บทเรียน: สมการทั้งหมดและรากของมัน สมการทั้งหมดและรากของมัน

หัวข้อบทเรียน: “สมการทั้งหมดและรากของมัน”

เป้าหมาย:

เกี่ยวกับการศึกษา:

• พิจารณาวิธีการแก้สมการทั้งหมดโดยใช้การแยกตัวประกอบ

การพัฒนา:

เกี่ยวกับการศึกษา:

ระดับ: 9

หนังสือเรียน:พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9: หนังสือเรียนสำหรับ สถาบันการศึกษา/ [ยูเอ็น มาคารีเชฟ, N.G. มินดุ๊ก, K.I. เนชคอฟ, เอส.บี. ซูโวรอฟ]; เอ็ด เอส.เอ. Telyakovsky.- ฉบับที่ 16 – อ.: การศึกษา, 2553

อุปกรณ์:คอมพิวเตอร์พร้อมโปรเจคเตอร์ การนำเสนอ “สมการทั้งหมด”

ระหว่างเรียน:

เวลาจัดงาน.

ชมวิดีโอ “ทุกสิ่งอยู่ในมือคุณ”

มีหลายครั้งในชีวิตที่คุณยอมแพ้และดูเหมือนไม่มีอะไรจะสำเร็จ จากนั้นจำคำพูดของปราชญ์ "ทุกสิ่งอยู่ในมือของคุณ" และปล่อยให้คำเหล่านี้เป็นคำขวัญของบทเรียนของเรา

งานช่องปาก.

2x + 6 =10, 14x = 7, x 2 – 16 = 0, x – 3 = 5 + 2x, x 2 = 0,

ข้อความหัวข้อบทเรียนเป้าหมาย

วันนี้เราจะมาทำความรู้จักกับสมการประเภทใหม่ซึ่งเป็นสมการทั้งหมด มาเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหากันเถอะ

มาเขียนตัวเลขลงในสมุดบันทึกของเรา งานของชั้นเรียนและหัวข้อบทเรียน: “สมการทั้งหมด, รากของมัน”

2.การอัพเดตความรู้พื้นฐาน

แก้สมการ:

คำตอบ: ก)x = 0; ข) x =5/3; ค) x = -, ; ง) x = 1/6; - 1/6; e) ไม่มีราก; จ) x = 0; 5; - 5; ก) 0; 1; -2; ชั่วโมง)0; 1; - 1; ผม) 0.2; - 0.2; เจ) -3; 3.

3. การก่อตัวของแนวคิดใหม่

การสนทนากับนักเรียน:

สมการคืออะไร? (ความเท่าเทียมกันที่มีตัวเลขที่ไม่รู้จัก)

คุณรู้สมการประเภทใดบ้าง (เชิงเส้น, สี่เหลี่ยม)

3.มีได้กี่รากคะ? สมการเชิงเส้น?) (หนึ่ง มากมาย และไม่มีราก)

4. สมการกำลังสองสามารถมีรากได้กี่ราก?

อะไรเป็นตัวกำหนดจำนวนราก? (จากการเลือกปฏิบัติ)

สมการกำลังสองมี 2 รากในกรณีใด

สมการกำลังสองมี 1 รูทในกรณีใด? (ด=0)

สมการกำลังสองไม่มีรากในกรณีใด (D0)

สมการทั้งหมดเป็นสมการของด้านซ้ายและขวาซึ่งเป็นนิพจน์ทั้งหมด (อ่านออกเสียง).

จากการพิจารณาเชิงเส้นและ สมการกำลังสองเราจะเห็นว่าจำนวนรากไม่มากกว่าระดับของมัน

คุณคิดว่าเป็นไปได้ไหมที่จะกำหนดจำนวนรากของมันโดยไม่ต้องแก้สมการ? (คำตอบของเด็กที่เป็นไปได้)

มาทำความรู้จักกับกฎในการกำหนดระดับของสมการทั้งหมดกันดีกว่า?

ถ้าสมการที่มีตัวแปรตัวเดียวเขียนเป็น P(x)=0 โดยที่ P(x) คือพหุนาม มุมมองมาตรฐานแล้วดีกรีของพหุนามนี้เรียกว่าดีกรีของสมการ ระดับของสมการจำนวนเต็มตามอำเภอใจคือระดับของสมการที่เทียบเท่าของรูปแบบ P(x) = 0 โดยที่ P(x) คือพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน

สมการn อุ๊ย ปริญญาไม่มีอีกแล้วn ราก

สมการทั้งหมดสามารถแก้ไขได้หลายวิธี:

วิธีแก้สมการทั้งหมด

การแยกตัวประกอบ การแนะนำกราฟิกใหม่

ตัวแปร

(เขียนแผนภาพลงในสมุดบันทึก)

วันนี้เราจะดูหนึ่งในนั้น: การแยกตัวประกอบโดยใช้สมการต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง: x 3 – 8x 2 – x +8 = 0 (ครูอธิบายบนกระดาน นักเรียนจดวิธีแก้สมการลงในสมุดบันทึก)

การแยกตัวประกอบที่ใช้ได้มีชื่อว่าอะไร ด้านซ้ายแยกตัวประกอบสมการ? (วิธีการจัดกลุ่ม) ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ และทำโดยจัดกลุ่มพจน์ทางด้านซ้ายของสมการ

ผลคูณของปัจจัยเท่ากับศูนย์เมื่อใด (เมื่อมีตัวคูณอย่างน้อยหนึ่งตัว เท่ากับศูนย์- ให้เราถือเอาแต่ละปัจจัยของสมการให้เป็นศูนย์

มาแก้สมการผลลัพธ์กัน

เราได้รากกี่อัน? (เขียนลงในสมุดบันทึก)

x 2 (x – 8) – (x – 8) = 0

(x – 8) (x 2 – 1) = 0

(x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0

x 1 = 8, x 2 = 1, x 3 = - 1

คำตอบ: 8; 1; -1.

4.การพัฒนาทักษะและความสามารถ ส่วนการปฏิบัติ

งานตำราเล่มที่ 265 (เขียนลงสมุด)

ระดับของสมการคืออะไร และแต่ละสมการมีกี่ราก:

คำตอบ: ก) 5, b) 6, c) 5, ง) 2, จ) 1, ฉ) 1

№ 266(ก)(วิธีแก้ปัญหาที่กระดานพร้อมคำอธิบาย)

แก้สมการ:

5. สรุปบทเรียน:

การรวมบัญชี วัสดุทางทฤษฎี:

สมการที่มีตัวแปรตัวเดียวในข้อใดเรียกว่าจำนวนเต็ม ยกตัวอย่าง.

จะหาระดับของสมการทั้งหมดได้อย่างไร? สมการที่มีตัวแปรหนึ่งตัวของระดับที่ 1, 2, n มีกี่ราก?

6. การสะท้อนกลับ

ประเมินงานของคุณ ยกมือขึ้นใคร...

1) เข้าใจหัวข้ออย่างสมบูรณ์

2) เข้าใจหัวข้อได้ดี

ฉันยังคงประสบปัญหาอยู่

7.การบ้าน:

ย่อหน้า 12 (หน้า 75-77 ตัวอย่าง 1) หมายเลข 267 (ก, ข)

“รายการตรวจสอบนักเรียน”

รายการตรวจสอบนักเรียน

ขั้นตอนการทำงาน ระดับ						ทั้งหมด
การนับวาจา	แก้สมการ		การแก้สมการกำลังสอง	การแก้สมการลูกบาศก์

รายการตรวจสอบนักเรียน

ชั้น______ นามสกุล ชื่อจริง _______

ขั้นตอนการทำงาน ระดับ						ทั้งหมด
การนับวาจา	แก้สมการ	ระดับของสมการที่คุ้นเคยคือเท่าใด	การแก้สมการกำลังสอง	การแก้สมการลูกบาศก์

รายการตรวจสอบนักเรียน

ชั้น______ นามสกุล ชื่อจริง _______

ขั้นตอนการทำงาน ระดับ						ทั้งหมด
การนับวาจา	แก้สมการ	ระดับของสมการที่คุ้นเคยคือเท่าใด	การแก้สมการกำลังสอง	การแก้สมการลูกบาศก์

ดูเนื้อหาเอกสาร
"เอกสารประกอบคำบรรยาย"

1. แก้สมการ:

ก) x 2 = 0 จ) x 3 – 25x = 0

ก) x 2 = 0 จ) x 3 – 25x = 0
ข) 3x – 5 = 0 กรัม) x(x – 1)(x + 2) = 0
ค) x 2 –5 = 0 ชั่วโมง) x 4 – x 2 = 0
ง) x 2 = 1/36 ผม) x 2 –0.01 = 0.03
จ) x 2 = – 25 เจ) 19 – ค 2 = 10

3. แก้สมการ:

x 2 -5x+6=0 ปี 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0

4. แก้สมการ:

ฉันเลือก II ตัวเลือก III ตัวเลือก

x 3 -1=0 x 3 - 4x=0 x 3 -12x 2 +36x=0

"ทดสอบ"

สวัสดี! ตอนนี้คุณจะได้รับแบบทดสอบคณิตศาสตร์ 4 คำถาม คลิกที่ปุ่มบนหน้าจอใต้คำถามที่คุณคิดว่ามีคำตอบที่ถูกต้อง คลิกปุ่ม "ถัดไป" เพื่อเริ่มการทดสอบ ขอให้โชคดี!

