Сторінка 1
Теорема Фробеніуса дає характеризацію дводольних графів, які мають досконалим паросочетанням. Теорема Холла містить характеризацію дводольних графів, що мають паросполучення з А в Ст Теорема Кеніга дає формулу для числа паросполучення в дводольному графі.
Теорема Фробеніуса встановлює зв'язок між інвалютивністю та інтегрованістю системи лінійно незалежних векторів.
Теорема Фробеніуса доведена повністю.
Теорема Фробеніуса т умюжения Основне поле / З грає при цьому роль одиниці, оскільки АК - А для будь-якої алгебри А. Нарешті, теорема 3.1 показує, що зворотна алгебра А, дійсно, з точністю до матриць є зворотною до алгебри А в сенсі цієї операції Все це дозволяє визначити на множині класів ізоморфізму центральних тіл структуру групи в такий спосіб.
Теорема Фробеніуса 1.43 спочатку з'явилася як теорема про природу рішень певних однорідних систем лінійних рівняньіз приватними похідними першого порядку; див. Fro-benius та обговорення інваріантів у § 2.1. Її перетворення на теорему з диференціальної геометрії вперше відбулося у важливій книзі Chevalley за групами Лі. У цій книзі вперше була зібрана разом більша частина сучасних визначеньі теорем із цього предмета. Згодом він був ще узагальнений – див. Sussmann, – проте залишилося ще багато роботи, зокрема, щодо з'ясування структури особливих множин. У цих та інших роботах терміни розподіл або диференційна системазастосовуються до того що ми просто називаємо системою векторних полів.
Теореми Фробеніуса та Шура мають складний комбінаторний доказ.
З теореми Фробеніуса слід розщеплювати груп Фробеніуса. Якщо Н - додатковий множник групи Фробені вуса, то нормалізатор будь-якої підгрупи Ях з Н міститься в останній. Оскільки те саме справедливо для будь-якої підгрупи, пов'язаної з Я, то сильно ізольований інваріантний множник групи Фробеніуса. Отже, будь-який непоодинокий елемент, що не міститься в інваріантному множнику, індукує в ньому регулярний автоморфізм.
За теоремою Фробеніуса - Перона будь-яка позитивна матриця (або невід'ємна, але нерозкладна) має позитивне дійсне власне значення A mas, якому відповідає єдиний (з точністю до множника) власний вектор з позитивними компонентами. Тим самим існування вектора пріоритетів (ваг елементів) забезпечується у всіх випадках, коли в матриці суджень є лише позитивні елементи.
По теоремі Фробеніуса всі числа (129) відмінні від нуля та одного знака.
По теоремі Фробеніуса [1, § 10, 9J здається більш загальним випадок dwj i /, Л Wk зводиться до щойно розглянутого за допомогою відповідних лінійних комбінацій, і ці умови необхідні та достатні для локальної інтегрованості. Вони гарантують, що елемент поверхні може бути продовжений з инфинитезимального на локальний рівень; питання ж про можливість продовження на глобальний рівеньзалишається відкритим. У цьому випадку N характеризується векторним полем X Т 1, і, як показано в параграфі 2.3, X локально завжди існують інтегральні криві. У загальному випадку n - мірні підрізноманіття інваріантні щодо локальних потоків Фх, породжених векторним полем X, що задовольняють умові (wj Х) 0, і навіть локально породжених, якщо Фх можуть діяти на точку.
:Енциклопедичний YouTube
-
1 / 5
Нехай - тіло, що містить як підтіло тіло R (\displaystyle \mathbb (R) )дійсних чисел, причому виконуються дві умови:
Іншими словами, L (\displaystyle \mathbb (L) )є кінцевомірною алгеброю з поділом над полем дійсних чисел.
Теорема Фробеніуса стверджує, що всяке таке тіло L (\displaystyle \mathbb (L) ):
Зазначимо, що теорема Фробеніуса відноситься тільки до кінцевих розширень. R (\displaystyle \mathbb (R) ). Наприклад, вона не охоплює поле гіперречових чисел нестандартного аналізу, яке теж є розширенням R (\displaystyle \mathbb (R) ), але не кінцевим. Інший приклад, алгебра раціональних функцій.
