1°. Üstel denklemlerÜslü değişken içeren denklemlere denir.
Üstel denklemlerin çözümü kuvvetlerin özelliğine dayanır: aynı tabana sahip iki kuvvet ancak ve ancak üslerinin eşit olması durumunda eşittir.
2°. Üstel denklemleri çözmek için temel yöntemler:
1) en basit denklemin bir çözümü vardır;
2) tabana göre logaritmik formda bir denklem A biçimlendirmek için azaltın;
3) formdaki bir denklem denkleme eşdeğerdir;
4) formun denklemi 
denklemine eşdeğerdir.
5) formdaki bir denklem, bir denklemin değiştirilmesi yoluyla indirgenir ve daha sonra bir dizi basit üstel denklem çözülür;
6) karşılıklı denklem 
yerine koyma yoluyla bir denkleme indirgerler ve ardından bir dizi denklemi çözerler;
7) göre homojen denklemler a g(x) Ve bg(x) verilen 
tür 
yerine koyma yoluyla bunlar bir denkleme indirgenir ve ardından bir dizi denklem çözülür.
Üstel denklemlerin sınıflandırılması.
1. Bir tabana giderek çözülen denklemler.
Örnek 18. Denklemi çözün 
.
Çözüm: Tüm kuvvet tabanlarının 5: sayısının kuvvetleri olduğu gerçeğinden yararlanalım.
2. Bir üsse geçilerek çözülen denklemler.
Bu denklemler orijinal denklemin forma dönüştürülmesiyle çözülür. Orantı özelliği kullanılarak en basit haline indirgenmiştir.
Örnek 19. Denklemi çözün:
3. Parantezlerin ortak çarpanı çıkarılarak çözülen denklemler.
Bir denklemdeki her bir üs diğerinden belirli bir sayı kadar farklıysa, en küçük üssün bulunduğu üs parantez dışına alınarak denklemler çözülür.
Örnek 20. Denklemi çözün.
Çözüm: Denklemin sol tarafındaki parantez içindeki üssün en küçük olduğu dereceyi alalım:
Örnek 21. Denklemi çözün 
Çözüm: Denklemin sol tarafında 4 tabanındaki kuvvetleri içeren terimleri, sağ tarafında 3 tabanındaki kuvvetleri içeren terimleri ayrı ayrı gruplayalım, ardından en küçük üslü kuvvetleri parantezlerin dışına koyalım:
4. İkinci dereceden (veya kübik) denklemlere indirgenen denklemler.
Aşağıdaki denklemler yeni değişken y için ikinci dereceden bir denkleme indirgenir:
a) bu durumda oyuncu değişikliğinin türü;
b) oyuncu değişikliğinin türü ve.
Örnek 22. Denklemi çözün 
.
Çözüm: Değişken değişikliği yapalım ve ikinci dereceden denklemi çözelim:
.
Cevap: 0; 1.
5. Üstel fonksiyonlara göre homojen olan denklemler.
Formdaki bir denklem, bilinmeyenlere göre ikinci dereceden homojen bir denklemdir bir x Ve bx. Bu tür denklemler, önce her iki tarafı da bölerek ve ardından bunları ikinci dereceden denklemlere koyarak indirgenir.
Örnek 23. Denklemi çözün.
Çözüm: Denklemin her iki tarafını da şuna bölün:
Koyarak kökleri olan ikinci dereceden bir denklem elde ederiz.
Şimdi sorun bir dizi denklemin çözümüne geliyor 
. İlk denklemden bunu buluyoruz. İkinci denklemin kökleri yoktur, çünkü herhangi bir değer için X.
Cevap: -1/2.
6. Üstel fonksiyonlara göre rasyonel denklemler.
Örnek 24. Denklemi çözün.
Çözüm: Kesrin payını ve paydasını aşağıdaki sayıya bölün: 3x ve iki yerine bir üstel fonksiyon elde ediyoruz:
7. Formun denklemleri 
.
Koşul tarafından belirlenen bir dizi kabul edilebilir değere (APV) sahip bu tür denklemler, denklemin her iki tarafının logaritması alınarak eşdeğer bir denkleme indirgenir ve bu da iki denklem veya bir diziye eşdeğerdir.
Örnek 25. Denklemi çözün: .
.
Didaktik materyal.
Denklemleri çözün:
1. ; 2. ; 3. 
;
4. 
; 5. ; 6. ;
9. 
; 10. 
; 11. 
;
14. 
; 15. ;
16. 
; 17. 
;
18. ; 19. 
;
20. ; 21. 
;
22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
.
26. Denklemin köklerinin çarpımını bulun 
.
27. Denklemin köklerinin toplamını bulun 
.
İfadenin anlamını bulun:
28. , nerede x 0- denklemin kökü;
29. , nerede x 0– denklemin tam kökü 
.
Denklemi çözün:
31. 
; 32. .