1. แก้สมการ:

3x + 6 = 0

ถูกต้อง

ไม่มีคำตอบ

ราก

ถูกต้อง

ไม่มีคำตอบ

ราก

4. แก้สมการ: 0 x = - 4

ราก

มาก

ราก

ดูเนื้อหาการนำเสนอ
"1"

• แก้สมการ:

• งานช่องปาก

เป้าหมาย:

เกี่ยวกับการศึกษา:

• สรุปและเจาะลึกข้อมูลเกี่ยวกับสมการ แนะนำแนวคิดของสมการทั้งหมด ระดับของสมการ และรากของมัน พิจารณาวิธีการแก้สมการทั้งหมดโดยใช้การแยกตัวประกอบ
• สรุปและเจาะลึกข้อมูลเกี่ยวกับสมการ
• แนะนำแนวคิดของสมการทั้งหมด ระดับของสมการ และรากของมัน
• พิจารณาวิธีการแก้สมการทั้งหมดโดยใช้การแยกตัวประกอบ

การพัฒนา:

• การพัฒนามุมมองทางคณิตศาสตร์และภาพรวม การคิดอย่างมีตรรกะความสามารถในการวิเคราะห์สรุปผล
• การพัฒนามุมมองทางคณิตศาสตร์และมุมมองทั่วไป การคิดเชิงตรรกะ ความสามารถในการวิเคราะห์ การสรุปผล

เกี่ยวกับการศึกษา:

• ปลูกฝังความเป็นอิสระ ความชัดเจน และความถูกต้องในการกระทำ
• ปลูกฝังความเป็นอิสระ ความชัดเจน และความถูกต้องในการกระทำ

• ทัศนคติทางจิตวิทยา

• เรายังคงสรุปและเจาะลึกข้อมูลเกี่ยวกับสมการต่อไป
• ทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของสมการทั้งหมด

ด้วยแนวคิดเรื่องระดับสมการ

• พัฒนาทักษะในการแก้สมการ
• ควบคุมระดับการดูดซึมของวัสดุ
• ในชั้นเรียนเราสามารถทำผิดพลาด มีข้อสงสัย และให้คำปรึกษาได้
• นักเรียนแต่ละคนกำหนดแนวทางของตัวเอง

• สมการใดเรียกว่าจำนวนเต็ม?
• ระดับของสมการคืออะไร?
• มีกี่รากคะ? สมการที่ nองศา?
• วิธีการแก้สมการขององศาที่หนึ่ง สอง และสาม

• แผนการเรียน

ก) x 2 = 0 จ) x 3 – 25x = 0 ค) x 2 –5 = 0 ชม.) x 4 –x 2 = 0 ง) x 2 = 1/36 ผม) x 2 –0,01 = 0,03 อดีต 2 = – 25 ก) 19 – วิ 2 = 10

แก้สมการ:

ตัวอย่างเช่น:

X²=x³-2(x-1)

• สมการ

ถ้าสมการมีตัวแปรตัวเดียว

เขียนเป็น

P(x) = 0 โดยที่ P(x) คือพหุนามที่มีรูปแบบมาตรฐาน

แล้วดีกรีของพหุนามนี้เรียกว่า

ระดับของสมการนี้

2x³+2x-1=0 (ระดับที่ 5)

14x²-3=0 (ระดับที่ 4)

ตัวอย่างเช่น:

ความคุ้นเคยมีระดับไหน. สมการสำหรับเรา?

• ก) x 2 = 0 จ) x 3 – 25x = 0
• ข) 3x – 5 = 0 กรัม) x(x – 1)(x + 2) = 0
• ค) x 2 – 5 = 0 ชม.) x 4 –x 2 = 0
• ง) x 2 = 1/36 ผม) x 2 – 0,01 = 0,03
• อดีต 2 = – 25 ก) 19 – วิ 2 = 10

• แก้สมการ:

• 2 ∙x + 5 =15
• 0∙x = 7

สมการดีกรี 1 มีรากได้กี่ราก?

ไม่เกินหนึ่ง!

0, D=-12, D x 1 =2, x 2 =3 ไม่มีราก x=6 สมการระดับ I (กำลังสอง) สามารถมีรากได้กี่ราก? ไม่เกินสอง!" width="640"

• แก้สมการ:

• x 2 -5x+6=0 ปี 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0
• D=1, D0, D=-12, D

x 1 =2,x 2 =3 ไม่มีราก x=6

สมการดีกรีหนึ่งสามารถมีได้กี่ราก? (สี่เหลี่ยม) ?

ไม่เกินสอง!

แก้สมการ:

• ฉันเลือก II ตัวเลือก III ตัวเลือก

x 3 -1=0x 3 - 4x=0x 3 -12x 2 +36x=0

• x 3 =1x(x 2 - 4)=0 x(x 2 -12x+36)=0

x=1 x=0, x=2, x= -2 x=0, x=6

1 ราก 3 ราก 2 ราก

• สมการระดับฉันมีได้กี่ราก?

ไม่เกินสาม!

• คุณคิดว่าสมการนี้มีได้กี่ราก?

IV, วี, วี, ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว, n ไทย องศา?

• ไม่เกินสี่ ห้า หก เจ็ดราก!

ไม่มีอีกแล้ว n ราก!

ax²+bx+c=0

สมการกำลังสอง

ขวาน + ข = 0

สมการเชิงเส้น

ไม่มีราก

ไม่มีราก

หนึ่งราก

ลองขยายทางด้านซ้ายของสมการดู

โดยตัวคูณ:

x²(x-8)-(x-8)=0

คำตอบ:=1, =-1.

• สมการระดับที่สามของแบบฟอร์ม: ax³+bx²+cx+d=0

โดยการแยกตัวประกอบ

(8x-1)(2x-3)-(4x-1)²=38

มาเปิดวงเล็บแล้วให้

เงื่อนไขที่คล้ายกัน

16x²-24x-2x+3-16x²+8x-138=0

คำตอบ: x=-2

คำขวัญของบทเรียนของเรา: “ยิ่งฉันรู้มากเท่าไหร่ ฉันก็ยิ่งรู้มากขึ้นเท่านั้น”
ใครไม่สังเกตเห็นอะไรเลย
เขาไม่ศึกษาอะไรเลย
ใครไม่เรียนอะไร.
เขามักจะบ่นและเบื่อหน่าย
(กวีอาร์. Seph)

การเขียนตามคำบอกทางคณิตศาสตร์

1.ใส่ส่วนที่ขาดหายไป
คำและระบุการแข่งขัน
1.เรียกว่าอะไร?
สมการ?
1. ค้นหาทั้งหมด... หรือ
พิสูจน์ว่า... ไม่
2.เรียกว่าอะไร?
รากของสมการ?
2. ……ประกอบด้วย
ตัวแปร.
3. การตัดสินใจหมายถึงอะไร
สมการ?
3. …….ซึ่งในนั้น
สมการกลับกัน
ให้เป็นจำนวนที่ถูกต้อง
ความเท่าเทียมกัน

แก้สมการด้วยวาจา:

ก) x² = 0
ข) 3x – 6 = 0
ค) x² – 9 = 0
ง) x(x – 1)(x + 2) = 0
จ) x² = – 25

แก้สมการ:

x⁴-6x²+5=0

สมการทั้งหมดและรากของมัน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

สรุปและเจาะลึกข้อมูลเกี่ยวกับ
สมการ
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับแนวคิดโดยรวม
สมการ
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องปริญญา
สมการ
การพัฒนาทักษะการแก้ปัญหา
สมการ

สมการ

x
5
2
x 1 x 1
3
x
2
x5
x3 1 x 2 1
3x2
4
2
(x 3 1) x 2 x 3 2(x 1)
x
2x1
x12
ทั้งหมด
สมการ
เศษส่วน
สมการ

สมการทั้งหมด

สมการทั้งหมดที่มีหนึ่ง
ตัวแปรคือสมการ
ส่วนซ้ายและขวาซึ่ง
การแสดงออกทั้งหมด

10. ระดับของสมการ

ถ้าสมการกับหนึ่ง
ตัวแปรเขียนเป็น P(x)=0,
โดยที่ P(x) คือพหุนามมาตรฐาน
ตามด้วยดีกรีของพหุนามนี้
เรียกว่าดีกรีของสมการนั่นคือ
องศาที่ยิ่งใหญ่ที่สุด
monomial
ตัวอย่าง: x⁵-2x³+2x-1=05th
ระดับ
4
x⁴-14x²-3=0
ระดับ

11. ระดับของสมการคือเท่าไร?

