สมการตรีโกณมิติ - สูตร คำตอบ ตัวอย่าง วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติการแยกตัวประกอบ

วิธีการหลักในการแก้สมการตรีโกณมิติคือ การลดสมการให้เหลือวิธีที่ง่ายที่สุด (โดยใช้สูตรตรีโกณมิติ) การแนะนำตัวแปรใหม่ และการแยกตัวประกอบ ลองดูการใช้งานพร้อมตัวอย่าง ให้ความสนใจกับรูปแบบการเขียนคำตอบของสมการตรีโกณมิติ

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติได้สำเร็จคือความรู้เกี่ยวกับสูตรตรีโกณมิติ (หัวข้อที่ 13 ของงาน 6)

ตัวอย่าง.

1. สมการลดลงเหลือน้อยที่สุด

1) แก้สมการ

สารละลาย:

คำตอบ:

2) ค้นหารากของสมการ

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx ที่อยู่ในเซกเมนต์

สารละลาย:

คำตอบ:

2. สมการที่ลดเป็นกำลังสอง

1) แก้สมการ 2 sin 2 x – cosx –1 = 0

สารละลาย:จากการใช้สูตร sin 2 x = 1 – cos 2 x เราได้

คำตอบ:

2) แก้สมการ cos 2x = 1 + 4 cosx

สารละลาย:จากการใช้สูตร cos 2x = 2 cos 2 x – 1 เราจะได้

คำตอบ:

3) แก้สมการ tgx – 2ctgx + 1 = 0

สารละลาย:

คำตอบ:

3. สมการเอกพันธ์

1) แก้สมการ 2sinx – 3cosx = 0

วิธีแก้: ให้ cosx = 0 จากนั้น 2sinx = 0 และ sinx = 0 ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่า sin 2 x + cos 2 x = 1 ซึ่งหมายถึง cosx ≠ 0 และเราสามารถหารสมการด้วย cosx ได้ เราได้รับ

คำตอบ:

2) แก้สมการ 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

สารละลาย:

เราใช้สูตร 1 = sin 2 x + cos 2 x และ sin 2x = 2 sinxcosx เราได้

บาป 2 x + คอส 2 x + 7คอส 2 x = 6ซินxคอสx
บาป 2 x – 6ซินxคอสx+ 8คอส 2 x = 0

ให้ cosx = 0 จากนั้น sin 2 x = 0 และ sinx = 0 – ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่า sin 2 x + cos 2 x = 1
นี่หมายถึง cosx ≠ 0 และเราสามารถหารสมการด้วย cos 2 x . เราได้รับ

ทีก 2 x – 6 ทีกx + 8 = 0
ให้เราแสดงว่า tgx = y
ปี 2 – 6 ปี + 8 = 0
ย 1 = 4; y2 = 2
ก) tgx = 4, x= อาร์คแทน4 + 2 เค, เค
b) tgx = 2, x= อาร์คแทน2 + 2 เค, เค .

คำตอบ:อาร์คจี4 + 2 เค, อาร์คแทน2 + 2 เคเค

4. สมการของแบบฟอร์ม กบาป + ขคอกซ์ = ส, ส≠ 0.

1) แก้สมการ

สารละลาย:

คำตอบ:

5. สมการแก้โดยการแยกตัวประกอบ

1) แก้สมการ sin2x – sinx = 0

รากของสมการ ฉ (เอ็กซ์) = φ ( เอ็กซ์) ทำหน้าที่เป็นเลข 0 เท่านั้น มาตรวจสอบกัน:

cos 0 = 0 + 1 – ความเท่าเทียมกันเป็นจริง

เลข 0 คือรากเดียวของสมการนี้

คำตอบ: 0.

วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

การแก้สมการตรีโกณมิติประกอบด้วยสองขั้นตอน: การแปลงสมการเพื่อให้ง่ายที่สุดประเภท (ดูด้านบน) และ สารละลายผลลัพธ์ที่ง่ายที่สุด สมการตรีโกณมิติมีเจ็ด วิธีพื้นฐานในการแก้สมการตรีโกณมิติ

1. วิธีพีชคณิต

(การแทนที่ตัวแปรและวิธีการทดแทน)

2. การแยกตัวประกอบ

ตัวอย่างที่ 1. แก้สมการ:บาป x+คอส x = 1 .

