1) Selamlama

2) Ders motivasyonu Öğretmen sınıfın derse hazır olup olmadığını kontrol eder; Öğrencileri bir konuyu formüle etmeye motive eder.

Tahtadaki tanımı (konu sayfası) okuyun ve söz konusu kavramı ekleyin:

Düzlemin çokgenin kapladığı kısmının boyutu ... (alan)

Karşılıklı kenarları çiftler halinde paralel olan bir dörtgen - ....(paralelkenar)

Aynı doğru üzerinde yer almayan üç nokta ve bunları birbirine bağlayan üç doğru parçasından oluşan şekle .... (üçgen) denir.

İki kenarı paralel, diğer ikisi paralel olmayan şekle ... (yamuk) denir.

Ortaya çıkan kelimelerden bugünkü dersimizin konusunu oluşturmaya çalışın.

Yani dersin konusu... Paralelkenarın, üçgenin, yamuğun alanları.

Alanlar, hangi rakamları ve nasıl bulabiliriz?

Şekildeki şekillerin alanlarını hesaplayınız.

Başka çözümler var mı?

Ne oldu?

Bölgeyi bulmak için ne gibi girişimlerde bulunuldu?

Paralelkenarın alanını kim bulmaya çalıştı? Söyle bana.

Paralelkenarın alanı için formülün türetilmesi.

Görev.

Aynı alana sahip bir dikdörtgen elde etmek için paralelkenar nasıl "yeniden çizilir"?

Paralelkenar bir dikdörtgen şeklinde yeniden çizildi. Bu, alanının dikdörtgenin alanına eşit olduğu anlamına gelir.

Paralelkenar için dikdörtgenin uzunluğu ve genişliği nedir?

Paralelkenarın alanı, tabanının ve yüksekliğinin çarpımına eşittir.

Paralelkenarda taban herhangi bir kenar olabilir. Alan bulma formülünün uygulanabilmesi için yüksekliğin tabana kadar çizilmesi gerekir.

Bu paralelkenarın alanını hesaplayalım.

Bir üçgenin alanı için formülün türetilmesi.

Bir üçgeni nasıl yeniden çizebilir veya tamamlayabilirsiniz?

Bir üçgenin alanı, taban ve yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir.

Peki ya üçgen dik açılıysa?

Şek.

Bir dikdörtgen şeklinde “yeniden çizilebilir”.

Ve alanını formülü kullanarak buluyoruz

S =a *b . Dikdörtgenin uzunluğu bacağın yarısı, genişliği ise diğer bacağın yarısı kadardır.

Bir dik üçgenin alanı, bacaklarının çarpımının yarısına eşittir.

Yamuğun alanı için formülün türetilmesi.

Treapezium'un bir üçgene nasıl "yeniden çizildiğine" bakın. Ve aşağıdaki formülü kullanarak üçgenin alanını buluyoruz:

Üçgenin tabanı, üst ve alt taban uzunluklarının toplamıdır ve üçgenin yüksekliği yamuğun yüksekliğidir.

Bir yamuğun alanı, tabanlarının ve yüksekliğinin toplamının yarısına eşittir.

1) S'yi bulun buhar. , Eğer A=5, H =4.

2) S üçgenini bulun. , Eğer A=3,5; H =2.

3) S merdivenini bulun. , Eğer A=4,5; B = 2,5; H =3.

Test görevlerini tamamlayın (eke bakın)

Bağımsız çalışmanın akran değerlendirmesi.

Yeni bir konudaki problemleri çözme:

675(a,d), 676(a,b), 677(a,b)

Zayıf ve başarısız öğrenciler için, çözümü kaydetme örneğinin bulunduğu görevleri içeren kartlar üzerinde bireysel çalışmalar hazırlanmıştır.

Öğretmen yeni bir konuyla ilgili soruları yanıtlamayı teklif eder.

Arkadaşlar konuyu özetleyelim!

Bugün sınıfta ne öğrendin?

Ne yapmayı öğrendin?

Karar vermek zor olan neydi?

Öğretmen ödev hakkında yorum yapar.

paragraf 23 Sayı 675(b,c), 676(c,d), 677(c,d)

Herkese tebrikler!

Ders bitti. Güle güle!

Geometrik bir şeklin alanı- bu şeklin boyutunu gösteren geometrik bir şeklin sayısal özelliği (yüzeyin bu şeklin kapalı konturuyla sınırlanan kısmı). Alanın büyüklüğü, içerdiği birim karelerin sayısıyla ifade edilir.