Yanıtlar: 10; 2. -2/9; 3.1/36; 4.0, 0.5; 50; 6.0; 7.-2; 8.2; 9.1, 3; 10.8; 11.5; 12.1; 13.¼; 14.2; 15. -2, -1; 16.-2, 1; 17.0; 18.1; 19.0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23.4; 24.-1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27.3; 28.11; 29.54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
8 numaralı konu.
Üstel eşitsizlikler.
1°. Üssü değişken içeren eşitsizliğe denir üstel eşitsizlik.
2°. Formun üstel eşitsizliklerinin çözümü aşağıdaki ifadelere dayanmaktadır:
eğer ise eşitsizlik şuna eşittir;
eğer ise eşitsizlik eşittir.
Üstel eşitsizlikleri çözerken, üstel denklemleri çözerken kullanılan tekniklerin aynısı kullanılır.
Örnek 26. Eşitsizliği çözün 
(bir üsse geçiş yöntemi).
Çözüm: Çünkü 
ise verilen eşitsizlik şu şekilde yazılabilir: 
. O zamandan beri, bu eşitsizlik eşitsizliğe eşdeğerdir 
.
Son eşitsizliği çözerek şunu elde ederiz:
Örnek 27. Eşitsizliği çözün: ( parantezlerin ortak çarpanını çıkararak).
Çözüm: Eşitsizliğin sol tarafındaki, sağ tarafındaki parantezleri çıkarıp eşitsizliğin her iki tarafını da (-2)'ye bölerek eşitsizliğin işaretini ters yönde değiştirelim:
O zamandan beri göstergelerin eşitsizliğine geçildiğinde eşitsizliğin işareti yine tersine değişiyor. Anlıyoruz. Dolayısıyla bu eşitsizliğin tüm çözümlerinin kümesi aralıktır.
Örnek 28. Eşitsizliği çözün ( yeni bir değişken ekleyerek).
Çözüm: Let . O zaman bu eşitsizlik şu şekli alacaktır: 
veya 
, bunun çözümü aralıktır.
Buradan. Fonksiyon arttığına göre .
Didaktik materyal.
Eşitsizliğin çözüm kümesini belirtin:
1. ; 2. ; 3. ;
6. Hangi değerlerde X Fonksiyon grafiğindeki noktalar düz çizginin altında mı bulunuyor?
7. Hangi değerlerde X Fonksiyonun grafiğindeki noktalar en azından düz çizgiye kadar mı uzanıyor?
Eşitsizliği çözün:
8. 
; 9. 
; 10. ;
13. Eşitsizliğin en büyük tamsayı çözümünü belirtin 
.
14. Eşitsizliğin en büyük tam sayı ile en küçük tam sayı çözümlerinin çarpımını bulun 
.
Eşitsizliği çözün:
15. ; 16. 
; 17. 
;
18. 
; 19. ; 20. ;
21. 
; 22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
; 26. 
.
Fonksiyonun etki alanını bulun:
27. 
; 28. 
.
29. Fonksiyonların her birinin değerinin 3'ten büyük olduğu argüman değerleri kümesini bulun:
Ve 
.
Yanıtlar: 11.3; 12.3; 13.-3; 14.1; 15.(0;0,5); 16. ; 17.(-1;0)U(3;4); 18. [-2; 2]; 19.(0; +∞); 20.(0;1); 21.(3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23.(0;1); 24.(-1;1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. (a)=a^(\frac( 1) (n))\) şunu elde ederiz: \(\sqrt(3^3)=((3^3))^(\frac(1)(2))\). Daha sonra, derece \((a^b)^c=a^(bc)\ özelliğini kullanarak \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ elde ederiz. (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)
Ayrıca \(a^b·a^c=a^(b+c)\) olduğunu da biliyoruz. Bunu sol tarafa uyguladığımızda şunu elde ederiz: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)
Şimdi şunu unutmayın: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Bu formül ters yönde de kullanılabilir: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Sonra \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)
\((a^b)^c=a^(bc)\) özelliğini sağ tarafa uygulayarak şunu elde ederiz: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)
Ve artık tabanlarımız eşit ve hiçbir engelleyici katsayı vs. yok. Böylece geçiş yapabiliriz.
Örnek
. Üstel denklemi çözün \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)
Çözüm:
|
\(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) |
Yine \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) kuvvet özelliğini ters yönde kullanırız. |
|
|
\(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) |
Şimdi şunu hatırlayın: \(4=2^2\). |
|
|
\((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) |
Derecelerin özelliklerini kullanarak şunları dönüştürürüz: |
|
|
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) |
Denkleme dikkatlice bakıyoruz ve \(t=2^x\) değişiminin kendisini önerdiğini görüyoruz. |
|
|
\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) |
Ancak \(t\) değerlerini bulduk ve \(x\)'e ihtiyacımız var. Ters değiştirme yaparak X'lere dönüyoruz. |
|
|
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) |
İkinci denklemi negatif kuvvet özelliğini kullanarak dönüştürelim... |
|
|
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) |
...ve cevaba kadar karar veriyoruz. |
|
|
\(x_1=1\) \(x_2=-1\) |
Cevap : \(-1; 1\).