5
ก) 2x²-6x⁵+1=0
2
ง) (x+8)(x-7)=0
6
ข) x⁶-4x²-3=0
1 5
x 0
7
วี)
5x(x²+4)=17
ง)
x x
5
2 4
5
1
3
จ) 5x-

12. มาทำซ้ำกัน

สมการเชิงเส้น
aх+b=0
aх2 + bx + c = 0
พวงของ
ราก
ไม่มีราก
หนึ่งราก
สมการกำลังสอง
ด=0
หนึ่งราก
ง>0
สองราก
ดี<0
ไม่มีราก

13. สมการดีกรีแรก

14. สมการดีกรีที่สาม

แก้สมการ
x3 8x 2 x 8 0
วิธีแก้ไข: ขยายด้านซ้าย
สมการการแยกตัวประกอบ 2
x (x 8) (x 8) 0
(x 8) (x 2 1) 0
x 8 0
x2 1 0
x1 8, x2คำตอบ
1, x3 1

15. แก้สมการ:

(8x-1)(2x-3)-(4x-1)²=38
วิธีแก้ปัญหา: มาเปิดวงเล็บแล้วให้
เงื่อนไขที่คล้ายกัน
16x²-24x-2x+3-16x²+8x-1-38=0
-18x-36=0
ตรวจสอบตัวเอง!
x+2=0
x=-2
คำตอบ: x=-2

16. มาแก้สมการกำลังสองกัน:

X⁴ - 5 x² - 36 = 0
มาแทนที่กัน: x² = a, a≥ 0
ก² - 5a -36 =0
ส=169
a1= -4 (ไม่เหมาะสม เนื่องจาก a≥0)
ก2 = 9
เอ็กซ์² = 9
x1 = 3 และ x2 = -3
คำตอบ: 3 และ -3

17. แก้สมการ:

x⁴-6x²+5=0
คำตอบ: 1, -1, V5, - V5

18. สร้างการติดต่อ: วิธีสมการ

ข้อความตัวอย่าง
ระดับที่สอง
ระดับที่สาม
ระดับที่สี่
ระดับที่ห้า

19. ทดสอบ

1) กำหนดระดับของสมการ
(x 2 3) 5 x (x 1) 15
ก) 2
ข) 3
ใน 1
2) ตัวเลขใดเป็นราก
x(x 1)(x 2) 0?
สมการ
ก) -1
ข) 0
เวลา 2
3) แก้สมการ 9 x 3 27 x 2 0
ก) 0;-3
ข) -3;0;3
ค) 0;3

20.

1)
สมการใดเรียกว่า
ทั้งหมดและจะแยกแยะได้อย่างไร
เศษส่วน?
2)
ระดับของสมการคืออะไร?
3)
รากของสมการคืออะไร?
4)
5)
มีได้กี่รากคะ?
สมการขั้นที่ 1?
มีได้กี่รากคะ?
สมการระดับที่ 2?

21. การบ้าน:

คิดและตอบคำถาม:“ เท่าไหร่
รากสามารถมีสมการทั้งหมดได้
ตัวแปรหนึ่งของระดับที่ 2, 3, 4, สาม?

พิจารณาสมการ
31x 3 – 10x = (x – 5) 2 + 6x 2
ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของสมการเป็นนิพจน์จำนวนเต็ม
จำได้ว่าสมการดังกล่าวเรียกว่าสมการทั้งหมด
กลับไปที่สมการเดิมของเราแล้วเปิดวงเล็บโดยใช้สูตรผลต่างกำลังสอง
ลองย้ายเงื่อนไขทั้งหมดของสมการไปทางซ้ายแล้วแสดงพจน์ที่คล้ายกัน
นิพจน์ "ลบสิบ x" และ "บวกสิบ x" จะหักล้างกัน
หลังจากนำคำที่คล้ายกันมา เราจะได้สมการทางด้านซ้ายซึ่งมีพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน (โดยทั่วไปเราจะเรียกมันว่า "Pe จาก x") และทางด้านขวาจะมีศูนย์
ในการกำหนดระดับของสมการทั้งหมด จำเป็นต้องลดให้อยู่ในรูปแบบ pe จาก x เท่ากับศูนย์ นั่นคือสมการที่ด้านซ้ายมีพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน และด้านขวามีศูนย์
หลังจากนี้ จำเป็นต้องกำหนดระดับของพหุนาม pe จาก x นี่จะเป็นระดับของสมการ
ลองดูตัวอย่าง ลองหาระดับของสมการนี้กัน
ลองเปิดวงเล็บโดยใช้สูตรกำลังสองของผลรวม
ต่อไป เราจะย้ายเงื่อนไขทั้งหมดของสมการไปทางซ้ายและแสดงคำศัพท์ที่คล้ายกัน
ดังนั้นเราจึงได้สมการทางด้านซ้ายซึ่งเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐานของดีกรีที่สอง และทางด้านขวาเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าระดับของสมการนี้เป็นระดับที่สอง
ระดับของสมการจะกำหนดจำนวนรากของมัน
สามารถพิสูจน์ได้ว่าสมการของดีกรีที่ 1 มีหนึ่งราก สมการของดีกรีที่ 2 มีรากไม่เกิน 2 ราก สมการของดีกรีที่ 3 มีไม่เกิน 3 ราก เป็นต้น
ระดับของสมการยังบอกเราว่าสามารถแก้สมการได้อย่างไร
ตัวอย่างเช่น เราลดสมการของระดับแรกให้อยู่ในรูปแบบ a x บวกเท่ากับ ce โดยที่ a ไม่เท่ากับศูนย์
เราลดสมการของระดับที่สองให้เป็นสมการที่เท่ากัน ทางด้านซ้ายซึ่งมีรูปตรีโกณมิติกำลังสอง และทางด้านขวาจะมีศูนย์ สมการดังกล่าวแก้ได้โดยใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองหรือทฤษฎีบทของเวียตนาม
ไม่มีวิธีการสากลในการแก้สมการระดับที่สูงกว่า แต่มีวิธีการพื้นฐานที่เราจะพิจารณาพร้อมตัวอย่าง
ลองแก้สมการของกำลังสาม x กำลังสาม ลบ 8 x กำลังสอง ลบ x บวก 8 เท่ากับศูนย์
ในการแก้สมการนี้ เราจะแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของมันโดยใช้วิธีจัดกลุ่มและใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง
ต่อไป คุณต้องจำไว้ว่าผลคูณเท่ากับศูนย์เมื่อหนึ่งในปัจจัยเท่ากับศูนย์ จากสิ่งนี้ เราสรุปได้ว่า x ลบ 8 เท่ากับศูนย์ หรือ x ลบ 1 เท่ากับศูนย์ หรือ x บวก 1 เท่ากับศูนย์ ดังนั้นรากของสมการจะเป็นตัวเลขลบหนึ่ง หนึ่ง และแปด
บางครั้ง ในการแก้สมการที่มีดีกรีสูงกว่าสอง จะสะดวกที่จะแนะนำตัวแปรใหม่
ลองพิจารณาตัวอย่างที่คล้ายกัน
หากเราเปิดวงเล็บย้ายเงื่อนไขทั้งหมดของสมการไปทางซ้ายนำคำศัพท์ที่คล้ายกันและนำเสนอทางด้านซ้ายของสมการในรูปแบบของพหุนามในรูปแบบมาตรฐานจากนั้นวิธีการใดที่เรารู้จักจะช่วยไม่ได้ แก้สมการนี้ ในกรณีนี้ควรให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าวงเล็บทั้งสองมีนิพจน์ที่เหมือนกัน
มันคือนิพจน์นี้ที่เราจะแสดงเป็นตัวแปรใหม่ igrik
จากนั้นสมการของเราก็จะลดเหลือสมการที่มีตัวแปร ig...
ต่อไป เราจะเปิดวงเล็บและย้ายเงื่อนไขทั้งหมดของสมการไปทางซ้าย
ลองนำคำที่คล้ายกันมาและได้สมการกำลังสองที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว
การหารากของสมการนี้ไม่ใช่เรื่องยาก เกมที่หนึ่งเท่ากับหก เกมที่สองเท่ากับลบสิบหก
ทีนี้ลองกลับไปสู่สมการดั้งเดิมโดยทำการทดแทนแบบย้อนกลับ
ตอนแรก เราเอาพจน์ 2 x กำลังสอง ลบ x มาเป็นหลัก และเนื่องจากเรามีค่าสองค่าสำหรับตัวแปร y เราจึงได้สมการสองสมการ ในแต่ละสมการ เราถ่ายโอนพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายและแก้สมการกำลังสองสองผลลัพธ์ที่ได้ รากของสมการแรกคือตัวเลขลบหนึ่งจุดห้าและสอง และสมการที่สองไม่มีราก เนื่องจากค่าจำแนกมีค่าน้อยกว่าศูนย์
ดังนั้น วิธีแก้สมการระดับที่ 4 คือตัวเลข ลบ 1 จุด 5 กับ 2
สถานที่พิเศษในการจำแนกสมการทั้งหมดมีสมการอยู่ในรูป a x กำลังสี่ บวก be x กำลังสอง บวก ce เท่ากับศูนย์ สมการประเภทนี้เรียกว่าสมการกำลังสอง
สมการดังกล่าวสามารถแก้ไขได้โดยใช้การเปลี่ยนแปลงตัวแปร
ลองดูตัวอย่าง
ในสมการนี้ ลองแทน x กำลังสองด้วย igrik เป็นที่น่าสังเกตว่าตัวแปร iGrik ไม่สามารถรับค่าลบได้
เราได้สมการกำลังสองซึ่งมีรากคือตัวเลขหนึ่งยี่สิบห้าและหนึ่ง
มาทำการเปลี่ยนกลับกัน
รากของสมการแรกคือหนึ่งในห้าและลบหนึ่งในห้า และรากของสมการที่สองคือหนึ่งและลบหนึ่ง
ดังนั้นเราจึงพบรากทั้งสี่ของสมการกำลังสองดั้งเดิมแล้ว

