Hız ortalaması ve anlık değer. Serbest düşen cisimlerle ilgili problemler: kinematikte problem çözme örnekleri

3.1. Düz bir çizgide düzgün hareket.

3.1.1. Düz bir çizgide düzgün hareket- ivmenin büyüklüğü ve yönü sabit olan düz bir çizgideki hareket:

3.1.2. Hızlanma()- hızın 1 saniyede ne kadar değişeceğini gösteren fiziksel bir vektör miktarı.

Vektör formunda:

vücudun başlangıç hızı nerede, vücudun o andaki hızı T.

Eksen üzerine projeksiyonda Öküz:

başlangıç hızının eksene izdüşümü nerede Öküz, - vücut hızının eksene izdüşümü Öküz zamanın bir noktasında T.

İzdüşümlerin işaretleri vektörlerin yönüne ve eksene bağlıdır Öküz.

3.1.3. İvmenin zamana karşı projeksiyon grafiği.

Düzgün değişen harekette ivme sabittir, bu nedenle zaman eksenine paralel düz çizgiler olarak görünecektir (şekle bakın):

3.1.4. Düzgün hareket sırasında hız.

Vektör formunda:

Eksen üzerine projeksiyonda Öküz:

Düzgün hızlandırılmış hareket için:

Düzgün yavaş hareket için:

3.1.5. Hızın zamana karşı projeksiyon grafiği.

Hızın zamana karşı projeksiyonunun grafiği düz bir çizgidir.

Hareket yönü: Grafik (veya bir kısmı) zaman ekseninin üzerindeyse, cisim eksenin pozitif yönünde hareket ediyor demektir Öküz.

Hızlanma değeri: eğim açısının tanjantı ne kadar büyükse (yukarı veya aşağı ne kadar dik giderse), hızlanma modülü de o kadar büyük olur; hızın zaman içindeki değişimi nerede

Zaman ekseniyle kesişme: Grafik zaman eksenini kesiyorsa, kesişme noktasından önce vücut yavaşlar (düzgün yavaş hareket) ve kesişme noktasından sonra ters yönde hızlanmaya başlar (düzgün hızlandırılmış hareket).

3.1.6. Grafiğin altındaki alanın eksenlerdeki geometrik anlamı

Eksen üzerindeyken grafiğin altındaki alan oy hız gecikir ve eksende Öküz- zaman bedenin kat ettiği yoldur.

İncirde. Şekil 3.5 düzgün ivmeli hareketin durumunu göstermektedir. Bu durumda yol yamuğun alanına eşit olacaktır: (3.9)

3.1.7. Yol hesaplama formülleri

Düzgün hızlandırılmış hareket	Eşit yavaş çekim
(3.10)	(3.12)
(3.11)	(3.13)
(3.14)

Tabloda sunulan tüm formüller yalnızca hareket yönü korunduğunda, yani hız projeksiyonunun zamana karşı grafiğinde düz çizgi zaman ekseniyle kesişene kadar çalışır.

Kavşak meydana gelmişse, hareketin iki aşamaya bölünmesi daha kolaydır:

karşıya geçmeden önce (frenleme):

Kavşaktan sonra (hızlanma, ters yönde hareket)

Yukarıdaki formüllerde - Hareketin başlangıcından zaman ekseni ile kesişime kadar geçen süre (durmadan önceki süre), - Hareketin başlangıcından zaman ekseni ile kesişime kadar vücudun kat ettiği yol, - Geçen süre zaman eksenini geçtiği andan bu ana kadar T, - zaman eksenini geçtiği andan bu ana kadar geçen süre boyunca vücudun ters yönde kat ettiği yol T, - tüm hareket süresi boyunca yer değiştirme vektörünün modülü, L- tüm hareket boyunca vücudun kat ettiği yol.

3.1.8. İkinci saniyede hareket.

Bu süre zarfında vücut aşağıdaki mesafeyi kat edecektir:

Daha sonra inci aralık sırasında vücut aşağıdaki mesafeyi kat edecektir:

Herhangi bir zaman dilimi aralık olarak alınabilir. Çoğu zaman ile.