Üçgen alan formülleri

1. Yan ve yüksekliğe göre bir üçgenin alanı için formül
   Bir üçgenin alanı Bir üçgenin bir kenarının uzunluğu ile bu kenara çizilen yüksekliğin uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir
   
2. Üç tarafa ve çevrel dairenin yarıçapına dayalı bir üçgenin alanı için formül
   
3. Üç tarafa ve yazılı dairenin yarıçapına dayalı bir üçgenin alanı için formül
   Bir üçgenin alanıüçgenin yarı çevresi ile yazılı dairenin yarıçapının çarpımına eşittir.
   
burada S üçgenin alanıdır,
- üçgenin kenarlarının uzunlukları,
- üçgenin yüksekliği,
- kenarlar arasındaki açı ve,
- yazılı dairenin yarıçapı,
R - çevrelenmiş dairenin yarıçapı,

Kare alan formülleri

1. Kenar uzunluğuna göre karenin alanı formülü
   Kare alan kenar uzunluğunun karesine eşittir.
2. Köşegen uzunluğu boyunca bir karenin alanı için formül
   Kare alan köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir.
   

   S=	1	2
   	2

burada S karenin alanıdır,
- karenin kenar uzunluğu,
- karenin köşegeninin uzunluğu.

Dikdörtgen alan formülü

Dikdörtgenin alanı iki komşu kenarının uzunluklarının çarpımına eşit

burada S dikdörtgenin alanıdır,
- dikdörtgenin kenarlarının uzunlukları.

Paralelkenar alan formülleri

1. Kenar uzunluğuna ve yüksekliğine dayalı bir paralelkenarın alanı için formül
   Paralelkenarın alanı
2. İki tarafa ve aralarındaki açıya dayalı bir paralelkenarın alanı için formül
   Paralelkenarın alanı kenarlarının uzunluklarının çarpımı ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir.
   

   a b günah α

burada S paralelkenarın alanıdır,
- Paralelkenarın kenarlarının uzunlukları,
- paralelkenar yüksekliğinin uzunluğu,
- paralelkenarın kenarları arasındaki açı.

Eşkenar dörtgen alanı için formüller

1. Kenar uzunluğu ve yüksekliğine göre eşkenar dörtgen alanı formülü
   Bir eşkenar dörtgenin alanı kendi tarafının uzunluğu ile bu tarafa indirilen yüksekliğin uzunluğunun çarpımına eşittir.
2. Kenar uzunluğuna ve açıya dayalı bir eşkenar dörtgen alanı formülü
   Bir eşkenar dörtgenin alanı kendi kenarının uzunluğunun karesi ile eşkenar dörtgenin kenarları arasındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir.
3. Köşegen uzunluklarına dayalı bir eşkenar dörtgen alanı formülü
   Bir eşkenar dörtgenin alanı köşegenlerinin uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir.
burada S eşkenar dörtgenin alanıdır,
- eşkenar dörtgenin kenarının uzunluğu,
- eşkenar dörtgenin yüksekliğinin uzunluğu,
- eşkenar dörtgenin kenarları arasındaki açı,
1, 2 - köşegen uzunlukları.

Yamuk alan formülleri

1. Heron'un yamuk formülü

   S yamuğun alanı olduğunda,
   - yamuk tabanlarının uzunlukları,
   - yamuğun kenarlarının uzunlukları,
   

Paralelkenarın alanı

Teorem 1

Paralelkenarın alanı, kenarının uzunluğu ile ona çizilen yüksekliğin çarpımı olarak tanımlanır.

burada $a$ paralelkenarın bir kenarıdır, $h$ bu kenara çizilen yüksekliktir.

Kanıt.

Bize $AD=BC=a$ olan bir $ABCD$ paralelkenarı verilsin. $DF$ ve $AE$ yüksekliklerini çizelim (Şekil 1).

Resim 1.

Açıkçası, $FDAE$ rakamı bir dikdörtgendir.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\açı A=\açı BAE\]

Sonuç olarak, $CD=AB,\ DF=AE=h$ olduğundan, üçgenlerin eşitliği için $I$ kriterine göre $\triangle BAE=\triangle CDF$. Daha sonra

Yani dikdörtgenin alanı teoremine göre:

Teorem kanıtlandı.

Teorem 2

Paralelkenarın alanı, bitişik kenarlarının uzunluğunun bu kenarlar arasındaki açının sinüsü ile çarpımı olarak tanımlanır.

Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir

burada $a,\b$ paralelkenarın kenarlarıdır, $\alpha$ aralarındaki açıdır.

Kanıt.

Bize $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $ olan bir $ABCD$ paralelkenarı verilsin. $DF=h$ yüksekliğini çizelim (Şekil 2).

Şekil 2.

Sinüs tanımı gereği, şunu elde ederiz:

Buradan

Yani, $1$ Teoremine göre:

Teorem kanıtlandı.

Bir üçgenin alanı

Teorem 3

Bir üçgenin alanı, bir kenarının uzunluğu ile kendisine çizilen yüksekliğin çarpımının yarısı olarak tanımlanır.

Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir

burada $a$ üçgenin bir tarafıdır, $h$ bu tarafa çizilen yüksekliktir.

Kanıt.

Figür 3.

Yani, $1$ Teoremine göre:

Teorem kanıtlandı.

Teorem 4

Bir üçgenin alanı, bitişik kenarlarının uzunluğunun çarpımının yarısı ve bu kenarlar arasındaki açının sinüsü olarak tanımlanır.

Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir

burada $a,\b$ üçgenin kenarlarıdır, $\alpha$ aralarındaki açıdır.

Kanıt.

Bize $AB=a$ olan bir $ABC$ üçgeni verilsin. $CH=h$ yüksekliğini bulalım. Bunu $ABCD$ paralelkenarına dönüştürelim (Şekil 3).

Açıkçası, üçgenlerin eşitliği için $I$ kriterine göre, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Daha sonra

Yani, $1$ Teoremine göre:

Teorem kanıtlandı.

Yamuk alanı

Teorem 5

Bir yamuğun alanı, taban uzunlukları ile yüksekliğinin toplamının çarpımının yarısı olarak tanımlanır.

Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir

Kanıt.

Bize bir yamuk $ABCK$ verilsin, burada $AK=a,\ BC=b$. $BM=h$ ve $KP=h$ yüksekliklerini ve ayrıca $BK$ köşegenini de içine çizelim (Şekil 4).

Şekil 4.

$3$ Teoremine göre şunu elde ederiz:

Teorem kanıtlandı.

Örnek görev

örnek 1

Kenar uzunluğu $a.$ ise eşkenar üçgenin alanını bulun

Çözüm.

Üçgen eşkenar olduğundan tüm açıları $(60)^0$'a eşittir.

O zaman $4$ Teoremine göre elimizde

Cevap:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Bu problemin sonucunun, belirli bir kenara sahip herhangi bir eşkenar üçgenin alanını bulmak için kullanılabileceğini unutmayın.

Paralelkenarın kenarlarından birini çağırmayı kabul edelim. temel ve karşı taraftaki herhangi bir noktadan tabanı içeren çizgiye çizilen dik paralelkenar yüksekliği.

Teorem

Kanıt

Alanı S olan bir ABCD paralelkenarını ele alalım. AD ​​kenarını taban olarak alalım ve ВН ve СК yüksekliklerini çizelim (Şekil 182). S = AD VN olduğunu kanıtlayalım.

Pirinç. 182

Öncelikle ABCD dikdörtgeninin alanının da S'ye eşit olduğunu kanıtlayalım. ABCD yamuğu bir ABCD paralelkenarı ve bir DCK üçgeninden oluşur. Öte yandan, bir НВСК dikdörtgeni ve bir АВН üçgeninden oluşur. Ancak DCK ve ABH dik üçgenleri hipotenüs ve dar açı bakımından eşittir (AB ve CD hipotenüsleri bir paralelkenarın zıt kenarları olarak eşittir ve 1 ve 2 açıları, AB ve CD paralel çizgileri AD sekantıyla kesiştiğinde karşılık gelen açılara eşittir) yani alanları eşittir.

Sonuç olarak, ABCD paralelkenarının ve NVSK dikdörtgeninin alanları da eşittir, yani NVSK dikdörtgeninin alanı S'ye eşittir. Dikdörtgenin alanıyla ilgili teoreme göre, S = BC BN ve bu yana BC = AD, bu durumda S = AD BN. Teorem kanıtlandı.

Bir üçgenin alanı

Bir üçgenin kenarlarından birine genellikle denir temel. Taban seçilirse “yükseklik” kelimesi tabana çizilen üçgenin yüksekliği anlamına gelir. Teorem

Kanıt

ABC üçgeninin alanı S olsun (Şekil 183). AB kenarını üçgenin tabanı olarak alalım ve CH yüksekliğini çizelim. Hadi bunu kanıtlayalım .