มาทำความคุ้นเคยกับสมการตรรกยะตรรกศาสตร์และเศษส่วน ให้คำจำกัดความ ยกตัวอย่าง และวิเคราะห์ปัญหาประเภทที่พบบ่อยที่สุด

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

สมการตรรกยะ: คำจำกัดความและตัวอย่าง

การทำความคุ้นเคยกับการแสดงออกอย่างมีเหตุผลเริ่มต้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ของโรงเรียน ในเวลานี้ ในบทเรียนพีชคณิต นักเรียนเริ่มพบกับการบ้านที่มีสมการที่มีนิพจน์เหตุผลในบันทึกมากขึ้น มารีเฟรชความทรงจำของเรากันดีกว่าว่ามันคืออะไร

คำจำกัดความ 1

สมการตรรกยะเป็นสมการที่ทั้งสองฝ่ายมีนิพจน์ที่เป็นเหตุเป็นผล

ในคู่มือต่างๆ คุณจะพบสูตรอื่นได้

คำจำกัดความ 2

สมการตรรกยะ- นี่คือสมการ ทางด้านซ้ายมีนิพจน์ที่เป็นเหตุผล และด้านขวามีศูนย์

คำจำกัดความที่เราให้ไว้สำหรับสมการตรรกยะนั้นเทียบเท่ากัน เนื่องจากพวกมันพูดถึงสิ่งเดียวกัน ความถูกต้องของคำพูดของเราได้รับการยืนยันจากข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับการแสดงออกที่มีเหตุผลใด ๆ ปและ ถามสมการ พี = คิวและ พี - คิว = 0จะเป็นนิพจน์ที่เทียบเท่ากัน

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 1

สมการตรรกยะ:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3

สมการตรรกยะก็เหมือนกับสมการประเภทอื่นๆ สามารถมีตัวแปรจำนวนเท่าใดก็ได้ตั้งแต่ 1 ถึงหลายตัวแปร ขั้นแรก เราจะดูตัวอย่างง่ายๆ ซึ่งสมการจะมีตัวแปรเพียงตัวเดียว จากนั้นเราจะเริ่มค่อยๆทำให้งานซับซ้อนขึ้น

สมการตรรกยะแบ่งออกเป็นสองกลุ่มใหญ่: จำนวนเต็มและเศษส่วน มาดูกันว่าสมการใดที่จะนำไปใช้กับแต่ละกลุ่ม

คำจำกัดความ 3

สมการตรรกยะจะเป็นจำนวนเต็มถ้าด้านซ้ายและขวามีนิพจน์ตรรกศาสตร์ทั้งหมด

คำจำกัดความที่ 4

สมการตรรกยะจะเป็นเศษส่วนถ้าส่วนใดส่วนหนึ่งหรือทั้งสองส่วนมีเศษส่วน

สมการตรรกยะเศษส่วนจำเป็นต้องมีการหารด้วยตัวแปร หรือมีตัวแปรอยู่ในตัวส่วน ไม่มีการแบ่งเช่นนี้ในการเขียนสมการทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 2

3 x + 2 = 0และ (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– สมการตรรกยะทั้งหมด ทั้งสองด้านของสมการจะแสดงด้วยนิพจน์จำนวนเต็ม

1 x - 1 = x 3 และ x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5เป็นสมการตรรกยะเศษส่วน

สมการตรรกศาสตร์ทั้งหมดประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง

การแก้สมการทั้งหมด

การแก้สมการดังกล่าวมักจะต้องแปลงให้เป็นสมการพีชคณิตที่เทียบเท่ากัน ซึ่งสามารถทำได้โดยการแปลงสมการที่เท่ากันตามอัลกอริทึมต่อไปนี้:

• ก่อนอื่น เราได้ศูนย์ทางด้านขวาของสมการ เพื่อจะทำสิ่งนี้ เราต้องย้ายนิพจน์ที่อยู่ทางด้านขวาของสมการไปทางซ้ายแล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
• จากนั้นเราจะแปลงนิพจน์ทางด้านซ้ายของสมการให้เป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐาน

เราจะต้องได้สมการพีชคณิต สมการนี้จะเทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม กรณีง่ายๆ ช่วยให้เราสามารถลดสมการทั้งหมดให้เป็นสมการเชิงเส้นหรือกำลังสองเพื่อแก้ปัญหาได้ โดยทั่วไป เราจะแก้สมการพีชคณิตของระดับ n.

ตัวอย่างที่ 3

จำเป็นต้องค้นหารากของสมการทั้งหมด 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

สารละลาย

ให้เราแปลงนิพจน์ดั้งเดิมเพื่อให้ได้สมการพีชคณิตที่เทียบเท่ากัน ในการดำเนินการนี้ เราจะย้ายนิพจน์ที่อยู่ทางด้านขวาของสมการไปไว้ทางด้านซ้ายและแทนที่เครื่องหมายด้วยเครื่องหมายที่อยู่ตรงข้าม เป็นผลให้เราได้รับ: 3 (x + 1) (x − 3) - x (2 x − 1) + 3 = 0.

ทีนี้มาแปลงนิพจน์ทางด้านซ้ายเป็นพหุนามรูปแบบมาตรฐานแล้วดำเนินการที่จำเป็นด้วยพหุนามนี้:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

เราจัดการเพื่อลดการแก้สมการดั้งเดิมให้เหลือการแก้สมการกำลังสองของรูปแบบได้ x 2 − 5 x − 6 = 0- การแบ่งแยกสมการนี้คือค่าบวก: ง = (− 5) 2 − 4 · 1 · (- 6) = 25 + 24 = 49ซึ่งหมายความว่าจะมีรากที่แท้จริงสองอัน ลองใช้สูตรหารากของสมการกำลังสอง:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 หรือ x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 หรือ x 2 = - 1

เรามาตรวจสอบความถูกต้องของรากของสมการที่เราพบระหว่างการแก้โจทย์กันดีกว่า ในกรณีนี้ เราจะแทนที่ตัวเลขที่เราได้รับลงในสมการดั้งเดิม: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3และ 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 ​​​​· (− 1) − 1) − 3- ในกรณีแรก 63 = 63 ในครั้งที่สอง 0 = 0 - ราก x = 6และ x = - 1เป็นรากของสมการที่ให้ไว้ในเงื่อนไขตัวอย่างจริงๆ

คำตอบ: 6 , − 1 .

