Bir olay bir testin sonucudur. Etkinlik nedir? Torbadan rastgele bir top alınıyor. Bir kavanozdan top almak bir testtir. Belirli bir renkteki topun ortaya çıkması bir olaydır. Olasılık teorisinde bir olay, belirli bir zaman noktasından sonra hakkında iki şeyden yalnızca birinin söylenebileceği bir şey olarak anlaşılır. Evet, oldu. Hayır, olmadı. Bir deneyin olası sonucuna temel olay, bu tür sonuçların kümesine ise basitçe olay denir.
Tahmin edilemeyen olaylara rastgele denir. Bir olay, aynı koşullar altında meydana gelebilir veya gelmeyebilirse tesadüfi olay olarak adlandırılır. Zar atıldığında sonuç altı olacaktır. Piyango biletim var. Piyango sonuçları açıklandıktan sonra beni ilgilendiren olay - bin ruble kazanmak - ya olur ya da olmaz. Örnek.
Belirli koşullar altında aynı anda gerçekleşebilen iki olaya ortak, aynı anda gerçekleşemeyen olaylara ise uyumsuz denir. Bir madeni para atılıyor. “Armanın” görünümü yazıtın görünümünü hariç tutar. “Bir arma ortaya çıktı” ve “bir yazıt ortaya çıktı” olayları birbiriyle bağdaşmıyor. Örnek.
Her zaman meydana gelen bir olaya güvenilir denir. Gerçekleşmeyecek olaya imkansız denir. Örneğin, içinde yalnızca siyah topların bulunduğu bir torbadan bir top çekildiğini varsayalım. O halde siyah topun ortaya çıkışı güvenilir bir olaydır; beyaz bir topun ortaya çıkması imkansız bir olaydır. Örnekler. Gelecek yıl kar yağmayacak. Zar atıldığında sonuç yedi olacaktır. Bunlar imkansız olaylardır. Gelecek yıl kar yağacak. Zar attığınızda yediden küçük bir sayı elde edersiniz. Günlük gündoğumu. Bunlar güvenilir olaylardır.
Problem çözme Tanımlanan olayların her biri için ne olduğunu belirleyin: imkansız, güvenilir veya rastgele. 1. Sınıftaki 25 öğrenciden ikisi doğum gününü şu tarihte kutlar: a) 30 Ocak; b) 30 Şubat. 2. Edebiyat ders kitabı rastgele açılır ve sol sayfada ikinci kelime bulunur. Bu kelime: a) “K” harfiyle başlar; b) “Ъ” harfiyle başlayarak.
3. Bugün Soçi'de barometre normal atmosferik basıncı gösteriyor. Bu durumda: a) Tavadaki su 80° C sıcaklıkta kaynatılır; b) Sıcaklık -5° C'ye düştüğünde su birikintisindeki su dondu. 4. İki zar atılır: a) ilk zar 3 puan, ikinci zar ise 5 puan gösterir; b) iki zarın üzerine atılan puanların toplamı 1'dir; c) iki zarın üzerine atılan puanların toplamı 13'tür; d) her iki zar da 3 puan aldı; e) İki zardaki puanların toplamı 15'ten azdır. Problem çözümü
5. Kitabın herhangi bir sayfasını açtınız ve karşınıza çıkan ilk ismi okudunuz. Şu ortaya çıktı: a) seçilen kelimenin yazılışında bir sesli harf var; b) seçilen kelimenin yazımı “O” harfini içeriyor; c) seçilen kelimenin yazılışında sesli harf yoktur; d) Seçilen kelimenin yazılışında yumuşak bir işaret var. Problem çözme
Gözlemlediğimiz olaylar (olgular) şu üç türe ayrılabilir: güvenilir, imkansız ve rastgele.
Güvenilir belirli bir S koşulu yerine getirildiğinde mutlaka gerçekleşecek bir olaya denir. Örneğin, bir kapta normal atmosfer basıncında ve 20° sıcaklıkta su bulunuyorsa bu durumda “kaptaki suyun sıvı halinde olması” olayına denir. devlet” güvenilirdir. Bu örnekte verilen atmosferik basınç ve su sıcaklığı, S koşulları kümesini oluşturur.
İmkansız S koşulları kümesi yerine getirildiğinde kesinlikle gerçekleşmeyecek bir olaya diyorlar. Örneğin, bir önceki örneğin koşullar kümesi yerine getirildiğinde “kaptaki suyun katı halde olması” olayı kesinlikle gerçekleşmeyecektir.
Rastgele Bir dizi S koşulu yerine getirildiğinde meydana gelebilecek veya meydana gelmeyecek bir olayı çağırın. Örneğin, bir madeni para atılırsa, üzerine bir arma veya bir yazı gelecek şekilde düşebilir. Bu nedenle, “para atarken “armanın” düşmesi olayı rastgeledir. Her rastgele olay, özellikle de bir "armanın" ortaya çıkışı, birçok rastgele nedenin eyleminin sonucudur (örneğimizde: madalyonun fırlatılma kuvveti, madalyonun şekli ve diğerleri). . Sayıları çok fazla olduğundan ve eylemlerinin yasaları bilinmediğinden, tüm bu nedenlerin sonuç üzerindeki etkisini hesaba katmak imkansızdır. Bu nedenle olasılık teorisi, tek bir olayın gerçekleşip gerçekleşmeyeceğini tahmin etme görevini kendisine vermez; bunu kesinlikle yapamaz.
Aynı S koşulları karşılandığında tekrar tekrar gözlemlenebilen rastgele olayları ele alırsak, yani büyük homojen rastgele olaylardan bahsediyorsak durum farklıdır. Yeterince fazla sayıda homojen rastgele olayın, spesifik doğalarına bakılmaksızın belirli kalıplara, yani olasılıksal kalıplara tabi olduğu ortaya çıktı. Olasılık teorisi bu düzenliliklerin kurulmasıyla ilgilidir.