Наслідки та зауваження
Три останні твердження утворюють так звану узагальнену теоремуФробеніуса.
Алгебри з поділом над полем комплексних чисел
Алгебра розмірності nнад полем комплексних чиселє алгеброю розмірності 2nнад R (\displaystyle \mathbb (R) ). Тіло кватерніонів не є алгеброю над полем C (\displaystyle \mathbb (C) ), оскільки центром H (\displaystyle \mathbb (H) )є одномірний речовий простір. Тому єдиною кінцевою алгеброю з поділом над C (\displaystyle \mathbb (C) )є алгебра C (\displaystyle \mathbb (C) ).
Гіпотеза Фробеніуса
У теоремі є умова асоціативності. Що буде, якщо відмовитись від цієї умови? Гіпотеза Фробеніуса стверджує, що і без умови асоціативності при n, відмінному від 1, 2, 4, 8, у речовому лінійному просторі R nне можна визначити структуру алгебри з поділом. Гіпотеза Фробеніуса доведена в 60-х роках. XX ст.
Якщо при n>1у просторі R nвизначено білінійне множення без дільників нуля, то на сфері S n-1 існує n-1лінійно незалежних векторних полів. З результатів, отриманих Адамсом про кількість векторні поля на сферіслід, що це можливо тільки для сфер S 1 , S 3 , S 7 . Це доводить гіпотезу Фробеніуса.
також
Література
- Бахтурін Ю. А.Основні структури сучасної алгебри. - М.: Наука, 1990. - 320 с.
- Курош А. Г.Лекції по загальної алгебрі. 2-е-вид. - М.: Наука, 1973. - 400 с.
- Понтрягін Л. С.Узагальнення чисел . - М.: Наука, 1986. - 120 с. - (Бібліотечка "Квант", випуск 54).
Рахункові
безлічіРечові числа
та їх розширенняІнструменти розширення
числових системІєрархія чисел − 1 , 0 , 1 , … (\displaystyle -1,\;0,\;1,\;\ldots ) Якщо I = f0g, F = R.
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Якщо I = f0g, F = R.
Якщо розмірність підпростору Iдорівнює 1, то F = C.
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Якщо I = f0g, F = R.
Якщо розмірність підпростору Iдорівнює 1, то F = C. Нехай розмірність підпростору Iбільше 1.
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Нехай розмірність підпростору Iбільше 1.
простору I. Покладемо i = p1u. Тоді
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Нехай розмірність підпростору Iбільше 1.
Візьмемо лінійно незалежну систему векторів fu; vg лінійного
простору I. Покладемо i =
i2 =
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Нехай розмірність підпростору Iбільше 1.
Візьмемо лінійно незалежну систему векторів fu; vg лінійного
простору I. Покладемо i =
u 2 (u2 ) =
i2 = p1 u 2 u
p 1 u 2 u =
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Нехай розмірність підпростору Iбільше 1.
Візьмемо лінійно незалежну систему векторів fu; vg лінійного
простору I. Покладемо i =
u 2 (u2 ) = 1:
i2 = p1 u 2 u
p 1 u 2 u =
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Нехай розмірність підпростору Iбільше 1.
Візьмемо лінійно незалежну систему векторів fu; vg лінійного
простору I. Покладемо i = p1u. Тоді i2 = 1:
За сумою i v = + x, де 2 R, x 2 I.
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Нехай розмірність підпростору Iбільше 1.
Візьмемо лінійно незалежну систему векторів fu; vg лінійного
простору I. Покладемо i =
u. Тоді i2 = 1:
лемі про розкладання елементів з F
i v = + x, де
2 R, x 2 I. Згідно
(i + v) 2 I ,
зокрема, (i + v)2< 0.
(i + v)2
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Нехай розмірність підпростору Iбільше 1.