Daha sonra 1 saniyede vücut aşağıdaki mesafeyi kat eder:

2 saniyede:

3 saniyede:

Dikkatli bakarsak şunu görürüz vs.

Böylece formüle ulaşıyoruz:

Başka bir deyişle: Bir cismin ardışık zaman dilimleri boyunca kat ettiği yollar, bir dizi tek sayı olarak birbiriyle ilişkilidir ve bu, cismin hareket ettiği ivmeye bağlı değildir. Bu ilişkinin aşağıdakiler için geçerli olduğunu vurguluyoruz:

3.1.9. Düzgün hareket için vücut koordinatlarının denklemi

Koordinat denklemi

İlk hız ve ivmenin projeksiyonlarının işaretleri, karşılık gelen vektörlerin ve eksenin göreceli konumuna bağlıdır. Öküz.

Sorunları çözmek için, hız projeksiyonunu eksene değiştirme denklemini denkleme eklemek gerekir:

3.2. Doğrusal hareket için kinematik büyüklüklerin grafikleri

3.3. Serbest düşme gövdesi

Serbest düşüşle aşağıdaki fiziksel modeli kastediyoruz:

1) Düşme yerçekiminin etkisi altında gerçekleşir:

2) Hava direnci yok (sorunlarda bazen “hava direncini ihmal” yazıyorlar);

3) Kütlesi ne olursa olsun tüm cisimler aynı ivmeyle düşer (bazen buna “cismin şekli ne olursa olsun” da eklenir, ancak biz yalnızca maddi bir noktanın hareketini düşünüyoruz, dolayısıyla cismin şekli artık alınmaz) dikkate alınarak);

4) Yerçekimi ivmesi kesinlikle aşağıya doğru yönlendirilir ve Dünya yüzeyinde eşittir (problemlerde hesaplamaların kolaylığı için sıklıkla varsaydığımız);

3.3.1. Eksen üzerine projeksiyonda hareket denklemleri oy

Yatay bir düz çizgi boyunca hareketten farklı olarak, tüm görevler hareket yönünde bir değişiklik içermediğinde, serbest düşüşte eksen üzerine projeksiyonlarla yazılan denklemleri hemen kullanmak en iyisidir. oy.

Vücut koordinat denklemi:

Hız projeksiyon denklemi:

Kural olarak problemlerde ekseni seçmek uygundur oy Aşağıdaki şekilde:

Eksen oy dikey olarak yukarı doğru yönlendirilmiş;

Başlangıç, Dünya'nın seviyesine veya yörüngenin en alçak noktasına denk gelir.

Bu seçimle denklemler ve denklemleri aşağıdaki biçimde yeniden yazılacaktır:

3.4. Düzlemde hareket Oksi.

Bir cismin düz bir çizgi boyunca ivmeli hareketini düşündük. Ancak tekdüze değişken hareket bununla sınırlı değildir. Örneğin yataya belli bir açıyla fırlatılan bir cisim. Bu tür problemlerde iki eksen boyunca hareketi aynı anda hesaba katmak gerekir:

Veya vektör biçiminde:

Ve her iki eksendeki hız projeksiyonunu değiştirmek:

3.5. Türev ve integral kavramının uygulanması

Burada türev ve integralin ayrıntılı bir tanımını yapmayacağız. Sorunları çözmek için yalnızca küçük bir formül setine ihtiyacımız var.

Türev:

Nerede A, B yani sabit değerler.

İntegral:

Şimdi türev ve integral kavramlarının fiziksel niceliklere nasıl uygulandığını görelim. Matematikte türev """ ile, fizikte ise zamana göre türev fonksiyonun üzerinde "∙" ile gösterilir.

Hız:

yani hız, yarıçap vektörünün bir türevidir.

Hız projeksiyonu için:

Hızlanma:

yani ivme hızın bir türevidir.

Hızlanma projeksiyonu için:

Dolayısıyla hareket kanunu biliniyorsa cismin hem hızını hem de ivmesini kolaylıkla bulabiliriz.

Şimdi integral kavramını kullanalım.

Hız:

yani hız, ivmenin zaman integrali olarak bulunabilir.