วิธีแก้ปัญหา ลองย้ายเงื่อนไขทั้งหมดของสมการไปทางซ้าย:

บาป x+คอส x – 1 = 0 ,

ให้เราแปลงและแยกตัวประกอบนิพจน์เข้าไป

ด้านซ้ายของสมการ:

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการ:เพราะ 2 x+ บาป xเพราะ x = 1.

วิธีแก้ไข: cos2 x+ บาป xเพราะ x– บาป 2 x– คอส 2 x = 0 ,

บาป xเพราะ x– บาป 2 x = 0 ,

บาป x· (เพราะ x– บาป x ) = 0 ,

ตัวอย่างที่ 3 แก้สมการ:เพราะ 2 x–คอส 8 x+คอส 6 x = 1.

วิธีแก้ไข: cos2 x+คอส 6 x= 1 + คอส 8 x,

2 คอส 4 xเพราะ 2 x= 2คอส² 4 x ,

คอส 4 x · (เพราะ 2 x– คอส 4 x) = 0 ,

คอส 4 x · 2 บาป 3 xบาป x = 0 ,

1). เพราะ 4 x= 0, 2) บาป 3 x= 0, 3) บาป x = 0 ,

3. ลดเหลือ สมการเอกพันธ์ สมการ เรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันจาก เกี่ยวกับ บาปและ เพราะ , ถ้า ทั้งหมดของมัน เงื่อนไขในระดับเดียวกันสัมพันธ์กับ บาปและ เพราะมุมเดียวกัน- ในการแก้สมการเอกพันธ์ คุณต้องมี: ก) ย้ายสมาชิกทั้งหมดไปทางซ้าย ข) นำปัจจัยทั่วไปทั้งหมดออกจากวงเล็บ วี) จัดให้ปัจจัยและวงเล็บทั้งหมดเท่ากับศูนย์ ช) วงเล็บเท่ากับการให้ศูนย์ สมการเอกพันธ์ระดับน้อยกว่าซึ่งควรแบ่งออกเป็น เพราะ(หรือ บาป) ในระดับอาวุโส; ง) แก้สมการพีชคณิตที่เกิดขึ้นด้วยความเคารพสีแทน . บาป 2 x+ 4 บาป xเพราะ x+5คอส 2 x = 2. วิธีแก้ปัญหา: 3ซิน 2 x+ 4 บาป xเพราะ x+5 คอส 2 x= 2บาป 2 x+2คอส2 x , บาป 2 x+ 4 บาป xเพราะ x+ 3 คอส 2 x = 0 , ตาล 2 x+4 ตาล x + 3 = 0 , จากที่นี่ ย 2 + 4ย +3 = 0 , รากของสมการนี้คือ:ย 1 = - 1, ย 2 = - 3 ดังนั้น 1) ผิวสีแทน x= –1, 2) สีแทน x = –3,

4. เปลี่ยนเป็นครึ่งมุม

ลองดูวิธีนี้เป็นตัวอย่าง:

ตัวอย่าง แก้สมการ: 3บาป x– 5 คอส x = 7.

วิธีแก้ปัญหา: 6 บาป ( x/ 2) คอส ( x/ 2) – 5 คอส² ( x/ 2) + 5 บาป² ( x/ 2) =

7 บาป² ( x/ 2) + 7 คอส² ( x/ 2) ,

2 บาป² ( x/ 2) – 6 บาป ( x/ 2) คอส ( x/ 2) + 12 คอส² ( x/ 2) = 0 ,

ตาล²( x/ 2) – 3 ตาล ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. การแนะนำมุมเสริม

พิจารณาสมการของแบบฟอร์ม:

กบาป x + ขเพราะ x = ค ,

ที่ไหน ก, ข, ค– ค่าสัมประสิทธิ์;x– ไม่ทราบ

ตอนนี้ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการมีคุณสมบัติเป็นไซน์และโคไซน์ กล่าวคือ: โมดูลัส (ค่าสัมบูรณ์) ของแต่ละรายการ ซึ่งไม่เกิน 1, และผลรวมของกำลังสองคือ 1. แล้วเราก็สามารถแสดงได้ พวกเขาตามลำดับ ยังไง คอสและบาป (ที่นี่ - ที่เรียกว่า มุมเสริม), และใช้สมการของเรา