Pirinç. 183

ABC üçgenini Şekil 183'te gösterildiği gibi ABDC paralelkenarına tamamlayalım. ABC ve DCB üçgenlerinin üç kenarı eşittir (BC ortak kenarlarıdır, AB = CD ve AC = BD ABDC paralelkenarının karşıt kenarlarıdır), yani alanları eşittir. Bu nedenle, ABC üçgeninin S alanı paralelkenar ABDC alanının yarısına eşittir, yani. . Teorem kanıtlandı.

Sonuç 1

Sonuç 2

Eşit açılara sahip üçgenlerin alanlarının oranına ilişkin teoremi kanıtlamak için Sonuç 2'yi kullanalım.

Teorem

Kanıt

S ve S 1 ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenlerinin alanları olsun, bunun için ∠A = ∠A 1 (Şekil 184, a). Hadi bunu kanıtlayalım .

Pirinç. 184

A 1 B 1 C 1 üçgenini ABC üçgeninin üzerine yerleştirelim, böylece A 1 tepe noktası A tepe noktasıyla aynı hizada olacak ve A 1 B 1 ve A 1 C 1 kenarları sırasıyla AB ve AC ışınlarıyla örtüşecek (Şekil 184, b). ABC ve AB 1 C üçgenlerinin ortak yüksekliği CH'dir, dolayısıyla .

AB 1 C ve AB 1 C 1 üçgenlerinin de ortak bir yüksekliği vardır - B 1 H 1, dolayısıyla . Ortaya çıkan eşitlikleri çarparak şunu buluruz:

Teorem kanıtlandı.

Yamuk alanı

Rasgele bir çokgenin alanını hesaplamak için genellikle şunu yaparsınız: çokgeni üçgenlere bölün ve her üçgenin alanını bulun. Bu üçgenlerin alanlarının toplamı verilen çokgenin alanına eşittir (Şekil 185, a). Bu tekniği kullanarak yamuğun alanını hesaplamak için bir formül türeteceğiz. Bir yamuğun yüksekliğini, tabanlardan birinin herhangi bir noktasından diğer tabanı içeren bir çizgiye çizilen dikme olarak adlandırma konusunda anlaşalım. Şekil 185, b'de, BH segmenti (aynı zamanda DH 1 segmenti) ABCD yamuğunun yüksekliğidir.

Pirinç. 185

Teorem

Kanıt

Tabanları AD ve BC, yüksekliği BH ve alanı S olan ABCD yamuğunu düşünün (bkz. Şekil 185, b).

Hadi bunu kanıtlayalım

BD köşegeni yamuğu iki ABD ve BCD üçgenine böler, yani S = S ABD + S BCD.

ABD üçgeninin tabanı ve yüksekliği olarak AD ve ВН doğru parçalarını, BCD üçgeninin tabanı ve yüksekliği olarak da ВС ve DH 1 doğru parçalarını alalım. Daha sonra

.

Teorem kanıtlandı.

Görevler

459. Paralelkenarın tabanı a, yüksekliği h ve alanı S olsun. Bul: a) S, eğer a = 15 cm ise, h = 12 cm; b) a, eğer S = 34 cm2 ise, h = 8,5 cm; c) a, eğer S = 162 cm2 ise, h = 1/2a; d) h, eğer h = 3a ise S = 27.

460. 13 cm'ye eşit bir paralelkenarın köşegeni, 12 cm'ye eşit olan paralelkenarın kenarına diktir.

461. Paralelkenarın bitişik kenarları 12 cm ve 14 cm olup dar açısı 30°'dir. Paralelkenarın alanını bulun.

462. Eşkenar dörtgenin bir kenarı 6 cm ve açılarından biri 150°'dir. Eşkenar dörtgenin alanını bulun.

463. Paralelkenarın bir kenarı 8,1 cm'dir ve 14 cm'ye eşit olan köşegen onunla 30°'lik bir açı oluşturur. Paralelkenarın alanını bulun.

464. Paralelkenarın bitişik kenarları a ve b olsun, alanı S, yüksekliği a h 1 ve h 2 olsun. Bul: a) h 2 eğer a = 18 cm, b = 30 cm, h 1 = 6 cm, h 2 > h 1 ise; b) h 1, a = 10 cm, 6 = 15 cm, h 2 = 6 cm, h 2 > h 1 c) h 1 ve h 2, S = 54 cm2 ise, a = 4,5 cm, b = 6 santimetre.