Yarıçap vektörü:

yani yarıçap vektörü hız fonksiyonunun integrali alınarak bulunabilir.

Böylece fonksiyon biliniyorsa cismin hem hızını hem de hareket yasasını kolaylıkla bulabiliriz.

Formüllerdeki sabitler başlangıç koşullarından - değerlerden ve o anda belirlenir

3.6. Hız üçgeni ve yer değiştirme üçgeni

3.6.1. Hız üçgeni

Sabit ivmeli vektör formunda hız değişimi yasası şu şekildedir (3.5):

Bu formül, bir vektörün, vektörlerin vektör toplamına eşit olduğu ve vektör toplamının her zaman bir şekilde gösterilebileceği anlamına gelir (şekle bakın).

Her problemde şartlara bağlı olarak hız üçgeni kendine has bir forma sahip olacaktır. Bu gösterim, çözümde genellikle problemin çözümünü basitleştiren geometrik hususların kullanılmasına izin verir.

3.6.2. Hareket üçgeni

Vektör biçiminde, sabit ivmeli hareket yasası şu şekildedir:

Bir problemi çözerken referans sistemini en uygun şekilde seçebilirsiniz, dolayısıyla genelliği kaybetmeden referans sistemini öyle bir şekilde seçebiliriz ki, yani koordinat sisteminin orijinini bulunduğu noktaya yerleştirebiliriz. vücut ilk anda bulunur. Daha sonra

yani vektör, vektörlerin vektör toplamına eşittir ve bunu şekilde gösterelim (bkz. şekil).

Önceki durumda olduğu gibi, koşullara bağlı olarak yer değiştirme üçgeni kendi şekline sahip olacaktır. Bu gösterim, çözümde genellikle problemin çözümünü basitleştiren geometrik hususların kullanılmasına izin verir.