Dolayısıyla olasılık teorisinin konusu, kütlesel homojen rastgele olayların olasılıksal modellerinin incelenmesidir.
Olasılık teorisinin yöntemleri doğa bilimleri ve teknolojinin çeşitli dallarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Olasılık teorisi aynı zamanda matematiksel ve uygulamalı istatistiklerin kanıtlanmasına da hizmet eder.
Rastgele olay türleri. Olaylar denir uyumsuz Bunlardan birinin meydana gelmesi, aynı duruşmada diğer olayların meydana gelmesini dışlıyorsa.
Örnek. Bir madeni para atılıyor. “Armanın” görünümü yazıtın görünümünü hariç tutar. “Bir arma ortaya çıktı” ve “bir yazıt ortaya çıktı” olayları birbiriyle bağdaşmıyor.
Çeşitli etkinlikler formu tam grup, eğer test sonucunda bunlardan en az biri ortaya çıkarsa. Özellikle tam bir grubu oluşturan olaylar ikili olarak tutarsızsa, deneme sonucunda bu olaylardan yalnızca biri ortaya çıkacaktır. Bu özel durum, daha fazla kullanılacağı için bizi çok ilgilendiriyor.
Örnek 2. İki nakit ve giyim piyango bileti satın alındı. Şu olaylardan sadece biri mutlaka gerçekleşecektir: “kazançlar ilk bilete düştü ikinciye düşmedi”, “kazançlar ilk bilete düşmedi ikinciye düştü”, “kazançlar düştü her iki bilette de kazanç yoktu”, “her iki bilette de kazanç yoktu” düştü.” Bu olaylar ikili olarak uyumsuz olayların tam bir grubunu oluşturur.
Örnek 3. Atıcı hedefe ateş etti. Şu iki olaydan biri mutlaka gerçekleşecektir: Vur, ıskala. Birbiriyle bağdaşmayan bu iki olay tam bir grup oluşturur.
Olaylar denir eşit derecede mümkün eğer ikisinin de diğerinden daha mümkün olmadığına inanmak için bir neden varsa.
Örnek 4. Bir "armanın" ortaya çıkması ve yazı tura atıldığında bir yazının ortaya çıkması eşit derecede olası olaylardır. Aslında, madeni paranın homojen bir malzemeden yapıldığı, düzenli silindirik bir şekle sahip olduğu ve basımın varlığının madalyonun bir tarafının veya diğerinin kaybını etkilemediği varsayılmaktadır.
Latin alfabesinin büyük harfleriyle gösteriliyorum: A, B, C,.. A 1, A 2..
Karşıtlar, tam bir grup oluşturan, benzersiz şekilde olası iki isyan türüdür. Eğer ikisinden biri karşı cinsse. olaylar A ile gösterilirse, başka bir ad A` olur.
Örnek 5. Bir hedefe - karşı alana ateş ederken vurun ve ıskalayın. kişisel
Olasılık teorisi, matematiğin herhangi bir dalı gibi, belirli bir kavram yelpazesiyle çalışır. Olasılık teorisinin çoğu kavramına bir tanım verilmiştir, ancak geometrideki bir nokta, düz bir çizgi, bir düzlem gibi bazıları tanımlanmamış, birincil olarak alınmıştır. Olasılık teorisinin temel kavramı bir olaydır. Bir olay, belirli bir zaman noktasından sonra hakkında iki şeyden yalnızca birinin söylenebileceği bir şey olarak anlaşılır:
- · Evet oldu.
- · Hayır olmadı.
Mesela bir piyango biletim var. Piyango sonuçları açıklandıktan sonra beni ilgilendiren olay - bin ruble kazanmak - ya olur ya da olmaz. Herhangi bir olay bir testin (ya da deneyimin) sonucunda ortaya çıkar. Bir test (veya deneyim), bir olayın meydana gelmesine neden olan koşulları ifade eder. Örneğin, yazı tura atmak bir testtir ve üzerinde bir “armanın” ortaya çıkması bir olaydır. Bir olay genellikle büyük Latin harfleriyle gösterilir: A,B,C,…. Maddi dünyadaki olaylar üç kategoriye ayrılabilir: güvenilir, imkansız ve rastgele.
Belirli bir olay, önceden gerçekleşeceği bilinen bir olaydır. W harfiyle gösterilir. Bu nedenle, sıradan bir zar atıldığında altıdan fazla noktanın görünmemesi, yalnızca beyaz topların bulunduğu bir torbadan çıkarıldığında beyaz bir topun ortaya çıkması vb. güvenilirdir.
İmkansız olay, gerçekleşmeyeceği önceden bilinen olaydır. E harfiyle gösterilir. İmkansız olaylara örnek olarak normal bir kart destesinden dörtten fazla as çekmek, yalnızca beyaz ve siyah topların bulunduğu bir torbadan kırmızı bir top çekmek vb. gösterilebilir.
Rastgele olay, bir testin sonucunda meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek bir olaydır. A ve B olaylarından birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelme olasılığını dışlıyorsa uyumsuz olaylar olarak adlandırılır. Bu nedenle, bir zar atıldığında olası herhangi bir sayının ortaya çıkması (A olayı), başka bir sayının ortaya çıkmasıyla (B olayı) bağdaşmaz. Çift sayıda noktayı yuvarlamak, tek sayıyı yuvarlamakla tutarsızdır. Aksine, çift sayıda noktanın yuvarlanması (A olayı) ve üçün katı olan sayıda noktanın (B olayı) uyumsuz olmayacaktır, çünkü altı puanın yuvarlanması, hem A olayının hem de B olayının meydana gelmesi anlamına gelir; dolayısıyla birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini engellemez. Olaylar üzerinde işlemler gerçekleştirebilirsiniz. İki C=AUB olayının birleşimi, yalnızca bu A ve B olaylarından en az birinin meydana gelmesi durumunda meydana gelen bir C olayıdır. İki olayın kesişimi D=A?? B, yalnızca A ve B olaylarının her ikisinin de meydana gelmesi durumunda meydana gelen bir olaydır.