465. Paralelkenarın dar açısı 30° olup, geniş açının tepe noktasından çizilen yükseklikler 2 cm ve 3 cm'dir. Paralelkenarın alanını bulunuz.

466. Paralelkenarın köşegeni kenarına eşittir. En uzun kenarı 15,2 cm ve açılarından biri 45° olan paralelkenarın alanını bulun.

467. Bir kare ile kare olmayan bir eşkenar dörtgenin çevreleri aynıdır. Bu şekillerin alanlarını karşılaştırın.

468. Üçgenin tabanı a, yüksekliği h ve alanı S olsun. Bul: a) S, eğer a = 7 cm ise, h = 11 cm; b) S, eğer a = 2√3 cm ise, h = 5 cm; c) h, eğer S = 37,8 cm2 ise, a - 14 cm; d) a, S = 12 cm2 ise h = 3√2 cm.

469. ABC üçgeninin AB ve BC kenarları sırasıyla 16 cm ve 22 cm olup, AB kenarının yüksekliği 11 cm'dir. BC kenarına çizilen yüksekliği bulunuz.

470. Bir üçgenin iki kenarı 7,5 cm ve 3,2 cm'dir. Bu kenarlardan büyük olanın yüksekliği 2,4 cm'dir.

471. D Bacakları eşitse dik üçgenin alanını bulun: a) 4 cm ve 11 cm; b) 1,2 dm ve 3 dm.

472. Dik üçgenin alanı 168 cm2'dir. Uzunluklarının oranı 7/12 ise bacaklarını bulun.

473. ABC üçgeninin C köşesinden AB kenarına paralel bir m düz çizgisi çiziliyor. Köşeleri m doğrusu ve AB tabanı üzerinde olan tüm üçgenlerin eşit alanlara sahip olduğunu kanıtlayın.

474. Belirli bir üçgenin medyanı ile bölündüğü iki üçgenin alanlarını karşılaştırın.

475. ABC üçgenini çizin. A köşesinden geçen iki düz çizgi çizin, böylece bu üçgeni eşit alanlara sahip üç üçgene bölerler.

476. Eşkenar dörtgenin alanının köşegenlerinin çarpımının yarısına eşit olduğunu kanıtlayın. Köşegenleri aşağıdakilere eşitse eşkenar dörtgenin alanını hesaplayın: a) 3,2 dm ve 14 cm; b) 4,6 dm ve 2 dm.

477. Eşkenar dörtgenlerden biri diğerinden 1,5 kat daha büyükse ve eşkenar dörtgenin alanı 27 cm2 ise eşkenar dörtgenin köşegenlerini bulun.

478. Dışbükey bir dörtgende köşegenler karşılıklı olarak diktir. Bir dörtgenin alanının köşegenlerinin çarpımının yarısına eşit olduğunu kanıtlayın.

479. D ve E noktaları ABC üçgeninin AB ve AC kenarlarında yer alır. a) S ADE, eğer AB = 5 cm, AC = 6 cm, AD = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm2 ise; b) AD, AB = 8 cm, AC = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm2, S ADE = 2 cm2 ise.

480. Aşağıdaki durumlarda AB ve CD tabanlarına sahip ABCD yamuğunun alanını bulun:

a) AB = 21 cm, CD = 17 cm, BH yüksekliği 7 cm'dir;
b) ∠D = 30°, AB = 2 cm, CD = 10 cm, DA = 8 cm;
c) BC ⊥ AB, AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 13 cm.

481. İki küçük kenarı 6 cm ve büyük açısı 135° olan dikdörtgen bir yamuğun alanını bulun.

482. Bir ikizkenar yamuğun geniş açısı 135°'dir ve bu açının tepe noktasından çizilen yükseklik, daha büyük olan tabanı 1,4 cm ve 3,4 cm'lik parçalara böler.

Sorunlara cevaplar

459.a) 180 cm2; b) 4 cm; c) 18 cm; 9.

460.156 cm2.

461,84 cm2.

462.18 cm2.

463,56,7 cm2.

464.a) 10 cm; b) 4 cm; c) 12 cm ve 9 cm.

465.12 cm2.

466.115,52 cm2.

467. Karenin alanı daha büyüktür.

468.a) 38,5 cm2; b) 5√3 cm2; c) d) 4√2 cm.