Bölüm 1

Anlık hızın hesaplanması

Bir denklemle başlayın. Anlık hızı hesaplamak için, bir cismin hareketini (belirli bir andaki konumu) tanımlayan denklemi bilmeniz gerekir; yani bir tarafı s (vücudun hareketi) olan bir denklem ve diğer tarafta t (zaman) değişkenine sahip terimler vardır. Örneğin:
s = -1,5t 2 + 10t + 4
- Bu denklemde: Yer değiştirme = sn. Yer değiştirme, bir nesnenin kat ettiği yoldur. Örneğin, bir cisim 10 m ileri ve 7 m geri hareket ederse, cismin toplam yer değiştirmesi 10 - 7 = 3m(ve 10 + 7 = 17 m'de). Zaman = t. Genellikle saniye cinsinden ölçülür.
Denklemin türevini hesaplayın. Hareketleri yukarıdaki denklemle tanımlanan bir cismin anlık hızını bulmak için bu denklemin türevini hesaplamanız gerekir. Türev, bir grafiğin eğimini herhangi bir noktada (zamanın herhangi bir noktasında) hesaplamanıza olanak tanıyan bir denklemdir. Türevi bulmak için fonksiyonun türevini aşağıdaki gibi alın: eğer y = a*x n ise türev = a*n*x n-1. Bu kural polinomun her terimi için geçerlidir.
- Başka bir deyişle, t değişkenli her bir terimin türevi, faktörün (değişkenin önündeki) çarpımı ve değişkenin kuvvetinin değişkenle çarpımına, orijinal kuvvet eksi 1'e eşit bir kuvvete eşittir. serbest terim (değişkeni olmayan terim yani sayı) 0 ile çarpıldığı için ortadan kalkar. Örneğimizde:
  s = -1,5t 2 + 10t + 4
  (2)-1,5t (2-1) + (1)10t 1 - 1 + (0)4t 0
  -3t 1 + 10t 0
  -3t+10
Yeni denklemin orijinal denklemin türevi olduğunu (yani s'nin t'ye göre türevi) olduğunu göstermek için "s"yi "ds/dt" ile değiştirin. Türev, grafiğin belirli bir noktada (zamanda belirli bir noktada) eğimidir. Örneğin, t = 5'te s = -1,5t 2 + 10t + 4 fonksiyonu tarafından tanımlanan doğrunun eğimini bulmak için türev denkleminde 5'i yazmanız yeterlidir.
- Örneğimizde türev denklemi şöyle görünmelidir:
  ds/dt = -3t + 10
Zamanın belirli bir noktasındaki anlık hızı bulmak için uygun t değerini türev denkleminde yerine koyun. Örneğin, t = 5'teki anlık hızı bulmak istiyorsanız, ds/dt = -3 + 10 türev denkleminde 5'i (t yerine) yazmanız yeterlidir. Daha sonra denklemi çözün:
ds/dt = -3t + 10
ds/dt = -3(5) + 10
ds/dt = -15 + 10 = -5 m/sn
- Lütfen anlık hız için ölçü birimine dikkat edin: m/s. Yer değiştirmenin değeri metre, zaman ise saniye cinsinden verildiğine ve hız yer değiştirmenin zamana oranına eşit olduğuna göre ölçü birimi m/s doğrudur.
Bölüm 2
Anlık hızın grafiksel değerlendirmesi
1. Vücudun yer değiştirmesinin bir grafiğini oluşturun.Önceki bölümde, bir formülü (bir grafiğin belirli bir noktadaki eğimini bulmanızı sağlayan bir türev denklemi) kullanarak anlık hızı hesaplamıştınız. Bir cismin hareketinin grafiğini çizerek onun herhangi bir noktadaki eğimini bulabilirsiniz ve dolayısıyla belirli bir andaki anlık hızı belirlemek.
  - Y ekseni yer değiştirmeyi, X ekseni ise zamanı gösterir. (x, y) noktalarının koordinatları, çeşitli t değerlerinin orijinal yer değiştirme denklemine yerleştirilmesi ve karşılık gelen s değerlerinin hesaplanmasıyla elde edilir.
  - Grafik X ekseninin altına düşebilir. Vücudun hareketinin grafiği X ekseninin altına düşerse bu, vücudun hareketin başladığı noktadan ters yönde hareket ettiği anlamına gelir. Tipik olarak grafik Y ekseninin ötesine uzanmaz (negatif x değerleri) - zamanda geriye doğru hareket eden nesnelerin hızlarını ölçmüyoruz!
2. Grafikte (eğri) P noktasını ve ona yakın Q noktasını seçin. Grafiğin P noktasındaki eğimini bulmak için limit kavramını kullanırız. Limit - eğri üzerinde yer alan 2 P ve Q noktasından çizilen sekant değerinin sıfıra yöneldiği bir durum.