5. sınıf. Olasılığa Giriş (4 saat)
(bu konuyla ilgili 4 dersin geliştirilmesi)
Öğrenme hedefleri : - rastgele, güvenilir ve imkansız bir olayın tanımını tanıtmak;
Kombinatoryal problemlerin çözümüne ilişkin ilk fikirleri sağlayın: seçenekler ağacını kullanmak ve çarpma kuralını kullanmak.
Eğitim hedefi: Öğrencilerin dünya görüşünün gelişimi.
Gelişim hedefi : mekansal hayal gücünün geliştirilmesi, bir cetvelle çalışma becerisinin geliştirilmesi.
Güvenilir, imkansız ve rastgele olaylar (2 saat)
Kombinatoryal problemler (2 saat)
Güvenilir, imkansız ve rastgele olaylar.
İlk ders
Ders ekipmanları: zar, madeni para, tavla.
Hayatımız büyük ölçüde kazalardan ibarettir. “Olasılık Teorisi” diye bir bilim var. Onun dilini kullanarak birçok olguyu ve durumu tanımlayabilirsiniz.
İlkel lider bile bir düzine avcının bir bizonu mızrakla vurma "olasılığının" bir bizona göre daha yüksek olduğunu anlamıştı. Bu yüzden o zamanlar toplu olarak avlanıyorlardı.
Savaşa hazırlanan Büyük İskender veya Dmitry Donskoy gibi eski komutanlar, yalnızca savaşçıların cesaretine ve sanatına değil, aynı zamanda şansa da güvendiler.
Pek çok insan matematiği sonsuz gerçekler için sever: iki kere iki her zaman dört eder, çift sayıların toplamı çifttir, bir dikdörtgenin alanı bitişik kenarlarının çarpımına eşittir vb. Çözdüğünüz herhangi bir problemde herkes aynı cevabı alır - sadece kararda hata yapmamanız gerekir.
Gerçek hayat bu kadar basit ve anlaşılır değil. Pek çok olayın sonucu önceden tahmin edilemez. Örneğin atılan bir paranın hangi tarafa düşeceğini, gelecek yıl ilk karın ne zaman yağacağını, önümüzdeki bir saat içinde kentte kaç kişinin telefon etmek isteyeceğini kesin olarak söylemek mümkün değil. Bu tür öngörülemeyen olaylara denir rastgele .
Ancak şansın da kendi yasaları vardır ve bunlar, rastgele olayların birçok kez tekrarlanmasıyla kendini göstermeye başlar. Bir parayı 1000 kez atarsanız, yaklaşık olarak yarısında tura gelecektir; ancak iki, hatta on atışta durum böyle değildir. "Yaklaşık" yarım anlamına gelmez. Bu genellikle böyle olabilir veya olmayabilir. Yasa kesin olarak hiçbir şey ifade etmiyor ancak rastgele bir olayın meydana geleceğine dair belirli bir güven sağlıyor. Bu tür modeller matematiğin özel bir dalı tarafından incelenmektedir. Olasılık teorisi . Onun yardımıyla, hem ilk kar yağışının tarihini hem de telefon görüşmelerinin sayısını daha büyük bir güvenle (ancak yine de emin değil) tahmin edebilirsiniz.
Olasılık teorisi günlük hayatımızla ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır. Bu bize, rastgele deneyleri birçok kez tekrarlayarak birçok olasılık yasasını deneysel olarak oluşturmak için harika bir fırsat verir. Bu deneylerin malzemeleri çoğunlukla sıradan bir madeni para, bir zar, bir dizi domino, tavla, rulet ve hatta bir deste kart olacaktır. Bu öğelerin her biri bir şekilde oyunlarla ilgilidir. Gerçek şu ki, vaka burada en sık görülen haliyle karşımıza çıkıyor. Ve ilk olasılıksal görevler, oyuncuların kazanma şansını değerlendirmekle ilgiliydi.
Modern olasılık teorisi kumardan uzaklaştı, ancak onun destekleri hala en basit ve en güvenilir şans kaynağı olmaya devam ediyor. Rulet ve zarla pratik yaptıktan sonra, gerçek hayattaki durumlarda rastgele olayların olasılığını hesaplamayı öğreneceksiniz; bu, başarı şansınızı değerlendirmenize, hipotezleri test etmenize ve yalnızca oyunlarda ve piyangolarda değil, en uygun kararları vermenize olanak tanır.
Olasılığa dayalı problemleri çözerken çok dikkatli olun, attığınız her adımı gerekçelendirmeye çalışın çünkü matematiğin başka hiçbir alanı bu kadar çok paradoks içermez. Olasılık teorisi gibi. Ve belki de bunun ana açıklaması, içinde yaşadığımız gerçek dünyayla olan bağlantısıdır.
Çoğu oyun, her iki tarafta 1'den 6'ya kadar farklı sayıda noktanın işaretlendiği bir zar kullanır, oyuncu zarları atar, kaç noktanın göründüğüne bakar (üstte bulunan tarafta) ve karşılık gelen sayıda hamle yapar. : 1,2,3 ,4,5 veya 6. Zar atmak bir deneyim, bir deney, bir test olarak değerlendirilebilir ve elde edilen sonuç bir olay olarak kabul edilebilir. İnsanlar genellikle şu ya da bu olayın meydana geldiğini tahmin etmek ve sonucunu tahmin etmekle çok ilgilenirler. Zar attıklarında ne gibi tahminlerde bulunabilirler? İlk tahmin: 1,2,3,4,5 veya 6 rakamlarından biri görünecektir. Tahmin edilen olayın gerçekleşeceğini düşünüyor musunuz? Elbette mutlaka gelecektir. Belirli bir deneyimde gerçekleşmesi kesin olan olaya ne ad verilir? güvenilir bir olay.