มาดูกันว่า "ระดับของสมการทั้งหมด" หมายถึงอะไร เรามักจะพบคำนี้ในกรณีที่เราต้องแสดงสมการทั้งหมดในรูปแบบของพีชคณิต เรามากำหนดแนวคิดกัน

คำจำกัดความที่ 5

ระดับของสมการทั้งหมดคือระดับของสมการพีชคณิตที่เทียบเท่ากับสมการจำนวนเต็มดั้งเดิม

หากคุณดูสมการจากตัวอย่างด้านบน คุณสามารถกำหนดได้ว่า: ระดับของสมการทั้งหมดนี้คือระดับที่สอง

หากหลักสูตรของเราจำกัดอยู่เพียงการแก้สมการระดับที่สอง การอภิปรายในหัวข้อนี้ก็อาจจบลงเพียงเท่านี้ แต่มันไม่ง่ายขนาดนั้น การแก้สมการระดับที่สามนั้นเต็มไปด้วยความยากลำบาก และสำหรับสมการที่อยู่เหนือระดับที่ 4 จะไม่มีสูตรรากทั่วไปเลย ในเรื่องนี้ การแก้สมการทั้งหมดขององศาที่สาม สี่และองศาอื่นๆ ทำให้เราต้องใช้เทคนิคและวิธีการอื่นๆ มากมาย

วิธีการแก้สมการตรรกยะทั้งหมดที่ใช้กันมากที่สุดจะขึ้นอยู่กับวิธีการแยกตัวประกอบ อัลกอริธึมของการดำเนินการในกรณีนี้มีดังนี้:

• เราย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้ายเพื่อให้ศูนย์ยังคงอยู่ทางด้านขวาของบันทึก
• เราแสดงนิพจน์ทางด้านซ้ายเป็นผลคูณของปัจจัย จากนั้นจึงไปยังชุดสมการที่ง่ายกว่าหลายรายการ

ตัวอย่างที่ 4

หาคำตอบของสมการ (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13)

สารละลาย

เราย้ายนิพจน์จากด้านขวาของบันทึกไปทางซ้ายโดยมีเครื่องหมายตรงข้าม: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0- การแปลงด้านซ้ายมือให้เป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานนั้นไม่เหมาะสม เนื่องจากจะทำให้เราได้สมการพีชคณิตระดับที่ 4: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0- ความง่ายในการแปลงไม่ได้แสดงให้เห็นถึงความยุ่งยากทั้งหมดในการแก้สมการดังกล่าว

ไปทางอื่นง่ายกว่ามาก: เอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บดีกว่า x 2 - 10 x + 13 .เราก็มาถึงสมการของรูปแบบแล้ว (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0- ตอนนี้เราแทนที่สมการผลลัพธ์ด้วยชุดสมการกำลังสองสองชุด x 2 − 10 x + 13 = 0และ x 2 − 2 x − 1 = 0และค้นหารากของมันผ่านการแบ่งแยก: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2

คำตอบ: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถใช้วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่ได้ วิธีนี้ช่วยให้เราสามารถเลื่อนไปยังสมการที่เทียบเท่าซึ่งมีองศาที่ต่ำกว่าองศาในสมการจำนวนเต็มดั้งเดิม

ตัวอย่างที่ 5

สมการนี้มีรากหรือไม่? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

สารละลาย

หากตอนนี้เราพยายามลดสมการตรรกยะทั้งหมดให้เป็นพีชคณิต เราจะได้สมการระดับ 4 ที่ไม่มีรากตรรกยะ ดังนั้นเราจะไปทางอื่นง่ายกว่า: แนะนำตัวแปรใหม่ y ซึ่งจะแทนที่นิพจน์ในสมการ x 2 + 3 x.

ตอนนี้เราจะทำงานกับสมการทั้งหมด (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4)- ลองย้ายด้านขวาของสมการไปทางซ้ายโดยมีเครื่องหมายตรงข้ามแล้วทำการแปลงที่จำเป็น เราได้รับ: y 2 + 4 y + 3 = 0- มาหารากของสมการกำลังสองกัน: y = − 1และ ย = − 3.

ตอนนี้เรามาทำการแทนที่แบบย้อนกลับกัน เราได้สองสมการ x 2 + 3 x = - 1และ x 2 + 3 · x = − 3ลองเขียนมันใหม่เป็น x 2 + 3 x + 1 = 0 และ x 2 + 3 x + 3 = 0- เราใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองเพื่อค้นหารากของสมการแรกจากที่ได้รับ: - 3 ± 5 2 การแบ่งแยกสมการที่สองเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าสมการที่สองไม่มีรากที่แท้จริง

คำตอบ:- 3 ± 5 2

สมการระดับสูงทั้งหมดมักเกิดปัญหาบ่อยครั้ง ไม่จำเป็นต้องกลัวพวกเขา คุณต้องพร้อมที่จะใช้วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานในการแก้ปัญหา รวมถึงการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นเองหลายอย่าง

การแก้สมการตรรกยะเศษส่วน

เราจะเริ่มพิจารณาหัวข้อย่อยนี้ด้วยอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนของรูปแบบ p (x) q (x) = 0 โดยที่ พี(เอ็กซ์)และ คิว(x)– การแสดงออกอย่างมีเหตุผลทั้งหมด การแก้สมการเหตุผลเศษส่วนอื่นๆ สามารถลดลงเหลือการแก้สมการประเภทที่ระบุได้เสมอ

วิธีที่ใช้กันมากที่สุดในการแก้สมการ p (x) q (x) = 0 ขึ้นอยู่กับข้อความต่อไปนี้: เศษส่วนที่เป็นตัวเลข คุณวี, ที่ไหน โวลต์- นี่คือตัวเลขที่แตกต่างจากศูนย์ซึ่งเท่ากับศูนย์เฉพาะในกรณีที่ตัวเศษของเศษส่วนเท่ากับศูนย์เท่านั้น ตามตรรกะของข้อความข้างต้น เราสามารถยืนยันได้ว่าการแก้สมการ p (x) q (x) = 0 สามารถลดลงเพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อได้: พี(x)=0และ คิว(x) ≠ 0- นี่เป็นพื้นฐานสำหรับการสร้างอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนของรูปแบบ p (x) q (x) = 0:

• หาคำตอบของสมการตรรกยะทั้งหมด พี(x)=0;
• เราตรวจสอบว่าสภาพเป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับรากที่พบในระหว่างการแก้ปัญหาหรือไม่ คิว(x) ≠ 0.

หากตรงตามเงื่อนไขนี้แสดงว่ารูทที่พบ ถ้าไม่เช่นนั้นรูทก็ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 6

มาหารากของสมการ 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 กัน

สารละลาย

เรากำลังจัดการกับสมการตรรกยะเศษส่วนในรูปแบบ p (x) q (x) = 0 โดยที่ p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0 มาเริ่มแก้สมการเชิงเส้นกัน 3 x - 2 = 0- รากของสมการนี้จะเป็น x = 2 3.

ลองตรวจสอบรากที่พบเพื่อดูว่าเป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่ 5 x 2 − 2 ≠ 0- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ค่าตัวเลขลงในนิพจน์ เราได้รับ: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0

ตรงตามเงื่อนไข มันหมายความว่าอย่างนั้น x = 2 3เป็นรากของสมการเดิม

คำตอบ: 2 3 .

มีอีกทางเลือกหนึ่งสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน p (x) q (x) = 0 จำไว้ว่าสมการนี้เทียบเท่ากับสมการทั้งหมด พี(x)=0บนช่วงค่าที่อนุญาตของตัวแปร x ของสมการดั้งเดิม สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถใช้อัลกอริธึมต่อไปนี้ในการแก้สมการ p (x) q (x) = 0:

• แก้สมการ พี(x)=0;
• ค้นหาช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x;
• เราหารากที่อยู่ในช่วงค่าที่อนุญาตของตัวแปร x เป็นรากที่ต้องการของสมการเศษส่วนดั้งเดิม

ตัวอย่างที่ 7

แก้สมการ x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0

สารละลาย

ก่อนอื่น มาแก้สมการกำลังสองกันก่อน x 2 − 2 x − 11 = 0- ในการคำนวณรากของมัน เราใช้สูตรรากสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ที่สองคู่ เราได้รับ D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12และ x = 1 ± 2 3 .