  - Örneğin, noktaları göz önünde bulundurun P(1,3) Ve S(4,7) ve P noktasındaki anlık hızı hesaplayın.
3. PQ segmentinin eğimini bulun. PQ segmentinin eğimi, P ve Q noktalarının y koordinat değerlerindeki farkın, P ve Q noktalarının x koordinat değerlerindeki farka oranına eşittir. Başka bir deyişle, H = (y Q - y P)/(x Q - x P) burada H, PQ segmentinin eğimidir. Örneğimizde PQ segmentinin eğimi şöyledir:
  H = (y Q - y P)/(x Q - x P)
  H = (7 - 3)/(4 - 1)
  H = (4)/(3) = 1.33
4. Q noktasını P noktasına yaklaştırarak işlemi birkaç kez tekrarlayın.İki nokta arasındaki mesafe ne kadar küçük olursa, ortaya çıkan parçaların eğimi grafiğin P noktasındaki eğimine o kadar yakın olur. Örneğimizde (2,4.8), (1.5,3.95) koordinatlarıyla Q noktası için hesaplamalar yapacağız. ) ve (1.25,3.49) (P noktasının koordinatları aynı kalır):
  S = (2,4.8): H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
  H = (1,8)/(1) = 1.8
  S = (1,5,3,95): H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
  H = (.95)/(.5) = 1.9
  S = (1,25,3,49): H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
  H = (.49)/(.25) = 1.96
5. P ve Q noktaları arasındaki mesafe ne kadar küçük olursa, H'nin değeri grafiğin P noktasındaki eğimine o kadar yakın olur. P ve Q noktaları arasındaki mesafe çok küçükse, H'nin değeri eğime eşit olacaktır. P noktasındaki grafik. İki nokta arasındaki son derece küçük mesafeyi ölçemediğimiz veya hesaplayamadığımız için, grafik yöntemi, grafiğin P noktasındaki eğiminin bir tahminini verir.
  - Örneğimizde Q, P'ye yaklaştıkça aşağıdaki H değerlerini elde ettik: 1,8; 1.9 ve 1.96. Bu sayılar 2'ye eğilimli olduğundan grafiğin P noktasındaki eğiminin şuna eşit olduğunu söyleyebiliriz: 2 .
  - Bir grafiğin belirli bir noktadaki eğiminin, o noktadaki fonksiyonun (grafiğin çizildiği) türevine eşit olduğunu unutmayın. Grafik bir cismin zaman içindeki hareketini gösterir ve önceki bölümde belirtildiği gibi bir cismin anlık hızı, bu cismin yer değiştirme denkleminin türevine eşittir. Böylece t = 2'de anlık hızın şu olduğunu söyleyebiliriz: 2 m/sn(bu bir tahmindir).
Bölüm 3
Örnekler
1. Eğer cismin hareketi s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9 denklemiyle tanımlanıyorsa, t = 4'teki anlık hızı hesaplayın. Bu örnek, ilk bölümdeki soruna benzer; tek fark, burada (ikinciden ziyade) üçüncü dereceden bir denklemin olmasıdır.
  - Öncelikle bu denklemin türevini hesaplayalım:
    s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
    s = (3)5t (3 - 1) - (2)3t (2 - 1) + (1)2t (1 - 1) + (0)9t 0 - 1
    15t (2) - 6t (1) + 2t (0)
    15t (2) - 6t + 2
  - Şimdi t = 4 değerini türev denkleminde yerine koyalım:
    s = 15t (2) - 6t + 2
    15(4) (2) - 6(4) + 2
    15(16) - 6(4) + 2
    240 - 24 + 2 = 22 m/sn
2. s = 4t 2 - t fonksiyonunun grafiğinde koordinatları (1,3) olan noktadaki anlık hızın değerini tahmin edelim. Bu durumda P noktasının koordinatları (1,3) vardır ve P noktasına yakın olan Q noktasının birkaç koordinatını bulmak gerekir. Daha sonra H'yi hesaplar ve anlık hızın tahmini değerlerini buluruz.
  - Öncelikle Q'nun t = 2, 1.5, 1.1 ve 1.01'deki koordinatlarını bulalım.
    s = 4t 2 - t
    t = 2: s = 4(2) 2 - (2)
    4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, yani S = (2.14)
    t = 1,5: s = 4(1,5) 2 - (1,5)
    4(2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, yani S = (1,5,7,5)
    t = 1,1: s = 4(1,1) 2 - (1,1)
    4(1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, yani S = (1.1,3.74)
    t = 1,01: s = 4(1,01) 2 - (1,01)
    4(1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, yani S = (1.01,3.0704)