İkinci tahmin : 7 rakamı görünecektir. Tahmin edilen olayın gerçekleşeceğini düşünüyor musunuz? Tabii ki olmayacak, kesinlikle imkansız. Belirli bir deneyimde gerçekleşemeyen olaya denir imkansız olay.
Üçüncü tahmin : 1 rakamı görünecektir. Tahmin edilen olayın gerçekleştiğini düşünüyor musunuz? Tahmin edilen olay gerçekleşip gerçekleşmeyebileceğinden bu soruya tam bir kesinlik ile cevap veremiyoruz. Belirli bir deneyimde meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek bir olaya denir rastgele bir olay.
Egzersiz yapmak : Aşağıdaki görevlerde tartışılan olayları açıklayın. Kesin, imkansız veya rastgele gibi.
Bir yazı tura atalım. Bir arma ortaya çıktı. (rastgele)
Avcı kurda ateş etti ve onu vurdu. (rastgele)
Okul çocuğu her akşam yürüyüşe çıkar. Pazartesi günü yürürken üç tanıdıkla karşılaştı. (rastgele)
Aşağıdaki deneyi zihinsel olarak gerçekleştirelim: Bir bardak suyu ters çevirin. Bu deney uzayda değil evde veya sınıfta yapılırsa dışarı su dökülecektir. (güvenilir)
Hedefe 3 el ateş edildi." Beş isabet vardı" (imkansız)
Taşı yukarı fırlat. Taş havada asılı kalıyor. (imkansız)
“Antagonizm” kelimesinin harflerini rastgele yeniden düzenliyoruz. Sonuç “anakroizm” kelimesidir. (imkansız)
№959. Petya doğal bir sayı düşündü. Olay şu şekilde:
a) çift sayı amaçlanmaktadır; (rastgele) b) tek bir sayı amaçlanmaktadır; (rastgele)
c) ne çift ne de tek olan bir sayı düşünülür; (imkansız)
d) Çift veya tek bir sayı düşünülür. (güvenilir)
№ 961. Petya ve Tolya doğum günlerini karşılaştırıyor. Olay şu şekilde:
a) doğum günleri çakışmıyor; (rastgele) b) doğum günleri aynı; (rastgele)
d) her ikisinin de doğum günleri tatillere denk geliyor - Yeni Yıl (1 Ocak) ve Rusya Bağımsızlık Günü (12 Haziran). (rastgele)
№ 962. Tavla oynarken iki zar kullanılır. Oyundaki bir katılımcının yapacağı hamle sayısı, küpün iki tarafında düşen sayıların toplanmasıyla ve "çift" atılması durumunda belirlenir (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6 ), o zaman hamle sayısı iki katına çıkar. Zarları atıyorsunuz ve kaç hamle yapmanız gerektiğini buluyorsunuz. Olay şu şekilde:
a) bir hamle yapmalısınız; b) 7 hamle yapmalısınız;
c) 24 hamle yapmalısınız; d) 13 hamle yapmalısınız.
a) – imkansız (1 + 0 kombinasyonu atılırsa 1 hamle yapılabilir ancak zarlarda 0 sayısı yoktur).
b) – rastgele (1 + 6 veya 2 + 5 gelirse).
c) – rastgele (eğer 6 +6 kombinasyonu görünürse).
d) – imkansız (toplamları 13 olan 1'den 6'ya kadar sayıların kombinasyonu yoktur; bu sayı tek olduğu için “çift” atıldığında bile elde edilemez).
Kendini kontrol et. (matematiksel dikte)
1) Aşağıdaki olaylardan hangilerinin imkansız, hangilerinin güvenilir, hangilerinin rastgele olduğunu belirtiniz:
"Spartak" - "Dinamo" futbol maçı berabere bitecek. (rastgele)
Kazan-kazan piyangosuna katılarak kazanacaksınız (güvenilir)
Gece yarısı kar yağacak ve 24 saat sonra güneş yüzünü gösterecek. (imkansız)
Yarın matematik sınavı olacak. (rastgele)
Amerika Birleşik Devletleri Başkanı seçileceksiniz. (imkansız)
Rusya'nın cumhurbaşkanı seçileceksin. (rastgele)
2) Üreticinin iki yıl garanti verdiği bir mağazadan bir TV satın aldınız. Aşağıdaki olaylardan hangileri imkansızdır, hangileri rastgeledir, hangileri güvenilirdir:
TV bir yıl boyunca bozulmayacak. (rastgele)
Televizyon iki yıl boyunca bozulmayacak. (rastgele)
İki yıl boyunca TV tamiri için para ödemek zorunda kalmayacaksınız. (güvenilir)
Televizyon üçüncü yılda bozulacak. (rastgele)
3) 15 yolcu taşıyan bir otobüsün 10 durak yapması gerekmektedir. Aşağıdaki olaylardan hangileri imkansızdır, hangileri rastgeledir, hangileri güvenilirdir:
Tüm yolcular farklı duraklarda otobüsten inecek. (imkansız)
Tüm yolcular aynı durakta inecek. (rastgele)
Her durakta en azından biri inecek. (rastgele)
Kimsenin inmediği bir durak olacak. (rastgele)
Her durakta eşit sayıda yolcu inecektir. (imkansız)
Her durakta tek sayıda yolcu inecek. (imkansız)
Ev ödevi : s.53 No. 960, 963, 965 (kendi başınıza iki güvenilir, rastgele ve imkansız olay bulun).
İkinci ders.