Візьмемо лінійно незалежну систему векторів fu; vg лінійного
простору I. Покладемо i =
u. Тоді i2 = 1:
лемі про розкладання елементів з F
i v = + x, де
2 R, x 2 I. Згідно
(i + v) 2 I ,
зокрема, (i + v)2< 0.
(i + v)2
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Нехай розмірність підпростору Iбільше 1.
Візьмемо лінійно незалежну систему векторів fu; vg лінійного
простору I. Покладемо i =
u. Тоді i2 = 1:
лемі про розкладання елементів з F
i v = + x, де
2 R, x 2 I.
Згідно
(i + v) 2 I ,
зокрема, (i + v)2< 0.
(i + v)2
(i+v)!
(i + v)2
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Нехай розмірність підпростору Iбільше 1.
Візьмемо лінійно незалежну систему векторів fu; vg лінійного
простору I. Покладемо i =
u. Тоді i2 = 1:
лемі про розкладання елементів з F
i v = + x, де
2 R, x 2 I.
Згідно
(i + v) 2 I ,
зокрема, (i + v)2< 0.
(i + v)2
(i+v)!
(i + v)2
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Нехай розмірність підпростору Iбільше 1.
Візьмемо лінійно незалежну систему векторів fu; vg лінійного
простору I. Покладемо i =
u. Тоді i2 = 1:
про розкладання
елементів з
i v = + x, де
2 R, x 2 I.
(i + v). Маємо j2 = 1,
(i + v)2
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Нехай розмірність підпростору Iбільше 1.
Візьмемо лінійно незалежну систему векторів fu; vg лінійного
простору I. Покладемо i =
u. Тоді i2 = 1:
про розкладання
елементів з
i v = + x, де
2 R, x 2 I.
(i1+v). Маємо j2 = 1,
(i + v)2
i j = i
(i + v)2
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Нехай розмірність підпростору Iбільше 1.
Візьмемо лінійно незалежну систему векторів fu; vg лінійного
простору I. Покладемо i =
u. Тоді i2 = 1:
про розкладання елементів
i v = + x, де
x 2 I.
(i1+v). Маємо j2 = 1,
(i + v)2
i j = i
(i + v)2
(i + v)2
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Нехай розмірність підпростору Iбільше 1.
Візьмемо лінійно незалежну систему векторів fu; vg лінійного
простору I. Покладемо i =
u. Тоді i2 = 1:
про розкладання
елементів
i v = + x, де
x 2 I.
(i1+v). Маємо j2 = 1,
(i + v)2
i j = i
(i + v)2
(i + v)2
(i + v)2
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Нехай розмірність підпростору Iбільше 1.
Візьмемо лінійно незалежну систему векторів fu; vg лінійного
простору I. Покладемо i =
u. Тоді i2 = 1:
про розкладання
елементів
i v = + x, де
x 2 I.
(i1+v). Маємо j2 = 1,
(i + v)2
i j = i
(i + v)2
(i + v)2
x 2 I :
(i + v)2
(i + v)2
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Нехай розмірність підпростору Iбільше 1.
Візьмемо лінійно незалежну систему векторів fu; vg лінійного
простору I. Покладемо i =
u. Тоді i2 = 1:
про розкладання
елементів з
i v = + x, де
2 R, x 2 I.
(i + v)2
Значить, ,
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Нехай розмірність підпростору Iбільше 1.
Візьмемо лінійно незалежну систему векторів fu; vg лінійного
простору I. Покладемо i =
u. Тоді i2 = 1:
про розкладання
елементів з
i v = + x, де
2 R, x 2 I.
(i + v). Маємо j2 = 1, i j 2I :
(i + v)2
I + j + i j; ; ; 2 R
тіло кватерніонів.
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Нехай розмірність підпростору Iбільше 1.
