (π-α). ST = SK∙sin(π-α) = SK∙sinα. Знаючи косинус α, знайдемо синус α.
Варіант 1-17.
Розв'яжіть нерівність: log 3 (9 x +16 x -9∙4 x +8)≥2x.
Рішення.Представимо праву частину у вигляді логарифму на підставі 3:
log 3 (9 x +16 x -9∙4 x +8)≥log 3 3 2x . Ця нерівність буде вірною при виконанні умов:
9 x +16 x -9∙4 x +8≥3 2 x та 9 x +16 x -9∙4 x +8>0. Так як 3 2 x > 0, то можна вирішити тільки першу з нерівностей. Запишемо його у вигляді: 3 2 x +4 2 x -9 x 8 x 3 x 2 x ; перетворимо та отримаємо: 4 2 x -9∙4 x +8≥0. Зробимо заміну: 4 x = y. Розв'яжемо нерівність: y 2 -9y+8≥0. Нулі тричлена y 2 -9y + 8 - у 1 = 1, у 2 = 8. Нерівність буде правильною при y<1 и y>8. Але у = 4 х, а 4 x > 0 за будь-якого х. Отже, 4 х належатиме об'єднанню проміжків (0; 1] і , "en":["8-yYYSdzGpE"],"de":["WdBtNfapbHk","l4g4yGpfqIc"],"es":["fc4otil8UTE" ],"pt":["QruxFE8Ouno","eIt-AzICZrM","_EVKxSIiQHg"],"pl":["iplrpLjcmnw","TVgaedyu_zc"],"ro":["7COIPYhkWn8","7COIPYhkW "lt":["xDsdCWxakxk","7ieqsOukivc","xBJq0QP6o0A","SvpFoOsSxjk","551rtBJyYe0"],"el":["KhipRx4bM4Y"]))