Ev ödevlerini kontrol ediyorum. (ağızdan)
a) Kesin, rastgele ve imkansız olayların ne olduğunu açıklayınız.
b) Aşağıdaki olaylardan hangisinin güvenilir, hangisinin imkansız, hangisinin rastgele olduğunu belirtiniz:
Yaz tatili olmayacak. (imkansız)
Sandviçin tereyağlı tarafı aşağıya düşecek. (rastgele)
Bir gün okul yılı bitecek. (güvenilir)
Yarın sınıfta bana soracaklar. (rastgele)
Bugün kara bir kediyle tanışacağım. (rastgele)
№ 960. Bu ders kitabının herhangi bir sayfasını açtınız ve karşınıza çıkan ilk ismi seçtiniz. Olay şu şekilde:
a) Seçilen kelimenin yazılışında sesli harf var. ((güvenilir)
b) Seçilen kelimenin yazılışı “o” harfini içeriyorsa. (rastgele)
c) Seçilen kelimenin yazılışında sesli harf yoktur. (imkansız)
d) Seçilen kelimenin yazılışında yumuşak bir işaret var. (rastgele)
№ 963. Yine tavla oynuyorsun. Aşağıdaki olayı açıklayın:
a) Oyuncu ikiden fazla hamle yapmamalıdır. (imkansız - en küçük sayı olan 1 + 1'in kombinasyonu ile oyuncu 4 hamle yapar; 1 + 2'nin kombinasyonu 3 hamle verir; diğer tüm kombinasyonlar 3'ten fazla hamle verir)
b) Oyuncu ikiden fazla hamle yapmalıdır. (güvenilir - herhangi bir kombinasyon 3 veya daha fazla hamle sağlar)
c) Oyuncu 24'ten fazla hamle yapmamalıdır. (güvenilir - en büyük sayılar olan 6 + 6'nın birleşimi 24 hamle verir ve diğerleri 24'ten az hamle verir)
d) Oyuncunun çift haneli sayıda hamle yapması gerekir. (rastgele - örneğin, 2 + 3 kombinasyonu tek haneli hamle sayısını verir: 5 ve iki dördü yuvarlamak çift haneli hamle sayısını verir)
2. Sorun çözme.
№ 964. Bir torbada 3 mavi, 3 beyaz ve 4 kırmızı olmak üzere 10 top vardır. Aşağıdaki olayı açıklayın:
a) Torbadan 4 top alınmıştır ve hepsi mavidir; (imkansız)
b) Torbadan 4 top alındı ve hepsi kırmızı; (rastgele)
c) Torbadan 4 top çıkarıldı ve hepsinin farklı renkte olduğu ortaya çıktı; (imkansız)
d) Torbadan 4 top çıkarıldı ve bunların arasında siyah top yoktu. (güvenilir)
Görev 1. Kutuda 10 adet kırmızı, 1 adet yeşil ve 2 adet mavi kalem bulunmaktadır. Kutudan rastgele iki nesne çekiliyor. Aşağıdaki olaylardan hangileri imkansızdır, hangileri rastgeledir, hangileri kesindir:
a) iki kırmızı kalem çıkarılır (rastgele)
b) iki yeşil tutamak çıkarılır; (imkansız)
c) iki mavi kalem çıkarılır; (rastgele)
d) iki farklı renkteki kulplar çıkarılır; (rastgele)
e) iki tutamak çıkarılır; (güvenilir)
f) İki kalem çıkarılır. (imkansız)
Görev 2. Winnie the Pooh, Piglet ve herkes - herkes - herkes onun doğum gününü kutlamak için yuvarlak masaya oturur. “Winnie the Pooh ve Piglet yan yana oturuyor” olayı hangi sayıda güvenilirdir ve hangi sayıda rastgeledir?
(hepsinden sadece 1 tane varsa, o zaman olay güvenilirdir, eğer 1'den fazla varsa o zaman rastgeledir).
Görev 3. 100 hayır kurumu piyango biletinden 20'si kazanan bilettir. "Hiçbir şey kazanamayacaksın" etkinliğini imkansız hale getirmek için kaç bilet almanız gerekiyor?
Görev 4. Sınıfta 10 erkek, 20 kız var. Bu sınıf için aşağıdaki olaylardan hangisi imkansızdır, hangileri rastgeledir, hangileri güvenilirdir?
Sınıfta farklı aylarda doğmuş iki kişi var. (rastgele)
Sınıfta aynı ayda doğan iki kişi var. (güvenilir)
Sınıfta aynı ayda doğmuş iki erkek çocuk var. (rastgele)
Sınıfta aynı ayda doğan iki kız var. (güvenilir)
Bütün erkekler farklı aylarda doğdu. (güvenilir)
Bütün kızlar farklı aylarda doğdu. (rastgele)
Aynı ayda doğan bir erkek ve bir kız var. (rastgele)
Farklı aylarda doğmuş bir erkek ve bir kız var. (rastgele)
Görev 5. Kutuda 3 kırmızı, 3 sarı, 3 yeşil top vardır. Rastgele 4 top çıkarıyoruz. “Çekilen topların arasında tam olarak M renkte toplar olacak” olayını düşünün. 1'den 4'e kadar olan her M için ne tür bir olay olduğunu belirleyin - imkansız, güvenilir veya rastgele ve tabloyu doldurun:
Bağımsız iş.
BENseçenek
a) arkadaşınızın doğum günü numarasının 32'den küçük olması;
c) yarın matematikte bir sınav olacak;
d) Gelecek yıl Moskova'ya ilk kar Pazar günü düşecek.
Zar atmak. Olayı açıklayın:
a) düşen küp kenarında duracaktır;
b) sayılardan biri görünecektir: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
c) 6 sayısı görünecektir;
d) 7'nin katı olan bir sayı atılacaktır.
Bir kutuda 3 kırmızı, 3 sarı ve 3 yeşil top bulunmaktadır. Olayı açıklayın:
a) çekilen tüm topların aynı renkte olması;
b) çekilen tüm topların farklı renkte olması;
c) çekilen topların arasında farklı renklerde toplar vardır;
c) Çekilen topların arasında kırmızı, sarı ve yeşil bir top vardır.
IIseçenek
Söz konusu olayı güvenilir, imkansız veya tesadüfi olarak tanımlayın:
a) Masadan düşen sandviç, yüzü aşağı bakacak şekilde yere düşecektir;
b) gece yarısı Moskova'ya kar yağacak ve 24 saat sonra güneş parlayacak;
c) kazan-kazan piyangosuna katılarak kazanacaksınız;
d) Gelecek yıl mayıs ayında baharın ilk gök gürültüsü duyulacaktır.