Візьмемо лінійно незалежну систему векторів fu; vg лінійного
простору I. Покладемо i =
u. Тоді i2 = 1:
про розкладання
елементів з
i v = + x, де
2 R, x 2 I.
(i + v). Маємо j2 = 1, i j 2I :
(i + v)2
Значить, по лемі про вкладання тіла кватерніонів у F ,
I + j + i j; ; ; 2 R
тіло кватерніонів.
Таким чином, якщо лінійний простір I має розмірність 3, F це тіло кватерніонів.
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
підпростору Iбільше 3.
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Залишилося розглянути випадок, коли розмірність підпростору I
Візьмемо лінійно незалежну
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Залишилося розглянути випадок, коли розмірність підпростору Iбільше 3. Ми довели, що тоді F включає тіло кватерніонів.
Візьмемо лінійно незалежнусистему векторів fi; j; k; mg, де i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
x; y; z 2 I :
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Залишилося розглянути випадок, коли розмірність підпростору Iбільше 3. Ми довели, що тоді F включає тіло кватерніонів.
Візьмемо лінійно незалежнусистему векторів fi; j; k; mg, де i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
В силу леми про розкладання елементів із F у суму
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Залишилося розглянути випадок, коли розмірність підпростору Iбільше 3. Ми довели, що тоді F включає тіло кватерніонів.
Візьмемо лінійно незалежнусистему векторів fi; j; k; mg, де i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
В силу леми про розкладання елементів із F у суму
x; y; z 2 I :
В силу леми про підпростор I t = m + i + j + k 2I. З лінійної незалежностісистеми векторів fi; j; k; mg слі-
дме, що t 6 = 0.
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Залишилося розглянути випадок, коли розмірність підпростору Iбільше 3. Ми довели, що тоді F включає тіло кватерніонів.
Візьмемо лінійно незалежнусистему векторів fi; j; k; mg, де i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
В силу леми про розкладання елементів із F у суму
x; y; z 2 I :
лемі про підпростор I
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Залишилося розглянути випадок, коли розмірність підпростору Iбільше 3. Ми довели, що тоді F включає тіло кватерніонів.
Візьмемо лінійно незалежнусистему векторів fi; j; k; mg, де i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
В силу леми про розкладання елементів із F у суму
x; y; z 2 I :
Доведено, що 06 = t = m + i + j + k 2 I . за лемі про підпростор I
i t = i m + k j =
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Залишилося розглянути випадок, коли розмірність підпростору Iбільше 3. Ми довели, що тоді F включає тіло кватерніонів.
Візьмемо лінійно незалежнусистему векторів fi; j; k; mg, де i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
В силу леми про розкладання елементів із F у суму
x; y; z 2 I :
Доведено, що 06 = t = m + i + j + k 2 I . за лемі про підпростор I
i t = i m + k j = x + k j
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Залишилося розглянути випадок, коли розмірність підпростору Iбільше 3. Ми довели, що тоді F включає тіло кватерніонів.
Візьмемо лінійно незалежнусистему векторів fi; j; k; mg, де i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
В силу леми про розкладання елементів із F у суму
x; y; z 2 I :
Доведено, що 06 = t = m + i + j + k 2 I . за лемі про підпростор I
i t = i m + k j = x + k j 2 I:
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Залишилося розглянути випадок, коли розмірність підпростору Iбільше 3. Ми довели, що тоді F включає тіло кватерніонів.
Візьмемо лінійно незалежнусистему векторів fi; j; k; mg, де i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
В силу леми про розкладання елементів із F у суму
Аналогічно можна довести, що j t 2 I, k t 2 I.
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Залишилося розглянути випадок, коли розмірність підпростору Iбільше 3. Ми довели, що тоді F включає тіло кватерніонів.
Візьмемо лінійно незалежнусистему векторів fi; j; k; mg, де i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
В силу леми про розкладання елементів із F у суму
x; y; z 2 I :
Доведено, що
0 6 = t = m + i + j + k 2 I. Полем про підпро-
подорожі I
i t 2 I, j t 2 I,
Покладемо n =
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Залишилося розглянути випадок, коли розмірність підпростору Iбільше 3. Ми довели, що тоді F включає тіло кватерніонів.