Soru hala devam ediyor: Hangi yöntemin ne zaman kullanılacağı nasıl anlaşılır? Bu deneyimle birlikte gelir. Bunu geliştirene kadar, karmaşık sorunları çözmek için genel öneriyi kullanın - "ne yapacağınızı bilmiyorsanız, elinizden geleni yapın." Yani, denklemi prensipte nasıl dönüştürebileceğinizi arayın ve bunu yapmaya çalışın - ya ne olursa? Önemli olan yalnızca matematiksel temelli dönüşümler yapmaktır.
Çözümü olmayan üstel denklemler
Öğrencilerin sıklıkla kafasını karıştıran iki duruma daha bakalım:
- pozitif bir sayının üssü sıfıra eşittir, örneğin, \(2^x=0\);
- pozitif bir sayı, negatif bir sayının üssüne eşittir; örneğin, \(2^x=-4\).
Kaba kuvvetle çözmeye çalışalım. Eğer x pozitif bir sayıysa, x büyüdükçe \(2^x\)'in tüm kuvveti yalnızca artacaktır:
\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).
\(x=0\); \(2^0=1\)
Ayrıca tarafından. Negatif X'ler kaldı. \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\ özelliğini hatırlayarak şunu kontrol ederiz:
\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)
Her adımda sayı küçülse de hiçbir zaman sıfıra ulaşmayacak. Yani negatif derece bizi kurtarmadı. Mantıklı bir sonuca varıyoruz:
Herhangi bir dereceye kadar pozitif bir sayı, pozitif bir sayı olarak kalacaktır.
Dolayısıyla yukarıdaki her iki denklemin de çözümü yoktur.
Farklı tabanlara sahip üstel denklemler
Uygulamada bazen birbirine indirgenemeyen farklı tabanlara sahip, aynı zamanda aynı üslere sahip üstel denklemlerle karşılaşmaktayız. Şuna benzerler: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), burada \(a\) ve \(b\) pozitif sayılardır.
Örneğin:
\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)
Bu tür denklemler, denklemin herhangi bir tarafına (genellikle sağ tarafa, yani \(b^(f(x))\'e bölünür) bölünerek kolayca çözülebilir. Pozitif bir sayı olduğu için bu şekilde bölebilirsiniz. herhangi bir kuvvete göre pozitiftir (yani sıfıra bölmeyiz) Şunu elde ederiz:
\(\frac(a^(f(x))(b^(f(x))))\) \(=1\)
Örnek
. Üstel denklemi çözün \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Çözüm:
|
\(5^(x+7)=3^(x+7)\) |
Burada beşi üçe veya tam tersini (en azından kullanmadan) üçe çeviremeyeceğiz. Bu, \(a^(f(x))=a^(g(x))\) biçimine gelemeyeceğimiz anlamına gelir. Ancak göstergeler aynı. |
|
|
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) |
Şimdi \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) özelliğini hatırlayın ve onu soldan ters yönde kullanın. Sağda sadece kesri azaltıyoruz. |
|
|
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) |
Görünüşe göre işler daha iyiye gitmedi. Ancak kuvvetin bir özelliğini daha unutmayın: \(a^0=1\), diğer bir deyişle: "herhangi bir sayının sıfır üssü \(1\)'e eşittir." Bunun tersi de doğrudur: "bir, herhangi bir sayının sıfır üssü olarak temsil edilebilir." Sağdaki tabanı soldakiyle aynı yaparak bundan faydalanalım. |
|
|
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) |
İşte! Üslerden kurtulalım. |
|
|
Cevap yazıyoruz. |
Cevap : \(-7\).
Bazen üslü sayıların "aynılığı" açık değildir ancak üslü sayıların özelliklerinin ustaca kullanılması bu sorunu çözer.
Örnek
. Üstel denklemi çözün \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Çözüm:
|
\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Denklem çok üzücü görünüyor... Tabanlar aynı sayıya indirgenemediği gibi (yedi hiçbir şekilde \(\frac(1)(3)\)'a eşit olmayacaktır) aynı zamanda üsler de farklıdır. .. Ancak sol üslü ikiliyi kullanalım. |
|
|
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
\((a^b)^c=a^(b·c)\) özelliğini hatırlayarak soldan dönüşüm yaparız: |
|
|
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Şimdi, negatif derece \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) özelliğini hatırlayarak, sağdan dönüşüm yaparız: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) |
|
|
\(49^(x-2)=3^(x-2)\) |
Şükürler olsun! Göstergeler aynı! |
Cevap : \(2\).