ตอนนี้เราสามารถหา ODZ ของตัวแปร x สำหรับสมการดั้งเดิมได้แล้ว นี่คือตัวเลขทั้งหมดที่ใช้ x 2 + 3 x ≠ 0- มันก็เหมือนกับ x (x + 3) ≠ 0จากที่ x ≠ 0, x ≠ − 3

ทีนี้มาตรวจสอบว่ารูต x = 1 ± 2 3 ที่ได้รับในขั้นตอนแรกของการแก้ปัญหาอยู่ในช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x หรือไม่ เราเห็นพวกเขาเข้ามา ซึ่งหมายความว่าสมการเศษส่วนแบบเดิมมีสองราก x = 1 ± 2 3

คำตอบ: x = 1 ± 2 3

วิธีการแก้ปัญหาที่สองที่อธิบายไว้นั้นง่ายกว่าวิธีแรกในกรณีที่พบช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x ได้ง่ายและรากของสมการ พี(x)=0ไม่มีเหตุผล ตัวอย่างเช่น 7 ± 4 · 26 9 รากสามารถมีเหตุผลได้ แต่ต้องมีตัวเศษหรือตัวส่วนมาก ตัวอย่างเช่น, 127 1101 และ − 31 59 - ซึ่งช่วยประหยัดเวลาในการตรวจสอบสภาพ คิว(x) ≠ 0: มันง่ายกว่ามากที่จะแยกรูทที่ไม่เหมาะสมตาม ODZ

ในกรณีที่รากของสมการ พี(x)=0เป็นจำนวนเต็ม เป็นการสมควรกว่าที่จะใช้อัลกอริธึมแรกที่อธิบายไว้สำหรับการแก้สมการในรูปแบบ p (x) q (x) = 0 ค้นหารากของสมการทั้งหมดได้เร็วยิ่งขึ้น พี(x)=0จากนั้นตรวจสอบว่าเป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่ คิว(x) ≠ 0แทนที่จะหา ODZ แล้วแก้สมการ พี(x)=0บน ODZ นี้ เนื่องจากในกรณีเช่นนี้ โดยปกติแล้วการตรวจสอบจะง่ายกว่าการค้นหา DZ

ตัวอย่างที่ 8

หารากของสมการ (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

สารละลาย

เริ่มต้นด้วยการดูสมการทั้งหมด (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0และค้นพบรากเหง้าของมัน ในการทำเช่นนี้ เราใช้วิธีการแก้สมการโดยการแยกตัวประกอบ ปรากฎว่าสมการดั้งเดิมเทียบเท่ากับชุดสมการสี่สมการ 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0 โดยสามสมการนั้นเป็นเส้นตรงและ อันหนึ่งเป็นกำลังสอง การหาราก: จากสมการแรก x = 1 2ตั้งแต่วันที่สอง – x = 6จากอันที่สาม – x = 7 , x = − 2 , จากอันที่สี่ – x = - 1.

ตรวจสอบรากที่ได้รับ ในกรณีนี้เป็นเรื่องยากสำหรับเราที่จะกำหนด ODZ เนื่องจากเราจะต้องแก้สมการพีชคณิตระดับที่ห้า จะง่ายกว่าที่จะตรวจสอบเงื่อนไขตามที่ตัวส่วนของเศษส่วนซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายของสมการไม่ควรเป็นศูนย์

ลองสลับกันแทนที่รากของตัวแปร x ในนิพจน์กัน x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112และคำนวณมูลค่าของมัน:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0

การตรวจสอบที่ดำเนินการช่วยให้เราสามารถพิสูจน์ได้ว่ารากของสมการตรรกยะเศษส่วนดั้งเดิมคือ 1 2, 6 และ − 2 .

คำตอบ: 1 2 , 6 , - 2

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหารากของสมการเศษส่วน 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0

สารละลาย

มาเริ่มทำงานกับสมการกันดีกว่า (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0- เรามาค้นหารากของมันกันดีกว่า ง่ายกว่าสำหรับเราที่จะจินตนาการว่าสมการนี้เป็นชุดของสมการกำลังสองและสมการเชิงเส้น 5 x 2 − 7 x − 1 = 0และ x - 2 = 0.

เราใช้สูตรหารากของสมการกำลังสองเพื่อค้นหาราก เราได้รับจากสมการแรกสองราก x = 7 ± 69 10 และจากที่สอง x = 2.

มันจะค่อนข้างยากสำหรับเราที่จะแทนค่าของรากลงในสมการดั้งเดิมเพื่อตรวจสอบเงื่อนไข การกำหนด ODZ ของตัวแปร x จะง่ายกว่า ในกรณีนี้ ODZ ของตัวแปร x คือตัวเลขทั้งหมด ยกเว้นตัวเลขที่ตรงตามเงื่อนไข x 2 + 5 x − 14 = 0- เราได้รับ: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞

ทีนี้มาตรวจสอบว่ารากที่เราพบนั้นอยู่ในช่วงค่าที่อนุญาตของตัวแปร x หรือไม่

ราก x = 7 ± 69 10 อยู่ในนั้น ดังนั้นจึงเป็นรากของสมการดั้งเดิม และ x = 2- ไม่เข้าข่ายดังนั้นจึงเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง

คำตอบ: x = 7 ± 69 10 .

ให้เราตรวจสอบแยกกันกรณีที่ตัวเศษของสมการเศษส่วนของรูปแบบ p (x) q (x) = 0 มีตัวเลข ในกรณีเช่นนี้ หากตัวเศษมีจำนวนอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ สมการก็จะไม่มีราก หากตัวเลขนี้เท่ากับศูนย์ รากของสมการจะเป็นตัวเลขใดๆ จาก ODZ

ตัวอย่างที่ 10

แก้สมการตรรกยะเศษส่วน - 3, 2 x 3 + 27 = 0

สารละลาย

สมการนี้จะไม่มีราก เนื่องจากตัวเศษของเศษส่วนทางด้านซ้ายของสมการจะมีจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่า เมื่อไม่มีค่า x ค่าของเศษส่วนที่ระบุในประโยคปัญหาจะเท่ากับศูนย์

คำตอบ:ไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 11

แก้สมการ 0 x 4 + 5 x 3 = 0

สารละลาย

เนื่องจากตัวเศษของเศษส่วนมีศูนย์ ดังนั้นคำตอบของสมการจะเป็นค่าใดๆ จากค่า ODZ ของตัวแปร x

ทีนี้มานิยาม ODZ กันดีกว่า มันจะรวมค่าทั้งหมดของ x ไว้ด้วย x 4 + 5 x 3 ≠ 0- คำตอบของสมการ x 4 + 5 x 3 = 0เป็น 0 และ − 5 เนื่องจากสมการนี้เทียบเท่ากับสมการ x 3 (x + 5) = 0และนี่ก็เท่ากับการรวมกันของสองสมการ x 3 = 0 และ x + 5 = 0ซึ่งมองเห็นรากเหล่านี้ได้ เราได้ข้อสรุปว่าช่วงที่ต้องการของค่าที่ยอมรับได้คือ x ยกเว้น x = 0และ x = - 5.

ปรากฎว่าสมการเศษส่วน 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 มีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด ซึ่งเป็นตัวเลขใดๆ ก็ตามที่ไม่ใช่ศูนย์และ - 5

คำตอบ: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

ตอนนี้เรามาพูดถึงสมการเศษส่วนของรูปแบบตามอำเภอใจและวิธีการแก้ไข พวกเขาสามารถเขียนเป็น ร(x) = ส(x), ที่ไหน ร(เอ็กซ์)และ ส(เอ็กซ์)– นิพจน์ที่เป็นเหตุผล และอย่างน้อยหนึ่งในนั้นเป็นเศษส่วน การแก้สมการดังกล่าวช่วยลดการแก้สมการในรูปแบบ p (x) q (x) = 0

เรารู้แล้วว่าเราสามารถได้สมการที่เทียบเท่าได้โดยการถ่ายโอนนิพจน์จากด้านขวาของสมการไปทางซ้ายด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม ซึ่งหมายความว่าสมการ ร(x) = ส(x)เท่ากับสมการ r (x) − s (x) = 0- เราได้คุยกันไปแล้วถึงวิธีการแปลงนิพจน์ตรรกยะเป็นเศษส่วนตรรกยะ ด้วยเหตุนี้ เราจึงสามารถแปลงสมการได้อย่างง่ายดาย r (x) − s (x) = 0เป็นเศษส่วนตรรกยะที่เหมือนกันของรูปแบบ p (x) q (x) .