Візьмемо лінійно незалежнусистему векторів fi; j; k; mg, де i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Залишилося розглянути випадок, коли розмірність підпростору Iбільше 3. Ми довели, що тоді F включає тіло кватерніонів.
Візьмемо лінійно незалежнусистему векторів fi; j; k; mg, де i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
Ми знайшли такий n 2 I, що n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,
По лемі про вкладення тіла кватерніонів у F
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Залишилося розглянути випадок, коли розмірність підпростору Iбільше 3. Ми довели, що тоді F включає тіло кватерніонів.
Візьмемо лінійно незалежнусистему векторів fi; j; k; mg, де i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
Ми знайшли такий n 2 I, що n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,
По лемі про вкладення тіла кватерніонів у F
i n = n i; j n = n j; k n = n k:
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Залишилося розглянути випадок, коли розмірність підпростору Iбільше 3. Ми довели, що тоді F включає тіло кватерніонів.
Візьмемо лінійно незалежнусистему векторів fi; j; k; mg, де i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
Ми знайшли такий n 2 I, що n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,
По лемі про вкладення тіла кватерніонів у F
i n = n i; j n = n j; k n = n k:
N i j = i n j =
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Залишилося розглянути випадок, коли розмірність підпростору Iбільше 3. Ми довели, що тоді F включає тіло кватерніонів.
Візьмемо лінійно незалежнусистему векторів fi; j; k; mg, де i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
Ми знайшли такий n 2 I, що n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,
По лемі про вкладення тіла кватерніонів у F
i n = n i; j n = n j; k n = n k:
N k = n i j = i n j =
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Залишилося розглянути випадок, коли розмірність підпростору Iбільше 3. Ми довели, що тоді F включає тіло кватерніонів.
Візьмемо лінійно незалежнусистему векторів fi; j; k; mg, де i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
Ми знайшли такий n 2 I, що n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,
По лемі про вкладення тіла кватерніонів у F
i n = n i; j n = n j; k n = n k: k n = n k = n i j = i n j =
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Залишилося розглянути випадок, коли розмірність підпростору Iбільше 3. Ми довели, що тоді F включає тіло кватерніонів.
Візьмемо лінійно незалежнусистему векторів fi; j; k; mg, де i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
Ми знайшли такий n 2 I, що n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,
По лемі про вкладення тіла кватерніонів у F
i n = n i; j n = n j; k n = n k:
k n = n k = n i j = i n j = i (j n) =
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Залишилося розглянути випадок, коли розмірність підпростору Iбільше 3. Ми довели, що тоді F включає тіло кватерніонів.
Візьмемо лінійно незалежнусистему векторів fi; j; k; mg, де i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
Ми знайшли такий n 2 I, що n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,
По лемі про вкладення тіла кватерніонів у F
i n = n i; j n = n j; k n = n k:
VII.6. Доказ теореми Фробеніуса
Залишилося розглянути випадок, коли розмірність підпростору Iбільше 3. Ми довели, що тоді F включає тіло кватерніонів.
Візьмемо лінійно незалежнусистему векторів fi; j; k; mg, де i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.
Ми знайшли такий n 2 I, що n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,
По лемі про вкладення тіла кватерніонів у F
i n = n i; j n = n j; k n = n k:
k n = n k = n i j = i n j = i (j n) = k n:
Отже, 2k n = 0, суперечність.
VII. Теорема Фробеніуса
Теорема 2. Нехай F тіло, причому R F,
9i1; i2; : : : ; in
9 0; 1; 2; : : : ;n 2 R
z = 0 +1 i1 +2 i2 + : : : +n in :
Тоді F це або R, або C, або тіло кватерніонів.
Теорему доведено.
увага!
e-mail: [email protected]; [email protected]
сайти: http://melnikov.k66.ru; http://melnikov.web.ur.ru
ФРОБЕНІУСА ТЕОРЕМА
Описує всі кінцеві асоціативні дійсні алгебри без дільників нуля, доведена Г. Фробеніусом. Ф. т. стверджує, що:
1) Поле дійсних чиселі комплексних чисел є єдиними кінцевими дійсними асоціативно-комутативними алгебрами без дільників нуля.