Bu, sonsuz küçük bir zaman periyodunda ortalama hızın yöneldiği sınıra sayısal olarak eşit olan bir vektör fiziksel niceliğidir:

Başka bir deyişle anlık hız, zamana göre yarıçap vektörüdür.

Anlık hız vektörü her zaman cismin hareketi yönünde cismin yörüngesine teğet olarak yönlendirilir.

Anlık hız, zamanın belirli bir noktasındaki hareket hakkında kesin bilgi sağlar. Örneğin, bir noktada araba kullanırken sürücü hız göstergesine bakar ve cihazın 100 km/saat hızını gösterdiğini görür. Bir süre sonra hız göstergesi 90 km/saati, birkaç dakika sonra ise 110 km/saati gösteriyor. Listelenen hız göstergesi okumalarının tümü, aracın belirli zamanlardaki anlık hızının değerleridir. Zamanın her anında ve yörüngenin her noktasındaki hız, uzay istasyonlarına yanaşırken, uçakları indirirken vb. bilinmelidir.

“Anlık hız” kavramının fiziksel bir anlamı var mı? Hız, uzaydaki değişimin bir özelliğidir. Ancak hareketin nasıl değiştiğini tespit edebilmek için hareketi bir süre gözlemlemek gerekir. Radar kurulumları gibi hızı ölçmek için kullanılan en gelişmiş araçlar bile, hızı belirli bir süre boyunca ölçer - oldukça küçük de olsa, ancak bu yine de sınırlı bir zaman aralığıdır ve zaman içinde bir an değil. "Bir cismin belirli bir andaki hızı" ifadesi fizik açısından doğru değildir. Ancak anlık hız kavramı matematiksel hesaplamalarda oldukça kullanışlıdır ve sürekli kullanılmaktadır.

“Anlık hız” konusundaki problem çözme örnekleri

ÖRNEK 1

ÖRNEK 2

Egzersiz yapmak	Düz bir çizgi üzerindeki bir noktanın hareket kanunu denklemle verilir. Hareket başladıktan 10 saniye sonra noktanın anlık hızını bulunuz.
Çözüm	Bir noktanın anlık hızı zaman içindeki yarıçap vektörüdür. Bu nedenle anlık hız için şunu yazabiliriz: Hareketin başlamasından 10 saniye sonra anlık hız şu değere sahip olacaktır:
Cevap	Hareket başladıktan 10 saniye sonra noktanın anlık hızı m/s'dir.

ÖRNEK 3

Egzersiz yapmak	Bir cisim, koordinatı (metre cinsinden) yasaya göre değişecek şekilde düz bir çizgide hareket eder. Hareket başladıktan kaç saniye sonra vücut durur?
Çözüm	Vücudun anlık hızını bulalım:

Vücudun eğimli bir düzlemde yuvarlanması (Şekil 2);

Pirinç. 2. Vücudu eğimli bir düzlemde yuvarlamak ()

Serbest düşüş (Şekil 3).

Bu üç hareket türünün tümü tekdüze değildir, yani hızları değişir. Bu dersimizde düzensiz harekete bakacağız.

Düzgün hareket - Bir cismin eşit zaman aralıklarında aynı mesafeyi kat ettiği mekanik hareket (Şekil 4).

Pirinç. 4. Düzgün hareket

Harekete düzensiz denir Vücudun eşit zaman dilimlerinde eşit olmayan yollardan geçtiği durum.

Pirinç. 5. Düzensiz hareket

Mekaniğin asıl görevi, vücudun herhangi bir andaki konumunu belirlemektir. Vücut dengesiz hareket ettiğinde vücudun hızı değişir, bu nedenle vücudun hızındaki değişimi tanımlamayı öğrenmek gerekir. Bunu yapmak için iki kavram tanıtılmıştır: ortalama hız ve anlık hız.

Bir vücudun yolun geniş bir bölümündeki hareketi bir bütün olarak ele alınırken, düzensiz hareket sırasında bir vücudun hızındaki değişiklik gerçeğinin her zaman hesaba katılması gerekmez; bizim için önemli değil), ortalama hız kavramını tanıtmak uygundur.

Örneğin, okul çocuklarından oluşan bir heyet Novosibirsk'ten Soçi'ye trenle gidiyor. Bu şehirler arasındaki demiryolu mesafesi yaklaşık 3.300 km'dir. Trenin Novosibirsk'ten yeni ayrıldığı zamanki hızı bu, yolculuğun ortasında hızın böyle olduğu anlamına mı geliyor? aynı, ancak Soçi'nin girişinde [M1]? Yalnızca bu verilere sahip olarak seyahat süresinin ne kadar olacağını söylemek mümkün müdür? (Şekil 6). Tabii ki hayır, çünkü Novosibirsk sakinleri Soçi'ye ulaşmanın yaklaşık 84 saat sürdüğünü biliyor.

Pirinç. 6. Örnek olarak illüstrasyon

Bir cismin yolun geniş bir bölümündeki hareketi bir bütün olarak ele alındığında, ortalama hız kavramını tanıtmak daha uygundur.

Ortalama hız vücudun yaptığı toplam hareketin, bu hareketin yapıldığı süreye oranına denir (Şekil 7).