เรื่อง:"วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ"

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

เกี่ยวกับการศึกษา:

พัฒนาทักษะในการแยกแยะประเภทของสมการตรีโกณมิติ

ทำความเข้าใจวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น

เกี่ยวกับการศึกษา:

ปลูกฝังความสนใจทางปัญญาในกระบวนการศึกษา

การก่อตัวของความสามารถในการวิเคราะห์งานที่กำหนด

การพัฒนา:

เพื่อพัฒนาทักษะในการวิเคราะห์สถานการณ์และเลือกวิธีที่สมเหตุสมผลที่สุด

อุปกรณ์:โปสเตอร์พร้อมสูตรตรีโกณมิติพื้นฐาน คอมพิวเตอร์ โปรเจ็กเตอร์ จอ

มาเริ่มบทเรียนด้วยการทำซ้ำเทคนิคพื้นฐานในการแก้สมการ: ลดให้เป็นรูปแบบมาตรฐาน ด้วยการแปลงสมการเชิงเส้นจะลดลงเป็นรูปแบบ ax = b สมการกำลังสองจะลดลงเป็นรูปแบบ ขวาน 2 +บีเอ็กซ์ +ค = 0ในกรณีของสมการตรีโกณมิติ จำเป็นต้องลดให้เหลือรูปแบบที่ง่ายที่สุด: sinx = a, cosx = a, tgx = a ซึ่งสามารถแก้ไขได้ง่าย

ก่อนอื่นคุณต้องใช้สูตรตรีโกณมิติพื้นฐานที่แสดงบนโปสเตอร์: สูตรบวก สูตรมุมคู่ การลดหลายหลากของสมการ เรารู้วิธีแก้สมการดังกล่าวแล้ว ทำซ้ำบางส่วน:

ในขณะเดียวกันก็มีสมการที่วิธีแก้ปัญหาต้องใช้ความรู้เทคนิคพิเศษบางอย่าง

หัวข้อของบทเรียนของเราคือการพิจารณาเทคนิคเหล่านี้และจัดระบบวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

1. การแปลงเป็นสมการกำลังสองเทียบกับฟังก์ชันตรีโกณมิติตามด้วยการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร

ลองดูตัวอย่างแต่ละวิธีที่ระบุไว้ แต่มาดูรายละเอียดเพิ่มเติมในสองวิธีสุดท้าย เนื่องจากเราได้ใช้สองวิธีแรกในการแก้สมการแล้ว

1. การแปลงเป็นสมการกำลังสองเทียบกับฟังก์ชันตรีโกณมิติบางฟังก์ชัน

2. การแก้สมการโดยใช้วิธีแยกตัวประกอบ

3. การแก้สมการเอกพันธ์

สมการเอกพันธ์ขององศาที่หนึ่งและสองเป็นสมการในรูปแบบ:

ตามลำดับ (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0)

เมื่อแก้สมการเอกพันธ์ ให้หารทั้งสองข้างของเทอมสมการด้วย cosx สำหรับสมการ (1) และ cos 2 x สำหรับ (2) การหารนี้เป็นไปได้เนื่องจาก sinx และ cosx ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน - พวกมันจะกลายเป็นศูนย์ที่จุดต่างกัน ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการเอกพันธ์ขององศาที่หนึ่งและสอง

จำสมการนี้: เมื่อพิจารณาวิธีถัดไป - แนะนำอาร์กิวเมนต์เสริม เรามาแก้มันด้วยวิธีอื่น

4. การแนะนำข้อโต้แย้งเสริม

ลองพิจารณาสมการที่แก้ไขแล้วโดยวิธีก่อนหน้า:

อย่างที่คุณเห็นจะได้ผลลัพธ์แบบเดียวกัน

ลองดูตัวอย่างอื่น:

ในตัวอย่างที่พิจารณา โดยทั่วไปชัดเจนว่าอะไรจำเป็นต้องแบ่งออกเป็นสมการดั้งเดิมเพื่อที่จะแนะนำอาร์กิวเมนต์เสริม แต่อาจเกิดขึ้นจนไม่ชัดเจนว่าจะเลือกตัวหารตัวไหน มีเทคนิคพิเศษสำหรับสิ่งนี้ซึ่งตอนนี้เราจะพิจารณาในแง่ทั่วไป ให้สมการมา