2) Тіло кватерніонів є єдиною кінцевою дійсною асоціативною, але не комутативною алгеброю без дільників нуля.
Існує також опис альтернативних кінцевих алгебр без дільників нуля:
3) Алгебра Келі є єдиною кінцевою дійсною альтернативною, але не асоціативною алгеброю без дільників нуля.
Об'єднання цих трьох тверджень готівкою. узагальненою теоремою Фробеніуса. Усі алгебри, що беруть участь у формулюванні теореми, виявляються алгебрами з однозначним поділомта з одиницею. Ф. т. не може бути узагальнена на випадки неальтернативних алгебр. Доведено, однак, що будь-який кінцево дійсної алгебри без дільників нуля може приймати лише значення, рівні 1, 2, 4 або 8.Літ.: Frobenius F., "J. reine und angew. Math.", 1877, Bd 82, S. 230-315; Курош А. Р., Лекції з загальної алгебри, 2 видавництва, М., 1973.
О. А. Іванова.Математична енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.
Дивитись що таке "ФРОБЕНІУСА ТЕОРЕМА" в інших словниках:
Теорема про умови повної інтегрованості системи рівнянь Пфаффа або (в геометричних термінах) про умови, за яких задане на диференційованому різноманітті поле n мірних дотичних підпросторів є дотичним полем деякого шарування … Математична енциклопедія
Нехай дійсна квадратна матрицяА, що розглядається як оператор у просторі, не має інваріантних координатних підпросторів (така матриця зв. нерозкладною) і невід'ємна (тобто всі її елементи невід'ємні). І нехай її… … Математична енциклопедія
Нехай A квадратна матриця, зі суворо позитивними речовими елементами, тоді справедливі твердження: найбільше за модулем власне числоє речовим та суворо позитивним це власне значення є простим… … Вікіпедія
Теорема Фробеніуса Перрона (англ.): Нехай квадратна матриця, зі суворо позитивними речовими елементами, тоді справедливі твердження: найбільше за модулем власне значення є речовим і суворо... Вікіпедія
Фердинанд Георг Фробеніус нім. Ferdinand Georg Frobenius … Вікіпедія
- (Нім. Ferdinand Georg Frobenius; 26 жовтня 1849, Берлін 3 серпня 1917, Шарлоттенбург) німецький математик. Біографія У 1867 році один семестр відвідував заняття в Геттінгенському університеті, зат … Вікіпедія
Фердинанд Георг Фробеніус Фердинанд Георг Фробеніус (нім. Ferdinand Georg Frobenius; 26 жовтня 1849, Берлін 3 серпня 1917, Шарлоттенбург) німецький математик. Біографія У 1867 році один семестр відвідував заняття в Геттінгенському університеті, зат … Вікіпедія
Фердинанд Георг Фробеніус Фердинанд Георг Фробеніус (нім. Ferdinand Georg Frobenius; 26 жовтня 1849, Берлін 3 серпня 1917, Шарлоттенбург) німецький математик. Біографія У 1867 році один семестр відвідував заняття в Геттінгенському університеті, зат … Вікіпедія
Кільця та алгебри з асоціативним множенням, тобто множини з двома бінарними операціями додаванням + і множенням Х, що є абелевою групою по додаванню і напівгрупою по множенню, причому множення дистрибутивно (зліва і праворуч) щодо … Математична енциклопедія
Книги
- , Зорич В.. Ця книга - записи річного експериментального спецкурсу природничо змісту для математиків, а також студентів і фахівців інших спеціальностей. В ньому представлені три теми: -…
- Математичний аналіз завдань природознавства, В. А. Зорич. Ця книга - записи річного експериментального спецкурсу природничо змісту для математиків, а також студентів та фахівців інших спеціальностей. В ньому представлені три теми: -…