470.5.625cm.

471.a) 22 cm2; b) 1,8 dm2.

472. 14 cm ve 24 cm.

473. Talimat. Teorem 38'i kullanın.

474. Üçgenlerin alanları eşittir.

475. Talimat. Öncelikle BC kenarını üç eşit parçaya bölelim.

476.a) 224 cm2; b) 4,6 dm2. Not. Eşkenar dörtgenin köşegenlerinin karşılıklı olarak dik olduğuna dikkat edin.

477,6 cm ve 9 cm.

479.a) 2 cm2; b) 2,4 cm. 53. paragrafın ikinci teoremini kullanın.

480. a) 133 cm2; b) 24 cm2; c) 72 cm2.

481,54 cm2.

Paralelkenarın alanı

Teorem 1

Paralelkenarın alanı, kenarının uzunluğu ile ona çizilen yüksekliğin çarpımı olarak tanımlanır.

burada $a$ paralelkenarın bir kenarıdır, $h$ bu kenara çizilen yüksekliktir.

Kanıt.

Bize $AD=BC=a$ olan bir $ABCD$ paralelkenarı verilsin. $DF$ ve $AE$ yüksekliklerini çizelim (Şekil 1).

Resim 1.

Açıkçası, $FDAE$ rakamı bir dikdörtgendir.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\açı A=\açı BAE\]

Sonuç olarak, $CD=AB,\ DF=AE=h$ olduğundan, üçgenlerin eşitliği için $I$ kriterine göre $\triangle BAE=\triangle CDF$. Daha sonra

Yani dikdörtgenin alanı teoremine göre:

Teorem kanıtlandı.

Teorem 2

Paralelkenarın alanı, bitişik kenarlarının uzunluğunun bu kenarlar arasındaki açının sinüsü ile çarpımı olarak tanımlanır.

Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir

burada $a,\b$ paralelkenarın kenarlarıdır, $\alpha$ aralarındaki açıdır.

Kanıt.

Bize $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $ olan bir $ABCD$ paralelkenarı verilsin. $DF=h$ yüksekliğini çizelim (Şekil 2).



Şekil 2.

Sinüs tanımı gereği, şunu elde ederiz:

Buradan

Yani, $1$ Teoremine göre:

Teorem kanıtlandı.

Bir üçgenin alanı

Teorem 3

Bir üçgenin alanı, bir kenarının uzunluğu ile kendisine çizilen yüksekliğin çarpımının yarısı olarak tanımlanır.

Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir

burada $a$ üçgenin bir tarafıdır, $h$ bu tarafa çizilen yüksekliktir.

Kanıt.



Figür 3.

Yani, $1$ Teoremine göre:

Teorem kanıtlandı.

Teorem 4

Bir üçgenin alanı, bitişik kenarlarının uzunluğunun çarpımının yarısı ve bu kenarlar arasındaki açının sinüsü olarak tanımlanır.

Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir

burada $a,\b$ üçgenin kenarlarıdır, $\alpha$ aralarındaki açıdır.

Kanıt.

Bize $AB=a$ olan bir $ABC$ üçgeni verilsin. $CH=h$ yüksekliğini bulalım. Bunu $ABCD$ paralelkenarına dönüştürelim (Şekil 3).

Açıkçası, üçgenlerin eşitliği için $I$ kriterine göre, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Daha sonra

Yani, $1$ Teoremine göre:

Teorem kanıtlandı.

Yamuk alanı

Teorem 5

Bir yamuğun alanı, taban uzunlukları ile yüksekliğinin toplamının çarpımının yarısı olarak tanımlanır.

Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir

Kanıt.

Bize bir yamuk $ABCK$ verilsin, burada $AK=a,\ BC=b$. $BM=h$ ve $KP=h$ yüksekliklerini ve ayrıca $BK$ köşegenini de içine çizelim (Şekil 4).



Şekil 4.

$3$ Teoremine göre şunu elde ederiz:

Teorem kanıtlandı.

Örnek görev

örnek 1

Kenar uzunluğu $a.$ ise eşkenar üçgenin alanını bulun

Çözüm.

Üçgen eşkenar olduğundan tüm açıları $(60)^0$'a eşittir.

O zaman $4$ Teoremine göre elimizde

Cevap:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Bu problemin sonucunun, belirli bir kenara sahip herhangi bir eşkenar üçgenin alanını bulmak için kullanılabileceğini unutmayın.