Kartların üzerinde iki basamaklı sayıların tamamı yazılıdır. Rastgele bir kart seçilir. Olayı açıklayın:
a) kartta sıfır vardı;
b) kartın üzerinde 5'in katı olan bir sayı vardı;
c) kartın üzerinde 100'ün katı olan bir sayı vardı;
d) Kartta 9'dan büyük ve 100'den küçük bir sayı vardı.
Kutuda 10 adet kırmızı, 1 adet yeşil ve 2 adet mavi kalem bulunmaktadır. Kutudan rastgele iki nesne çekiliyor. Olayı açıklayın:
a) iki mavi kalem çıkarılır;
b) iki kırmızı kalem çıkarılır;
c) iki yeşil tutamak çıkarılır;
d) yeşil ve siyah kulplar çıkarılır.
Ev ödevi: 1). İki güvenilir, rastgele ve imkansız olayla gelin.
2). Görev . Kutuda 3 kırmızı, 3 sarı, 3 yeşil top vardır. Rastgele N adet top çekiyoruz. “Çekilen topların arasında tam üç renk top olacak” olayını düşünün. 1'den 9'a kadar olan her N için, bunun ne tür bir olay olduğunu belirleyin (imkansız, güvenilir veya rastgele) ve tabloyu doldurun:
Kombinatoryal problemler.
İlk ders
Ev ödevlerini kontrol ediyorum. (ağızdan)
a) Öğrencilerin karşılaştığı problemleri kontrol ederiz.
b) ek bir görev.
V. Levshin'in "Karlikanya'da Üç Gün" kitabından bir alıntı okuyorum.
“İlk başta, yumuşak bir vals sesiyle sayılar bir grup oluşturdu: 1 + 3 + 4 + 2 = 10. Daha sonra genç patenciler yer değiştirmeye başladı ve giderek daha fazla yeni grup oluşturdu: 2 + 3 + 4 + 1 = 10
3 + 1 + 2 + 4 = 10
4 + 1 + 3 + 2 = 10
1 + 4 + 2 + 3 = 10 vb.
Bu, patenciler başlangıç pozisyonlarına dönene kadar devam etti.”
Kaç kez yer değiştirdiler?
Bugün sınıfta bu tür sorunların nasıl çözüleceğini öğreneceğiz. Onlar aranmaktadır kombinatoryal.
3. Yeni materyalin incelenmesi.
Görev 1. 1, 2, 3 sayılarından kaç tane iki basamaklı sayı oluşturulabilir?
Çözüm: 11, 12, 13
Toplamda 31, 32, 33. 9 sayı.
Bu sorunu çözerken, olası tüm seçenekleri veya bu durumlarda genellikle söylendiği gibi araştırdık. Tüm olası kombinasyonlar. Bu nedenle bu tür sorunlara denir kombinatoryal. Hayattaki olası (veya imkansız) seçenekleri sıklıkla hesaplamanız gerekir, bu nedenle kombinatoryal problemler hakkında bilgi sahibi olmak faydalıdır.
№ 967. Birçok ülke, ulusal bayrakları için aynı genişlikte, farklı renklerde (beyaz, mavi, kırmızı) üç yatay şerit şeklinde semboller kullanmaya karar verdi. Her ülkenin kendi bayrağı olması şartıyla kaç ülke bu tür sembolleri kullanabilir?
Çözüm. İlk şeridin beyaz olduğunu varsayalım. Daha sonra ikinci şerit mavi veya kırmızı, üçüncü şerit ise sırasıyla kırmızı veya mavi olabilir. İki seçeneğimiz var: beyaz, mavi, kırmızı veya beyaz, kırmızı, mavi.
Şimdi ilk şerit mavi olsun, sonra yine iki seçeneğimiz olur: beyaz, kırmızı, mavi veya mavi, kırmızı, beyaz.
İlk şerit kırmızı olsun, sonra iki seçenek daha var: kırmızı, beyaz, mavi veya kırmızı, mavi, beyaz.
Toplamda 6 olası seçenek vardı. Bu bayrak 6 ülke tarafından kullanılabilir.
Dolayısıyla bu sorunu çözerken olası seçenekleri sıralamanın bir yolunu arıyorduk. Çoğu durumda, bir resim - seçeneklerin sıralandığı bir diyagram - oluşturmanın yararlı olduğu ortaya çıkıyor. Bu, öncelikle açıktır ve ikincisi, her şeyi hesaba katmamıza ve hiçbir şeyi kaçırmamamıza olanak tanır.
Bu şemaya olası seçenekler ağacı da denir.
Ön Sayfa
İkinci şerit
Üçüncü şerit
Ortaya çıkan kombinasyon
№ 968. 1, 2, 4, 6, 8 sayılarından kaç tane iki basamaklı sayı oluşturulabilir?
Çözüm. İlgilendiğimiz iki basamaklı sayılar için birinci basamak, 0 hariç verilen rakamlardan herhangi biri olabilir. Eğer 2 sayısını ilk sıraya koyarsak, o zaman ikinci basamakta verilen basamaklardan herhangi biri olabilir. Beş adet iki basamaklı sayı elde edeceksiniz: 2.,22, 24, 26, 28. Aynı şekilde, ilk rakamı 4 olan beş adet iki basamaklı sayı, ilk rakamı 6 olan beş adet iki basamaklı sayı ve beş adet iki basamaklı sayı olacaktır. İlk rakamı 8 olan rakamlı sayılar.
Cevap: Toplamda 20 sayı olacaktır.
Bu sorunu çözmek için olası seçeneklerin bir ağacını oluşturalım.
Çift rakamlar
İlk rakam
İkinci rakam
Alınan numaralar
20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,
40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.
Olası seçeneklerden oluşan bir ağaç oluşturarak aşağıdaki problemleri çözün.