Pirinç. 7. Ortalama hız

Bu tanım her zaman uygun değildir. Örneğin bir atlet 400 m koşuyor - tam olarak bir tur. Sporcunun yer değiştirmesi 0'dır (Şekil 8), ancak ortalama hızının sıfır olamayacağını anlıyoruz.

Pirinç. 8. Yer değiştirme 0'dır

Uygulamada en sık ortalama yer hızı kavramı kullanılmaktadır.

Ortalama yer hızı vücudun kat ettiği toplam yolun, yolun kat edildiği süreye oranıdır (Şekil 9).

Pirinç. 9. Ortalama yer hızı

Ortalama hızın başka bir tanımı daha var.

ortalama sürat- Bu, bir cismin belirli bir mesafeyi, dengesiz hareket ederek geçtiği aynı sürede kat etmesi için düzgün bir şekilde hareket etmesi gereken hızdır.

Matematik dersinden aritmetik ortalamanın ne olduğunu biliyoruz. 10 ve 36 sayıları için şuna eşit olacaktır:

Ortalama hızı bulmak için bu formülü kullanma olasılığını bulmak için aşağıdaki problemi çözelim.

Görev

Bir bisikletçi yokuşu 10 km/saat hızla tırmanıyor ve 0,5 saat harcıyor. Daha sonra 10 dakikada 36 km/saat hızla aşağıya iniyor. Bisikletçinin ortalama hızını bulun (Şekil 10).

Pirinç. 10. Problemin gösterimi

Verilen:; ; ;

Bulmak:

Çözüm:

Bu hızların ölçü birimi km/saat olduğundan ortalama hızı km/saat cinsinden bulacağız. Bu nedenle bu sorunları SI'ya dönüştürmeyeceğiz. Saatlere çevirelim.

Ortalama hız:

Tam yol (), yokuş yukarı () ve yokuş aşağı () yoldan oluşur:

Yokuşa tırmanmanın yolu:

Yokuştan aşağı inen yol şöyle:

Tam yolu kat etmek için gereken süre:

Cevap:.

Sorunun cevabına göre ortalama hızı hesaplamak için aritmetik ortalama formülünü kullanmanın imkansız olduğunu görüyoruz.

Ortalama hız kavramı, mekaniğin ana problemini çözmek için her zaman yararlı değildir. Trenle ilgili soruna dönersek, trenin tüm yolculuğu boyunca ortalama hızı eşitse 5 saat sonra belli bir mesafeye ulaşacağı söylenemez. Novosibirsk'ten.

Sonsuz küçük bir zaman periyodunda ölçülen ortalama hıza denir vücudun anlık hızı(örneğin: bir arabanın hız göstergesi (Şek. 11) anlık hızı gösterir).

Pirinç. 11. Araç hız göstergesi anlık hızı gösterir

Anlık hızın başka bir tanımı daha vardır.

Anlık hız– vücudun belirli bir andaki hareket hızı, vücudun belirli bir yörünge noktasındaki hızı (Şekil 12).

Pirinç. 12. Anlık hız

Bu tanımı daha iyi anlamak için bir örneğe bakalım.

Arabanın otoyolun bir bölümü boyunca düz hareket etmesine izin verin. Belirli bir hareket için yer değiştirmenin zamana göre projeksiyonunu gösteren bir grafiğimiz var (Şekil 13), bu grafiği analiz edelim.

Pirinç. 13. Yer değiştirme projeksiyonunun zamana karşı grafiği

Grafik arabanın hızının sabit olmadığını gösteriyor. Diyelim ki gözlem başladıktan 30 saniye sonra bir arabanın anlık hızını bulmanız gerekiyor (noktada). A). Anlık hız tanımını kullanarak, ile arasındaki zaman aralığında ortalama hızın büyüklüğünü buluruz. Bunu yapmak için bu grafiğin bir parçasını düşünün (Şekil 14).

Pirinç. 14. Yer değiştirme projeksiyonunun zamana göre grafiği

Anlık hızı bulmanın doğruluğunu kontrol etmek için, ile arasındaki zaman aralığı için ortalama hız modülünü bulalım, bunun için grafiğin bir parçasını ele alıyoruz (Şekil 15).