เราจึงย้ายจากสมการเศษส่วนแบบเดิม ร(x) = ส(x)ถึงสมการของรูปแบบ p (x) q (x) = 0 ซึ่งเราได้เรียนรู้ที่จะแก้แล้ว

ควรคำนึงว่าเมื่อทำการเปลี่ยนจาก r (x) − s (x) = 0ถึง p(x)q(x) = 0 แล้วถึง พี(x)=0เราอาจไม่คำนึงถึงการขยายช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x

เป็นไปได้ค่อนข้างมากว่าสมการเดิม ร(x) = ส(x)และสมการ พี(x)=0อันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลง พวกมันจะยุติความเท่าเทียมกัน แล้วคำตอบของสมการ พี(x)=0สามารถทำให้เรามีรากที่จะแปลกไป ร(x) = ส(x)- ในกรณีนี้ ในแต่ละกรณี จำเป็นต้องดำเนินการตรวจสอบโดยใช้วิธีการใดๆ ที่อธิบายไว้ข้างต้น

เพื่อให้ง่ายต่อการศึกษาหัวข้อนี้ เราได้สรุปข้อมูลทั้งหมดเป็นอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนของแบบฟอร์ม ร(x) = ส(x):

• เราถ่ายโอนนิพจน์จากด้านขวาด้วยเครื่องหมายตรงข้ามและรับศูนย์ทางด้านขวา
• แปลงนิพจน์ดั้งเดิมให้เป็นเศษส่วนตรรกยะ p (x) q (x) ดำเนินการตามลำดับด้วยเศษส่วนและพหุนาม
• แก้สมการ พี(x)=0;
• เราระบุรากที่ไม่เกี่ยวข้องโดยการตรวจสอบว่าเป็นของ ODZ หรือโดยการแทนที่ลงในสมการดั้งเดิม

สายตาห่วงโซ่การกระทำจะมีลักษณะดังนี้:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → การกำจัด รากภายนอก

ตัวอย่างที่ 12

แก้สมการตรรกยะเศษส่วน x x + 1 = 1 x + 1

สารละลาย

มาดูสมการ x x + 1 - 1 x + 1 = 0 กัน ลองแปลงนิพจน์เหตุผลเศษส่วนทางด้านซ้ายของสมการให้อยู่ในรูปแบบ p (x) q (x) .

ในการทำเช่นนี้ เราจะต้องลดเศษส่วนที่เป็นตรรกยะให้เป็นตัวส่วนร่วมและทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

เพื่อที่จะหารากของสมการ - 2 x - 1 x (x + 1) = 0 เราจำเป็นต้องแก้สมการ − 2 x − 1 = 0- เราได้หนึ่งราก x = - 1 2.

สิ่งที่เราต้องทำคือตรวจสอบโดยใช้วิธีการใดก็ได้ มาดูกันทั้งคู่

ลองแทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการดั้งเดิม เราได้ - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 เรามาถึงความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้องแล้ว − 1 = − 1 - มันหมายความว่าอย่างนั้น x = - 1 2เป็นรากของสมการเดิม

ตอนนี้เรามาดูผ่าน ODZ กันดีกว่า ให้เรากำหนดช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x นี่จะเป็นชุดตัวเลขทั้งหมด ยกเว้น − 1 และ 0 (ที่ x = − 1 และ x = 0 ตัวส่วนของเศษส่วนจะหายไป) รากที่เราได้รับ x = - 1 2เป็นของ ODZ ซึ่งหมายความว่ามันเป็นรากของสมการดั้งเดิม

คำตอบ: − 1 2 .

ตัวอย่างที่ 13

ค้นหารากของสมการ x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x

สารละลาย

เรากำลังเผชิญกับสมการตรรกยะเศษส่วน ดังนั้นเราจึงดำเนินการตามอัลกอริทึม

ลองย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้ายโดยมีเครื่องหมายตรงข้าม: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

ดำเนินการแปลงที่จำเป็น: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x

เรามาถึงสมการแล้ว x = 0- รากของสมการนี้คือศูนย์

ลองตรวจสอบว่ารากนี้ไม่เกี่ยวข้องกับสมการดั้งเดิมหรือไม่ ลองแทนค่าลงในสมการดั้งเดิม: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0 อย่างที่คุณเห็นสมการผลลัพธ์นั้นไม่สมเหตุสมผล ซึ่งหมายความว่า 0 เป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง และสมการเศษส่วนดั้งเดิมไม่มีราก

คำตอบ:ไม่มีราก

หากเราไม่ได้รวมการแปลงที่เทียบเท่าอื่นๆ ไว้ในอัลกอริทึม นี่ไม่ได้หมายความว่าไม่สามารถใช้งานได้ อัลกอริธึมเป็นแบบสากล แต่ได้รับการออกแบบมาเพื่อช่วยเหลือ ไม่จำกัด

ตัวอย่างที่ 14

แก้สมการ 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

สารละลาย

วิธีที่ง่ายที่สุดคือการแก้สมการเศษส่วนที่กำหนดตามอัลกอริทึม แต่มีวิธีอื่น ลองพิจารณาดูครับ

ลบ 7 จากด้านขวาและซ้าย เราจะได้: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24

จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่านิพจน์ในตัวส่วนทางด้านซ้ายจะต้องเท่ากับส่วนกลับของตัวเลขทางด้านขวา นั่นคือ 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7

ลบ 3 จากทั้งสองข้าง: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 โดยการเปรียบเทียบ 2 + 1 5 - x 2 = 7 3 จากที่ 1 5 - x 2 = 1 3 จากนั้น 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

ให้เราทำการตรวจสอบเพื่อดูว่ารากที่พบนั้นเป็นรากของสมการดั้งเดิมหรือไม่

คำตอบ: x = ± 2

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

โรงเรียน : สาขาสถาบันการศึกษาเทศบาล มัธยมศึกษาตอนต้นด้วย Svyatoslavka ในหมู่บ้าน วอซดวิเชนกา

หัวเรื่อง: คณิตศาสตร์.

หลักสูตร – 5 ชั่วโมงต่อสัปดาห์ (โดย 3 ชั่วโมงเป็นพีชคณิต และ 2 ชั่วโมงเป็นเรขาคณิต)

หัวข้อ: สมการทั้งหมดและรากของมัน การแก้สมการทั้งหมด

ประเภทบทเรียน: การพัฒนาทักษะและความสามารถ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

การสอน : การจัดระบบและการวางนัยทั่วไป การขยายและเพิ่มความรู้ของนักเรียนในการแก้สมการทั้งหมดที่มีตัวแปรหนึ่งตัวที่อยู่เหนือระดับที่สอง เตรียมนักเรียนประยุกต์ความรู้ในสถานการณ์ที่ไม่ได้มาตรฐานสำหรับการสอบ Unified State

การพัฒนา : การพัฒนาบุคลิกภาพของนักเรียนผ่านงานสร้างสรรค์อิสระ การพัฒนาความคิดริเริ่มของนักเรียน จัดให้มีสภาพแวดล้อมที่สร้างแรงบันดาลใจที่มั่นคงความสนใจในหัวข้อที่กำลังศึกษา พัฒนาความสามารถในการสรุปเลือกวิธีการแก้สมการได้อย่างถูกต้อง

เกี่ยวกับการศึกษา: พัฒนาความสนใจในการเรียนคณิตศาสตร์ เตรียมนักเรียนให้ประยุกต์ใช้ความรู้ในสถานการณ์ที่ไม่ได้มาตรฐาน ปลูกฝังความตั้งใจและความเพียรเพื่อให้ได้ผลลัพธ์สุดท้าย