№ 971. Belirli bir ülkenin liderliği, ulusal bayrağını şu şekilde göstermeye karar verdi: tek renkli dikdörtgen bir arka planda, köşelerden birine farklı renkte bir daire yerleştirildi. Üç olası renk arasından seçim yapılmasına karar verildi: kırmızı, sarı, yeşil. Bu bayrağın kaç çeşidi var?
var mı? Şekil olası seçeneklerden bazılarını göstermektedir.
Cevap: 24 seçenek.
№ 973. a) 1,3,5 sayılarından kaç tane üç basamaklı sayı oluşturulabilir? (27 sayı)
b) 1,3, 5 rakamlarından tekrar edilmemek şartıyla kaç tane üç basamaklı sayı yapılabilir? (6 sayı)
№ 979. Modern pentatletler iki gün boyunca beş spor dalındaki yarışmalara katılıyor: atlama, eskrim, yüzme, atış ve koşu gösterileri.
a) Yarışma türlerinin tamamlanma sırası için kaç seçenek vardır? (120 seçenek)
b) Son etkinliğin yapılması gerektiği biliniyorsa, yarışma etkinliklerinin sırası için kaç seçenek vardır? (24 seçenek)
c) Son yarışın koşulması gerektiği ve ilk yarışın gösteri atlama olması gerektiği biliniyorsa, yarışma yarışlarının sırası için kaç seçenek vardır? (6 seçenek)
№ 981. İki kavanozda her biri beş farklı renkte beş top bulunur: beyaz, mavi, kırmızı, sarı, yeşil. Her torbadan aynı anda bir top çekiliyor.
a) Çekilen topların kaç farklı kombinasyonu vardır ("beyaz - kırmızı" ve "kırmızı - beyaz" gibi kombinasyonlar aynı kabul edilir)?
(15 kombinasyon)
b) Çekilen topların aynı renkte olduğu kaç kombinasyon vardır?
(5 kombinasyon)
c) Çekilen topların farklı renklerde olduğu kaç kombinasyon vardır?
(15 – 5 = 10 kombinasyon)
Ev ödevi: sayfa 54, Sayı 969, 972, kendiniz bir kombinatoryal problem bulun.
№ 969. Birçok ülke, ulusal bayrakları için aynı genişlikte ve farklı renklerde üç dikey şerit şeklinde semboller kullanmaya karar verdi: yeşil, siyah, sarı. Her ülkenin kendi bayrağı olması şartıyla kaç ülke bu tür sembolleri kullanabilir?
№ 972. a) 1, 3, 5, 7, 9 sayılarından kaç tane iki basamaklı sayı oluşturulabilir?
b) 1, 3, 5, 7, 9 rakamlarından, tekrarlanmamak şartıyla kaç tane iki basamaklı sayı oluşturulabilir?
İkinci ders
Ev ödevlerini kontrol ediyorum. a) No. 969 ve No. 972a) ve No. 972b) - tahtada olası seçeneklerden oluşan bir ağaç oluşturun.
b) tamamlanan görevleri sözlü olarak kontrol ederiz.
Problem çözme.
Bundan önce kombinatoryal problemlerin seçenekler ağacını kullanarak nasıl çözüleceğini öğrendik. Bu iyi bir yol mu? Muhtemelen evet, ama çok hantal. 972 numaralı ödev problemini farklı şekilde çözmeye çalışalım. Bunun nasıl yapılabileceğini kim tahmin edebilir?
Cevap: Beş renk tişörtün her biri için 4 renk külot bulunmaktadır. Toplam: 4 * 5 = 20 seçenek.
№ 980. Vazolarda her biri beş farklı renkte beş top bulunur: beyaz, mavi, kırmızı, sarı, yeşil. Her torbadan aynı anda bir top çekiliyor. Aşağıdaki olayı kesin, rastgele veya imkansız olarak tanımlayın:
a) farklı renkteki topları çıkardık; (rastgele)
b) aynı renkteki topların çıkarılması; (rastgele)
c) siyah ve beyaz topların çekilmesi; (imkansız)
d) Her ikisi de aşağıdaki renklerden birine sahip olan iki top çekilir: beyaz, mavi, kırmızı, sarı, yeşil. (güvenilir)
№ 982. Bir grup turist Antonovo - Borisovo - Vlasovo - Gribovo rotası boyunca yürüyüş yapmayı planlıyor. Antonovo'dan Borisovo'ya nehirde rafting yapabilir veya yürüyebilirsiniz. Borisovo'dan Vlasovo'ya yürüyebilir veya bisiklete binebilirsiniz. Vlasovo'dan Gribovo'ya nehir boyunca yüzebilir, bisiklete binebilir veya yürüyebilirsiniz. Turistler kaç trekking seçeneği arasından seçim yapabilir? Rotanın en az bir bölümünde bisiklet kullanmak zorunda olan turistler kaç yürüyüş seçeneğini tercih edebilir?
(8'i bisikletli olmak üzere 12 güzergah seçeneği)
Bağımsız iş.
1 seçenek
a) 0, 1, 3, 5, 7 rakamlarından kaç tane üç basamaklı sayı oluşturulabilir?
b) 0, 1, 3, 5, 7 rakamlarından tekrar edilmemek şartıyla kaç tane üç basamaklı sayı oluşturulabilir?
Athos, Porthos ve Aramis'in elinde yalnızca bir kılıç, bir hançer ve bir tabanca vardır.
a) Silahşörler kaç şekilde silahlandırılabilir?
b) Aramis'in kılıç kullanması gerekiyorsa kaç silah seçeneği vardır?
c) Aramis'in kılıcı, Porthos'un da tabancayı kullanması gerekiyorsa kaç silah seçeneği vardır?