Pirinç. 15. Yer değiştirme projeksiyonunun zamana göre grafiği

Belirli bir süre boyunca ortalama hızı hesaplıyoruz:

Gözlem başladıktan 30 saniye sonra arabanın anlık hızının iki değerini elde ettik. Zaman aralığının daha küçük olduğu değer, yani daha doğru olacaktır. Söz konusu zaman aralığını daha güçlü bir şekilde azaltırsak, o zaman arabanın o noktadaki anlık hızı A daha doğru belirlenecektir.

Anlık hız vektörel bir büyüklüktür. Bu nedenle onu bulmanın (modülünü bulmanın) yanı sıra, nasıl yönlendirildiğini de bilmek gerekir.

('de) – anlık hız

Anlık hızın yönü cismin hareket yönü ile çakışmaktadır.

Bir cisim eğrisel olarak hareket ederse, anlık hız belirli bir noktada yörüngeye teğet olarak yönlendirilir (Şekil 16).

1. Egzersiz

Anlık hız () büyüklüğü değişmeden sadece yönde değişebilir mi?

Çözüm

Bunu çözmek için aşağıdaki örneği inceleyin. Vücut kavisli bir yol boyunca hareket eder (Şek. 17). Hareketin yörüngesinde bir nokta işaretleyelim A ve dönem B. Bu noktalardaki anlık hızın yönünü not edelim (anlık hız yörünge noktasına teğet olarak yönlendirilir). Hızlar ve büyüklükleri eşit ve 5 m/s olsun.

Cevap: Belki.

Görev 2

Anlık hız yön değiştirmeden sadece büyüklük olarak değişebilir mi?

Çözüm

Pirinç. 18. Problemin gösterimi

Şekil 10 bu noktada şunu göstermektedir: A ve bu noktada B anlık hız aynı yöndedir. Eğer bir cisim düzgün şekilde ivmelenerek hareket ediyorsa, o zaman .

Cevap: Belki.

Bu dersimizde düzensiz hareketi, yani değişen hızlardaki hareketi incelemeye başladık. Düzensiz hareketin özellikleri ortalama ve anlık hızlardır. Ortalama hız kavramı, zihinsel olarak düzensiz hareketin tekdüze hareketle değiştirilmesine dayanmaktadır. Bazen ortalama hız kavramı (gördüğümüz gibi) çok uygundur, ancak mekaniğin ana problemini çözmek için uygun değildir. Bu nedenle anlık hız kavramı ortaya atılmıştır.

Kaynakça

G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. Sotsky. Fizik 10. - Yüksek Lisans: Eğitim, 2008.
A.P. Rymkevich. Fizik. Sorun kitabı 10-11. - M.: Bustard, 2006.
O.Ya. Savchenko. Fizik problemleri. - M.: Nauka, 1988.
AV. Peryshkin, V.V. Krauklis. Fizik dersi. T. 1. - M.: Devlet. Öğretmen ed. dk. RSFSR'nin eğitimi, 1957.

İnternet portalı “School-collection.edu.ru” ().
İnternet portalı “Virtulab.net” ().

Ev ödevi

9. paragrafın sonundaki sorular (1-3, 5) (sayfa 24); G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. Sotsky. Fizik 10 (önerilen okumalar listesine bakın)
Belirli bir zaman periyodundaki ortalama hızı bilerek, bu aralığın herhangi bir kısmında bir cismin yaptığı yer değiştirmeyi bulmak mümkün müdür?
Düzgün doğrusal hareket sırasındaki anlık hız ile düzensiz hareket sırasındaki anlık hız arasındaki fark nedir?
Araba sürerken her dakika hız göstergesi okumaları yapıldı. Bu verilerden bir arabanın ortalama hızını belirlemek mümkün müdür?
Bisikletçi rotanın ilk üçte birini saatte 12 km, ikinci üçte birini saatte 16 km, son üçte birini ise saatte 24 km hızla sürdü. Bisikletin tüm yolculuk boyunca ortalama hızını bulun. Cevabınızı km/saat olarak verin