ขั้นตอนบทเรียน	เวลา	รูปร่าง	กิจกรรมครู	กิจกรรมนักศึกษา	บันทึก
1.1.องค์กร ช่วงเวลา (ส่วนเกริ่นนำและสร้างแรงบันดาลใจเพื่อส่งเสริมกิจกรรมของนักศึกษา)		(ภาคผนวก 1)	กำหนด ความพร้อมของนักเรียน เน้นความสนใจของนักเรียน อ้างอิงคำขวัญของบทเรียนและคำบรรยายของบทเรียน	ฟัง ตอบคำถาม สรุปผล
1.2. ตรวจการบ้าน การอัพเดตความรู้อ้างอิง		แบบสำรวจปากเปล่า (ภาคผนวก 2-4)	ประสานงานกิจกรรมนักศึกษา	ให้คำจำกัดความของสมการ รากของสมการ แนวคิดในการแก้สมการ พวกเขาแก้สมการด้วยวาจาและแยกสมการทั้งหมดออกจากสมการเหล่านั้น	การก่อตัวของความสามารถทางปัญญา
1.3. การตั้งเป้าหมายและแรงจูงใจ		การวางแผน	กระตุ้นให้นักเรียน สื่อสารวัตถุประสงค์ของบทเรียน	ตั้งชื่อและเขียนลงไป หัวข้อบทเรียน ตั้งเป้าหมายบทเรียนของตนเอง	การก่อตัวของความสามารถในการสื่อสาร
2.1. การจัดระบบความรู้ เป้าหมาย : สอนการเขียนเชิงเหตุผลสั้น ๆ ฝึกความสามารถในการสรุปผลและสรุปทั่วไป		(ภาคผนวก 5)	ยกตัวอย่างสมการทั้งหมดประเภทต่างๆ	พวกเขาฟัง ตอบคำถาม สรุป และอธิบายวิธีแก้สมการทั้งหมด รวบรวมและเขียนสรุปประกอบบทเรียนลงในสมุดบันทึก	การก่อตัวของความสามารถทางปัญญา การสื่อสาร และทางสังคม
2.2. นาทีพลศึกษา		การแสดงความคิดเห็น	ความคิดเห็นเกี่ยวกับชุดฝึกสายตา	นักเรียนทำแบบฝึกหัดซ้ำ
2.3. การรวมบัญชี การแก้สมการทั้งหมด เป้าหมาย : สอนปฏิบัติการด้วยความรู้ พัฒนาความคล่องตัวในการใช้ความรู้		กิจกรรมภาคปฏิบัติ (ภาคผนวก 6)	จัดระเบียบและควบคุมกิจกรรมของนักเรียน บ่งบอกถึงวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกัน	พวกเขาแก้สมการทั้งหมดในสมุดบันทึก แสดงคำตอบบนกระดาน และตรวจสอบ วาดข้อสรุป	การรวมบัญชี การก่อตัวของข้อมูลและความรู้ความเข้าใจ ความสามารถ
3.1. สรุปบทเรียน		การสะท้อน (ภาคผนวก 7)	กระตุ้นให้นักเรียนสรุปบทเรียน ให้เกรด.	สรุปเนื้อหาที่ศึกษา พวกเขาได้ข้อสรุป เขียนการบ้าน. ประเมินการทำงานของพวกเขา	สมการที่สมบูรณ์

(ภาคผนวก 1)

1.ช่วงเวลาขององค์กร– มีการกำหนดเป้าหมายและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

พวก- คุณจะได้รับใบรับรองขั้นสุดท้ายในวิชาคณิตศาสตร์ในรูปแบบของการสอบของรัฐและการสอบ Unified State เพื่อให้ผ่านการสอบ State และ Unified State Exam ได้สำเร็จ คุณต้องรู้คณิตศาสตร์ไม่เพียงแต่ในระดับขั้นต่ำเท่านั้น แต่ยังใช้ความรู้ของคุณในสถานการณ์ที่ไม่ได้มาตรฐานด้วย ในส่วน B และ C ของการสอบ Unified State มักจะพบสมการที่มีระดับสูงกว่า งานของเรา: การจัดระบบและการวางนัยทั่วไป การขยายและเจาะลึกความรู้เกี่ยวกับการแก้สมการทั้งหมดด้วยตัวแปรหนึ่งตัวที่อยู่เหนือระดับที่สอง การเตรียมความพร้อมสำหรับการประยุกต์ใช้ความรู้ในสถานการณ์ที่ไม่ได้มาตรฐานสำหรับการสอบ State และการสอบ Unified State

ภาษิตบทเรียนของเรา: “ยิ่งฉันรู้มากเท่าไหร่ ฉันก็ยิ่งสามารถมากขึ้นเท่านั้น”

จารึก:

ใครไม่สังเกตเห็นอะไรเลย

เขาไม่ศึกษาอะไรเลย

ใครไม่เรียนอะไร.

เขามักจะบ่นและเบื่อหน่าย

(กวีอาร์. Seph)

สมการคือปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายและพบบ่อยที่สุด คุณได้สั่งสมประสบการณ์ในการแก้สมการต่างๆ และเราจำเป็นต้องนำความรู้ของเรามาเรียงลำดับและเข้าใจเทคนิคในการแก้สมการที่ไม่ได้มาตรฐาน

ยูสมการเองก็เป็นที่สนใจสำหรับการศึกษา ต้นฉบับที่เก่าแก่ที่สุดระบุว่าเทคนิคในการแก้สมการเชิงเส้นเป็นที่รู้จักในบาบิโลนโบราณและอียิปต์โบราณ สมการกำลังสองสามารถแก้ไขได้เมื่อประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล จ. ชาวบาบิโลน.

เทคนิคและวิธีการมาตรฐานในการแก้สมการพีชคณิตเบื้องต้นเป็นส่วนสำคัญของการแก้สมการทุกประเภท

ในกรณีที่ง่ายที่สุด การแก้สมการโดยไม่ทราบค่าหนึ่งจะแบ่งออกเป็นสองขั้นตอน ได้แก่ การเปลี่ยนสมการให้เป็นสมการมาตรฐานและการแก้สมการมาตรฐาน เป็นไปไม่ได้เลยที่จะกำหนดอัลกอริธึมกระบวนการแก้สมการโดยสมบูรณ์ แต่จะมีประโยชน์ที่จะจดจำเทคนิคทั่วไปที่ใช้กันทั่วไปในสมการทุกประเภท มากมายสมการเมื่อใช้เทคนิคที่ไม่ได้มาตรฐานจะได้รับการแก้ไขสั้นและง่ายกว่ามาก

เราจะมุ่งความสนใจไปที่พวกเขา

(ภาคผนวก 2)

อัพเดทความรู้.

สำหรับการบ้าน คุณได้รับมอบหมายให้ทำหัวข้อสมการซ้ำและวิธีแก้ปัญหา

Ø สมการนี้เรียกว่าอะไร? -สมการที่มีตัวแปรหนึ่งเรียกว่าสมการที่มีตัวแปรเดียว)

Ø รากของสมการคืออะไร?(ค่าของตัวแปรที่สมการเปลี่ยนเป็นตัวเลขที่ถูกต้อง

ความเท่าเทียมกัน)

Ø การแก้สมการหมายความว่าอย่างไร?(ค้นหารากทั้งหมดหรือพิสูจน์ว่าไม่มีราก)

ฉันขอแนะนำให้คุณแก้สมการหลาย ๆ อย่างด้วยวาจา:

ก) x2 = 0 จ) x3 – 25x = 0

ข) 3x – 6 = 0 กรัม) x(x – 1)(x + 2) = 0

ค) x2 – 9 = 0 ชั่วโมง) x4 – x2 = 0

ง) x2 = 1/36 ผม) x2 – 0.01 = 0.03

จ) x2 = – 25 เจ) 19 – c2 = 10

บอกฉันหน่อยว่าอะไรรวมสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน?(ตัวแปรเดียว สมการทั้งหมด ฯลฯ)

Ø สมการทั้งหมดที่มีตัวแปรตัวเดียวเรียกว่าอะไร? -สมการที่ด้านซ้ายและขวาเป็นจำนวนเต็ม

การแสดงออก

Ø ระดับของสมการทั้งหมดเรียกว่าอะไร?(ระดับของสมการที่เทียบเท่าของแบบฟอร์ม พี(x) = 0,ที่ไหน พี(เอ็กซ์) –พหุนาม

แบบมาตรฐาน)

Ø สมการทั้งหมดสามารถมีได้กี่รากกับตัวแปรตัวที่ 2, 3, 4 ประดับที่(ไม่เกิน 2, 3, 4, ป)

ฉันรู้วิธีแก้สมการทั้งหมดหรือไม่?

ฉันรู้วิธีใช้วิธีการเหล่านี้หรือไม่?

ฉันจะสามารถแก้สมการด้วยตัวเองได้หรือไม่?

คุณรู้สึกสบายใจระหว่างเรียนหรือไม่?

6. บน “3” - ตารางที่ 1 + 1 สมการจากตารางที่เหลือ

บน “4” - ตารางที่ 1 + 1 สมการจากสองตารางใดก็ได้

บน “5” - ตารางที่ 1 + 1 สมการจากแต่ละอันที่เหลือ

ตาราง

https://pandia.ru/text/80/110/images/image007_63.gif" width="594" height="375 src=">

สรุป:

กรอกตารางการประเมินตนเอง

การให้เกรด

ที่บ้าน: กรอกสมการที่ยังไม่ได้แก้ที่เหลือจากตารางทั้งหมด