Tanrı bir yerlerde Raven'a bir parça peynirin yanı sıra beyaz peynir, sosis, beyaz ve siyah ekmek gönderdi. Bir ladin ağacının üzerine tüneyen karga, kahvaltı yapmak üzereydi ama düşünmeye başladı: Bu ürünlerden kaç farklı şekilde sandviç yapılabilir?
seçenek 2
a) 0, 2, 4, 6, 8 rakamlarından kaç tane üç basamaklı sayı oluşturulabilir?
b) 0, 2, 4, 6, 8 rakamlarından, rakamların tekrarlanmaması şartıyla kaç tane üç basamaklı sayı oluşturulabilir?
Kont Monte Cristo, Prenses Hayde'ye küpe, kolye ve bileklik vermeye karar verdi. Her bir mücevher parçası aşağıdaki değerli taş türlerinden birini içermelidir: elmas, yakut veya lal taşı.
a) Değerli taş takıları kombinlemek için kaç seçenek vardır?
b) Küpelerin pırlanta olması gerekiyorsa kaç takı seçeneği vardır?
c) Küpenin pırlanta, bileziğin ise garnet olması durumunda kaç takı seçeneği vardır?
Kahvaltıda kahve veya kefir eşliğinde çörek, sandviç veya zencefilli kurabiye seçebilirsiniz. Kaç kahvaltı seçeneği oluşturabilirsiniz?
Ev ödevi : No. 974, 975. (seçenekler ağacı derleyerek ve çarpma kuralını kullanarak)
№ 974 . a) 0, 2, 4 sayılarından kaç tane üç basamaklı sayı oluşturulabilir?
b) 0, 2, 4 rakamlarından tekrar edilmemek şartıyla kaç tane üç basamaklı sayı oluşturulabilir?
№ 975 . a) 1,3, 5,7 sayılarından kaç tane üç basamaklı sayı oluşturulabilir?
b) Koşulu altında 1,3, 5,7 sayılarından kaç tane üç basamaklı sayı yapılabilir? Hangi sayılar tekrarlanmamalıdır?
Ders kitabından alınan problem numaraları
"Matematik-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkoviç, 2004.
Dersin amacı:
- Güvenilir, imkansız ve rastgele olaylar kavramını tanıtın.
- Olayların türünü belirlemek için bilgi ve becerileri geliştirin.
- Geliştirin: bilgi işlem becerisi; dikkat; analiz etme, akıl yürütme, sonuç çıkarma yeteneği; grup çalışması becerileri.
Dersler sırasında
1) Organizasyon anı.
İnteraktif alıştırma: Çocuklar örnekleri çözmeli ve kelimeleri deşifre etmelidir; sonuçlara göre gruplara ayrılırlar (güvenilir, imkansız ve rastgele) ve dersin konusunu belirlerler.
1 kart.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 kart
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 kart
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) Öğrenilen bilginin güncellenmesi.
Oyun “Alkış”: çift sayı - alkış, tek sayı - ayağa kalk.
Görev: Verilen 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... sayı serilerinden çift ve tek olanı belirleyin.
3) Yeni bir konu çalışmak.
Masalarınızda küpler var. Gelin onlara daha yakından bakalım. Ne görüyorsun?
Zarlar nerede kullanılır? Nasıl?
Gruplarla çalışmak.
Bir deney yürütmek.
Bir zarı atarken hangi tahminleri yapabilirsiniz?
İlk tahmin: 1,2,3,4,5 veya 6 rakamlarından biri görünecektir.
Belirli bir deneyimde gerçekleşmesi kesin olan olaya ne ad verilir? güvenilir.
İkinci tahmin: 7 sayısı görünecektir.
Sizce tahmin edilen olay gerçekleşecek mi, olmayacak mı?
Bu imkansız!
Belirli bir deneyimde gerçekleşemeyen olaya denir imkansız.
Üçüncü tahmin: 1 rakamı görünecektir.
Bu olay gerçekleşecek mi?
Belirli bir deneyimde meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek bir olaya denir rastgele.
4) Çalışılan materyalin konsolidasyonu.
I. Olayın türünü belirleyin
-Yarın kırmızı kar yağacak.
Yarın yoğun kar yağacak.
Yarın temmuz olmasına rağmen kar yağacak.
Yarın temmuz olmasına rağmen kar yağmayacak.
Yarın kar yağacak ve kar fırtınası olacak.
II. Bu cümleye olayı imkansız hale getirecek şekilde bir kelime ekleyin.
Kolya tarihte A aldı.
Sasha testte tek bir görevi tamamlamadı.
Oksana Mikhailovna (tarih öğretmeni) yeni bir konuyu açıklayacak.
III. İmkansız, rastgele ve güvenilir olaylara örnekler verin.
IV. Ders kitabından çalışın (gruplar halinde).
Aşağıdaki görevlerde tartışılan olayları güvenilir, imkansız veya rastgele olarak tanımlayın.
No. 959. Petya doğal bir sayı buldu. Olay şu şekilde:
a) çift sayı amaçlanmaktadır;
b) tek sayı amaçlanmaktadır;
c) ne çift ne de tek olan bir sayı düşünülür;
d) Çift veya tek bir sayı düşünülür.
No. 960. Bu ders kitabının herhangi bir sayfasını açtınız ve karşınıza çıkan ilk ismi seçtiniz. Olay şu şekilde:
a) seçilen kelimenin yazılışında sesli harf var;
b) seçilen kelimenin yazımı “o” harfini içeriyor;
c) seçilen kelimenin yazılışında sesli harf yoktur;
d) Seçilen kelimenin yazılışında yumuşak bir işaret var.
961, No. 964'ü çözün.
Çözülmüş görevlerin tartışılması.
5) Yansıma.
1. Derste hangi olayları öğrendiniz?
2. Aşağıdaki olaylardan hangisinin kesin, hangisinin imkansız, hangisinin rastlantısal olduğunu belirtiniz:
a) yaz tatili olmayacak;
b) sandviçin tereyağlı tarafı aşağıya düşecektir;
c) okul yılı bir gün bitecek.
6) Ödev:
İki güvenilir, rastgele ve imkansız olayla gelin.
Bunlardan biri için bir çizim yapın.